第1课时 对数的运算性质
1.lg－2lg ＋lg＝（ ）
A.lg 2 B.lg 3
C.lg 4 D.lg 5
2.log50.25＋2log510＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
3.lg 2－lg－eln 2＝（ ）
A.－1 B.
C.3 D.－5
4.（2024·盐城东元中学期中）设lg 3＝a，10b＝5，则lg＝（ ）
A. B.
C.3a－2b－1 D.3a＋2b－2
5.（多选）若a＞0，a≠1，x＞0，n∈N*，则下列各式中正确的有（ ）
A.（logax）n＝nlogax
B.logax＝－loga
C.（logax）n＝logaxn
D.＝loga
6.（多选）已知f（x）＝log5x，则对任意的a，b∈（0，＋∞），下列关系成立的是（ ）
A.f（ab）＝f（a）＋f（b）
B.f（ab）＝f（a）f（b）
C.f（）＝f（a）＋f（b）
D.f（）＝f（a）－f（b）
7.已知3a＝2，3b＝，则2a－b＝ .
8.已知xlog32＝1，则2x＋2－x的值是 .
9.若lg x＋lg y＝2lg（x－2y），则＝ .
10.计算下列各式的值：
（1）lg－lg＋lg；
（2）lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋（lg 2）2；
（3）.
11.设alog34＝2，则4－a＝（ ）
A. B.
C. D.
12.已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则logx（abc）＝（ ）
A. B.
C. D.
13.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2（1＋）＋log2（1＋）＝ .
14.已知18a＝9，log185＝b，试用a，b表示log18.
15.设a，b，c为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2－2x＋log2（c2－b2）－2log2a＋1＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
第1课时 对数的运算性质
1.A lg －2lg ＋lg ＝lg（÷×）＝lg 2.故选A.
2.C 原式＝log50.25＋log5100＝log525＝2.故选C.
3.A 原式＝lg（2÷）－2＝－1.故选A.
4.D 因为10b＝5，所以lg 5＝b，又lg 3＝a，所以lg＝lg＝3lg 3－2lg 2＝3a－2（1－lg 5）＝3a－2（1－b）＝3a＋2b－2.故选D.
5.BD 根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM（M＞0，a＞0，a≠1）知B、D正确.故选B、D.
6.AD ∵f（x）＝log5x，a，b∈（0，＋∞），∴f（ab）＝log5（ab）＝log5a＋log5b＝f（a）＋f（b），故A正确；f（）＝log5＝log5a－log5b＝f（a）－f（b），故D正确.故选A、D.
7.log320 解析：∵3a＝2，3b＝，∴a＝log32，b＝log3，∴2a－b＝2log32－log3＝log3（22÷）＝log320.
8. 解析：由xlog32＝1，可知log32x＝1，即2x＝3，故2x＋2－x＝3＋＝.
9.4 解析：因为lg x＋lg y＝lg（xy）＝2lg（x－2y）＝lg（x－2y）2，所以由xy＝（x－2y）2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
10.解：（1）法一 原式＝（5lg 2－2lg 7）－×lg 2＋（2lg 7＋lg 5）
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝（lg 2＋lg 5）＝lg 10＝.
法二 原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg（×）＝lg＝.
（2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝2（lg 5＋lg 2）＋（lg 5）2＋2lg 5×lg 2＋（lg 2）2＝2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
（3）原式＝＝＝＝＝1.
11.B 因为alog34＝2，所以log34a＝2，即32＝4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.
12.D x＝a2＝b＝c4，所以（abc）4＝x7，所以abc＝，即logx（abc）＝logx＝，故选D.
13.1 解析：原式＝log2＋log2＝log2（·）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1.
14.解：因为18a＝9，所以a＝log189，又b＝log185，
所以log18＝log1845－log1836
＝log18（5×9）－log18（18×18÷9）
＝log185＋log189－log18182＋log189
＝b＋a－2＋a
＝2a＋b－2.
15.解：由题意得Δ＝4－4log2（c2－b2）＋8log2a－4＝0，
∴2log2a＝log2（c2－b2）.∴a2＝c2－b2，
故有a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形.
1 / 24.2.2 对数的运算性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导的过程和成立条件 逻辑推理
2.能熟练运用对数的运算性质化简求值 数学运算
3.掌握换底公式及其推论 逻辑推理、数学运算
第1课时 对数的运算性质
对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算的性质？
【问题】 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？
（1）log2（4×8），log24＋log28；
（2）log2，log232－log24；
（3）log225，5log22.
知识点 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，那么：
（1）loga（MN）＝ ；
（2）loga＝ ；
（3）logaMn＝ .
提醒 （1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性质（1）可以推广为：loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*.
【想一想】
loga（M±N）＝logaM±logaN成立吗？两个正数的和与差的对数能否用这两个正数的对数表示？
1.log84＋log82＝ .
2.log510－log52＝ .
3.设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg 6.
题型一 对数式的化简与求值
【例1】 （链接教科书第90页例4）求下列各式的值：
（1）log2（25×42）；（2）log5625；
（3）log3e＋log3；（4）lg 50－lg 5.
通性通法
对数式的化简与求值
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
【跟踪训练】
计算下列各式的值：
（1）log3（27×92）；（2）lg 5＋lg 2；
（3）ln 3＋ln；（4）log35－log315.
题型二 利用对数运算性质化简与求值
【例2】 求下列各式的值：
（1）log535－2log5＋log57－log51.8；
（2）（lg 5）2＋2lg 2－（lg 2）2.
通性通法
利用对数运算性质化简与求值的方法
（1）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），即公式的正用；
（2）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式的逆用；
（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1）；
（2）（lg 2）2＋lg 5×lg 20＋lg 0.1.
题型三 对数式的表示问题
【例3】 （链接教科书第91页练习4题）设lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示下列各对数：
（1）lg 24；（2）lg；（3）lg.
通性通法
用已知对数式表示待求对数式的一般思路
（1）将待求对数式利用对数的运算性质转化，变为用已知对数式表示的形式；
（2）灵活运用对数的运算性质进行有目标的变形和化简是关键.
【跟踪训练】
1.已知a＝lg 2，b＝lg 3，则lg 15＝ .（用a，b表示）
2.用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
（1）lg（xyz）；
（2）lg.
1.下列等式成立的是（ ）
A.log223＝3log22
B.log2（8＋4）＝log28＋log24
C.log2（8－4）＝log28－log24
D.＝log2
2.（2024·连云港东海县期中）＋＋lg＋2lg 2＝ .
3.已知a＝log32，那么log38－2log36可用a表示为 .
第1课时 对数的运算性质
【基础知识·重落实】
知识点
（1）logaM＋logaN （2）logaM－logaN
（3）nlogaM
想一想
提示：不成立；求两个正数的和与差的对数，没有运算法则，只能先求出它们的和与差，并且满足差为正数才能求对数.
自我诊断
1.1 解析：log84＋log82＝log8（4×2）＝log88＝1.
2.1 解析：log510－log52＝log5＝log55＝1.
3.解：lg 6＝lg（2×3）＝lg 2＋lg 3＝a＋b.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）log2（25×42）＝log225＋log242＝5＋2log24＝5＋4＝9.
（2）log5625＝log554＝4log55＝4.
（3）log3e＋log3＝log3（e·）＝log31＝0.
（4）lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
跟踪训练
解：（1）法一 log3（27×92）＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7.
法二 log3（27×92）＝log3（33×34）＝log337＝7log33＝7.
（2）lg 5＋lg 2＝lg（5×2）＝lg 10＝1.
（3）ln 3＋ln ＝ln（3×）＝ln 1＝0.
（4）log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.
【例2】 解：（1）原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
（2）原式＝（lg 5）2＋（2－lg 2）lg 2
＝（lg 5）2＋（1＋lg 5）lg 2
＝（lg 5）2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝（lg 5＋lg 2）·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
跟踪训练
解：（1）原式＝＝＝.
（2）原式＝（lg 2）2＋（1－lg 2）×（1＋lg 2）－1＝（lg 2）2＋1－（lg 2）2－1＝0.
【例3】 解：（1）lg 24＝lg（3×8）＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2＝b＋3a.
（2）lg＝lg 27－lg 4＝3lg 3－2lg 2＝3b－2a.
（3）lg＝lg 50－lg 27＝lg－lg 33＝2－lg 2－3lg 3＝2－a－3b.
跟踪训练
1.1＋b－a 解析：lg 15＝lg＝lg 10＋lg 3－lg 2＝1＋b－a.
2.解：（1）lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lg z.
（2）lg＝lg －lg（y2z）＝lg －（lg y2＋lg z）＝lg x－2lg y－lg z.
随堂检测
1.A 对于A，log223＝3log22，故A正确；对于B，log2（8＋4）＝log212，故B错误；对于C，log2（8－4）＝log24＝log222＝2log22＝2，故C错误；对于D，＝＝＝，log2＝log22＝1，故D错误.故选A.
2.30 解析：＋＋lg＋2lg 2＝2＋33＋lg（×22）＝2＋27＋1＝30.
3.a－2 解析：原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
3 / 3(共48张PPT)
4.2.2 对数的运算性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导的
过程和成立条件 逻辑推理
2.能熟练运用对数的运算性质化简求值 数学运算
3.掌握换底公式及其推论 逻辑推理、数学
运算
第1课时 对数的运算性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我
们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算
的性质？
【问题】 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数
的运算性质吗？
（1）log2（4×8），log24＋log28；
（2）log2 ，log232－log24；
（3）log225，5log22.
知识点 对数的运算性质
若 a ＞0，且 a ≠1， M ＞0， N ＞0， n ∈R，那么：
（1）log a （ MN ）＝ ；
（2）log a ＝ ；
log aM ＋log aN
log aM －log aN
（3）log aMn ＝ .
n log aM
提醒 （1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是
M ＞0， N ＞0，而不是 MN ＞0，比如式子log2[（－2）·（－
3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性
质（1）可以推广为：log a （ N1· N2·…· Nk ）＝log aN1＋log aN2
＋…＋log aNk ，其中 Nk ＞0， k ∈N*.
【想一想】
log a （ M ± N ）＝log aM ±log aN 成立吗？两个正数的和与差的对数
能否用这两个正数的对数表示？
提示：不成立；求两个正数的和与差的对数，没有运算法则，只能先
求出它们的和与差，并且满足差为正数才能求对数.
1. log84＋log82＝ .
解析：log84＋log82＝log8（4×2）＝log88＝1.
2. log510－log52＝ .
解析：log510－log52＝log5 ＝log55＝1.
3. 设 a ＝lg 2， b ＝lg 3，试用 a ， b 表示lg 6.
解：lg 6＝lg（2×3）＝lg 2＋lg 3＝ a ＋ b .
1
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数式的化简与求值
【例1】 （链接教科书第90页例4）求下列各式的值：
（1）log2（25×42）；
解：log2（25×42）＝log225＋log242＝5＋2log24＝5＋4＝9.
（2）log5625；
解：log5625＝log554＝4log55＝4.
（3）log3e＋log3 ；
解：log3e＋log3 ＝log3（e· ）＝log31＝0.
（4）lg 50－lg 5.
解：lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
通性通法
对数式的化简与求值
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪
种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则
进行.
【跟踪训练】
计算下列各式的值：
（1）log3（27×92）；
解：法一 log3（27×92）＝log327＋log392＝log333＋log334＝
3log33＋4log33＝3＋4＝7.
法二 log3（27×92）＝log3（33×34）＝log337＝7log33＝7.
（2）lg 5＋lg 2；
解：lg 5＋lg 2＝lg（5×2）＝lg 10＝1.
（3）ln 3＋ln ；
解：ln 3＋ln ＝ln（3× ）＝ln 1＝0.
（4）log35－log315.
解：log35－log315＝log3 ＝log3 ＝log33－1＝－1.
题型二 利用对数运算性质化简与求值
【例2】 求下列各式的值：
（1）log535－2log5 ＋log57－log51.8；
解：原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－log5 ＝
log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2log55＝2.
（2）（lg 5）2＋2lg 2－（lg 2）2.
解：原式＝（lg 5）2＋（2－lg 2）lg 2
＝（lg 5）2＋（1＋lg 5）lg 2
＝（lg 5）2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝（lg 5＋lg 2）·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
通性通法
利用对数运算性质化简与求值的方法
（1）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两个对数的和（差），
即公式的正用；
（2）“收”：将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对
数，即公式的逆用；
（3）“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进
行计算或化简.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（2）（lg 2）2＋lg 5×lg 20＋lg 0.1.
解：原式＝（lg 2）2＋（1－lg 2）×（1＋lg 2）－1＝（lg 2）2
＋1－（lg 2）2－1＝0.
题型三 对数式的表示问题
【例3】 （链接教科书第91页练习4题）设lg 2＝ a ，lg 3＝ b ，用
a ， b 表示下列各对数：
（1）lg 24；
解：lg 24＝lg（3×8）＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2＝ b ＋3 a .
（2）lg ；
解：lg ＝lg 27－lg 4＝3lg 3－2lg 2＝3 b －2 a .
（3）lg .
解：lg ＝lg 50－lg 27＝lg －lg 33＝2－lg 2－3lg 3＝2－ a －3 b .
通性通法
用已知对数式表示待求对数式的一般思路
（1）将待求对数式利用对数的运算性质转化，变为用已知对数式表
示的形式；
（2）灵活运用对数的运算性质进行有目标的变形和化简是关键.
【跟踪训练】
1. 已知 a ＝lg 2， b ＝lg 3，则lg 15＝ .（用 a ， b 表示）
解析：lg 15＝lg ＝lg 10＋lg 3－lg 2＝1＋ b － a .
1＋ b － a
2. 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
（1）lg（ xyz ）；
解：lg（ xyz ）＝lg x ＋lg y ＋lg z .
（2）lg .
解：lg ＝lg －lg（ y2 z ）＝lg －（lg y2＋lg z ）＝ lg x
－2lg y －lg z .
1. 下列等式成立的是（ ）
A. log223＝3log22
B. log2（8＋4）＝log28＋log24
C. log2（8－4）＝log28－log24
解析： 对于A，log223＝3log22，故A正确；对于B，log2（8＋
4）＝log212，故B错误；对于C，log2（8－4）＝log24＝log222＝
2log22＝2，故C错误；对于D， ＝ ＝ ＝ ，log2 ＝
log22＝1，故D错误.故选A.
2. （2024·连云港东海县期中） ＋ ＋lg ＋2lg 2＝ .
解析： ＋ ＋lg ＋2lg 2＝2＋33＋lg（ ×22）＝2＋27＋1
＝30.
3. 已知 a ＝log32，那么log38－2log36可用 a 表示为 .
解析：原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝ a －2.
30
a －2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. lg －2lg ＋lg ＝（ ）
A. lg 2 B. lg 3
C. lg 4 D. lg 5
解析： lg －2lg ＋lg ＝lg（ ÷ × ）＝lg 2.故选A.
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2. log50.25＋2log510＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： 原式＝log50.25＋log5100＝log525＝2.故选C.
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3. lg 2－lg －eln 2＝（ ）
A. －1
C. 3 D. －5
解析： 原式＝lg（2÷ ）－2＝－1.故选A.
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4. （2024·盐城东元中学期中）设lg 3＝ a ，10 b ＝5，则lg ＝（ ）
C. 3 a －2 b －1 D. 3 a ＋2 b －2
解析： 因为10 b ＝5，所以lg 5＝ b ，又lg 3＝ a ，所以lg ＝lg
＝3lg 3－2lg 2＝3 a －2（1－lg 5）＝3 a －2（1－ b ）＝3 a ＋2 b －
2.故选D.
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5. （多选）若 a ＞0， a ≠1， x ＞0， n ∈N*，则下列各式中正确的有
（ ）
A. （log ax ） n ＝ n log ax
C. （log ax ） n ＝log axn
解析： 根据对数的运算性质log aMn ＝ n log aM （ M ＞0， a ＞
0， a ≠1）知B、D正确.故选B、D.
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6. （多选）已知 f （ x ）＝log5 x ，则对任意的 a ， b ∈（0，＋∞），
下列关系成立的是（ ）
A. f （ ab ）＝ f （ a ）＋ f （ b ）
B. f （ ab ）＝ f （ a ） f （ b ）
解析：∵ f （ x ）＝log5 x ， a ， b ∈（0，＋∞），∴ f （ ab ）＝log5（ ab ）＝log5 a ＋log5 b ＝ f （ a ）＋ f （ b ），故A正确； f （ ）＝log5 ＝log5 a －log5 b ＝ f （ a ）－ f （ b ），故D正确.故选A、D.
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7. 已知3 a ＝2，3 b ＝ ，则2 a － b ＝ .
解析：∵3 a ＝2，3 b ＝ ，∴ a ＝log32， b ＝log3 ，∴2 a － b ＝
2log32－log3 ＝log3（22÷ ）＝log320.
log320
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8. 已知 x log32＝1，则2 x ＋2－ x 的值是 .
解析：由 x log32＝1，可知log32 x ＝1，即2 x ＝3，故2 x ＋2－ x ＝3＋
＝ .
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9. 若lg x ＋lg y ＝2lg（ x －2 y ），则 ＝ .
解析：因为lg x ＋lg y ＝lg（ xy ）＝2lg（ x －2 y ）＝lg（ x －2 y ）2，
所以由 xy ＝（ x －2 y ）2，知 x2－5 xy ＋4 y2＝
0，所以 x ＝ y 或 x ＝4 y .又 x ＞0， y ＞0且 x －2 y ＞0，所以舍去 x ＝
y ，故 x ＝4 y ，则 ＝4.
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10. 计算下列各式的值：
（1） lg － lg ＋lg ；
解：法一 原式＝ （5lg 2－2lg 7）－ × lg 2＋
（2lg 7＋lg 5）
＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋ lg 5
＝ lg 2＋ lg 5＝ （lg 2＋lg 5）＝ lg 10＝ .
法二 原式＝lg －lg 4＋lg 7 ＝lg ＝lg（ × ）＝lg ＝ .
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（2）lg 25＋ lg 8＋lg 5×lg 20＋（lg 2）2；
解：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2
＝2（lg 5＋lg 2）＋（lg 5）2＋2lg 5×lg 2＋（lg 2）2
＝2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
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（3） .
解：原式＝ ＝
＝ ＝ ＝1.
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11. 设 a log34＝2，则4－ a ＝（ ）
解析： 因为 a log34＝2，所以log34 a ＝2，即32＝4 a ＝9，所以4－ a ＝ ＝ ，故选B.
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12. 已知log ax ＝2，log bx ＝1，log cx ＝4（ a ， b ， c ， x ＞0且 a ， b ，
c ， x ≠1），则log x （ abc ）＝（ ）
解析： x ＝ a2＝ b ＝ c4，所以（ abc ）4＝ x7，所以 abc ＝ ，
即log x （ abc ）＝log x ＝ ，故选D.
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13. 设 a ， b ， c 为正数，且满足 a2＋ b2＝4 c2，则log2（1＋ ）＋
log2（1＋ ）＝ .
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解析：原式＝log2 ＋log2 ＝log2
（ · ）＝log2 ＝log2 ＝
log2 ＝log22＝1.
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14. 已知18 a ＝9，log185＝ b ，试用 a ， b 表示log18 .
解：因为18 a ＝9，所以 a ＝log189，又 b ＝log185，
所以log18 ＝log1845－log1836
＝log18（5×9）－log18（18×18÷9）
＝log185＋log189－log18182＋log189
＝ b ＋ a －2＋ a
＝2 a ＋ b －2.
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15. 设 a ， b ， c 为△ ABC 的三边的长，且关于 x 的方程 x2－2 x ＋log2
（ c2－ b2）－2log2 a ＋1＝0有两个相等的实数根，试判断△ ABC
的形状.
解：由题意得Δ＝4－4log2（ c2－ b2）＋8log2 a －4＝0，
∴2log2 a ＝log2（ c2－ b2）.∴ a2＝ c2－ b2，
故有 a2＋ b2＝ c2，
∴△ ABC 为直角三角形.
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