5.2 函数的表示方法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用 数学抽象、直观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 数学抽象、数学运算
第1课时 函数的表示方法
（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫作该函数的解析式；
（2）如图是我国近五年出生人口变化曲线：
（3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【问题】 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么方法表示函数的？
知识点 函数的表示法
提醒 函数三种表示法的优缺点比较
1.已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为（ ）
A.y＝ B.y＝－x C.y＝ D.y＝
2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知，下列说法中错误的是（ ）
A.这天15时的温度最高
B.这天3时的温度最低
C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D.这天21时的温度是30 ℃
3.（2024·淮安质检）已知函数f（x）由下表给出，则f（f（3））＝ .
x 1 2 3 4
f（x） 3 2 4 1
题型一 函数的三种表示方法
【例1】 （链接教科书第113页例1）购买某种笔记本x本，需要y元.若每本2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出该函数的值域.
通性通法
1.函数的三种表示法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少.
2.用三种表示法表示函数时的注意点
（1）解析法必须注明函数的定义域；
（2）列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；
（3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f（x）.
题型二 函数解析式的求法
角度1 用待定系数法求函数解析式
【例2】 （1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f（x）；
（2）已知f（x）为二次函数，且f（x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f（x）.
通性通法
用待定系数法求函数解析式的步骤
（1）设出所求函数含有待定系数的解析式；
（2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，得到待定系数的值；
（4）将所求待定系数的值带回所设的解析式.
角度2 利用换元法（配凑法）求函数解析式
【例3】 求下列函数的解析式：
（1）已知f（＋1）＝x＋2，求f（x）；
（2）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）.
通性通法
换元法（配凑法）求函数解析式
已知f（g（x））＝h（x）求f（x），有两种方法：
（1）换元法：即令t＝g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f（x）的解析式.利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f（x）的定义域；
（2）配凑法：即从f（g（x））的解析式中配凑出g（x），用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
角度3 方程组法求函数解析式
【例4】 已知f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，求f（x）.
通性通法
方程组法求函数解析式
方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f（－x），f（x）的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f（－x），f（x）的方程，联立解出f（x）.
【跟踪训练】
（1）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，求f（x）；
（2）已知函数f（x＋1）＝3x＋2，求f（x）；
（3）已知f（x－）＝x2＋，求f（x）；
（4）已知f（x）＋2f（）＝x（x≠0），求f（x）.
1.下列各式为y关于x的函数解析式的是（ ）
A.y＝（x≥0） B.y2＝x（x≥0）
C.x2＋y2＝1 D.｜y｜＝x2＋1
2.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出.
x 4 5 6
f（x） 1 3 1
x 1 2 3
g（x） 4 5 4
则g（f（5））＝ ；f（g（2））＝ .
3.（2024·扬州中学期中）已知f（x＋1）＝x2＋x＋1，则f（x）＝ .
4.某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与销售额y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
第1课时 函数的表示方法
【基础知识·重落实】
知识点
列表 等式 图象
自我诊断
1.C 设y＝，由题意得1＝，解得k＝2，所以y＝.故选C.
2.C 这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14（℃），故C错误.
3.1
【典型例题·精研析】
【例1】 解：①解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}.
②列表法：
x/本 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
③图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示.
函数的值域是{2，4，6，8}.
跟踪训练
解：用图象法表示函数y＝f（x），如图所示.
用列表法表示函数y＝f（x），如表所示.
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
【例2】 解：（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋.
（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
则f（x＋1）＋f（x－1）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
则得
∴f（x）＝x2－2x－1.
【例3】 解：（1）法一（换元法） 令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1，
所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（配凑法） f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1.
因为＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
（2）f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1，
所以f（x）＝2x－1.
【例4】 解：因为f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，
将x换成－x，得f（－x）＋2f（x）＝x2－2x，
联立，得
将①、②两式消去f（－x），得3f（x）＝x2－6x，
所以f（x）＝x2－2x.
跟踪训练
解：（1）设f（x）＝ax＋b（a≠0），
则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b.
又f（f（x））＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
∴f（x）＝2x＋或f（x）＝－2x－8.
（2）法一（换元法） 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1，∴f（x）＝3x－1.
法二（配凑法） ∵f（x＋1）＝3x＋2＝3（x＋1）－1，
∴f（x）＝3x－1.
（3）∵f（x－）＝x2＋＝（x－）2＋2，
∴f（x）＝x2＋2（x≠0）.
（4）∵f（x）＋2f（）＝x， ①
用代替x得f（）＋2f（x）＝， ②
由2×②－①，消去f（）并整理得f（x）＝－（x≠0），
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－（x≠0）.
随堂检测
1.A 对于A，对任意的x≥0，按照对应关系y＝都有唯一确定的y与之对应，符合函数的定义，而B、C、D都不符合函数的定义，故选A.
2.4 3 解析：由题表可知f（5）＝3，g（3）＝4，∴g（f（5））＝g（3）＝4.又g（2）＝5，f（5）＝3，∴f（g（2））＝f（5）＝3.
3.x2－x＋1 解析：法一 因为f（x＋1）＝x2＋x＋1＝（x＋1）2－（x＋1）＋1，所以f（x）＝x2－x＋1.
法二 令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f（t）＝（t－1）2＋（t－1）＋1＝t2－t＋1，所以f（x）＝x2－x＋1.
4.解：（1）列表法如表：
x（台） 1 2 3 4 5
y（元） 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x（台） 6 7 8 9 10
y（元） 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：如图所示.
（3）解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
4 / 4(共56张PPT)
5.2 函数的表示方法
新课程标准解读 核心素养
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方
法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解
函数图象的作用 数学抽象、直
观想象
2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单
应用 数学抽象、数
学运算
第1课时 函数的表示方法
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380
千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶 x 小时
后，路程为 y 千米，则 y 是 x 的函数，可以用 y ＝300 x 来表示，其中 y
＝300 x 叫作该函数的解析式；
（2）如图是我国近五年出生人口变化曲线：
（3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
【问题】 根据初中所学知识，说出上述3个实例分别是用什么
方法表示函数的？
知识点 函数的表示法
提醒 函数三种表示法的优缺点比较
1. 已知 y 与 x 成反比，且当 x ＝2时， y ＝1，则 y 关于 x 的函数关系式
为（ ）
B. y ＝－ x
解析： 设 y ＝ ，由题意得1＝ ，解得 k ＝2，所以 y ＝ .
故选C.
2. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可
知，下列说法中错误的是（ ）
A. 这天15时的温度最高
B. 这天3时的温度最低
C. 这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D. 这天21时的温度是30 ℃
解析： 这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14（℃），
故C错误.
3. （2024·淮安质检）已知函数 f （ x ）由下表给出，则 f （ f （3））
＝ .
x 1 2 3 4
f （ x ） 3 2 4 1
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数的三种表示方法
【例1】 （链接教科书第113页例1）购买某种笔记本 x 本，需要 y
元.若每本2元，试分别用解析法、列表法、图象法将 y 表示成 x （ x
∈{1，2，3，4}）的函数，并指出该函数的值域.
解：①解析法： y ＝2 x ， x ∈{1，2，3，4}.
②列表法：
x/本 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
③图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示.
函数的值域是{2，4，6，8}.
通性通法
1. 函数的三种表示法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函
数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采
用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义
域内自变量的个数较少.
2. 用三种表示法表示函数时的注意点
（1）解析法必须注明函数的定义域；
（2）列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；
（3）图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝－ x －1， x ∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列
表法表示函数 y ＝ f （ x ）.
解：用图象法表示函数 y ＝ f （ x ），如图所示.
用列表法表示函数 y ＝ f （ x ），如表所示.
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
题型二 函数解析式的求法
角度1 用待定系数法求函数解析式
【例2】 （1）已知 f （ x ）是一次函数，且 f （ f （ x ））＝16 x －
25，求 f （ x ）；
解：设 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ≠0），
则 f （ f （ x ））＝ k （ kx ＋ b ）＋ b ＝ k2 x ＋ kb ＋ b ＝16 x －25，
∴∴或
∴ f （ x ）＝4 x －5或 f （ x ）＝－4 x ＋ .
（2）已知 f （ x ）为二次函数，且 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝2 x2－4
x ，求 f （ x ）.
解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0），
则 f （ x ＋1）＋ f （ x －1）＝ a （ x ＋1）2＋ b （ x ＋1）＋ c ＋ a
（ x －1）2＋ b （ x －1）＋ c ＝2 ax2＋2 bx ＋2 a ＋2 c ＝2 x2－4 x ，
则得∴ f （ x ）＝ x2－2 x －1.
通性通法
用待定系数法求函数解析式的步骤
（1）设出所求函数含有待定系数的解析式；
（2）把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，得到待定系数的值；
（4）将所求待定系数的值带回所设的解析式.
角度2 利用换元法（配凑法）求函数解析式
【例3】 求下列函数的解析式：
（1）已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，求 f （ x ）；
解：法一（换元法） 令 t ＝ ＋1，则 x ＝（ t －1）2， t ≥1，
所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋2（ t －1）＝ t2－1（ t ≥1），
所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x ≥1）.
法二（配凑法） f （ ＋1）＝ x ＋2 ＝ x ＋2 ＋1－1＝
（ ＋1）2－1.
因为 ＋1≥1，所以 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ x2－1（ x
≥1）.
（2）已知 f （ x ＋2）＝2 x ＋3，求 f （ x ）.
解：） f （ x ＋2）＝2 x ＋3＝2（ x ＋2）－1，
所以 f （ x ）＝2 x －1.
通性通法
换元法（配凑法）求函数解析式
已知 f （ g （ x ））＝ h （ x ）求 f （ x ），有两种方法：
（1）换元法：即令 t ＝ g （ x ），解出 x ，代入 h （ x ）中，得到一个
含 t 的解析式，再用 x 替换 t ，便得到 f （ x ）的解析式.利用换元
法解题时，换元后要确定新元 t 的取值范围，即函数 f （ x ）的定
义域；
（2）配凑法：即从 f （ g （ x ））的解析式中配凑出 g （ x ），用 g
（ x ）来表示 h （ x ），然后将解析式中的 g （ x ）用 x 代替即可.
角度3 方程组法求函数解析式
【例4】 已知 f （ x ）＋2 f （－ x ）＝ x2＋2 x ，求 f （ x ）.
解：因为 f （ x ）＋2 f （－ x ）＝ x2＋2 x ，
将 x 换成－ x ，得 f （－ x ）＋2 f （ x ）＝ x2－2 x ，
联立，得
将①、②两式消去 f （－ x ），
得3 f （ x ）＝ x2－6 x ，
所以 f （ x ）＝ x2－2 x .
通性通法
方程组法求函数解析式
方程组法（消去法），适用于自变量具有对称规律的函数表达
式，如互为相反数的 f （－ x ）， f （ x ）的函数方程，通过对称规律
再构造一个关于 f （－ x ）， f （ x ）的方程，联立解出 f （ x ）.
【跟踪训练】
（1）已知函数 f （ x ）是一次函数，若 f （ f （ x ））＝4 x ＋8，求 f
（ x ）；
解：设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），
则 f （ f （ x ））＝ f （ ax ＋ b ）＝ a （ ax ＋ b ）＋ b ＝ a2 x ＋ ab ＋ b .
又 f （ f （ x ））＝4 x ＋8，∴ a2 x ＋ ab ＋ b ＝4 x ＋8，
即解得或
∴ f （ x ）＝2 x ＋ 或 f （ x ）＝－2 x －8.
（2）已知函数 f （ x ＋1）＝3 x ＋2，求 f （ x ）；
解：法一（换元法） 令 x ＋1＝ t ，∴ x ＝ t －1，
∴ f （ t ）＝3（ t －1）＋2＝3 t －1，∴ f （ x ）＝3 x －1.
法二（配凑法） ∵ f （ x ＋1）＝3 x ＋2＝3（ x ＋1）－1，
∴ f （ x ）＝3 x －1.
（3）已知 f （ x － ）＝ x2＋ ，求 f （ x ）；
解：∵ f （ x － ）＝ x2＋ ＝（ x － ）2＋2，
∴ f （ x ）＝ x2＋2（ x ≠0）.
（4）已知 f （ x ）＋2 f （ ）＝ x （ x ≠0），求 f （ x ）.
解：∵ f （ x ）＋2 f （ ）＝ x ， ①
用 代替 x 得 f （ ）＋2 f （ x ）＝ ， ②
由2×②－①，消去 f （ ）并整理得 f （ x ）＝ － （ x ≠0），
∴函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ － （ x ≠0）.
1. 下列各式为 y 关于 x 的函数解析式的是（ ）
B. y2＝ x （ x ≥0）
C. x2＋ y2＝1 D. ｜ y ｜＝ x2＋1
解析： 对于A，对任意的 x ≥0，按照对应关系 y ＝ 都有唯一
确定的 y 与之对应，符合函数的定义，而B、C、D都不符合函数的
定义，故选A.
2. 已知函数 f （ x ）， g （ x ）分别由下表给出.
x 4 5 6
f （ x ） 1 3 1
x 1 2 3
g （ x ） 4 5 4
则 g （ f （5））＝ ； f （ g （2））＝ .
解析：由题表可知 f （5）＝3， g （3）＝4，∴ g （ f （5））＝
g （3）＝4.又 g （2）＝5， f （5）＝3，∴ f （ g （2））＝ f
（5）＝3.
4
3
3. （2024·扬州中学期中）已知 f （ x ＋1）＝ x2＋ x ＋1，则 f （ x ）
＝ .
解析：法一 因为 f （ x ＋1）＝ x2＋ x ＋1＝（ x ＋1）2－（ x ＋1）
＋1，所以 f （ x ）＝ x2－ x ＋1.
x2－ x ＋1
法二 令 x ＋1＝ t ，则 x ＝ t －1，所以 f （ t ）＝（ t －1）2＋（ t －1）
＋1＝ t2－ t ＋1，所以 f （ x ）＝ x2－ x ＋1.
4. 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数 x 与销售
额 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解：（1）列表法如表：
x （台） 1 2 3 4 5
y （元） 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x （台） 6 7 8 9 10
y （元） 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：如图所示.
（3）解析法： y ＝3 000 x ， x ∈{1，2，3，…，10}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ＋1）＝ ，则 f （2）＝（ ）
A. 0 C. 3
解析： 令 x ＋1＝2， x ＝1，∴ f （2）＝ ＝0.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知函数 y ＝ f （ x ）的对应关系如下表，函数 y ＝ g （ x ）的图象
是如图的曲线 ABC ，其中 A （1，3）， B （2，1）， C （3，2），
则 f （ g （2））的值为（ ）
x 1 2 3
f （ x ） 2 3 0
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 由函数 g （ x ）的图象知， g （2）＝1，则 f （ g （2））
＝ f （1）＝2.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 若 f （ x ）是一次函数，2 f （2）－3 f （1）＝5，2 f （0）－ f （－
1）＝1，则 f （ x ）＝（ ）
A. 3 x ＋2 B. 3 x －2
C. 2 x ＋3 D. 2 x －3
解析： 设 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），由题设有
解得故 f （ x ）＝3 x －2，
故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离 s （m）与散步所用的时间 t （min）之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是（ ）
A. 从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B. 从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了
一段，然后回家了
C. 从家出发，散了一会儿步（没有停留），然后回家了
D. 从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家
距离达到500 m，说明小明从家出发后，到一个固定的地方停留了
一会儿，继续向前走了一段，然后回家了.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）已知函数 f （ x ＋1）＝ x2－3 x ，且 f （ a ）＝－2，则 a 的
值为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 由 x2－3 x ＝－2得 x ＝1或 x ＝2，所以 a ＝1＋1＝2或 a
＝1＋2＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： f （2 x ＋1）＝ x2，令 t ＝2 x ＋1，则 x ＝ ，所以 f
（ t ）＝ ＝ ，则 f （ x ）＝ ，故B正确，C错
误； f （－3）＝ ＝4，故A正确； f （3）＝
＝1，故D错误.故选A、B.
6. （多选）已知 f （2 x ＋1）＝ x2，则下列结论正确的是（ ）
A. f （－3）＝4
C. f （ x ）＝ x2 D. f （3）＝9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （2024·徐州期中）已知函数 f （ x ）对任意实数 x 都有 f （ x ）＋2 f
（－ x ）＝2 x ＋1，则 f （ x ）＝
解析：由题意得，解得， f （ x ）
＝－2 x ＋ .
－2 x ＋
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积
y （cm3）与长方体的宽 x （cm）之间的表达式是
.
解析：由题意知，长方体的长为（ x ＋10）cm，从而长方体的体积
y ＝80 x （ x ＋10）， x ＞0.
y ＝80 x （ x ＋
10）， x ∈（0，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知函数 f （ x ）对任意实数 x ， y 均有 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f
（ y ），且 f （2）＝1，则 f （1）＝ ， f （ ）＝ .
解析：∵ f （2）＝ f （2×1）＝ f （2）＋ f （1），∴ f （1）＝0.又 f
（1）＝ f （2× ）＝ f （2）＋ f （ ）＝0，∴ f （ ）＝－1.
0
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长
各做成一个正方形.试用函数的三种表示法表示两个正方形的面积
和 S 与其中一段铁丝长 x （ x ∈N*）的函数关系.
解：这个函数的定义域为{ x ｜1≤ x ＜10， x ∈N*}.
（1）解析法： S ＝（ ）2＋（ ）2，整理得 S ＝ x2－ x ＋
， x ∈{ x ｜1≤ x ＜10， x ∈N*}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）列表法：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
（3）图象法（如图）：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于 x 的每一个
值， y 总有一个完全确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数”.这个
定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范
围中的每一个值，都有一个确定的 y 与之对应，不管这个对应的
法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数 f （ x ）由下表
给出，则 f ＝（ ）
x x ≤1 1＜ x ＜2 x ≥2
f （ x ） 1 2 3
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： ∵ ∈（－∞，1]，∴ f ＝1，则10 f ＝10，
∴ f ＝ f （10）.又∵10∈[2，＋∞），∴ f （10）＝
3，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）设 f （ x ）＝ ，则下列结论正确的有（ ）
A. f （－ x ）＝－ f （ x ） B. f （－ x ）＝ f （ x ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 因为 f （ x ）＝ ，所以 f （－ x ）＝ ＝ f
（ x ），故A错误，B正确； f （ ）＝ ＝ ＝－ f
（ x ），故C正确； f （－ ）＝ ＝ ＝－ f （ x ），故
D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知函数 f （ x ）＝ x ＋1，则 f （ f （ f （ x ）））的表达式为
； 的表达式
为 .
f （ f
（ f （ x ）））＝ x ＋3
n 个 f （ n ∈N*）＝ x ＋ n
解析：当 n ＝1， f （ x ）＝ x ＋1，当 n ＝2， f （ f （ x ））＝（ x ＋
1）＋1＝ x ＋2，当 n ＝3， f （ f （ f （ x ）））＝（ x ＋2）＋1＝ x
＋3，当 n ＝4， f （ f （ f （ f （ x ））））＝（ x ＋3）＋1＝ x ＋4，归纳推理可知，
n 个 f
（ n ∈N*）＝ x ＋ n .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 设二次函数 f （ x ）满足 f （ x －2）＝ f （－ x －2），且图象
与 y 轴交点的纵坐标为1，被 x 轴截得的线段长为2 ，求 f
（ x ）的解析式.
解：设 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）.
由 f （ x －2）＝ f （－ x －2）得4 a － b ＝0， ①
又因为｜ x1－ x2｜＝ ＝2 ，
所以 b2－4 ac ＝8 a2， ②
又由已知得 c ＝1， ③
由①②③解得 a ＝ ， b ＝2， c ＝1，
所以 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 若函数 f （ x ）满足2 f （ x ）－ f （－ x ）＝ x2－3 x ＋1.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解：（1）函数 f （ x ）满足2 f （ x ）－ f （－ x ）＝ x2－3 x ＋
1， ①
则有2 f （－ x ）－ f （ x ）＝ x2＋3 x ＋1， ②
由①②可得， f （ x ）＝ x2－ x ＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若在区间[－1，1]上不等式 f （ x ）＞2 x ＋ m 有解，求实数
m 的取值范围.
解：由题意可得， x2－ x ＋1＞2 x ＋ m 在[－1，1]上有解，
即 x2－3 x ＋1－ m ＞0在[－1，1]上有解，
令 g （ x ）＝ x2－3 x ＋1－ m ＝（ x － ）2－ － m ，
其对称轴为直线 x ＝ ，
则 g （ x ）在区间[－1，1]上的最大值为 g （－1），
故 g （－1）＝1＋3＋1－ m ＞0，解得 m ＜5，
所以实数 m 的取值范围为（－∞，5）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！5.2 函数的表示方法
第1课时 函数的表示方法
1.已知函数f（x＋1）＝，则f（2）＝（ ）
A.0 B. C.3 D.
2.已知函数y＝f（x）的对应关系如下表，函数y＝g（x）的图象是如图的曲线ABC，其中A（1，3），B（2，1），C（3，2），则f（g（2））的值为（ ）
x 1 2 3
f（x） 2 3 0
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，则f（x）＝（ ）
A.3x＋2 B.3x－2 C.2x＋3 D.2x－3
4.星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是（ ）
A.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C.从家出发，散了一会儿步（没有停留），然后回家了
D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
5.（多选）已知函数f（x＋1）＝x2－3x，且f（a）＝－2，则a的值为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
6.（多选）已知f（2x＋1）＝x2，则下列结论正确的是（ ）
A.f（－3）＝4 B.f（x）＝
C.f（x）＝x2 D.f（3）＝9
7.（2024·徐州期中）已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）＋2f（－x）＝2x＋1，则f（x）＝ .
8.若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y（cm3）与长方体的宽x（cm）之间的表达式是 .
9.已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（xy）＝f（x）＋f（y），且f（2）＝1，则f（1）＝ ，f（）＝ .
10.将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.试用函数的三种表示法表示两个正方形的面积和S与其中一段铁丝长x（x∈N*）的函数关系.
11.德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f（x）由下表给出，则f＝（ ）
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
f（x） 1 2 3
A.0 B.1
C.2 D.3
12.（多选）设f（x）＝，则下列结论正确的有（ ）
A.f（－x）＝－f（x） B.f（－x）＝f（x）
C.f（）＝－f（x） D.f（－）＝f（x）
13.已知函数f（x）＝x＋1，则f（f（f（x）））的表达式为 ；的表达式为 .
14.设二次函数f（x）满足f（x－2）＝f（－x－2），且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f（x）的解析式.
15.若函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝x2－3x＋1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[－1，1]上不等式f（x）＞2x＋m有解，求实数m的取值范围.
第1课时 函数的表示方法
1.A 令x＋1＝2，x＝1，∴f（2）＝＝0.故选A.
2.C 由函数g（x）的图象知，g（2）＝1，则f（g（2））＝f（1）＝2.故选C.
3.B 设f（x）＝ax＋b（a≠0），由题设有解得故f（x）＝3x－2，故选B.
4.B 水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家距离达到500 m，说明小明从家出发后，到一个固定的地方停留了一会儿，继续向前走了一段，然后回家了.故选B.
5.AB 由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2＝3.
6.AB f（2x＋1）＝x2，令t＝2x＋1，则x＝，所以f（t）＝＝，则f（x）＝，故B正确，C错误；f（－3）＝＝4，故A正确；f（3）＝＝1，故D错误.故选A、B.
7.－2x＋ 解析：由题意得，解得，f（x）＝－2x＋.
8.y＝80x（x＋10），x∈（0，＋∞）
解析：由题意知，长方体的长为（x＋10）cm，从而长方体的体积y＝80x（x＋10），x＞0.
9.0 －1 解析：∵f（2）＝f（2×1）＝f（2）＋f（1），∴f（1）＝0.又f（1）＝f（2×）＝f（2）＋f（）＝0，∴f（）＝－1.
10.解：这个函数的定义域为{x｜1≤x＜10，x∈N*}.
（1）解析法：S＝（）2＋（）2，整理得S＝x2－x＋，x∈{x｜1≤x＜10，x∈N*}.
（2）列表法：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
（3）图象法（如图）：
11.D ∵∈（－∞，1]，∴f＝1，则10f＝10，∴f＝f（10）.又∵10∈[2，＋∞），∴f（10）＝3，故选D.
12.BC 因为f（x）＝，所以f（－x）＝＝f（x），故A错误，B正确；f（）＝＝＝－f（x），故C正确；f（－）＝＝＝－f（x），故D错误.故选B、C.
13.f（f（f（x）））＝x＋3
n个f（n∈N*）＝x＋n 解析：当n＝1，f（x）＝x＋1，当n＝2，f（f（x））＝（x＋1）＋1＝x＋2，当n＝3，f（f（f（x）））＝（x＋2）＋1＝x＋3，当n＝4，f（f（f（f（x））））＝（x＋3）＋1＝x＋4，归纳推理可知，（n∈N*）＝x＋n.
14.解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
由f（x－2）＝f（－x－2）得4a－b＝0， ①
又因为｜x1－x2｜＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2， ②
又由已知得c＝1， ③
由①②③解得a＝，b＝2，c＝1，
所以f（x）＝x2＋2x＋1.
15.解：（1）函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝x2－3x＋1， ①
则有2f（－x）－f（x）＝x2＋3x＋1， ②
由①②可得，f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意可得，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上有解，
即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上有解，
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝（x－）2－－m，其对称轴为直线x＝，则g（x）在区间[－1，1]上的最大值为g（－1），
故g（－1）＝1＋3＋1－m＞0，解得m＜5，
所以实数m的取值范围为（－∞，5）.
1 / 2
