(共64张PPT)
5.1 函数的概念和图象
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础
上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的
函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数
学运算
第1课时 函数的概念
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太
阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化
不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一
个变量变化时，另一个变量随之发生变化.
【问题】 （1）这两个变量之间存在怎样的关系？
（2）在初中我们对这两个变量之间的关系是如何定义的？
知识点一 函数的有关概念
函数的概
念 给定两个 实数集合 A 和 B ，如果按照某种对应关
系 f ，对于集合 A 中的 实数 x ，在集合 B 中都
有 的实数 y 和它对应，那么就称 f ： A → B 为从
集合 A 到集合 B 的一个函数
函数的 记法 y ＝ f （ x ）， x ∈ A
非空
每一个
唯一
定义域 x 叫作 ，集合 A 叫作函数的定义域
值域 若 A 是函数 y ＝ f （ x ）的定义域，则对于 A 中的每一个 x
（输入值），都有一个 y （输出值）与之对应.我们将所
有输出值 y 组成的集合 称为
函数的值域
自变量
{ y ｜ y ＝ f （ x ）， x ∈ A }
提醒 （1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，
即对于非空实数集 A 中的任意一个（任意性）元素 x ，在非空实数集 B
中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素 y 与之对应；（2）函数符号
“ y ＝ f （ x ）”是数学符号之一，不表示 y 等于 f 与 x 的乘积， f （ x ）
也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；
（3）除 f （ x ）外，有时还用 g （ x ）， u （ x ）， F （ x ）， G （ x ）
等符号表示函数.
【想一想】
1. 在函数的概念中，如果函数 y ＝ f （ x ）的定义域与对应关系确定，
那么函数的值域确定吗？
提示：确定.
2. 函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？
提示：不能.
知识点二 同一个函数
前提条件 相同
相同
结论 这两个函数是同一个函数
定义域
对应关系
【想一想】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个
函数.
1. 如图，不能表示函数关系的是（ ）
解析： 由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数.
2. 函数 f （ x ）＝ 的定义域是（ ）
A. { x ｜ x ≠4} B. { x ｜ x ＜4}
C. { x ｜ x ≤4} D. { x ｜ x ＞4}
解析： 由4－ x ＞0，解得 x ＜4，所以原函数的定义域为{ x ｜ x
＜4}.故选B.
3. 下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A. f （ x ）＝ x0与 g （ x ）＝1
C. f （ x ）＝2 x ＋1与 g （ x ）＝2 x －1
解析： 对于A， f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0}， g （ x ）的定义
域为R， f （ x ）与 g （ x ）定义域不同，不是同一个函数，A错
误；对于B， f （ x ）与 g （ x ）定义域相同且对应关系也相同，故 f
（ x ）与 g （ x ）是同一个函数，B正确；对于C， f （ x ）与 g
（ x ）对应关系不同， f （ x ）与 g （ x ）不是同一个函数，C错误；
对于D， f （ x ）的定义域是R， g （ x ）的定义域是{ x ｜ x ≠0}，定
义域不同，不是同一个函数，D错误.故选B.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数概念的理解
【例1】 （链接教科书第105页例1）判断下列对应关系是否为集合 A
到集合 B 的函数：
（1） A ＝R， B ＝{ y ｜ y ＞0}， f ： x → y ＝｜ x ｜；
解： A 中的元素0在 B 中没有对应元素，故不是集合 A 到集合 B
的函数.
（2） A ＝Z， B ＝Z， f ： x → y ＝ x2；
解：对于集合 A 中的任意一个整数 x ，按照对应关系 f ： x → y ＝
x2在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2与其对应，故是集合 A
到集合 B 的函数.
（3） A ＝Z， B ＝Z， f ： x → y ＝ ；
解：集合 A 中的负整数没有平方根，在集合 B 中没有对应的元
素，故不是集合 A 到集合 B 的函数.
（4） A ＝{ x ｜－1≤ x ≤1}， B ＝{0}， f ： x → y ＝0.
解：对于集合 A 中任意一个实数 x ，按照对应关系 f ： x → y ＝0
在集合 B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合 A 到集
合 B 的函数.
通性通法
1. 判断对应关系是否为函数的2个条件
（1） A ， B 必须是非空数集；
（2） A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应.
2. 根据图形判断是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于 x 轴的直线 l ；
（2）在定义域内平行移动直线 l ；
（3）若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有
交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
提醒 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，
“一对多”的不是函数关系.
【跟踪训练】
1. 设 M ＝{ x ｜0≤ x ≤2}， N ＝{ y ｜0≤ y ≤2}，给出下列四个图形，
其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是（ ）
解析： A中，因为在集合 M 中当1＜ x ≤2时，在 N 中无元素与
之对应，所以A不是；B中，对于集合 M 中的任意一个数 x ，在 N
中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中， x ＝2对应元素 y ＝3
N ，所以C不是；D中，当 x ＝1时，在 N 中有两个元素与之对应，
所以D不是.故选B.
2. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜0≤ x ≤8}，集合 B ＝{ x ｜0≤ x ≤4}，
则下列对应关系中，能看作是从 A 到 B 的函数的是（ ）
D. f ： x → y ＝ x
解析： 根据函数的定义，对于D，在集合 A 中的部分元素，
在集合 B 中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.
题型二 求具体函数的定义域
【例2】 （链接教科书第105页例2）求下列函数的定义域：
（1） f （ x ）＝ ＋ ；
解：要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足解
得 x ≥1，且 x ≠－1，
即函数的定义域为{ x ｜ x ≥1}.
（2） g （ x ）＝ .
解：由于0的零次幂无意义，故 x ＋1≠0，即 x ≠－1.
又 x ＋2＞0，即 x ＞－2，
所以函数的定义域为{ x ｜ x ＞－2，且 x ≠－1}.
通性通法
求函数定义域的常用方法
（1）若 f （ x ）是分式，则应考虑使分母不为零；
（2）若 f （ x ）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若 f （ x ）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数
集合；
（4）若 f （ x ）是由几个代数式运算构成的，则函数的定义域是使几
个部分都有意义的 x 取值集合的交集；
（5）若 f （ x ）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问
题有意义.
【跟踪训练】
求下列函数的定义域：
（1） y ＝2＋ ；
解：要使函数有意义，则 x －2≠0，即 x ≠2，所以函数的定义
域为{ x ｜ x ≠2}.
（2） y ＝ · ；
解：要使函数有意义，则解得1≤ x ≤3，所以函数
的定义域为{ x ｜1≤ x ≤3}.
（3） y ＝（ x －1）0＋ ；
解：要使函数有意义，则解得 x ＞－1，且 x ≠1，
所以函数的定义域为{ x ｜ x ＞－1，且 x ≠1}.
（4） y ＝ .
解：要使函数有意义，则解得 x ≤5，且 x
≠±3，
所以函数的定义域为{ x ｜ x ≤5，且 x ≠±3}.
题型三 同一个函数的判定
【例3】 （链接教科书第112页习题4题）（多选）下列各组函数中
表示同一个函数的是（ ）
解析： A中， f （ x ）与 g （ t ）的定义域相同，又 g （ t ）＝
＝｜ t ｜，即 f （ x ）与 g （ t ）的对应关系也相同，∴ f （ x ）与 g
（ t ）是同一个函数；B中， y ＝ 的定义域为R， y ＝（ ）2的定
义域为{ x ｜ x ≥0}，两者定义域不同，故 y ＝ 与 y ＝（ ）2不是
同一个函数；C中， y ＝ · 的定义域为{ x ｜－1≤ x
≤1}， y ＝ 的定义域为{ x ｜－1≤ x ≤1}，即两者定义域相同.
又∵ y ＝ · ＝ ，∴两函数的对应关系也相同.故 y
＝ · 与 y ＝ 是同一个函数；D中，∵ y ＝ ＝｜ x －3｜与 y ＝ x －3的定义域相同，但对应关系不同，∴ y ＝ 与 y ＝ x －3不是同一个函数.故选A、C.
通性通法
判断两个函数是否为同一个函数的步骤
提醒 （1）在化简解析式时，必须是等价变形；
（2）与用哪个字母表示无关.
【跟踪训练】
（2024·苏州桃坞中学期中）下面各组函数中是同一个函数的是（ ）
C. f （ x ）＝ x2－2 x －1与 g （ t ）＝ t2－2 t －1
解析： A中，两个函数的定义域都是{ x ｜ x ≤0}， y ＝ ＝－
x ，两个函数的对应关系不相同，不是同一个函数；B中， y ＝
（ ）2＝ x ，定义域为{ x ｜ x ≥0}， y ＝｜ x ｜的定义域为R，两个
函数的定义域不相同，不是同一个函数；C中，两个函数的定义域和
对应关系相同，是同一个函数；D中，由得即
x ≥1，由（ x ＋1）（ x －1）≥0得 x ≥1或 x ≤－1，两个函数的定义
域不相同，不是同一个函数.故选C.
1. （多选） （2024·徐州期中）下列图形可能是函数 y ＝ f （ x ）图象
的是（ ）
解析： 对于选项B、C，对于定义域内每一个 x 都有唯一的
y 与之相对应，满足函数关系，故B、C正确；对于选项A、D，
存在一个 x 有两个 y 与之对应，不满足函数对应的唯一性，故
A、D错误.
2. （2024·江苏扬州中学期中）函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域
为（ ）
B. [－2，＋∞）
D. （－2，＋∞）
解析： 由题意得解得 x ≥－2且 x ≠ ，所以函数
的定义域为［－2， ）∪（ ，＋∞）.故选A.
3. 下列各组函数：
① f （ x ）＝ ， g （ x ）＝ x －1；② f （ x ）＝ ， g （ x ）＝
；③ f （ x ）＝（ x －1）2， g （ t ）＝ t2－2 t ＋1；④ f （ x ）＝ x
＋1， g （ x ）＝ x ＋ x0.其中表示同一个函数的是 （填序号）.
③
解析：① f （ x ）与 g （ x ）的定义域不同，不是同一个函数；② f
（ x ）与 g （ x ）的对应关系不同，不是同一个函数；③虽然表示
自变量的字母不同，但 f （ x ）与 g （ t ）的定义域相同，对应关系
相同，故是同一个函数；④ f （ x ）与 g （ x ）的定义域不同，不是
同一个函数.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 图中给出的四个对应关系，其中能构成函数的是（ ）
A. ①② B. ①④
解析： 根据函数的定义，可以“多对一”“一对一”，但不能
“一对多”，故③不能构成函数；又②中1，4无对应关系，故②也
不能构成函数.故选B.
C. ①②④ D. ③④
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2. 下列函数中定义域为R的是（ ）
B. y ＝（ x －1）0
D. y ＝ x2＋3
解析： A中 x ≥0，B中 x ≠1，C中 x ≠0.故选D.
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3. 下列图形中，不能作为函数图象的是（ ）
解析： C选项中，当 x 取小于或等于0的一个值时，有两个 y 值
与之对应，不符合函数的定义，故选C.
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4. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（ ）
B. { x ｜ x ≥－2}
解析： 依题意得解得即 x ≥－2，且 x ≠
.故选C.
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5. （多选）设 f ： x → x2是集合 A 到集合 B 的函数，如果集合 B ＝
{1}，那么集合 A 可能是（ ）
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0}
解析：由 x2＝1得 x ＝±1，故集合 A ＝{1}或{－1}或{－1，1}.
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6. （多选）（2024·无锡江阴四校期中）下列各组函数中，两个函数
是同一个函数的有（ ）
A. f （ x ）＝1与 g （ m ）＝1
D. f （ x ）＝ x2－1与 g （ x ）＝（ x ＋1）2－2（ x ＋1）
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解析： 对于A，因为 f （ x ）＝1与 g （ m ）＝1的对应关系相
同，定义域均为R，所以 f （ x ）＝1与 g （ m ）＝1是同一个函数，
故A正确；对于B，因为 f （ x ）＝ x2与 g （ x ）＝ ＝ x2的对应关
系相同，定义域均为R，所以 f （ x ）＝ x2与 g （ x ）＝ 是同一
个函数，故B正确；对于C，因为 f （ x ）＝ 的定义域为（1，
＋∞）， g （ x ）＝ 的定义域为[1，＋∞），两者定义域不
同，所以不是同一个函数，故C错误；对于D，因为 f （ x ）＝ x2－1与 g （ x ）＝（ x ＋1）2－2（ x ＋1）＝ x2－1的对应关系相同，定义域均为R，所以 f （ x ）＝ x2－1与 g （ x ）＝（ x ＋1）2－2（ x ＋1）是同一个函数，故D正确.故选A、B、D.
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7. （2024·江苏镇江中学期中）函数 f （ x ）＝ ＋lg（2－ x ）
的定义域为 .
解析：由题意得解得 ≤ x ＜2，所以函数的定义域
为［ ，2）.
［ ，2）
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8. 若函数 f （ x ）与函数 g （ x ）＝ ＋ 是同一个函数，则函
数 f （ x ）的定义域是 .
解析：由得 x ≥2且 x ≠3，故 g （ x ）的定义域是[2，
3）∪（3，＋∞），即为 f （ x ）的定义域.
[2，3）∪（3，＋∞）
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9. 已知集合 M ＝{－1，1，2，4}， N ＝{1，2，4}，给出下列四个对
应关系：① y ＝ x2，② y ＝ x ＋1，③ y ＝ x －1，④ y ＝｜ x ｜，其中
能构成从 M 到 N 的函数的是 （填序号）.
解析： y ＝ x2时， M 中的4在 N 中无元素与它对应； y ＝ x ＋1时， M
中的－1，2，4在 N 中无元素对应； y ＝ x －1时， M 中的－1，1，4
在 N 中无元素对应；只有 y ＝｜ x ｜是符合题意的对应关系.
④
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10. 求下列函数的定义域：
（1） f （ x ）＝ ＋ ＋4；
解：要使函数式有意义，必须满足
即所以 ≤ x ≤ ，所以函数的定义域为 .
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（2） f （ x ）＝ .
解：要使函数式有意义，必须满足即
解得
所以函数的定义域为{ x ｜ x ＜0，且 x ≠－3}.
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11. 若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称
这两个函数为同族函数，那么与函数 y ＝ x2， x ∈{－1，0，1，2}
为同族函数的有（ ）
A. 5个 B. 6个
C. 7个 D. 8个
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解析： 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解
析式为 y ＝ x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－
1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0，
1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－
2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，
2，－2}，共有8种不同的情况.
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12. 下列可以表示以 M ＝{ x ｜0≤ x ≤1}为定义域，以 N ＝{ y ｜0≤ y
≤1}为值域的函数图象是（ ）
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解析： 根据题意，依次分析选项：对于A，其对应函数的值域
不是 N ＝{ y ｜0≤ y ≤1}，A错误；对于B，图象中存在一部分与 x
轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的
定义域为 M ＝{ x ｜0≤ x ≤1}，值域为 N ＝{ y ｜0≤ y ≤1}，C正
确；对于D，图象不满足一个 x 对应唯一的 y ，该图象不是函数的
图象，D错误.故选C.
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13. 函数 y ＝ 的定义域为 ∪ .
解析：要使函数式有意义，需满足：即
所以－2≤ x ≤3且 x ≠ .所以函数的定义域是
∪ .
∪
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14. 若函数 f （ x ）＝ 的定义域为R，求实数 m 的取值范围.
解：要使原函数有意义，必须满足 mx2＋ x ＋3≠0，
由于函数的定义域是R，故 mx2＋ x ＋3≠0对一切实数 x 恒成立.
当 m ＝0时， x ＋3≠0，即 x ≠－3，与 f （ x ）的定义域为R矛盾，
所以 m ＝0不合题意.
当 m ≠0时，有Δ＝12－12 m ＜0，解得 m ＞ .
综上可知， m 的取值范围是（ ，＋∞）.
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15. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）若 f （ x ）的定义域为[－2，1]，求实数 a 的值；
解：当1－ a2＝0时， a ＝±1.
当 a ＝1时， f （ x ）＝ ，定义域为R，不符合题意；
当 a ＝－1时， f （ x ）＝ ，定义域为[－1，＋∞），不符合题意.
所以1－ a2≠0，由函数 f （ x ）的定义域为[－2，1]知，
y ＝（1－ a2） x2＋3（1－ a ） x ＋6的大致图象
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如图，
因此解得 a ＝2，故
实数 a 的值为2.
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（2）若 f （ x ）的定义域为R，求实数 a 的取值范围.
解：由（1）知当 a ＝1时， f （ x ）＝ ，定义域为
R，符合题意；当1－ a2≠0时，由 f （ x ）的定义域为R，可
得 y ＝（1－ a2） x2＋3（1－ a ） x ＋6≥0恒成立，即函数 y
＝（1－ a2） x2＋3（1－ a ） x ＋6为二次函数，
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其图象开口向上，且与 x 轴最多有一个交点，所以只需满足
即解得－ ≤ a ＜1.
综上，实数 a 的取值范围是［－ ，1］.
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谢 谢 观 看！5.1 函数的概念和图象
新课程标准解读 核心素养
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 数学抽象
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算
第1课时 函数的概念
事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化.早晨，太阳从东方冉冉升起；气温随时间在悄悄地改变；小树随着时间的变化不断长高，……，在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.
【问题】 （1）这两个变量之间存在怎样的关系？
（2）在初中我们对这两个变量之间的关系是如何定义的？
知识点一 函数的有关概念
函数的 概念 给定两个 实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 实数x，在集合B中都有 的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的 记法 y＝f（x），x∈A
定义域 x叫作 ，集合A叫作函数的定义域
值域 若A是函数y＝f（x）的定义域，则对于A中的每一个x（输入值），都有一个y（输出值）与之对应.我们将所有输出值y组成的集合 称为函数的值域
提醒 （1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个（任意性）元素x，在非空实数集B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y与之对应；（2）函数符号“y＝f（x）”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f（x）也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；（3）除f（x）外，有时还用g（x），u（x），F（x），G（x）等符号表示函数.
【想一想】
1.在函数的概念中，如果函数y＝f（x）的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
2.函数定义域内同一个自变量能否对应多个函数值？
知识点二 同一个函数
前提条件 相同
相同
结论 这两个函数是同一个函数
【想一想】
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
1.如图，不能表示函数关系的是（ ）
2.函数f（x）＝的定义域是（ ）
A.{x｜x≠4} B.{x｜x＜4}
C.{x｜x≤4} D.{x｜x＞4}
3.下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝x0与g（x）＝1
B.f（x）＝x与g（x）＝
C.f（x）＝2x＋1与g（x）＝2x－1
D.f（x）＝2x＋1与g（x）＝
题型一 函数概念的理解
【例1】 （链接教科书第105页例1）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数：
（1）A＝R，B＝{y｜y＞0}，f：x→y＝｜x｜；
（2）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
（3）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
（4）A＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
通性通法
1.判断对应关系是否为函数的2个条件
（1）A，B必须是非空数集；
（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.
2.根据图形判断是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于x轴的直线l；
（2）在定义域内平行移动直线l；
（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
提醒 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系.
【跟踪训练】
1.设M＝{x｜0≤x≤2}，N＝{y｜0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
2.（多选）已知集合A＝{x｜0≤x≤8}，集合B＝{x｜0≤x≤4}，则下列对应关系中，能看作是从A到B的函数的是（ ）
A.f：x→y＝x B.f：x→y＝x
C.f：x→y＝x D.f：x→y＝x
题型二 求具体函数的定义域
【例2】 （链接教科书第105页例2）求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝＋；
（2）g（x）＝.
通性通法
求函数定义域的常用方法
（1）若f（x）是分式，则应考虑使分母不为零；
（2）若f（x）是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
（3）若f（x）是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；
（4）若f（x）是由几个代数式运算构成的，则函数的定义域是使几个部分都有意义的x取值集合的交集；
（5）若f（x）是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
【跟踪训练】
求下列函数的定义域：
（1）y＝2＋；
（2）y＝·；
（3）y＝（x－1）0＋；
（4）y＝.
题型三 同一个函数的判定
【例3】 （链接教科书第112页习题4题）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝｜x｜，g（t）＝
B.y＝，y＝（）2
C.y＝·，y＝
D.y＝，y＝x－3
通性通法
判断两个函数是否为同一个函数的步骤
提醒 （1）在化简解析式时，必须是等价变形；
（2）与用哪个字母表示无关.
【跟踪训练】
（2024·苏州桃坞中学期中）下面各组函数中是同一个函数的是（ ）
A.y＝与y＝x
B.y＝（）2与y＝｜x｜
C.f（x）＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1
D.y＝·与y＝
1.（多选） （2024·徐州期中）下列图形可能是函数y＝f（x）图象的是（ ）
2.（2024·江苏扬州中学期中）函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A.［－2，）∪（，＋∞） B.[－2，＋∞）
C.（－2，）∪（，＋∞） D.（－2，＋∞）
3.下列各组函数：
①f（x）＝，g（x）＝x－1；②f（x）＝，g（x）＝；③f（x）＝（x－1）2，g（t）＝t2－2t＋1；④f（x）＝x＋1，g（x）＝x＋x0.其中表示同一个函数的是 （填序号）.
第1课时 函数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
非空 每一个 唯一 自变量
{y｜y＝f（x），x∈A}
想一想
1.提示：确定.
2.提示：不能.
知识点二
定义域 对应关系
想一想
提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.
自我诊断
1.C 由于C中的2与1和3同时对应，故C不是函数.
2.B 由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x｜x＜4}.故选B.
3.B 对于A，f（x）的定义域为{x｜x≠0}，g（x）的定义域为R，f（x）与g（x）定义域不同，不是同一个函数，A错误；对于B，f（x）与g（x）定义域相同且对应关系也相同，故f（x）与g（x）是同一个函数，B正确；对于C，f（x）与g（x）对应关系不同，f（x）与g（x）不是同一个函数，C错误；对于D，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x｜x≠0}，定义域不同，不是同一个函数，D错误.故选B.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.
（2）对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数.
（3）集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数.
（4）对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
跟踪训练
1.B A中，因为在集合M中当1＜x≤2时，在N中无元素与之对应，所以A不是；B中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以B是；C中，x＝2对应元素y＝3 N，所以C不是；D中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以D不是.故选B.
2.ABC 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确；A、B、C选项均正确.
【例2】 解：（1）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≥1，且x≠－1，
即函数的定义域为{x｜x≥1}.
（2）由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2＞0，即x＞－2，
所以函数的定义域为{x｜x＞－2，且x≠－1}.
跟踪训练
解：（1）要使函数有意义，则x－2≠0，即x≠2，所以函数的定义域为{x｜x≠2}.
（2）要使函数有意义，则解得1≤x≤3，所以函数的定义域为{x｜1≤x≤3}.
（3）要使函数有意义，则解得x＞－1，且x≠1，
所以函数的定义域为{x｜x＞－1，且x≠1}.
（4）要使函数有意义，则解得x≤5，且x≠±3，
所以函数的定义域为{x｜x≤5，且x≠±3}.
【例3】 AC A中，f（x）与g（t）的定义域相同，又g（t）＝＝｜t｜，即f（x）与g（t）的对应关系也相同，∴f（x）与g（t）是同一个函数；B中，y＝的定义域为R，y＝（）2的定义域为{x｜x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝（）2不是同一个函数；C中，y＝·的定义域为{x｜－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x｜－1≤x≤1}，即两者定义域相同.又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同.故y＝·与y＝是同一个函数；D中，∵y＝＝｜x－3｜与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，∴y＝与y＝x－3不是同一个函数.故选A、C.
跟踪训练
C A中，两个函数的定义域都是{x｜x≤0}，y＝＝－x，两个函数的对应关系不相同，不是同一个函数；B中，y＝（）2＝x，定义域为{x｜x≥0}，y＝｜x｜的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；C中，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一个函数；D中，由得即x≥1，由（x＋1）（x－1）≥0得x≥1或x≤－1，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数.故选C.
随堂检测
1.BC 对于选项B、C，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之相对应，满足函数关系，故B、C正确；对于选项A、D，存在一个x有两个y与之对应，不满足函数对应的唯一性，故A、D错误.
2.A 由题意得解得x≥－2且x≠，所以函数的定义域为［－2，）∪（，＋∞）.故选A.
3.③ 解析：①f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数；②f（x）与g（x）的对应关系不同，不是同一个函数；③虽然表示自变量的字母不同，但f（x）与g（t）的定义域相同，对应关系相同，故是同一个函数；④f（x）与g（x）的定义域不同，不是同一个函数.
5 / 5第1课时 函数的概念
1.图中给出的四个对应关系，其中能构成函数的是（ ）
A.①② B.①④
C.①②④ D.③④
2.下列函数中定义域为R的是（ ）
A.y＝ B.y＝（x－1）0
C.y＝ D.y＝x2＋3
3.下列图形中，不能作为函数图象的是（ ）
4.函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A. B.{x｜x≥－2}
C. D.
5.（多选）设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是（ ）
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
6.（多选）（2024·无锡江阴四校期中）下列各组函数中，两个函数是同一个函数的有（ ）
A.f（x）＝1与g（m）＝1
B.f（x）＝x2与g（x）＝
C.f（x）＝与g（x）＝
D.f（x）＝x2－1与g（x）＝（x＋1）2－2（x＋1）
7.（2024·江苏镇江中学期中）函数f（x）＝＋lg（2－x）的定义域为 .
8.若函数f（x）与函数g（x）＝＋是同一个函数，则函数f（x）的定义域是 .
9.已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝｜x｜，其中能构成从M到N的函数的是 （填序号）.
10.求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝＋＋4；
（2）f（x）＝.
11.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1，0，1，2}为同族函数的有（ ）
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
12.下列可以表示以M＝{x｜0≤x≤1}为定义域，以N＝{y｜0≤y≤1}为值域的函数图象是（ ）
13.函数y＝的定义域为 .
14.若函数f（x）＝的定义域为R，求实数m的取值范围.
15.已知函数f（x）＝.
（1）若f（x）的定义域为[－2，1]，求实数a的值；
（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围.
第1课时 函数的概念
1.B 根据函数的定义，可以“多对一”“一对一”，但不能“一对多”，故③不能构成函数；又②中1，4无对应关系，故②也不能构成函数.故选B.
2.D A中x≥0，B中x≠1，C中x≠0.故选D.
3.C C选项中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故选C.
4.C 依题意得解得即x≥－2，且x≠.故选C.
5.ABC 由x2＝1得x＝±1，故集合A＝{1}或{－1}或{－1，1}.
6.ABD 对于A，因为f（x）＝1与g（m）＝1的对应关系相同，定义域均为R，所以f（x）＝1与g（m）＝1是同一个函数，故A正确；对于B，因为f（x）＝x2与g（x）＝＝x2的对应关系相同，定义域均为R，所以f（x）＝x2与g（x）＝是同一个函数，故B正确；对于C，因为f（x）＝的定义域为（1，＋∞），g（x）＝的定义域为[1，＋∞），两者定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；对于D，因为f（x）＝x2－1与g（x）＝（x＋1）2－2（x＋1）＝x2－1的对应关系相同，定义域均为R，所以f（x）＝x2－1与g（x）＝（x＋1）2－2（x＋1）是同一个函数，故D正确.故选A、B、D.
7.［，2） 解析：由题意得解得≤x＜2，所以函数的定义域为［，2）.
8.[2，3）∪（3，＋∞） 解析：由得x≥2且x≠3，故g（x）的定义域是[2，3）∪（3，＋∞），即为f（x）的定义域.
9.④ 解析：y＝x2时，M中的4在N中无元素与它对应；y＝x＋1时，M中的－1，2，4在N中无元素对应；y＝x－1时，M中的－1，1，4在N中无元素对应；只有y＝｜x｜是符合题意的对应关系.
10.解：（1）要使函数式有意义，必须满足
即所以≤x≤，所以函数的定义域为.
（2）要使函数式有意义，必须满足即解得
所以函数的定义域为{x｜x＜0，且x≠－3}.
11.D 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}，定义域中0是肯定有的，1、－1至少含有一个，2、－2至少含有一个，它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2，－2}，共有8种不同的情况.
12.C 根据题意，依次分析选项：对于A，其对应函数的值域不是N＝{y｜0≤y≤1}，A错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的定义域为M＝{x｜0≤x≤1}，值域为N＝{y｜0≤y≤1}，C正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误.故选C.
13.∪ 解析：要使函数式有意义，需满足：即所以－2≤x≤3且x≠.所以函数的定义域是∪.
14.解：要使原函数有意义，必须满足mx2＋x＋3≠0，
由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立.
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f（x）的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意.
当m≠0时，有Δ＝12－12m＜0，解得m＞.
综上可知，m的取值范围是（，＋∞）.
15.解：（1）当1－a2＝0时，a＝±1.
当a＝1时，f（x）＝，定义域为R，不符合题意；
当a＝－1时，f（x）＝，定义域为[－1，＋∞），不符合题意.
所以1－a2≠0，由函数f（x）的定义域为[－2，1]知，
y＝（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6的大致图象如图，
因此解得a＝2，故实数a的值为2.
（2）由（1）知当a＝1时，f（x）＝，定义域为R，符合题意；当1－a2≠0时，由f（x）的定义域为R，可得y＝（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6≥0恒成立，即函数y＝（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6为二次函数，其图象开口向上，且与x轴最多有一个交点，所以只需满足即解得－≤a＜1.
综上，实数a的取值范围是［－，1］.
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