4.2.1 对数的概念(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 4.2.1 对数的概念(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第一册
格式 zip
文件大小 2.1MB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 20:47:18

文档简介

4.2.1 对数的概念
1.将=9写成对数式正确的是(  )
A.log9=-2     B.lo9=-2
C.lo(-2)=9 D.log9(-2)=
2.已知logx16=2,则x=(  )
A.4 B.±4
C.256 D.2
3.在M=log(x-3)(x+1)中,要使式子有意义,则x的取值范围为(  )
A.(-∞,3]
B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞)
D.(3,4)
4.方程=的解是(  )
A. B.9
C. D.
5.(多选)下列指数式与对数式的互化正确的有(  )
A.e0=1与ln 1=0
B.log39=2与=3
C.=与log8=-
D.log77=1与71=7
6.(多选)下列选项中,正确的是(  )
A.ln(ln e)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=10
D.由log25x=,得x=±5
7.lg 10 000=    ;lg 0.001=    .
8.若log5x=2,logy8=3,则x+y=    .
9.已知lo(3x2+2x-1)=1,则x=    .
10.若lox=m,loy=m+2,求的值.
11.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是(  )
A.若M=N,则logaM=logaN
B.若logaM=logaN,则M=N
C.若logaM2=logaN2,则M=N
D.若M=N,则logaM2=logaN2
12.(2021·全国甲卷4题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(  )
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
13.(1)若a=log102,b=log103,则10=    ;
(2)若a>0,=,则loa=    .
14.若x满足(log2x)2-2log2x-3=0,求x的值.
15.设a,b,c为正数,且满足a2+b2=c2,若log16(a+b-c)=,log5(2a+b-c)=1,求a,b,c的值.
4.2.1 对数的概念
1.B 根据对数的定义,得lo9=-2,故选B.
2.A 由logx16=2得x2=16,又知x>0且x≠1,∴x=4.故选A.
3.B 由对数的概念可得解得3<x<4或x>4.
4.A 因为==2-2,所以log3x=-2,所以x=3-2=.故选A.
5.ACD log39=2化为指数式为32=9,故B错误,A、C、D正确.故选A、C、D.
6.AB A中,因为ln e=1,所以ln(ln e)=ln 1=0,A正确;B中,因为ln e=1,所以lg(ln e)=lg 1=0,B正确;C中,若10=lg x,则x=1010,C错误;D中,由log25x=,得x=2=5,D错误.故选A、B.
7.4 -3 解析:由104=10 000得lg 10 000=4;由10-3=0.001得lg 0.001=-3.
8.27 解析:∵log5x=2,∴x=52=25.∵logy8=3,∴y3=8,∴y=2,∴x+y=27.
9.-2 解析:∵lo(3x2+2x-1)=1,∴解得x=-2.
10.解:∵lox=m,∴=x,x2=.
∵loy=m+2,∴=y,y=.
∴====16.
11.B A中,因为零和负数没有对数,所以当M=N≤0时,M、N没有对数,故A错误;B中,由logaM=logaN知M=N>0,故B正确;C中,由logaM2=logaN2知M2=N2>0,所以M=±N≠0,故C错误;D中,当M=N=0时,M、N没有对数,故D错误.故选B.
12.C 4.9=5+lg V lg V=-0.1 V=1=≈≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
13.(1) (2)2 解析:(1)因为a=log102,所以10a=2.因为b=log103,所以10b=3.所以10==.
(2)由=,得()2=()2,即a=()2,所以loa=lo()2=2.
14.解:设t=log2x,则原方程可化为t2-2t-3=0,
解得t=3或t=-1,所以log2x=3或log2x=-1,
所以x=23=8或x=2-1=.
15.解:因为log16(a+b-c)=,
所以a+b-c=2, ①
因为log5(2a+b-c)=1,
所以2a+b-c=5, ②
由②-①得a=3,
将a=3代入①得c-b=1,
又因为a2+b2=c2,所以b=4,c=5.
综上,a=3,b=4,c=5.
1 / 24.2.1 对数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念 数学抽象
2.会进行对数式与指数式的互化 数学抽象、逻辑推理
3.会求简单的对数值 数学运算
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,….
【问题】 (1)依次类推,1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?
(2)若已知细胞分裂后的个数N,怎样求分裂的次数呢?
                      
                      
知识点 对数的概念
1.对数的概念
一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是            ,记作     ,其中,a叫作对数的    ,N叫作    .
提醒 指数式与对数式的互化(其中a>0,且a≠1):
①指数运算和对数运算互为逆运算;②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键.
2.常用对数与自然对数
3.对数的基本性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1=   (a>0,且a≠1);
(3)logaa=   (a>0,且a≠1);
(4)logaab=   (a>0,且a≠1,b∈R);
(5)=   (a>0,且a≠1,N>0).
【想一想】
对数式logaN是不是loga与N的乘积?
1.若a2=M(a>0,且a≠1),则其对数式为(  )
A.loga2=M     B.logaM=2
C.logM2=a D.logMa=2
2.下列说法正确的有(  )
A.对数式log32与log23的意义一样
B.lg 10=0
C.若ln N=,则N=()e
D.若log2x=3,则x=8
3.若log3=0,则x=    ;若=36,则x=    .
题型一 对数的概念
【例1】 (多选)下列说法正确的有(  )
A.只有正数有对数
B.任何一个指数式都可以化成对数式
C.以5为底25的对数等于2
D.使log2(x-1)有意义的x的范围为(1,+∞)
通性通法
对数式有意义的判断问题
  利用式子logab 求字母的范围.
【跟踪训练】
(2024·镇江中学期中)使式子log(2x-1)(2-x)有意义的x的取值范围为     .
题型二 指数式与对数式的互化
【例2】 (1)(链接教科书第87页例1)将下列指数式化为对数式:
①53=125;②3-2=;
③4a=20;④()b=0.45.
(2)(链接教科书第88页例2)将下列对数式化为指数式:
①log264=6;②lo2=-2;
③ln a=-1.699;④lg 0.01=-2.
通性通法
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式;
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
【跟踪训练】
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)=4;(2)3-3=;
(3)loa=6;(4)log55=1.
题型三 对数的计算
【例3】 (链接教科书第88页例3)求下列各式的值:
(1)log464;(2)log27;(3)lg 100;(4)ln e2.
通性通法
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数,用指数式求幂;
(2)已知指数与幂,用指数式求底数;
(3)已知底数与幂,利用对数式表示指数.
【跟踪训练】
求下列各式中x的值:
(1)logx27=;(2)log2x=-;(3)x=log8.
题型四 利用对数基本性质求值
【例4】 求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;
(2)log3(lg x)=1;
(3)log3(log4(log5x))=0;
(4)=x.
通性通法
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值;
(2)已知多重对数式的值,求变量的值,应从外到内,逐步脱去“log”后再求解.
【跟踪训练】
1.+2log31-3log77+3ln 1=    .
2.若lo()x=2,则x=    .
1.在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,2)∪(5,+∞) B.(2,5)
C.(2,3)∪(3,5) D.(3,4)
2.2-3=化为对数式为(  )
A.lo2=-3 B.lo(-3)=2
C.log2=-3 D.log2(-3)=
3.求下列各式中x的值:
(1)log2x=-;
(2)logx25=2;
(3)log5x2=2.
4.2.1 对数的概念
【基础知识·重落实】
知识点
1.以a为底N的对数 logaN=b 底数 真数 3.(2)0 (3)1 (4)b (5)N
想一想
 提示:不是,logaN是一个整体,是求幂指数的一种运算,其运算结果是一个实数.
自我诊断
1.B
2.D 对于A,log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,故A错误;对于B,lg 10=1,故B错误;对于C,ln N=,则N=,故C错误;对于D,x=23=8,故D正确.
3.3 7 解析:由=1得,x=3;由=36得,5x+1=36,解得x=7.
【典型例题·精研析】
【例1】 ACD B错误,如(-2)2=4就不能化成对数式;由x-1>0,得x>1,故D正确.故选A、C、D.
跟踪训练
 (,1)∪(1,2) 解析:由题意得解得<x<2,且x≠1,所以x的取值范围为(,1)∪(1,2).
【例2】 解:(1)①因为53=125,所以log5125=3.
②因为3-2=,所以log3=-2.
③因为4a=20,所以log420=a.
④因为()b=0.45,所以lo0.45=b.
(2)①因为log264=6,所以26=64.
②因为lo2=-2,所以()-2=2.
③因为ln a=-1.699,所以e-1.699=a.
④因为lg 0.01=-2,所以10-2=0.01.
跟踪训练
 解:(1)因为=4,所以log84=.
(2)因为3-3=,所以log3=-3.
(3)因为loa=6,所以()6=a.
(4)因为log55=1,所以51=5.
【例3】 解:(1)设x=log464,可得4x=64,即4x=43,得x=3,所以log464=3.
(2)设x=log27,可得27x=,即33x=3-2,得x=-,所以log27=-.
(3)设x=lg 100,可得10x=100=102,所以x=2,所以lg 100=2.
(4)设x=ln e2,可得ex=e2,所以x=2,所以ln e2=2.
跟踪训练
 解:(1)由logx27=,可得=27,
∴x=2==32=9.
(2)由log2x=-,可得x=,
∴x===.
(3)由x=log8,可得8x=,
∴23x=2-1,∴x=-.
【例4】 解:(1)∵log2(log5x)=0,
∴log5x=20=1,∴x=51=5.
(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,∴x=103=1 000.
(3)由log3(log4(log5x))=0可得log4(log5x)=1,故log5x=4,∴x=54=625.
(4)x==32×=9×5=45.
跟踪训练
1.0 解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
2.2 解析:由logaab=b,得lo()x=x=2.
随堂检测
1.C 由对数的定义知解得2<a<3或3<a<5.
2.C 根据对数的定义知选C.
3.解:(1)由log2x=-,
得=x,∴x=.
(2)由logx25=2,得x2=25.
∵x>0,且x≠1,∴x=5.
(3)由log5x2=2,得x2=52,∴x=±5.
3 / 4(共49张PPT)
4.2.1 对数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念 数学抽象
2.会进行对数式与指数式的互化 数学抽象、逻
辑推理
3.会求简单的对数值 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8
个,….
【问题】 (1)依次类推,1个这样的细胞分裂 x 次得到细胞个数 N 是多少?
(2)若已知细胞分裂后的个数 N ,怎样求分裂的次数呢?
                       
                       
知识点 对数的概念
1. 对数的概念
一般地,如果 ab = N ( a >0, a ≠1),那么就称 b 是
,记作 ,其中, a 叫作对数的 , N
叫作 .
提醒 指数式与对数式的互化(其中 a >0,且 a ≠1):
①指数运算和对数运算互为逆运算;②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键.
以 a 为底 N
的对数 
log aN = b  
底数 
真数 
2. 常用对数与自然对数
3. 对数的基本性质
(1)负数和0没有对数;
(2)log a 1= ( a >0,且 a ≠1);
(3)log aa = ( a >0,且 a ≠1);
(4)log aab = ( a >0,且 a ≠1, b ∈R);
(5) = ( a >0,且 a ≠1, N >0).
0 
1 
b  
N  
【想一想】
对数式log aN 是不是log a 与 N 的乘积?
提示:不是,log aN 是一个整体,是求幂指数的一种运算,其运算结
果是一个实数.
1. 若 a2= M ( a >0,且 a ≠1),则其对数式为(  )
A. log a 2= M
B. log aM =2
C. log M 2= a
D. log Ma =2
2. 下列说法正确的有(  )
A. 对数式log32与log23的意义一样
B. lg 10=0
D. 若log2 x =3,则 x =8
解析: 对于A,log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3
的对数,故A错误;对于B,lg 10=1,故B错误;对于C,ln N =
,则 N = ,故C错误;对于D, x =23=8,故D正确.
3. 若log3 =0,则 x =     ;若 =36,则 x
=     .
3
解析:由 =1得, x =3;由 =36得,5 x +1=
36,解得 x =7.
7
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数的概念
【例1】 (多选)下列说法正确的有(  )
A. 只有正数有对数
B. 任何一个指数式都可以化成对数式
C. 以5为底25的对数等于2
D. 使log2( x -1)有意义的 x 的范围为(1,+∞)
解析: B错误,如(-2)2=4就不能化成对数式;由 x -1>
0,得 x >1,故D正确.故选A、C、D.
通性通法
对数式有意义的判断问题
  利用式子log ab 求字母的范围.
【跟踪训练】

解析:由题意得解得 < x <2,且 x ≠1,
所以 x 的取值范围为( ,1)∪(1,2).
( ,1)∪(1,2) 
题型二 指数式与对数式的互化
【例2】 (1)(链接教科书第87页例1)将下列指数式化为对数
式:
①53=125;②3-2= ;③4 a =20;④( ) b =0.45.
解:①因为53=125,所以log5125=3.
②因为3-2= ,所以log3 =-2.
③因为4 a =20,所以log420= a .
④因为( ) b =0.45,所以lo 0.45= b .
①log264=6;②lo 2=-2;
③ln a =-1.699;④lg 0.01=-2.
解:①因为log264=6,所以26=64.
②因为lo 2=-2,所以( )-2=2.
③因为ln a =-1.699,所以e-1.699= a .
④因为lg 0.01=-2,所以10-2=0.01.
(2)(链接教科书第88页例2)将下列对数式化为指数式:
通性通法
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,
底数不变,写出对数式;
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,
底数不变,写出指数式.
【跟踪训练】
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1) =4;
解:因为 =4,所以log84= .
(2)3-3= ;
解:因为3-3= ,所以log3 =-3.
(3)lo a =6;
解:因为lo a =6,所以( )6= a .
(4)log55=1.
解:因为log55=1,所以51=5.
题型三 对数的计算
【例3】 (链接教科书第88页例3)求下列各式的值:
(1)log464;
解:设 x =log464,可得4 x =64,即4 x =43,得 x =3,所以
log464=3.
(2)log27 ;
解:设 x =log27 ,可得27 x = ,即33 x =3-2,得 x =- ,所以
log27 =- .
(3)lg 100;
解:设 x =lg 100,可得10 x =100=102,所以 x =2,所以lg 100
=2.
(4)ln e2.
解:设 x =ln e2,可得e x =e2,所以 x =2,所以ln e2=2.
通性通法
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数,用指数式求幂;
(2)已知指数与幂,用指数式求底数;
(3)已知底数与幂,利用对数式表示指数.
【跟踪训练】
求下列各式中 x 的值:
(1)log x 27= ;
解:由log x 27= ,可得 =27,
∴ x =2 = =32=9.
(2)log2 x =- ;
解:由log2 x =- ,可得 x = ,
∴ x = = = .
(3) x =log8 .
解:由 x =log8 ,可得8 x = ,
∴23 x =2-1,∴ x =- .
题型四 利用对数基本性质求值
【例4】 求下列各式中 x 的值:
(1)log2(log5 x )=0;
解:∵log2(log5 x )=0,
∴log5 x =20=1,∴ x =51=5.
(2)log3(lg x )=1;
解:∵log3(lg x )=1,∴lg x =31=3,∴ x =103=1 000.
(3)log3(log4(log5 x ))=0;
解:由log3(log4(log5 x ))=0可得log4(log5 x )=1,故log5 x
=4,∴ x =54=625.
(4) = x .
解: x = =32× =9×5=45.
通性通法
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求log a (log bc )
的值,先求log bc 的值,再求log a (log bc )的值;
(2)已知多重对数式的值,求变量的值,应从外到内,逐步脱去
“log”后再求解.
【跟踪训练】
1. +2log31-3log77+3ln 1= .
解析:原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
2. 若lo ( ) x =2,则 x = .
解析:由log aab = b ,得lo ( ) x = x =2.
0 
2 
1. 在 b =log( a-2)(5- a )中,实数 a 的取值范围是(  )
A. (-∞,2)∪(5,+∞) B. (2,5)
C. (2,3)∪(3,5) D. (3,4)
解析: 由对数的定义知解得2< a <3或3< a <5.
2.2-3= 化为对数式为(  )
解析: 根据对数的定义知选C.
3. 求下列各式中 x 的值:
(1)log2 x =- ;
解:由log2 x =- ,得 = x ,∴ x = .
(2)log x 25=2;
解:由log x 25=2,得 x2=25.
∵ x >0,且 x ≠1,∴ x =5.
(3)log5 x2=2.
解:由log5 x2=2,得 x2=52,∴ x =±5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 将 =9写成对数式正确的是(  )
解析: 根据对数的定义,得lo 9=-2,故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知log x 16=2,则 x =(  )
A. 4 B. ±4
C. 256 D. 2
解析: 由log x 16=2得 x2=16,又知 x >0且 x ≠1,∴ x =
4.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 在 M =log( x-3)( x +1)中,要使式子有意义,则 x 的取值范围为
(  )
A. (-∞,3] B. (3,4)∪(4,+∞)
C. (4,+∞) D. (3,4)
解析: 由对数的概念可得解得3< x <4或 x >4.
1
2
3
4
5
6
7
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13
14
15
4. 方程 = 的解是(  )
B. 9
解析: 因为 = =2-2,所以log3 x =-2,所以 x =3-2=
.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. (多选)下列指数式与对数式的互化正确的有(  )
A. e0=1与ln 1=0
D. log77=1与71=7
解析: log39=2化为指数式为32=9,故B错误,A、C、D正
确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. (多选)下列选项中,正确的是(  )
A. ln(ln e)=0
B. lg(ln e)=0
C. 若10=lg x ,则 x =10
解析: A中,因为ln e=1,所以ln(ln e)=ln 1=0,A正
确;B中,因为ln e=1,所以lg(ln e)=lg 1=0,B正确;C中,
若10=lg x ,则 x =1010,C错误;D中,由log25 x = ,得 x =2 =
5,D错误.故选A、B.
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7. lg 10 000= ;lg 0.001= .
解析:由104=10 000得lg 10 000=4;由10-3=0.001得lg 0.001=
-3.
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-3 
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8. 若log5 x =2,log y 8=3,则 x + y = .
解析:∵log5 x =2,∴ x =52=25.∵log y 8=3,∴ y3=8,∴ y =
2,∴ x + y =27.
27 
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9. 已知lo (3 x2+2 x -1)=1,则 x = .
解析:∵lo (3 x2+2 x -1)=1,
∴解得 x =-2.
-2 
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10. 若lo x = m ,lo y = m +2,求 的值.
解:∵lo x = m ,∴ = x , x2= .
∵lo y = m +2,∴ = y , y = .
∴ = = = =16.
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11. 对于 a >0且 a ≠1,下列说法正确的是(  )
A. 若 M = N ,则log aM =log aN
B. 若log aM =log aN ,则 M = N
C. 若log aM2=log aN2,则 M = N
D. 若 M = N ,则log aM2=log aN2
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解析: A中,因为零和负数没有对数,所以当 M = N ≤0时,
M 、 N 没有对数,故A错误;B中,由log aM =log aN 知 M = N >
0,故B正确;C中,由log aM2=log aN2知 M2= N2>0,所以 M =±
N ≠0,故C错误;D中,当 M = N =0时, M 、 N 没有对数,故D
错误.故选B.
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12. (2021·全国甲卷4题)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力
情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力
数据,五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L =5+lg
V . 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数
记录法的数据约为( ≈1.259)(  )
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
解析: 4.9=5+lg V lg V =-0.1 V =1 = ≈
≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
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13. (1)若 a =log102, b =log103,则10 =    ;
解析:因为 a =log102,所以10 a =2.因为 b =log103,
所以10 b =3.所以10 = = .
(2)若 a >0, = ,则lo a = .
解析:由 = ,得( )2=( )2,即 a =( )2,所以lo a =lo ( )2=2.
 
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14. 若 x 满足(log2 x )2-2log2 x -3=0,求 x 的值.
解:设 t =log2 x ,则原方程可化为 t2-2 t -3=0,
解得 t =3或 t =-1,所以log2 x =3或log2 x =-1,
所以 x =23=8或 x =2-1= .
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15. 设 a , b , c 为正数,且满足 a2+ b2= c2,若log16( a + b - c )=
,log5(2 a + b - c )=1,求 a , b , c 的值.
解:因为log16( a + b - c )= ,
所以 a + b - c =2, ①
因为log5(2 a + b - c )=1,
所以2 a + b - c =5, ②
由②-①得 a =3,将 a =3代入①得 c - b =1,
又因为 a2+ b2= c2,所以 b =4, c =5.
综上, a =3, b =4, c =5.
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