第2课时 分段函数
某市公共汽车的票价按下列规则实施：（1）5千米以内（包含5千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站之间相距1千米，沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站.
【问题】 （1）从起点站出发，公共汽车的行程x（千米）与票价y（元）是函数关系吗？
（2）若是函数关系，则函数的表达式是什么？
知识点 分段函数
1.定义：在定义域内不同部分上，有不同的 ，像这样的函数，通常叫作分段函数.
2.本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的对应关系.
提醒 关于分段函数概念的再理解：①分段函数是一个函数，而不是几个函数；②分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
1.（多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
2.（2024·镇江中学期中）已知f（x）＝则f（7）＝ .
3.函数y＝的定义域为 ，值域为 .
题型一 分段函数的图象与求值
【例1】 （链接教科书第113页例2）画出函数f（x）＝｜x2－1｜的图象，并求f（－2），f（1）的值.
通性通法
1.分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，要注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
2.分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值.
3.已知函数值求参数取值（范围）的步骤
（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；
（2）解方程（不等式）求参数的值（范围），并检验是否符合参数的取值范围；
（3）符合题意的所有值（范围的并集）即为所求.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）＝则f＝（ ）
A. B.4
C.3 D.－3
2.已知f（x）＝若f（a）≤－3，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－3，－1]∪[1，3] B.（－3，－1]∪[1，3）
C.[－2，－1]∪[1，2] D.[－3，3]
题型二 分段函数的定义域与值域
【例2】 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域：
（1）y＝
（2）y＝
通性通法
分段函数的定义域与值域的求法
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，要先求出每段函数的定义域，然后再求所有定义域的并集；
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集，求分段函数的值域要分段进行，就是把分段函数各个分段上的函数看作一个独立的函数，分别求出它们的值域，各个分段上的函数值域的并集就是这个分段函数的值域.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝1＋（－2＜x≤2）.
（1）用分段函数的形式表示函数f（x）；
（2）画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的值域.
题型三 分段函数的实际应用
【例3】 （链接教科书第114页例3）某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米5元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米10元收费.
（1）试写出应缴水费额（单位：元）关于用水量（单位：立方米）的函数解析式；
（2）若某职工某月缴水费80元，则该职工这个月实际用水量为多少立方米？
通性通法
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
【跟踪训练】
某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，将汽车离A地的距离s（km）表示为时间t（h）（从A地出发时开始）的函数，再把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数.
1.设函数f（x）＝则f（f（3））＝（ ）
A. B.3
C. D.
2.（2024·连云港东海县期中）已知函数f（x）＝若f（a）＝2，则a＝（ ）
A.0或1 B.－1或1
C.0或－2 D.－2或－1
3.函数f（x）＝的图象是（ ）
4.已知f（x）＝
（1）作出f（x）的图象；
（2）求f（x）的定义域和值域.
第2课时 分段函数
【基础知识·重落实】
知识点
1.解析表达式
自我诊断
1.AD B中的函数f（x）＝中，当x＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数f（x）＝中，当x＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数.故选A、D.
2.8 解析：f（x）＝f（7）＝f（11）＝11－3＝8.
3.（－∞，0）∪（0，＋∞） {－2}∪（0，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 f（x）＝
图象如图所示.其中f（－2）＝（－2）2－1＝3，f（1）＝－12＋1＝0.
法二 先画出函数f（x）＝x2－1的图象，然后将x轴下方的图象作关于x轴对称，即得函数f（x）＝｜x2－1｜的图象.其中f（－2）＝（－2）2－1＝3，f（1）＝－12＋1＝0.
跟踪训练
1.A 依题意知f（2）＝22＋2－2＝4，则f＝f＝1－＝.故选A.
2.A 当a≤0时，a2＋4a≤－3，a∈[－3，－1]；当a＞0时，a2－4a≤－3，a∈[1，3].因此，a∈[－3，－1]∪[1，3].故选A.
【例2】 解：各函数对应图象如图所示：
由图象知，（1）的定义域是（0，＋∞），值域是[1，＋∞）；
（2）的定义域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6].
跟踪训练
解：（1）当0≤x≤2时，f（x）＝1＋＝1，
当－2＜x＜0时，f（x）＝1＋＝1－x.
所以f（x）＝
（2）函数f（x）的图象如图所示.
（3）由（2）知，f（x）在（－2，2]上的值域为[1，3）.
【例3】 解：（1）设该单位职工每月用水量为x立方米时，应缴水费额为y元，则由题意得，当0≤x≤10时，y＝5x；
当x＞10时，按每立方米10元收费的费用为10（x－10），
即y＝10×5＋10（x－10）.
所以，应缴水费额关于用水量的函数解析式为y＝
即y＝
（2）若某职工某月缴水费80元，由y＝80，可知x＞10.
令10x－50＝80，解得x＝13.
故该职工这个月实际用水量为13立方米.
跟踪训练
解：从A地到B地所需时间为＝2.5（h），从B地到A地所需时间为＝3（h），
所以当0＜t≤2.5时，s＝60t；
当2.5＜t≤3.5时，s＝150；
当3.5＜t≤6.5时，s＝150－50（t－3.5）＝－50t＋325，
所以s＝
v＝
随堂检测
1.D 由题意得f（3）＝，从而f（f（3））＝f＝＋1＝.故选D.
2.A 当a≤0时，则f（a）＝a＋2＝2，解得a＝0，符合题意；当a＞0时，则f（a）＝a＋＝2，即a2－2a＋1＝0，解得a＝1，符合题意.综上所述，a＝0或1.故选A.
3.C 当x＞0时，f（x）＝1；当x＜0时，f（x）＝－1.故选C.
4.解：（1）利用描点法，作出f（x）的图象.如图所示.
（2）由条件知，函数f（x）的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f（x）＝x2的值域为[0，1]；
当x＞1，或x＜－1时，f（x）＝1，
所以f（x）的值域为[0，1].
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第2课时 分段函数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某市公共汽车的票价按下列规则实施：（1）5千米以内（包含5
千米），票价2元；（2）5千米以上，每增加5千米，票价增加1元
（不足5千米的按5千米计算）.已知两个相邻的公共汽车站之间相距1
千米，沿途（包括起点站和终点站）共有11个汽车站.
【问题】 （1）从起点站出发，公共汽车的行程 x （千米）与票价 y
（元）是函数关系吗？
（2）若是函数关系，则函数的表达式是什么？
知识点 分段函数
1. 定义：在定义域内不同部分上，有不同的 ，像这样
的函数，通常叫作分段函数.
2. 本质：函数在定义域的不同子集内，有着不同的对应关系.
提醒 关于分段函数概念的再理解：①分段函数是一个函数，而不
是几个函数；②分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义
域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集.
解析表达式
1. （多选）下列给出的函数是分段函数的是（ ）
解析： B中的函数 f （ x ）＝中，当 x ＝4时，
有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函
数 f （ x ）＝中，当 x ＝1时，有两个值与之
对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A、D中的函数满
足分段函数的定义，是分段函数.故选A、D.
2. （2024·镇江中学期中）已知 f （ x ）＝则 f （7）
＝ .
解析： f （ x ）＝ f （7）＝ f （11）＝11－3＝8.
3. 函数 y ＝的定义域为 ，
值域为 .
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（－∞，0）∪（0，＋∞）
{－2}∪（0，＋∞）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分段函数的图象与求值
【例1】 （链接教科书第113页例2）画出函数 f （ x ）＝｜ x2－1｜的
图象，并求 f （－2）， f （1）的值.
解：法一 f （ x ）＝
图象如图所示.其中 f （－2）＝（－2）2－1＝3， f
（1）＝－12＋1＝0.
法二 先画出函数 f （ x ）＝ x2－1的图象，然后将 x 轴下方的图象作
关于 x 轴对称，即得函数 f （ x ）＝｜ x2－1｜的图象.其中 f （－2）＝
（－2）2－1＝3， f （1）＝－12＋1＝0.
通性通法
1. 分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，先不管定义域的限
制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，要注意接点处
点的虚实，保证不重不漏.
2. 分段函数求函数值的方法
（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；
（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f （ f
（ x0））的形式时，应从内到外依次求值.
3. 已知函数值求参数取值（范围）的步骤
（1）先将参数分情况代入解析式，列出方程（不等式）；
（2）解方程（不等式）求参数的值（范围），并检验是否符合参
数的取值范围；
（3）符合题意的所有值（范围的并集）即为所求.
【跟踪训练】
1. 设函数 f （ x ）＝则 f ＝（ ）
B. 4
C. 3 D. －3
解析： 依题意知 f （2）＝22＋2－2＝4，则 f ＝ f ＝
1－ ＝ .故选A.
2. 已知 f （ x ）＝若 f （ a ）≤－3，则实数 a 的取值
范围为（ ）
A. [－3，－1]∪[1，3] B. （－3，－1]∪[1，3）
C. [－2，－1]∪[1，2] D. [－3，3]
解析： 当 a ≤0时， a2＋4 a ≤－3， a ∈[－3，－1]；当 a ＞0
时， a2－4 a ≤－3， a ∈[1，3].因此， a ∈[－3，－1]∪[1，3].
故选A.
题型二 分段函数的定义域与值域
【例2】 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域：
（1） y ＝
（2） y ＝
（2）的定义域是（－∞，＋∞），值域是（－6，6].
解：各函数对应图象如图所示：由图象知，（1）的定义域是
（0，＋∞），值域是[1，＋∞）；
通性通法
分段函数的定义域与值域的求法
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，要先求出每段函
数的定义域，然后再求所有定义域的并集；
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集，求分段函数的值域要
分段进行，就是把分段函数各个分段上的函数看作一个独立的
函数，分别求出它们的值域，各个分段上的函数值域的并集就
是这个分段函数的值域.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝1＋ （－2＜ x ≤2）.
（1）用分段函数的形式表示函数 f （ x ）；
解：当0≤ x ≤2时， f （ x ）＝1＋ ＝1，
当－2＜ x ＜0时， f （ x ）＝1＋ ＝1－ x .
所以 f （ x ）＝
（2）画出函数 f （ x ）的图象；
解：函数 f （ x ）的图象如图所示.
（3）写出函数 f （ x ）的值域.
解：由（2）知， f （ x ）在（－2，2]上的值域为[1，3）.A
题型三 分段函数的实际应用
【例3】 （链接教科书第114页例3）某单位为鼓励职工节约用水，
作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方
米5元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米10元收费.
（1）试写出应缴水费额（单位：元）关于用水量（单位：立方米）
的函数解析式；
解：设该单位职工每月用水量为 x 立方米时，应缴水费额为 y
元，则由题意得，当0≤ x ≤10时， y ＝5 x ；
当 x ＞10时，按每立方米10元收费的费用为10（ x －10），
即 y ＝10×5＋10（ x －10）.
所以，应缴水费额关于用水量的函数解析式为 y ＝
即 y ＝
（2）若某职工某月缴水费80元，则该职工这个月实际用水量为多少
立方米？
解：若某职工某月缴水费80元，由 y ＝80，可知 x ＞10.
令10 x －50＝80，解得 x ＝13.
故该职工这个月实际用水量为13立方米.
通性通法
分段函数的实际应用
（1）当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段
函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要
分段画；
（2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变
量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的
函数解析式.
【跟踪训练】
某人开汽车以60 km/h的速度从 A 地到150 km远处的 B 地，在 B 地停留
1 h后，再以50 km/h的速度返回 A 地，将汽车离 A 地的距离 s （km）表
示为时间 t （h）（从 A 地出发时开始）的函数，再把车速 v （km/h）
表示为时间 t （h）的函数.
解：从 A 地到 B 地所需时间为 ＝2.5（h），从 B 地到 A 地所需时间
为 ＝3（h），
所以当0＜ t ≤2.5时， s ＝60 t ；
当2.5＜ t ≤3.5时， s ＝150；
当3.5＜ t ≤6.5时， s ＝150－50（ t －3.5）＝－50 t ＋325，
所以 s ＝
v ＝
1. 设函数 f （ x ）＝则 f （ f （3））＝（ ）
B. 3
解析： 由题意得 f （3）＝ ，从而 f （ f （3））＝ f ＝
＋1＝ .故选D.
2. （2024·连云港东海县期中）已知函数 f （ x ）＝若
f （ a ）＝2，则 a ＝（ ）
A. 0或1 B. －1或1
C. 0或－2 D. －2或－1
解析： 当 a ≤0时，则 f （ a ）＝ a ＋2＝2，解得 a ＝0，符合题
意；当 a ＞0时，则 f （ a ）＝ a ＋ ＝2，即 a2－2 a ＋1＝0，解得 a
＝1，符合题意.综上所述， a ＝0或1.故选A.
3. 函数 f （ x ）＝ 的图象是（ ）
解析： 当 x ＞0时， f （ x ）＝1；当 x ＜0时， f （ x ）＝－
1.故选C.
4. 已知 f （ x ）＝
（1）作出 f （ x ）的图象；
解：利用描点法，作出 f （ x ）的图象.如图所示.
（2）求 f （ x ）的定义域和值域.
解：由条件知，函数 f （ x ）的定义域为R. 由图象知，
当－1≤ x ≤1时， f （ x ）＝ x2的值域为[0，1]；
当 x ＞1，或 x ＜－1时， f （ x ）＝1，
所以 f （ x ）的值域为[0，1].
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设函数 f （ x ）＝则 f （ ）的值为（ ）
D. 18
解析： 当 x ＞1时， f （ x ）＝ x2＋ x －2，则 f （2）＝4，
＝ .当 x ≤1时， f （ x ）＝1－ x2，则 f （ ）＝ f （ ）＝1－
＝ .
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2. 已知函数 f （ x ）＝则函数 f （ x ）的图象是
（ ）
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解析： 当 x ＝－1时， f （ x ）＝0，即图象过点（－1，0），D
错；当 x ＝0时， f （ x ）＝1，即图象过点（0，1），C错；当 x ＝1
时， f （ x ）＝2，即图象过点（1，2），B错.故选A.
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3. 已知 f （ x ）＝则 f （3）＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： f （3）＝ f （3＋2）＝ f （5）， f （5）＝ f （5＋2）＝ f
（7）.∵ f （7）＝7－5＝2，故 f （3）＝2.故选A.
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4. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＋ f （1）＝0，则实数
a ＝（ ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析： ∵ f （ a ）＋ f （1）＝0，∴ f （ a ）＝－ f （1）＝－2，
当 a ＞0时，2 a ＝－2，∴ a ＝－1，舍去，当 a ≤0时， a ＋1＝－
2，∴ a ＝－3.
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5. （多选）函数 f （ x ）的图象如图所示，则 f （ x ）的解析式是（ ）
C. f （ x ）＝－｜ x ｜＋1
D. f （ x ）＝｜ x ＋1｜
解析： 通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验
证，可知A、C正确.故选A、C.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝关于函数 f
（ x ）的结论正确的是（ ）
A. f （ x ）的定义域是R
B. f （ x ）的值域是（－∞，5）
D. f （ x ）图象与 y ＝2有两个交点
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解析： A中，函数 f （ x ）的定义域为（－∞，－1]∪（－1，
2），即（－∞，2），故A错误；B中， x ≤－1时， f （ x ）＝ x ＋
2∈（－∞，1]，－1＜ x ＜2时， x2∈[0，4），故 f （ x ）＝ x2＋
1∈[1，5），故值域为（－∞，5），B正确；C中，由分段的取值
可知 f （ x ）＝3时 x ∈（－1，2），即 f （ x ）＝ x2＋1＝3，解得 x
＝ 或 x ＝－ （舍去），故C正确；D中，由分段的取值可知，
f （ x ）＝2时 x ∈（－1，2），即 f （ x ）＝ x2＋1＝2，解得 x ＝1或
x ＝－1（舍去），故 f （ x ）图象与 y ＝2有1个交点，故D错误.故
选B、C.
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7. 已知 f （ x ）＝则 f ＋ f ＝ .
解析：∵ f （ x ）＝∴ f ＝ f ＝ f
＝ f ＝ f ＝ ×2＝ ， f ＝2× ＝ ，∴ f
＋ f ＝ ＋ ＝4.
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8. 设函数 f （ x ）＝若 f （ m ）＞ m ，则实数 m 的取
值范围是 .
解析：由题意，得或解得 m ＜－1.
（－∞，－1）
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9. 若定义运算 a ☉ b ＝则函数 f （ x ）＝ x ☉（2－ x ）的值
域为 .
解析：由题意得 f （ x ）＝画出函数 f （ x ）的图象
得其值域是（－∞，1].
（－∞，1]
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10. 如图，底角∠ ABE ＝45°的直角梯形 ABCD ，底边 BC 长为4 cm，
腰长 AB 为2 cm，当一条垂直于底边 BC 的直线 l 从左至右移动
（与梯形 ABCD 有公共点）时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BE
＝ x ，试写出阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式，并画出函数的
大致图象.
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解：由题意得，当直线 l 从点 B 移动到点 A 时，0≤ x
≤2， y ＝ x2；
当直线 l 从点 A 移动到点 D 时，2＜ x ≤4，
y ＝ ×2×2＋（ x －2）×2，即 y ＝2 x －2.
所以阴影部分的面积 y 与 x 的函数关系式为 y ＝
函数图象如图所示，
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11. 已知 f （ x ）＝则不等式 xf （ x ）＋ x ≤2的解集是
（ ）
A. { x ｜ x ≤1} B. { x ｜ x ≤2}
C. { x ｜0≤ x ≤1} D. { x ｜ x ＜0}
解析： 当 x ≥0时， f （ x ）＝1， xf （ x ）＋ x ≤2 x ≤1，所
以0≤ x ≤1；当 x ＜0时， f （ x ）＝0， xf （ x ）＋ x ≤2 x ≤2，
所以 x ＜0，综上， x ≤1.故选A.
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12. 已知 f （ x ）＝｜ x ｜， g （ x ）＝ x2，设 h （ x ）＝
则函数 h （ x ）的大致图象是（ ）
解析： 当 f （ x ）≤ g （ x ）时，即｜ x ｜≤ x2时，解得 x ≤－1
或 x ≥1或 x ＝0，∴ h （ x ）＝故图
象为D.
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13. 已知 f （ x ）＝min{6－ x ， x }，则 f （ x ）的值域为 .
解析：作出函数 f （ x ）的图象如图实线部
分，
由6－ x ＝ x 得2 x ＝6， x ＝3，此时 f （ x ）
＝3，即 f （ x ）≤3，则函数 f （ x ）的值域
为（－∞，3].
（－∞，3]
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14. 已知函数 f （ x ）＝ g （ x ）＝
（1）当 x ＜0时，求函数 f （ g （ x ））的解析式；
解：由题意，得当 x ＜0时， g （ x ）＝－ x ＞0，
所以 f （ g （ x ））＝ f （－ x ）＝ ＝－ ，
即函数 f （ g （ x ））的解析式为 f （ g （ x ））＝－ （ x ＜0）.
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（2）当 x ≤0时，求函数 g （ f （ x ））的解析式.
解：由题意，得当 x ≤0时， f （ x ）＝ x ≤0，
所以 g （ f （ x ））＝ g （ x ）＝－ x ，
即函数 g （ f （ x ））的解析式为 g （ f （ x ））＝－ x （ x ≤0）.
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15. 已知函数 f （ x ）＝｜ x －3｜－｜ x ＋1｜.
（1）求 f （ x ）的值域；
解：若 x ≤－1，则 x －3＜0， x ＋1≤0， f （ x ）＝－（ x －
3）＋（ x ＋1）＝4；
若－1＜ x ≤3，则 x －3≤0， x ＋1＞0， f （ x ）＝－（ x －
3）－（ x ＋1）＝－2 x ＋2；
若 x ＞3，则 x －3＞0， x ＋1＞0， f （ x ）＝（ x －3）－（ x
＋1）＝－4.
∴ f （ x ）＝
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（1）当－1＜ x ≤3时，－4≤－2 x ＋2＜4.
∴ f （ x ）的值域为 [－4，4）∪{4}∪{－4}＝[－4，4].
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（2）解不等式： f （ x ）＞0；
解： f （ x ）＞0，即①或②或
③.
解①得 x ≤－1，解②得－1＜ x ＜1，解③得 x ∈ .
∴ f （ x ）＞0的解集为（－∞，－1]∪（－1，1）＝（－
∞，1）.
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（3）若直线 y ＝ a 与 f （ x ）的图象无交点，求实数 a 的取值范围.
解：作出函数 f （ x ）的图象如图所示.由图可知，当 a ∈（－∞，－4）∪（4，＋∞）时，直线 y ＝ a 与 f （ x ）的图象无交点.
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谢 谢 观 看！第2课时 分段函数
1.设函数f（x）＝则f（）的值为（ ）
A. B.－ C. D.18
2.已知函数f（x）＝则函数f（x）的图象是（ ）
3.已知f（x）＝则f（3）＝（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（ ）
A.－3 B.－1 C.1 D.3
5.（多选）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝－｜x｜＋1
D.f（x）＝｜x＋1｜
6.（多选）已知函数f（x）＝关于函数f（x）的结论正确的是（ ）
A.f（x）的定义域是R
B.f（x）的值域是（－∞，5）
C.若f（x）＝3，则x的值为
D.f（x）图象与y＝2有两个交点
7.已知f（x）＝则f＋f＝ .
8.设函数f（x）＝若f（m）＞m，则实数m的取值范围是 .
9.若定义运算a☉b＝则函数f（x）＝x☉（2－x）的值域为 .
10.如图，底角∠ABE＝45°的直角梯形ABCD，底边BC长为4 cm，腰长AB为2 cm，当一条垂直于底边BC的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BE＝x，试写出阴影部分的面积y与x的函数关系式，并画出函数的大致图象.
11.已知f（x）＝则不等式xf（x）＋x≤2的解集是（ ）
A.{x｜x≤1} B.{x｜x≤2}
C.{x｜0≤x≤1} D.{x｜x＜0}
12.已知f（x）＝｜x｜，g（x）＝x2，设h（x）＝则函数h（x）的大致图象是（ ）
13.已知f（x）＝min{6－x，x}，则f（x）的值域为 .
14.已知函数f（x）＝g（x）＝
（1）当x＜0时，求函数f（g（x））的解析式；
（2）当x≤0时，求函数g（f（x））的解析式.
15.已知函数f（x）＝｜x－3｜－｜x＋1｜.
（1）求f（x）的值域；
（2）解不等式：f（x）＞0；
（3）若直线y＝a与f（x）的图象无交点，求实数a的取值范围.
第2课时 分段函数
1.A 当x＞1时，f（x）＝x2＋x－2，则f（2）＝4，＝.当x≤1时，f（x）＝1－x2，则f（）＝f（）＝1－＝.
2.A 当x＝－1时，f（x）＝0，即图象过点（－1，0），D错；当x＝0时，f（x）＝1，即图象过点（0，1），C错；当x＝1时，f（x）＝2，即图象过点（1，2），B错.故选A.
3.A f（3）＝f（3＋2）＝f（5），f（5）＝f（5＋2）＝f（7）.∵f（7）＝7－5＝2，故f（3）＝2.故选A.
4.A ∵f（a）＋f（1）＝0，∴f（a）＝－f（1）＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去，当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
5.AC 通过代入点（－1，0），（0，1），（1，0）来验证，可知A、C正确.故选A、C.
6.BC A中，函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪（－1，2），即（－∞，2），故A错误；B中，x≤－1时，f（x）＝x＋2∈（－∞，1]，－1＜x＜2时，x2∈[0，4），故f（x）＝x2＋1∈[1，5），故值域为（－∞，5），B正确；C中，由分段的取值可知f（x）＝3时x∈（－1，2），即f（x）＝x2＋1＝3，解得x＝或x＝－（舍去），故C正确；D中，由分段的取值可知，f（x）＝2时x∈（－1，2），即f（x）＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1（舍去），故f（x）图象与y＝2有1个交点，故D错误.故选B、C.
7.4 解析：∵f（x）＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.
8.（－∞，－1） 解析：由题意，得或解得m＜－1.
9.（－∞，1] 解析：由题意得f（x）＝画出函数f（x）的图象得其值域是（－∞，1].
10.解：由题意得，当直线l从点B移动到点A时，0≤x≤2，y＝x2；
当直线l从点A移动到点D时，2＜x≤4，
y＝×2×2＋（x－2）×2，即y＝2x－2.
所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为y＝
函数图象如图所示，
11.A 当x≥0时，f（x）＝1，xf（x）＋x≤2 x≤1，所以0≤x≤1；当x＜0时，f（x）＝0，xf（x）＋x≤2 x≤2，所以x＜0，综上，x≤1.故选A.
12.D 当f（x）≤g（x）时，即｜x｜≤x2时，解得x≤－1或x≥1或x＝0，∴h（x）＝故图象为D.
13.（－∞，3] 解析：作出函数f（x）的图象如图实线部分，
由6－x＝x得2x＝6，x＝3，此时f（x）＝3，即f（x）≤3，则函数f（x）的值域为（－∞，3].
14.解：（1）由题意，得当x＜0时，g（x）＝－x＞0，
所以f（g（x））＝f（－x）＝＝－，
即函数f（g（x））的解析式为f（g（x））＝－（x＜0）.
（2）由题意，得当x≤0时，f（x）＝x≤0，
所以g（f（x））＝g（x）＝－x，
即函数g（f（x））的解析式为g（f（x））＝－x（x≤0）.
15.解：若x≤－1，则x－3＜0，x＋1≤0，f（x）＝－（x－3）＋（x＋1）＝4；
若－1＜x≤3，则x－3≤0，x＋1＞0，f（x）＝－（x－3）－（x＋1）＝－2x＋2；
若x＞3，则x－3＞0，x＋1＞0，f（x）＝（x－3）－（x＋1）＝－4.
∴f（x）＝
（1）当－1＜x≤3时，－4≤－2x＋2＜4.
∴f（x）的值域为 [－4，4）∪{4}∪{－4}＝[－4，4].
（2）f（x）＞0，即①或②或③.
解①得x≤－1，解②得－1＜x＜1，解③得x∈ .
∴f（x）＞0的解集为（－∞，－1]∪（－1，1）＝（－∞，1）.
（3）作出函数f（x）的图象如图所示.
由图可知，当a∈（－∞，－4）∪（4，＋∞）时，直线y＝a与f（x）的图象无交点.
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