第2课时 换底公式及对数的应用
1.化简log612－2log6＝（ ）
A.6 B.12
C.log6 D.
2.log29×log34＝（ ）
A. B.
C.2 D.4
3.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝（ ）
A. B.
C. D.
4.＋＝（ ）
A.lg 3 B.－lg 3
C. D.－
5.（多选）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.logab·logcb＝logca
B.logab·logca＝logcb
C.2lg a＋2lg b＝2lg（ab）
D.2lg（ab）＝2lg a·2lg b
6.（多选）若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有（ ）
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
7.计算：lg 25＋lg 2－log29×log32＝ .
8.已知log32＝m，则log3218＝ （用m表示）.
9.已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc＝ .
10.计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo－log5－log514；
（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
11.计算log89×log910×log1011×…×log3132的结果为（ ）
A.4 B. C. D.
12.（多选）已知2a＝3，b＝log32，则（ ）
A.ab＝1
B.a＋b＞2
C.3b＋3－b＝
D.＝log912
13.已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝ .
14.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝y与声压P的函数关系式；
（2）某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
15.已知正实数u，v，w均不等于1，若loguvw＋logvw＝5，logvu＋logwv＝3，求logwu的值.
第2课时 换底公式及对数的应用
1.C 原式＝log6－log62＝log6＝log6，故选C.
2.D 法一 原式＝×＝＝4.
法二 原式＝2log23×＝2×2＝4.故选D.
3.B 因为lg 2＝a，lg 3＝b，所以log36＝＝＝.故选B.
4.C 原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo（＋lo＝lo（×）＝lo＝＝＝.
5.BD log24×log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg（ab）＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误.
6.AB a＝log210，b＝log510，A中，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；B中，＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；C和D中，＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D错误.故选A、B.
7.－1 解析：lg 25＋lg 2－log29×log32＝lg 5＋lg 2－2log23×log32＝1－2＝－1.
8. 解析：log3218＝＝＝＝.
9.1 解析：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1.
10.解：（1）原式＝log535＋log550－log514＋2lo
＝log5＋lo2
＝log553－1＝2.
（2）法一 原式＝（log253＋＋）·（log52＋＋）
＝（3log25＋＋）（log52＋＋）
＝（3＋1＋）log25·3log52＝13log25·＝13.
法二 原式＝（＋＋）·（＋＋）＝（＋＋）（＋＋）＝·＝13.
11.B log89×log910×log1011×…×log3132
＝×××…×＝＝＝，故选B.
12.ABD ∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23×log32＝1，故A正确；a＋b＞2＝2，故B正确；3b＋3－b＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正确.故选A、B、D.
13.2或 解析：令t＝logab，则t＋＝，∴2t2－5t＋2＝0，即（2t－1）（t－2）＝0，解得t＝或t＝2，∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b，∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2，∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4，∴＝2或＝.
14.解：（1）由已知得y＝20lg （其中P0＝2×10－5）.
（2）当P＝0.002 时，y＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良.
15.解：令loguv＝a，logvw＝b，
则logvu＝，logwv＝，
则loguvw＝loguv＋loguv·logvw＝a＋ab，
即a＋ab＋b＝5，＋＝3，则ab＝，
因此logwu＝logwv·logvu＝.
1 / 2第2课时 换底公式及对数的应用
利用计算器可以求出一些常用对数的值，例如：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1.
【问题】 （1）已知lg 2，lg 3的值，如何求log23的值（结果保留四位小数）？
（2）已知lg 2，lg 3的值，如何求log35的值（结果保留四位小数）？
知识点 换底公式
1.换底公式
logaN＝ （a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1）.
2.几个常用推论
（1）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，n≠0）；
（2）lobn＝logab（a＞0，a≠1，b＞0，m≠0，n∈R）；
（3）logab＝（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）；
（4）logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）.
提醒 （1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；（2）在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝.
【想一想】
换底公式中底数c是特定数还是任意数？
1.＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.log29×log32＝ .
3.log48＝ .
题型一 利用换底公式化简求值
【例1】 （链接教科书第92页例8）求log89×log2732的值.
通性通法
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
1.计算：＝ .
2.计算：＝ .
题型二 用已知对数表示其他对数
【例2】 （链接教科书第99页13题）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
通性通法
用已知对数的值表示所求对数的值的注意点
（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
（3）注意一些派生公式的使用.
【跟踪训练】
（2024·徐州期中）设a＝lg 6，b＝lg 20，则log43＝（ ）
A. B.
C. D.
题型三 对数的实际应用
【例3】 （链接教科书第92页例10）一种放射性物质不断变化为其他物质，若这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量为y＝0.75x，估计经过多少年，该物质的剩余量是原来的？（结果精确到个位，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
通性通法
关于对数运算在实际问题中的应用
（1）在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算；
（2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
【跟踪训练】
标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是（lg 3≈0.477）（ ）
A.10－37 B.10－36
C.10－35 D.10－34
1.（2024·淮安期中）已知2a＝5，则lg 2＝（ ）
A. B.
C. D.
2.（多选）下列等式成立的是（ ）
A.log54＝
B.log916×log881＝
C.log54＝
D.lo＋lo＝－lg 3
3.（2024·连云港期末）log927＝ .
4.已知2x＝3，log4＝y，求x＋2y的值.
第2课时 换底公式及对数的应用
【基础知识·重落实】
知识点
1.
想一想
提示：c是大于0且不等于1的任意数.
自我诊断
1.B ＝log39＝2.故选B.
2.2 解析：log29×log32＝×＝＝2.
3. 解析：log48＝lo23＝log22＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 log89×log2732＝×＝×＝.
法二 log89×log2732＝×＝×＝.
法三 log89×log2732＝lo32×lo25＝log23×log32＝×＝.
跟踪训练
1. 解析：法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即＝＝·＝.
法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即＝＝＝.
2.－ 解析：原式＝lo×lo9＝lo×3lo32＝－log32×3log23＝－.
【例2】 解：∵18b＝5，∴log185＝b，又log189＝a，∴log3645＝＝＝＝＝.
跟踪训练
C a＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b＝lg 20＝lg 10＋lg 2＝1＋lg 2，联立方程组解得lg 2＝b－1，lg 3＝a－b＋1，则log43＝＝＝.故选C.
【例3】 解：依题意，得＝0.75x，即x＝＝＝≈≈4，
故大约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
跟踪训练
B 根据题意，对取常用对数得lg ＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近.
随堂检测
1.C 由2a＝5得，a＝log25＝＝，则lg 2＝.故选C.
2.AB 由换底公式的定义知，A成立，C不成立；log916×log881＝×＝×＝，故B成立；lo＋lo＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝≠－lg 3，故D不成立.故选A、B.
3. 解析：log927＝lo33＝log33＝.
4.解：因为x＝log23，y＝（log28－log23）＝（3－log23），
所以x＋2y＝log23＋3－log23＝3.
2 / 3(共47张PPT)
第2课时
换底公式及对数的应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
利用计算器可以求出一些常用对数的值，例如：lg 2≈0.301 0，lg
3≈0.477 1.
【问题】 （1）已知lg 2，lg 3的值，如何求log23的值（结果保留四
位小数）？
（2）已知lg 2，lg 3的值，如何求log35的值（结果保留四位小数）？
知识点 换底公式
1. 换底公式
log aN ＝ （ a ＞0， a ≠1， N ＞0， c ＞0， c ≠1）.
2. 几个常用推论
（1）lo bn ＝log ab （ a ＞0， a ≠1， b ＞0， n ≠0）；
（2）lo bn ＝ log ab （ a ＞0， a ≠1， b ＞0， m ≠0， n∈R）；
（3）log ab ＝ （ a ＞0， a ≠1； b ＞0， b ≠1）；
（4）log ab ·log ba ＝1（ a ＞0， a ≠1； b ＞0， b ≠1）.
提醒 （1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；
（2）在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即
log ab ＝ 或log ab ＝ .
【想一想】
换底公式中底数 c 是特定数还是任意数？
提示： c 是大于0且不等于1的任意数.
1. ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： ＝log39＝2.故选B.
2. log29×log32＝ .
解析：log29×log32＝ × ＝ ＝2.
3. log48＝ .
解析：log48＝lo 23＝ log22＝ .
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用换底公式化简求值
【例1】 （链接教科书第92页例8）求log89×log2732的值.
解：法一 log89×log2732＝ × ＝ × ＝ .
法二 log89×log2732＝ × ＝ × ＝ .
法三 log89×log2732＝lo 32×lo 25＝ log23× log32＝ × ＝
.
通性通法
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
1. 计算： ＝ .
解析：法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，即
＝ ＝ · ＝ .
法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，即 ＝ ＝
＝ .
2. 计算： ＝ － .
解析：原式＝lo ×lo 9＝lo ×3lo 32＝－
log32×3log23＝－ .
－
题型二 用已知对数表示其他对数
【例2】 （链接教科书第99页13题）已知log189＝ a ，18 b ＝5，用
a ， b 表示log3645.
解：∵18 b ＝5，∴log185＝ b ，又log189＝ a ，∴log3645＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
用已知对数的值表示所求对数的值的注意点
（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
（3）注意一些派生公式的使用.
【跟踪训练】
（2024·徐州期中）设 a ＝lg 6， b ＝lg 20，则log43＝（ ）
解析： a ＝lg 6＝lg 2＋lg 3， b ＝lg 20＝lg 10＋lg 2＝1＋lg 2，联
立方程组解得lg 2＝ b －1，lg 3＝ a － b ＋1，则log43
＝ ＝ ＝ .故选C.
题型三 对数的实际应用
【例3】 （链接教科书第92页例10）一种放射性物质不断变化为其
他物质，若这种放射性物质最初的质量是1，经过 x 年后，剩余量为 y
＝0.75 x ，估计经过多少年，该物质的剩余量是原来的 ？（结果精确
到个位，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：依题意，得 ＝0.75 x ，即 x ＝ ＝ ＝ ≈
≈4，
故大约经过4年，该物质的剩余量是原来的 .
通性通法
关于对数运算在实际问题中的应用
（1）在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将
相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算；
（2）在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，
转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
【跟踪训练】
标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现
“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋
学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得
出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，
下列数据最接近 的是（lg 3≈0.477）（ ）
A. 10－37 B. 10－36
C. 10－35 D. 10－34
解析： 根据题意，对 取常用对数得lg ＝lg 3361－lg
10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则 ≈10－35.8，选项B中的
10－36与其最接近.
1. （2024·淮安期中）已知2 a ＝5，则lg 2＝（ ）
解析： 由2 a ＝5得， a ＝log25＝ ＝ ，则lg 2＝ .
故选C.
2. （多选）下列等式成立的是（ ）
解析： 由换底公式的定义知，A成立，C不成立；
log916×log881＝ × ＝ × ＝ ，故B成立；lo ＋lo
＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝ ≠－lg 3，故D不成
立.故选A、B.
3. （2024·连云港期末）log927＝
解析：log927＝lo 33＝ log33＝ .
4. 已知2 x ＝3，log4 ＝ y ，求 x ＋2 y 的值.
解：因为 x ＝log23， y ＝ （log28－log23）＝ （3－log23），
所以 x ＋2 y ＝log23＋3－log23＝3.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 log612－2log6 ＝（ ）
解析： 原式＝log6 －log62＝log6 ＝log6 ，故选C.
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2. log29×log34＝（ ）
C. 2 D. 4
解析： 法一 原式＝ × ＝ ＝4.
法二 原式＝2log23× ＝2×2＝4.故选D.
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3. 已知lg 2＝ a ，lg 3＝ b ，则log36＝（ ）
解析： 因为lg 2＝ a ，lg 3＝ b ，所以log36＝ ＝ ＝
.故选B.
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4. ＋ ＝（ ）
A. lg 3 B. －lg 3
解析： 原式＝lo ＋lo ＝ lo ＋lo ＝lo （ ＋
lo ＝lo （ × ）＝lo ＝ ＝ ＝ .
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5. （多选）设 a ， b ， c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立
的是（ ）
A. log ab ·log cb ＝log ca B. log ab ·log ca ＝log cb
C. 2lg a ＋2lg b ＝2lg（ ab） D. 2lg（ ab）＝2lg a ·2lg b
解析： log24×log164＝2× ＝1≠log162＝ ，因而A错误；log
ab ·log ca ＝ · ＝ ＝log cb ，因而B正确；2lg（ ab）＝2lg a＋lg b ＝2lg
a ·2lg b ，故D正确，C错误.
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6. （多选）若实数 a ， b 满足2 a ＝5 b ＝10，则下列关系正确的有
（ ）
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解析： a ＝log210， b ＝log510，A中， ＋ ＝ ＋
＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；B中， ＋ ＝ ＋ ＝lg 4＋lg
5＝lg 20，故B正确；C和D中， ＋ ＝ ＋ ＝lg 2＋lg 25
＝lg 50，故C、D错误.故选A、B.
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7. 计算： lg 25＋lg 2－log29×log32＝ .
解析： lg 25＋lg 2－log29×log32＝lg 5＋lg 2－2log23×log32＝1－
2＝－1.
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8. 已知log32＝ m ，则log3218＝ （用 m 表示）.
解析：log3218＝ ＝ ＝ ＝ .
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9. 已知 a ， b ， c 是不等于1的正数，且 ax ＝ by ＝ cz ， ＋ ＋ ＝0，
则 abc ＝ .
解析：设 ax ＝ by ＝ cz ＝ t ，则 x ＝log at ， y ＝log bt ， z ＝log ct ，∴
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝log ta ＋log tb ＋log tc ＝log t （ abc ）
＝0，∴ abc ＝ t0＝1.
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10. 计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo －log5 －log514；
解：原式＝log535＋log550－log514＋2lo
＝log5 ＋lo 2
＝log553－1＝2.
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（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
解：法一 原式＝（log253＋ ＋ ）·（log52＋ ＋ ）
＝（3log25＋ ＋ ）（log52＋ ＋ ）
＝（3＋1＋ ）log25·3log52＝13log25· ＝13.
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法二 原式＝（ ＋ ＋ ）（ ＋ ＋ ）＝（ ＋
＋ ）（ ＋ ＋ ）＝ · ＝13.
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11. 计算log89×log910×log1011×…×log3132的结果为（ ）
A. 4
解析： log89×log910×log1011×…×log3132
＝ × × ×…× ＝ ＝ ＝ ，故选B.
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12. （多选）已知2 a ＝3， b ＝log32，则（ ）
A. ab ＝1 B. a ＋ b ＞2
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解析： ∵2 a ＝3，∴ a ＝log23，∵ b ＝log32，∴ ab ＝
log23×log32＝1，故A正确； a ＋ b ＞2 ＝2，故B正确；3 b ＋3
－ b ＝2＋ ＝ ，故C错误； ＝ ＝ ＝ ＋ ＝
log32＋log3 ＝log32 ＝ ＝2log9 ＝log912，故D正
确.故选A、B、D.
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13. 已知 a ， b 均为正实数，若log ab ＋log ba ＝ ， ab ＝ ba ，则 ＝
.
解析：令 t ＝log ab ，则 t ＋ ＝ ，∴2 t2－5 t ＋2＝0，即（2 t －1）
（ t －2）＝0，解得 t ＝ 或 t ＝2，∴log ab ＝ 或log ab ＝2，∴ a ＝
b2或 a2＝ b ，∵ ab ＝ ba ，代入得2 b ＝ a ＝ b2或 b ＝2 a ＝ a2，∴ b ＝
2， a ＝4或 a ＝2， b ＝4，∴ ＝2或 ＝ .
2或
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14. 分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描
述声音的大小：把一很小的声压 P0＝2×10－5帕作为参考声压，
把所要测量的声压 P 与参考声压 P0的比值取常用对数后乘20得到
的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是
分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，
60～110为过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝 y 与声压 P 的函数关系式；
解：由已知得 y ＝20lg （其中 P0＝2×10－5）.
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（2）某地声压 P ＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音
环境是否优良？
解：当 P ＝0.002 时， y ＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良.
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15. 已知正实数 u ， v ， w 均不等于1，若log uvw ＋log vw ＝5，log vu ＋
log wv ＝3，求log wu 的值.
解：令log uv ＝ a ，log vw ＝ b ，
则log vu ＝ ，log wv ＝ ，
则log uvw ＝log uv ＋log uv ·log vw ＝ a ＋ ab ，
即 a ＋ ab ＋ b ＝5， ＋ ＝3，则 ab ＝ ，
因此log wu ＝log wv ·log vu ＝ .
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