(共56张PPT)
第2课时 函数的定义域与值域
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845
m，且炮弹距离地面的高度 h （单位：m）随时间 t （单位：s）变化的
关系是： h ＝130 t －5 t2.
【问题】 这里的变量 t 的变化范围是什么？变量 h 的变化范围是
什么？
知识点一 抽象函数
抽象函数即为没有给出具体解析式的函数，可用一般形式表示，如 y
＝ f （ x ）， y ＝ f （ g （ x ））等.
提醒 形如 y ＝ f （ g （ x ））的函数，是由两类初等函数 y ＝ f
（ t ）， t ＝ g （ x ）复合而成的，该函数又称复合函数，其中 t ＝ g
（ x ）称为内层函数， y ＝ f （ t ）称为外层函数.
知识点二 抽象函数的定义域
1. 函数 f （ x ）的定义域是指 x 的取值所组成的集合.
2. 函数 f （ g （ x ））的定义域是指 x 的取值范围，而不是 g （ x ）的
范围.
3. 已知 f （ x ）的定义域为 A ，求 f （ g （ x ））的定义域，其实质是
已知 g （ x ）的范围（值域）为 A ，求出 x 的取值范围.
4. 已知 f （ g （ x ））的定义域为 B ，求 f （ x ）的定义域，其实质是
已知 f （ g （ x ））中的 x 的取值范围为 B ，求出 g （ x ）的范围（值
域），此范围就是 f （ x ）的定义域.
1. 已知函数 f （ x ）的定义域为[2，8]，则函数 f （2 x ）的定义域为
（ ）
A. [4，16] B. （－∞，1]∪[4，＋∞）
C. [1，4] D. [1，2]
解析： 由题意可知，函数 f （ x ）的定义域为2≤ x ≤8，则函数 f
（2 x ）的定义域满足2≤2 x ≤8，则1≤ x ≤4，所以函数 f （2 x ）的
定义域为[1，4].故选C.
2. （2024·常熟期中）已知函数 f （ x ）＝ x2－1的定义域为{－1，0，
1}，则函数的值域为（ ）
A. {0，1} B. [－1，＋∞）
C. [－1，0] D. {－1，0}
解析： 因为 f （－1）＝ f （1）＝0， f （0）＝－1，所以函数 f
（ x ）的值域为{－1，0}.故选D.
3. 已知函数 f （ x ）＝ ，又知 f （ t ）＝6，则 t ＝ － .
解析：由 f （ t ）＝6，得 ＝6，即 t ＝－ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数值
【例1】 （链接教科书第107页练习5题）已知 f （ x ）＝ x2－2 x ＋2.
（1）求 f （2）， f （ a ）， f （ a ＋1）的值；
解： f （2）＝22－2×2＋2＝2，
f （ a ）＝ a2－2 a ＋2，
f （ a ＋1）＝（ a ＋1）2－2（ a ＋1）＋2＝ a2＋1.
（2）若 g （ x ）＝ x ＋1，求 f （ g （3））的值.
解：因为 g （3）＝3＋1＝4，所以 f （ g （3））＝ f （4）＝42－
2×4＋2＝10.
【母题探究】
1. （变设问）若本例（1）条件不变，若 f （ a ＋1）＝ a ＋3，求
a 的值.
解：由 f （ a ＋1）＝ a ＋3，得 f （ a ＋1）＝ a2＋1＝ a ＋3，即 a2－
a －2＝0，解得 a ＝－1或 a ＝2.
2. （变设问）若本例（2）条件不变，求 f （ g （ x ））， g （ f
（ x ））.
解： f （ g （ x ））＝ f （ x ＋1）＝（ x ＋1）2－2（ x ＋1）＋2＝ x2
＋1.
g （ f （ x ））＝（ x2－2 x ＋2）＋1＝ x2－2 x ＋3.
通性通法
求函数值的方法
（1）函数值 f （ a ）就是 a 在对应关系 f 下的对应值；
（2）已知 f （ x ）的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f
（ a ）的值；
（3）求 f （ g （ a ））的值应遵循由里向外的原则.
【跟踪训练】
已知 f （2 x ＋1）＝1－ x ，则 f （0）＝（ ）
A. 0 C. 1
解析： 令2 x ＋1＝0，得 x ＝－ ，所以 f （0）＝1－（－ ）＝ .
题型二 求函数的值域
【例2】 （链接教科书第106页例3）求下列函数的值域：
（1） f （ x ）＝ x2－2 x ＋2， x ∈{－1，0，1，2}；
解：函数的定义域为{－1，0，1，2}，
因为 f （－1）＝（－1）2－2×（－1）＋2＝5， f （0）＝2， f
（1）＝1， f （2）＝2，
所以函数 f （ x ）的值域为{1，2，5}.
（2） f （ x ）＝ x2－2 x ＋2；
解： f （ x ）＝ x2－2 x ＋2＝（ x －1）2＋1.
因为（ x －1）2≥0，所以（ x －1）2＋1≥1，所以函数 f （ x ）的
值域为[1，＋∞）.
（3） y ＝ ；
解： y ＝ ＝ ＝3＋ ，显然3＋ ≠3，所以 y
≠3.
所以函数的值域为（－∞，3）∪（3，＋∞）.
（4） y ＝ x ＋ .
解：令 t ＝ ， t ≥0，得 x ＝ （ t2－1），故 y ＝ （ t ＋
1）2－1， t ∈[0，＋∞），
画出函数 y ＝ （ t ＋1）2－1的大致图象如图所示，由图可知当 t
＝0时， y 有最小值－ ，
即 y ≥－ ，故函数的值域为［－ ，＋∞）.
通性通法
求函数值域常用的5种方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数
时，可利用配方法求其值域；
（3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的
值域；
（4）换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数
化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函
数的值域；
（5）分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化
为“反比例函数”的形式，便于求值域.
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1） y ＝ ＋1；
解：因为 ≥0，所以 ＋1≥1，即所求函数的值
域为[1，＋∞）.
（2） y ＝ .
解：因为 y ＝ ＝－1＋ ，
又函数的定义域为R，所以 x2＋1≥1，
所以0＜ ≤2，则 y ∈（－1，1].
所以所求函数的值域为（－1，1].
题型三 求抽象函数的定义域
角度1 已知 f （ x ）的定义域，求 f （ g （ x ））的定义域
【例3】 已知函数 f （ x ）的定义域为（－1，2），则函数 f （2 x ＋
1）的定义域为 .
解析：由－1＜2 x ＋1＜2，得－1＜ x ＜ ，∴ f （2 x ＋1）的定义域为
（－1， ）.
（－1， ）
通性通法
已知 f （ x ）的定义域，求 f （ g （ x ））的定义域
若 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，则 f （ g （ x ））中 g （ x ）
∈[ a ， b ]，从中解得 x 的解集即 f （ g （ x ））的定义域.
角度2 已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ x ）的定义域
【例4】 已知 f （ x2－1）的定义域为[0，3]，则 f （ x ）的定义域
为 .
解析：根据 f （ x2－1）的定义域为[0，3]，得 x ∈[0，3]，则
x2∈[0，9]，∴ x2－1∈[－1，8].故 f （ x ）的定义域为[－1，8].
[－1，8]
通性通法
已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ x ）的定义域
若 f （ g （ x ））的定义域为[ m ， n ]，则由 x ∈[ m ， n ]可
确定 g （ x ）的范围，设 u ＝ g （ x ），则 f （ g （ x ））＝ f
（ u ），又 f （ u ）与 f （ x ）是同一个函数，所以 g （ x ）的范围
即 f （ x ）的定义域.
角度3 已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域
【例5】 若函数 f （ x ＋1）的定义域为［－ ，2］，则函数 f （ x －
1）的定义域为 .
解析：由题意知－ ≤ x ≤2，则 ≤ x ＋1≤3，即 f （ x ）的定义域为
［ ，3］，由 ≤ x －1≤3，解得 ≤ x ≤4，故 f （ x －1）的定义域是
［ ，4］.
［ ，4］
通性通法
已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域
已知 f （ g （ x ））的定义域，求 f （ h （ x ））的定义域，先由 x
的取值范围，求出 g （ x ）的取值范围，即 f （ x ）中的 x 的取值范
围，即 h （ x ）的取值范围，再根据 h （ x ）的取值范围求出 x 的取值
范围，即 f （ h （ x ））的定义域.
【跟踪训练】
1. （2024·扬中第二高中期中）已知函数 f （ x ＋2）的定义域为（－
1，3），则 f （ x ）的定义域为（ ）
A. （－1，1） B. （1，5）
C. （－3，1） D. （0，2）
解析： 因为 x ∈（－1，3），则 x ＋2∈（1，5），所以 f （ x ）
的定义域为（1，5）.故选B.
2. 已知函数 f （ x ＋2）的定义域为（－2，0），则函数 f （2 x －2）的
定义域为（ ）
A. （0，2）
C. （1，2）
解析： 由题意知－2＜ x ＜0，∴0＜ x ＋2＜2，即 f （ x ）的定义
域为（0，2），∴0＜2 x －2＜2，解得1＜ x ＜2，故 f （2 x －2）的
定义域是（1，2）.故选C.
1. 已知函数 f （ x ）＝ ，则 f （ ）＝（ ）
C. a D. 3 a
解析： f （ ）＝ ＝3 a .故选D.
2. 已知函数 f （ x ）的定义域为[2，8]，则函数 g （ x ）＝ f （2 x ）＋
的定义域为（ ）
A. [4，16] B. （－∞，1]∪[3，＋∞）
C. [1，3] D. [3，4]
解析： 因为函数 f （ x ）的定义域为2≤ x ≤8，所以函数 g （ x ）
的定义域满足即1≤ x ≤3，所以函数 g （ x ）的定义
域为[1，3].故选C.
3. 函数 f （ x ）＝ （ x ∈R）的值域是（ ）
A. （－∞，1] B. （0，1]
C. [0，1） D. [0，1]
解析： 因为 x2≥0，所以 x2＋1≥1，0＜ ≤1，故函数 f
（ x ）的值域为（0，1].故选B.
4. 已知 f （ x ）＝ （ x ∈R，且 x ≠－1）， g （ x ）＝ x2＋2（ x
∈R）.
（1）求 f （2）， g （2）的值；（2）求 f [ g （3）]的值.
解：（1）∵ f （ x ）＝ ，∴ f （2）＝ ＝ .
又∵ g （ x ）＝ x2＋2，∴ g （2）＝22＋2＝6.
（2）∵ g （3）＝32＋2＝11，
∴ f [ g （3）]＝ f （11）＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设函数 f （ x ）＝ ，则当 f （ x ）＝2时， x ＝（ ）
A. －4 B. 4
C. －10 D. 10
解析： ∵ f （ x ）＝ ， f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ∈R， x ≠
－2}，当 f （ x ）＝2时，即 ＝2，解得 x ＝－10.
又∵－10∈{ x ｜ x ∈R， x ≠－2}，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 设函数 f （ x ）＝3 x2－1，则 f （ a ）－ f （－ a ）＝（ ）
A. 0 B. 3 a2－1
C. 6 a2－2 D. 6 a2
解析： f （ a ）－ f （－ a ）＝3 a2－1－[3（－ a ）2－1]＝0.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知函数 f （ x ）＝ －1，且 f （ a ）＝3，则 a ＝（ ）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
解析： 因为 f （ x ）＝ －1，所以 f （ a ）＝ －1.又因为 f
（ a ）＝3，所以 －1＝3， a ＝16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知函数 y ＝ f （ x ）部分 x 与 y 的对应关系如表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 3 2 1 0 0 －1 －2 －3
则 f （ f （4））＝（ ）
A. －1 B. －2 C. －3 D. 3
解析： f （ f （4））＝ f （－3）＝3，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 已知函数 f （ x ）的定义域是[－2，3]，则 f （2 x －3）的定义域是
（ ）
A. [－7，3] B. [－3，7]
解析： 由题意可得2 x －3∈[－2，3]，则 x ∈ ，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）
A. f （ x ）＝ x －1， x ∈[1，5]
B. f （ x ）＝－ x2＋4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： x ∈[1，5]时， x －1∈[0，4]，所以函数 f （ x ）＝ x
－1， x ∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－ x2≤0，所以
－ x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－
x2≤0，所以16－ x2≤16，又16－ x2≥0，所以0≤ ≤4，即
函数值域为[0，4]，故C正确；因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2（当且仅
当 x ＝1时取等号），所以 x ＋ －2≥0，故函数值域为[0，＋
∞），故D错误.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （2024·盐城月考）若 f （ x ）＝ ， x ∈{1，2}，则函数的值域
为 .
解析：∵函数的定义域为{1，2}，∴ f （1）＝ ＝ ， f （2）＝
＝ ＝ ，∴函数的值域为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 若函数 f （ x ）的定义域为[－2，1]，则 y ＝ f （ x ）＋ f （－ x ）的
定义域为 ， y ＝ f （2 x ＋1）的定义域为 .
解析：由题意，得即－1≤ x ≤1.故 y ＝ f （ x ）＋ f
（－ x ）的定义域为[－1，1].由－2≤2 x ＋1≤1，得－ ≤ x ≤0，
即函数 y ＝ f （2 x ＋1）的定义域为［－ ，0］.
[－1，1]
［－ ，0］
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 试写出一个与函数 y ＝ x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以
为 .
解析：函数 y ＝ x2与 y ＝（ x ＋1）2的定义域和值域都相同.
y ＝（ x ＋1）2（答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ .
（1）求函数的定义域；
解：使根式 有意义的实数 x 的集合是{ x ｜ x ≥－3}，使分式 有意义的实数 x 的集合是{ x ｜ x ≠－2}.所以这个函数的定义域是{ x ｜ x ≥－3}∩{ x ｜ x ≠－2}＝{ x ｜ x ≥－3，且 x ≠－2}，即[－3，－2）∪（－2，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求 f （－3）， f 的值；
解：将－3与 代入解析式，有 f （－3）＝ ＋ ＝－1；
f ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）当 a ＞0时，求 f （ a ）， f （ a －1）的值.
解：因为 a ＞0，所以 f （ a ）， f （ a －1）有意义.
f （ a ）＝ ＋ ；
f （ a －1）＝ ＋ ＝ ＋ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 若函数 f （ x ）＝（ a2－2 a －3） x2＋（ a ＋1） x ＋2的定义域和值
域都是R，则 a 的值为（ ）
A. 3或－1 B. 3
解析： （1）当 a2－2 a －3≠0时， f （ x ）是二次函数，当其
定义域是R时，值域不是R，不符合题意.（2）当 a2－2 a －3＝0
时，解得 a ＝－1或 a ＝3，①若 a ＝－1，则 f （ x ）＝2，是常数函
数，值域为{2}，不符合题意；②若 a ＝3，则 f （ x ）＝4 x ＋2，
其图象是一条直线，值域为R，符合题意.故选B.
C. －1 D. 不确定
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 函数 f （ x ）＝[ x ]的函数值表示不超过 x 的最大整数，当－ ≤ x
≤ 时，下列函数中，其值域与 f （ x ）的值域不相同的函数为
（ ）
A. y ＝ x ， x ∈{－1，0，1，2，3}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 当 x ∈［－ ，0）时， f （ x ）＝－1；当 x ∈[0，1）
时， f （ x ）＝0；当 x ∈[1，2）时， f （ x ）＝1；当 x ∈[2，3）
时， f （ x ）＝2；当 x ∈ 时， f （ x ）＝3，所以当 x ∈
时， f （ x ）的值域为{－1，0，1，2，3}.对于C选项， y
＝ ， x ∈ ，该函数的值域为{－1，1，2，
3，4}.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （多选）若函数 y ＝ 在区间[－2，－1]上有意义，则实数 a
的可能取值是（ ）
A. －1 B. 1 C. 3 D. 5
解析： 函数 y ＝ 在区间[－2，－1]上有意义，等价于
＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由 x ＜0，得 a ≤－ x 在区间
[－2，－1]上恒成立，∴ a ≤1，故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. （1）已知函数 f （ x ）的定义域为（0，1），求 f （ x2）的定
义域；
解：∵ f （ x ）的定义域为（0，1），∴要使 f （ x2）
有意义，需使0＜ x2＜1，即－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1.∴ f
（ x2）的定义域为{ x ｜－1＜ x ＜0或0＜ x ＜1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）已知函数 f （2 x ＋1）的定义域为（0，1），求 f （ x ）的定
义域；
解： f （2 x ＋1）的定义域为（0，1），即其自变量 x 的取值范围是0＜ x ＜1.若令 t ＝2 x ＋1，则1＜ t ＜3，即关于 t 的函数 f （ t ）的定义域为{ t ｜1＜ t ＜3}，从而函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜1＜ x ＜3}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）已知函数 f （ x ＋1）的定义域为[－2，3]，求 f （2 x2－2）
的定义域.
解： f （ x ＋1）的定义域为[－2，3]，即其自变量 x 的取值范围是－2≤ x ≤3.若令 t ＝ x ＋1，则－1≤ t ≤4，即关于 t 的函数 f （ t ）的定义域为{ t ｜－1≤ t ≤4}.要使函数 f （2 x2－2）有意义，只需－1≤2 x2－2≤4，解得－ ≤ x ≤－ 或 ≤ x ≤ .
∴ f （2 x2－2）的定义域为{x ｜－ ≤ x ≤－ 或 ≤ x ≤ }.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 规定符号*表示一种运算，即a*b＝ ＋ a ＋ b （ a ， b 为正实
数）且1*k＝3.
（1）求正整数 k ；
解：由已知得，1*k＝ ＋1＋ k ＝3，
解得 ＝1或 ＝－2（舍去），所以 k ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求函数 y ＝k*x的值域.
解： y ＝k*x＝ ＋1＋ x ＝ ＋ （ x ＞0），
令 t ＝ ，则 y ＝ ＋ （ t ＞0），结合函数的图象
（图略），
可得 y ＞ ＋ ＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！第2课时 函数的定义域与值域
一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距离地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的关系是：h＝130t－5t2.
【问题】 这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？
知识点一 抽象函数
抽象函数即为没有给出具体解析式的函数，可用一般形式表示，如y＝f（x），y＝f（g（x））等.
提醒 形如y＝f（g（x））的函数，是由两类初等函数y＝f（t），t＝g（x）复合而成的，该函数又称复合函数，其中t＝g（x）称为内层函数，y＝f（t）称为外层函数.
知识点二 抽象函数的定义域
1.函数f（x）的定义域是指x的取值所组成的集合.
2.函数f（g（x））的定义域是指x的取值范围，而不是g（x）的范围.
3.已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）的范围（值域）为A，求出x的取值范围.
4.已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（g（x））中的x的取值范围为B，求出g（x）的范围（值域），此范围就是f（x）的定义域.
1.已知函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数f（2x）的定义域为（ ）
A.[4，16] B.（－∞，1]∪[4，＋∞）
C.[1，4] D.[1，2]
2.（2024·常熟期中）已知函数f（x）＝x2－1的定义域为{－1，0，1}，则函数的值域为（ ）
A.{0，1} B.[－1，＋∞）
C.[－1，0] D.{－1，0}
3.已知函数f（x）＝，又知f（t）＝6，则t＝ .
题型一 求函数值
【例1】 （链接教科书第107页练习5题）已知f（x）＝x2－2x＋2.
（1）求f（2），f（a），f（a＋1）的值；
（2）若g（x）＝x＋1，求f（g（3））的值.
【母题探究】
1.（变设问）若本例（1）条件不变，若f（a＋1）＝a＋3，求a的值.
2.（变设问）若本例（2）条件不变，求f（g（x）），g（f（x））.
通性通法
求函数值的方法
（1）函数值f（a）就是a在对应关系f下的对应值；
（2）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值；
（3）求f（g（a））的值应遵循由里向外的原则.
【跟踪训练】
已知f（2x＋1）＝1－x，则f（0）＝（ ）
A.0 B.
C.1 D.
题型二 求函数的值域
【例2】 （链接教科书第106页例3）求下列函数的值域：
（1）f（x）＝x2－2x＋2，x∈{－1，0，1，2}；
（2）f（x）＝x2－2x＋2；
（3）y＝；
（4）y＝x＋.
通性通法
求函数值域常用的5种方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
（3）图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域；
（4）换元法：通过对函数的表达式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而利用简单函数自变量的取值范围求函数的值域；
（5）分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域.
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1）y＝＋1；
（2）y＝.
题型三 求抽象函数的定义域
角度1 已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域
【例3】 已知函数f（x）的定义域为（－1，2），则函数f（2x＋1）的定义域为 .
通性通法
已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域
若f（x）的定义域为[a，b]，则f（g（x））中g（x）∈[a，b]，从中解得x的解集即f（g（x））的定义域.
角度2 已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域
【例4】 已知f（x2－1）的定义域为[0，3]，则f（x）的定义域为 .
通性通法
已知f（g（x））的定义域，求f（x）的定义域
若f（g（x））的定义域为[m，n]，则由x∈[m，n]可确定g（x）的范围，设u＝g（x），则f（g（x））＝f（u），又f（u）与f（x）是同一个函数，所以g（x）的范围即f（x）的定义域.
角度3 已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域
【例5】 若函数f（x＋1）的定义域为［－，2］，则函数f（x－1）的定义域为 .
通性通法
已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域
已知f（g（x））的定义域，求f（h（x））的定义域，先由x的取值范围，求出g（x）的取值范围，即f（x）中的x的取值范围，即h（x）的取值范围，再根据h（x）的取值范围求出x的取值范围，即f（h（x））的定义域.
【跟踪训练】
1.（2024·扬中第二高中期中）已知函数f（x＋2）的定义域为（－1，3），则f（x）的定义域为（ ）
A.（－1，1） B.（1，5）
C.（－3，1） D.（0，2）
2.已知函数f（x＋2）的定义域为（－2，0），则函数f（2x－2）的定义域为（ ）
A.（0，2） B.（－，）
C.（1，2） D.（－，0）
1.已知函数f（x）＝，则f（）＝（ ）
A. B.
C.a D.3a
2.已知函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数g（x）＝f（2x）＋的定义域为（ ）
A.[4，16]
B.（－∞，1]∪[3，＋∞）
C.[1，3]
D.[3，4]
3.函数f（x）＝（x∈R）的值域是（ ）
A.（－∞，1] B.（0，1]
C.[0，1） D.[0，1]
4.已知f（x）＝（x∈R，且x≠－1），g（x）＝x2＋2（x∈R）.
（1）求f（2），g（2）的值；
（2）求f[g（3）]的值.
第2课时 函数的定义域与值域
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.C 由题意可知，函数f（x）的定义域为2≤x≤8，则函数f（2x）的定义域满足2≤2x≤8，则1≤x≤4，所以函数f（2x）的定义域为[1，4].故选C.
2.D 因为f（－1）＝f（1）＝0，f（0）＝－1，所以函数f（x）的值域为{－1，0}.故选D.
3.－ 解析：由f（t）＝6，得＝6，即t＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）f（2）＝22－2×2＋2＝2，
f（a）＝a2－2a＋2，
f（a＋1）＝（a＋1）2－2（a＋1）＋2＝a2＋1.
（2）因为g（3）＝3＋1＝4，所以f（g（3））＝f（4）＝42－2×4＋2＝10.
母题探究
1.解：由f（a＋1）＝a＋3，得f（a＋1）＝a2＋1＝a＋3，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
2.解：f（g（x））＝f（x＋1）＝（x＋1）2－2（x＋1）＋2＝x2＋1.
g（f（x））＝（x2－2x＋2）＋1＝x2－2x＋3.
跟踪训练
D 令2x＋1＝0，得x＝－，所以f（0）＝1－（－）＝.
【例2】 解：（1）函数的定义域为{－1，0，1，2}，
因为f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＋2＝5，f（0）＝2，f（1）＝1，f（2）＝2，
所以函数f（x）的值域为{1，2，5}.
（2）f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.
因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1，所以函数f（x）的值域为[1，＋∞）.
（3）y＝＝＝3＋，显然3＋≠3，所以y≠3.
所以函数的值域为（－∞，3）∪（3，＋∞）.
（4）令t＝，t≥0，得x＝（t2－1），故y＝（t＋1）2－1，t∈[0，＋∞），
画出函数y＝（t＋1）2－1的大致图象如图所示，由图可知当t＝0时，y有最小值－，
即y≥－，故函数的值域为［－，＋∞）.
跟踪训练
解：（1）因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞）.
（2）因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0＜≤2，则y∈（－1，1].
所以所求函数的值域为（－1，1].
【例3】 （－1，） 解析：由－1＜2x＋1＜2，得－1＜x＜，∴f（2x＋1）的定义域为（－1，）.
【例4】 [－1，8] 解析：根据f（x2－1）的定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，则x2∈[0，9]，∴x2－1∈[－1，8].故f（x）的定义域为[－1，8].
【例5】 ［，4］ 解析：由题意知－≤x≤2，则≤x＋1≤3，即f（x）的定义域为［，3］，由≤x－1≤3，解得≤x≤4，故f（x－1）的定义域是［，4］.
跟踪训练
1.B 因为x∈（－1，3），则x＋2∈（1，5），所以f（x）的定义域为（1，5）.故选B.
2.C 由题意知－2＜x＜0，∴0＜x＋2＜2，即f（x）的定义域为（0，2），∴0＜2x－2＜2，解得1＜x＜2，故f（2x－2）的定义域是（1，2）.故选C.
随堂检测
1.D f（）＝＝3a.故选D.
2.C 因为函数f（x）的定义域为2≤x≤8，所以函数g（x）的定义域满足即1≤x≤3，所以函数g（x）的定义域为[1，3].故选C.
3.B 因为x2≥0，所以x2＋1≥1，0＜≤1，故函数f（x）的值域为（0，1].故选B.
4.解：（1）∵f（x）＝，∴f（2）＝＝.
又∵g（x）＝x2＋2，∴g（2）＝22＋2＝6.
（2）∵g（3）＝32＋2＝11，
∴f[g（3）]＝f（11）＝＝.
3 / 4第2课时 函数的定义域与值域
1.设函数f（x）＝，则当f（x）＝2时，x＝（ ）
A.－4 B.4
C.－10 D.10
2.设函数f（x）＝3x2－1，则f（a）－f（－a）＝（ ）
A.0 B.3a2－1
C.6a2－2 D.6a2
3.已知函数f（x）＝－1，且f（a）＝3，则a＝（ ）
A.2 B.4
C.8 D.16
4.已知函数y＝f（x）部分x与y的对应关系如表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 3 2 1 0 0 －1 －2 －3
则f（f（4））＝（ ）
A.－1 B.－2
C.－3 D.3
5.已知函数f（x）的定义域是[－2，3]，则f（2x－3）的定义域是（ ）
A.[－7，3] B.[－3，7]
C. D.
6.（多选）下列函数中，值域为[0，4]的是（ ）
A.f（x）＝x－1，x∈[1，5]
B.f（x）＝－x2＋4
C.f（x）＝
D.f（x）＝x＋－2（x＞0）
7.（2024·盐城月考）若f（x）＝，x∈{1，2}，则函数的值域为 .
8.若函数f（x）的定义域为[－2，1]，则y＝f（x）＋f（－x）的定义域为 ，y＝f（2x＋1）的定义域为 .
9.试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以为 .
10.已知函数f（x）＝＋.
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f的值；
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值.
11.若函数f（x）＝（a2－2a－3）x2＋（a＋1）x＋2的定义域和值域都是R，则a的值为（ ）
A.3或－1 B.3
C.－1 D.不确定
12.函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当－≤x≤时，下列函数中，其值域与f（x）的值域不相同的函数为（ ）
A.y＝x，x∈{－1，0，1，2，3}
B.y＝2x，x∈
C.y＝，x∈
D.y＝x2－1，x∈{0，1，，，2}
13.（多选）若函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，则实数a的可能取值是（ ）
A.－1 B.1 C.3 D.5
14.（1）已知函数f（x）的定义域为（0，1），求f（x2）的定义域；
（2）已知函数f（2x＋1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域；
（3）已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.
15.规定符号*表示一种运算，即a*b＝＋a＋b（a，b为正实数）且1*k＝3.
（1）求正整数k；
（2）求函数y＝k*x的值域.
第2课时 函数的定义域与值域
1.C ∵f（x）＝，f（x）的定义域为{x｜x∈R，x≠－2}，当f（x）＝2时，即＝2，解得x＝－10.又∵－10∈{x｜x∈R，x≠－2}，故选C.
2.A f（a）－f（－a）＝3a2－1－[3（－a）2－1]＝0.故选A.
3.D 因为f（x）＝－1，所以f（a）＝－1.又因为f（a）＝3，所以－1＝3，a＝16.
4.D f（f（4））＝f（－3）＝3，故选D.
5.C 由题意可得2x－3∈[－2，3]，则x∈，故选C.
6.AC x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f（x）＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数值域是（－∞，4]，故B错误；因为－x2≤0，所以16－x2≤16，又16－x2≥0，所以0≤≤4，即函数值域为[0，4]，故C正确；因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），所以x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞），故D错误.故选A、C.
7. 解析：∵函数的定义域为{1，2}，∴f（1）＝＝，f（2）＝＝＝，∴函数的值域为.
8.[－1，1] ［－，0］ 解析：由题意，得即－1≤x≤1.故y＝f（x）＋f（－x）的定义域为[－1，1].由－2≤2x＋1≤1，得－≤x≤0，即函数y＝f（2x＋1）的定义域为［－，0］.
9.y＝（x＋1）2（答案不唯一）
解析：函数y＝x2与y＝（x＋1）2的定义域和值域都相同.
10.解：（1）使根式有意义的实数x的集合是{x｜x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x｜x≠－2}.所以这个函数的定义域是{x｜x≥－3}∩{x｜x≠－2}＝{x｜x≥－3，且x≠－2}，
即[－3，－2）∪（－2，＋∞）.
（2）将－3与代入解析式，有f（－3）＝＋＝－1；
f＝＋＝＋＝＋.
（3）因为a＞0，所以f（a），f（a－1）有意义.
f（a）＝＋；
f（a－1）＝＋＝＋.
11.B （1）当a2－2a－3≠0时，f（x）是二次函数，当其定义域是R时，值域不是R，不符合题意.（2）当a2－2a－3＝0时，解得a＝－1或a＝3，①若a＝－1，则f（x）＝2，是常数函数，值域为{2}，不符合题意；②若a＝3，则f（x）＝4x＋2，其图象是一条直线，值域为R，符合题意.故选B.
12.C 当x∈［－，0）时，f（x）＝－1；当x∈[0，1）时，f（x）＝0；当x∈[1，2）时，f（x）＝1；当x∈[2，3）时，f（x）＝2；当x∈时，f（x）＝3，所以当x∈时，f（x）的值域为{－1，0，1，2，3}.对于C选项，y＝，x∈，该函数的值域为{－1，1，2，3，4}.故选C.
13.AB 函数y＝在区间[－2，－1]上有意义，等价于＋1≥0在区间[－2，－1]上恒成立，由x＜0，得a≤－x在区间[－2，－1]上恒成立，∴a≤1，故选A、B.
14.解：（1）∵f（x）的定义域为（0，1），∴要使f（x2）有意义，需使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1.∴f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其自变量x的取值范围是0＜x＜1.若令t＝2x＋1，则1＜t＜3，即关于t的函数f（t）的定义域为{t｜1＜t＜3}，从而函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}.
（3）f（x＋1）的定义域为[－2，3]，即其自变量x的取值范围是－2≤x≤3.若令t＝x＋1，则－1≤t≤4，即关于t的函数f（t）的定义域为{t｜－1≤t≤4}.要使函数f（2x2－2）有意义，只需－1≤2x2－2≤4，解得－≤x≤－或≤x≤.
∴f（2x2－2）的定义域为x－≤x≤－或≤x≤.
15.解：（1）由已知得，1*k＝＋1＋k＝3，
解得＝1或＝－2（舍去），所以k＝1.
（2）y＝k*x＝＋1＋x＝＋（x＞0），
令t＝，则y＝＋（t＞0），结合函数的图象（图略），
可得y＞＋＝1，所以函数的值域为（1，＋∞）.
2 / 2
