5.3 函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 直观想象、数学运算
第1课时 函数的单调性
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，得到了有趣的数据.数据表明，记忆保持量y是时间间隔x的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，y是x的函数，记这个函数为y＝f（x）.
【问题】 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
知识点一 增函数、减函数的定义
条件 设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时
都有 都有
结论 称y＝f（x）在区间 上单调递增， 称为y＝f（x）的增区间.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，称f（x）是 称y＝f（x）在区间 上单调递减， 称为y＝f（x）的减区间.特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，称f（x）是
图示
提醒 对函数单调性的再理解：①并非所有的函数都具有单调性；②函数的单调递增（单调递减）是针对定义域A内的某个区间I而言的，显然I A；③定义中x1，x2有三个特征：（ⅰ）x1，x2属于同一个区间；（ⅱ）任意性：x1与x2不能用I上的特殊值代替；（ⅲ）有序性：通常规定x1＜x2.
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在区间I上 ，那么称函数y＝f（x）在区间I上具有单调性. 和 统称为单调区间.
1.下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（ ）
A.y＝｜x｜ B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋4
2.（多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A.定义在（a，b）上的函数f（x），如果 x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数
B. x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当＜0时，f（x）在（a，b）上单调递减
C. x1，x2∈（a，b），且x1≠x2，当（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]＞0时，f（x）在（a，b）上单调递增
D. x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是单调递增的
3.函数f（x）＝｜x－2｜的单调递增区间是 .
题型一 求函数的单调区间
【例1】 （链接教科书第118页例1）画出下列函数图象，并写出单调区间：
（1）f（x）＝－x2＋2x＋3；
（2）f（x）＝－（x≠0）.
【母题探究】
（变条件）若将本例（1）中“f（x）＝－x2＋2x＋3”改为“f（x）＝｜－x2＋2x＋3｜”，如何求解？
通性通法
求函数单调区间的2种方法
（1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
（2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.
提醒 （1）如果函数f（x）在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用“∪”连接；
（2）书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间.
【跟踪训练】
求函数f（x）＝｜x2－1｜＋x的增区间.
题型二 函数单调性的判断与证明
【例2】 （链接教科书第118页例2）证明：函数f（x）＝x＋在区间（0，1）上单调递减.
【母题探究】
（变设问）若把本例中“在区间（0，1）上单调递减”改为“在区间[1，＋∞）上单调递增”，如何证明？
通性通法
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】
判断函数f（x）＝在（1，＋∞）上的单调性，并用定义加以证明.
题型三 函数单调性的应用
角度1 已知函数的单调性求参数
【例3】 若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 .
【母题探究】
1.（变条件）若本例中的函数f（x）的单调增区间为（－∞，3]，求a的值.
2.（变条件）若本例中的函数f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围.
通性通法
已知函数的单调性求参数范围的一般思路
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的范围.
角度2 利用函数单调性解不等式
【例4】 已知函数y＝f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），则实数x的取值范围为 .
【母题探究】
（变条件）若本例中的函数f（x）是定义在R上的减函数，试比较f（－1）与f（a2＋1）的大小.
通性通法
利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
【跟踪训练】
1.设a∈R，已知函数y＝f（x）是定义在[－4，4]上的减函数，且f（a＋1）＞f（2a），则a的取值范围是（ ）
A.[－4，1） B.（1，4]
C.（1，2] D.[－5，2]
2.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A.［，）
B.（0，）
C.［，＋∞）
D.（－∞，）∪［，＋∞）
1.如图是函数y＝f（x）的图象，则此函数的单调递减区间的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.函数y＝｜x｜－1的单调递减区间为（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，－1）
C.（0，＋∞） D.（1，＋∞）
3.（2024·南京期中）若函数f（x）＝x2－mx＋3在区间（－∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A.（－∞，2] B.[2，＋∞）
C.（－∞，4] D.[4，＋∞）
4.已知函数f（x）＝.
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）＝在[1，＋∞）上单调递增.
第1课时 函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点一
f（x1）＜f（x2） f（x1）＞f（x2） I I
增函数 I I 减函数
知识点二
单调递增或单调递减 增区间 减区间
自我诊断
1.A 当x∈（0，1）时，y＝｜x｜＝x，所以y＝｜x｜在（0，1）上单调递增；y＝3－x，y＝在（0，1）上均单调递减；y＝－x2＋4的图象是以直线x＝0为对称轴开口向下的抛物线，所以y＝－x2＋4在（0，1）上单调递减.故选A.
2.BCD A中，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”，故A是假命题；B中，∵＜0等价于[f（x1）－f（x2）]·（x1－x2）＜0，而此式又等价于或
即或∴f（x）在（a，b）上单调递减，B是真命题，同理可得C也是真命题；D中，若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1）≤f（x2））成立即可，故D是真命题.故选B、C、D.
3.[2，＋∞） 解析：画出函数f（x）＝｜x－2｜的图象，由图象知，f（x）的单调递增区间是[2，＋∞）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）函数图象如图①所示，增区间为（－∞，1]，减区间为[1，＋∞）.
（2）函数图象如图②所示，（－∞，0）和（0，＋∞）是函数的两个增区间.
母题探究
解：函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象如图所示.
由图象知其增区间为[－1，1]，[3，＋∞）；减区间为（－∞，－1），（1，3）.
跟踪训练
解：当x≥1或x≤－1时，f（x）＝x2＋x－1＝（x＋）2－；
当－1＜x＜1时，f（x）＝－x2＋x＋1＝－（x－）2＋.
作出函数f（x）的图象（如图实线部分）.由图象知函数f（x）的增区间为，[1，＋∞）.
【例2】 证明：设x1，x2是区间（0，1）上的任意两个值，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（x1＋）－（x2＋）＝（x1－x2）＋（－）
＝（x1－x2）＋
＝.
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，则x1x2－1＜0，
∴＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）＝x＋在区间（0，1）上单调递减.
母题探究
证明：设1≤x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1＋）－（x2＋）＝.
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴x1x2－1＞0，
∴＜0，即f（x1）＜f（x2）.∴f（x）＝x＋在区间[1，＋∞）上单调递增.
跟踪训练
解：函数f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减.
证明： x1，x2∈（1，＋∞），设x1＜x2，
则f（x2）－f（x1）＝－＝，
由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以－1＞0，－1＞0，x1＋x2＞0.
又x1＜x2，所以x1－x2＜0，于是＜0，
即f（x1）＞f（x2），因此，函数f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减.
【例3】 （－∞，－4] 解析：∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的图象开口向下，对称轴为x＝－a－1，要使f（x）在（－∞，3]上单调递增，只需－a－1≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为（－∞，－4].
母题探究
1.解：由题意知－a－1＝3，即a＝－4.
2.解：由题意知－a－1≤1或－a－1≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）.
【例4】 （－∞，1） 解析：∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，且f（2x－3）＞f（5x－6），∴2x－3＞5x－6，即x＜1.∴实数x的取值范围为（－∞，1）.
母题探究
解：由f（x）是定义在R上的减函数，又a2＋1＞－1，所以f（－1）＞f（a2＋1）.
跟踪训练
1.C 由题意得－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2.故选C.
2.A 要使f（x）在R上是减函数，需满足：解得≤a＜.
随堂检测
1.B 由图象，可知函数y＝f（x）的单调递减区间有2个.故选B.
2.A 当x＞0时，y＝｜x｜－1＝x－1，此时函数单调递增，当x＜0时，y＝｜x｜－1＝－x－1，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为（－∞，0）.
3.D 由题意得≥2，解得m≥4.故选D.
4.解：（1）由题意知x＋1≠0，即x≠－1.∴f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.
（2）证明：任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2，
f（x）＝＝2－，
∴f（x2）－f（x1）＝－＝.
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又∵x1，x2∈[1，＋∞），∴x2＋1＞0，x1＋1＞0.
∴f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）.
∴函数f（x）＝在[1，＋∞）上单调递增.
3 / 4(共65张PPT)
5.3 函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象
2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、
数学运算
3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最
小值，理解它们的作用和实际意义 直观想象、
数学运算
第1课时 函数的单调性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研
究，得到了有趣的数据.数据表明，记忆保持量 y 是时间间隔 x 的函
数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲
线”，如果我们以 x 表示时间间隔（单位：h）， y 表示记忆保持量
（单位：%），则不难看出， y 是 x 的函数，记这个函数为 y ＝ f
（ x ）.
【问题】 这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什
么启发？
知识点一 增函数、减函数的定义
条
件 设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 A ，区间 I A . 如果对于区间 I 内
的任意两个值 x1， x2，当 x1＜ x2时 都有 都有
f （ x1）＜ f （ x2）
f （ x1）＞ f （ x2）
结
论 称 y ＝ f （ x ）在区间 上单
调递增， 称为 y ＝ f （ x ）
的增区间.特别地，当函数 f
（ x ）在它的定义域上单调递增
时，称 f （ x ）是 称 y ＝ f （ x ）在区间 上
单调递减， 称为 y ＝ f
（ x ）的减区间.特别地，当函
数 f （ x ）在它的定义域上单调
递减时，称 f （ x ）是
图
示
I
I
增函数
I
I
减函
数
提醒 对函数单调性的再理解：①并非所有的函数都具有单调性；②
函数的单调递增（单调递减）是针对定义域 A 内的某个区间 I 而言
的，显然 I A ；③定义中 x1， x2有三个特征：（ⅰ） x1， x2属于同一
个区间；（ⅱ）任意性： x1与 x2不能用 I 上的特殊值代替；（ⅲ）有序
性：通常规定 x1＜ x2.
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上 ，那么称函
数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上具有单调性. 和 统称为
单调区间.
单调递增或单调递减
增区间
减区间
1. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x
D. y ＝－ x2＋4
解析： 当 x ∈（0，1）时， y ＝｜ x ｜＝ x ，所以 y ＝｜ x ｜在
（0，1）上单调递增； y ＝3－ x ， y ＝ 在（0，1）上均单调递
减； y ＝－ x2＋4的图象是以直线 x ＝0为对称轴开口向下的抛物
线，所以 y ＝－ x2＋4在（0，1）上单调递减.故选A.
2. （多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），如果 x1， x2∈（ a ， b ），当
x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）在（ a ， b ）上是增
函数
C. x1， x2∈（ a ， b ），且 x1≠ x2，当（ x1－ x2）·[ f （ x1）－ f
（ x2）]＞0时， f （ x ）在（ a ， b ）上单调递增
D. x1， x2∈（ a ， b ），且 x1＜ x2， f （ x1）≥ f （ x2）成立，则函数
f （ x ）在（ a ， b ）上不是单调递增的
解析： A中，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任
意”，故A是假命题；B中，∵ ＜0等价于[ f （ x1）
－ f （ x2）]·（ x1－ x2）＜0，而此式又等价于
或即
或∴ f （ x ）在（ a ， b ）上
单调递减，B是真命题，同理可得C也是真命题；
D中，若要说明函数 f （ x ）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值 x1， x2，证明当 x1＜ x2时， f （ x1）≥ f （ x2）（ f （ x1）≤ f （ x2））成立即可，故D是真命题.故选B、C、D.
3. （2024·南通如东期中）函数 f （ x ）＝｜ x －2｜的单调递增区间
是 .
解析：画出函数 f （ x ）＝｜ x －2｜的图象，由图象知， f （ x ）的
单调递增区间是[2，＋∞）.
[2，＋∞）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的单调区间
【例1】 （链接教科书第118页例1）画出下列函数图象，并写出单
调区间：
（1） f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3；
解：函数图象如图①所示，增区间为（－∞，1]，减区间为[1，＋∞）.
（2） f （ x ）＝－ （ x ≠0）.
解：函数图象如图②所示，（－∞，0）和（0，＋∞）是函数的两个增区间.
【母题探究】
（变条件）若将本例（1）中“ f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3”改为“ f
（ x ）＝｜－ x2＋2 x ＋3｜”，如何求解？
解：函数 y ＝｜－ x2＋2 x ＋3｜的图象如图所示.
由图象知其增区间为[－1，1]，[3，＋∞）；减区间为（－∞，－1），（1，3）.
通性通法
求函数单调区间的2种方法
（1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；
（2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间.
提醒 （1）如果函数 f （ x ）在其定义域内的两个区间 A ， B 上
单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用
“∪”连接；
（2）书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区
间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写
成开区间.
【跟踪训练】
求函数 f （ x ）＝｜ x2－1｜＋ x 的增区间.
解：当 x ≥1或 x ≤－1时， f （ x ）＝ x2＋ x －1＝
（ x ＋ ）2－ ；
当－1＜ x ＜1时， f （ x ）＝－ x2＋ x ＋1＝－（ x
－ ）2＋ .
作出函数 f （ x ）的图象（如图实线部分）.由图象知函数 f （ x ）的增区间为 ，[1，＋∞）.
题型二 函数单调性的判断与证明
【例2】 （链接教科书第118页例2）证明：函数 f （ x ）＝ x ＋ 在区
间（0，1）上单调递减.
证明：设 x1， x2是区间（0，1）上的任意两个值，且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1＋ ）－（ x2＋ ）
＝（ x1－ x2）＋（ － ）＝（ x1－ x2）＋
＝ .
∵0＜ x1＜ x2＜1，
∴ x1－ x2＜0，0＜ x1 x2＜1，则 x1 x2－1＜0，
∴ ＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2），
∴ f （ x ）＝ x ＋ 在区间（0，1）上单调递减.
【母题探究】
（变设问）若把本例中“在区间（0，1）上单调递减”改为“在区间
[1，＋∞）上单调递增”，如何证明？
证明：设1≤ x1＜ x2，则 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1＋ ）－（ x2＋ ）
＝ .
∵1≤ x1＜ x2，∴ x1－ x2＜0， x1 x2＞1，∴ x1 x2－1＞0，
∴ ＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2）.∴ f （ x ）＝ x ＋ 在区
间[1，＋∞）上单调递增.
通性通法
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】
判断函数 f （ x ）＝ 在（1，＋∞）上的单调性，并用定义加
以证明.
解：函数 f （ x ）＝ 在（1，＋∞）上单调递减.
证明： x1， x2∈（1，＋∞），设 x1＜ x2，
则 f （ x2）－ f （ x1）＝ － ＝ ，
由 x1， x2∈（1，＋∞），得 x1＞1， x2＞1，
所以 －1＞0， －1＞0， x1＋ x2＞0.
又 x1＜ x2，所以 x1－ x2＜0，于是 ＜0，
即 f （ x1）＞ f （ x2），因此，函数 f （ x ）＝ 在（1，＋∞）上单
调递减.
题型三 函数单调性的应用
角度1 已知函数的单调性求参数
【例3】 若函数 f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3在区间（－∞，3]
上单调递增，则实数 a 的取值范围是 .
解析：∵ f （ x ）＝－ x2－2（ a ＋1） x ＋3的图象开口向下，对称轴为
x ＝－ a －1，要使 f （ x ）在（－∞，3]上单调递增，只需－ a －
1≥3，即 a ≤－4.∴实数 a 的取值范围为（－∞，－4].
（－∞，－4]
【母题探究】
1. （变条件）若本例中的函数 f （ x ）的单调增区间为（－∞，3]，
求 a 的值.
解：由题意知－ a －1＝3，即 a ＝－4.
2. （变条件）若本例中的函数 f （ x ）在（1，2）上是单调函数，求 a
的取值范围.
解：由题意知－ a －1≤1或－ a －1≥2，即 a ≤－3或 a ≥－2.
所以 a 的取值范围为（－∞，－3]∪[－2，＋∞）.
通性通法
已知函数的单调性求参数范围的一般思路
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间
比较，求出参数的范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等
式（组）求出参数的范围.
角度2 利用函数单调性解不等式
【例4】 已知函数 y ＝ f （ x ）是（－∞，＋∞）上的增函数，且 f
（2 x －3）＞ f （5 x －6），则实数 x 的取值范围为 .
解析：∵ f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且 f （2 x －3）＞ f
（5 x －6），∴2 x －3＞5 x －6，即 x ＜1.∴实数 x 的取值范围为（－
∞，1）.
（－∞，1）
【母题探究】
（变条件）若本例中的函数 f （ x ）是定义在R上的减函数，试比较 f
（－1）与 f （ a2＋1）的大小.
解：由 f （ x ）是定义在R上的减函数，又 a2＋1＞－1，所以 f （－1）
＞ f （ a2＋1）.
通性通法
利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比
较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调
区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性
将“ f ”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意
函数的定义域.
【跟踪训练】
1. 设 a ∈R，已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在[－4，4]上的减函数，且 f
（ a ＋1）＞ f （2 a ），则 a 的取值范围是（ ）
A. [－4，1） B. （1，4]
C. （1，2] D. [－5，2]
解析： 由题意得－4≤ a ＋1＜2 a ≤4，解得1＜ a ≤2.故选C.
2. 若函数 f （ x ）＝是定义在R上的减函
数，则 a 的取值范围为（ ）
解析： 要使 f （ x ）在R上是减函数，需满足：
解得 ≤ a ＜ .
1. 如图是函数 y ＝ f （ x ）的图象，则此函数的单调递减区间的个数是
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由图象，可知函数 y ＝ f （ x ）的单调递减区间有2个.故
选B.
2. 函数 y ＝｜ x ｜－1的单调递减区间为（ ）
A. （－∞，0） B. （－∞，－1）
C. （0，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 当 x ＞0时， y ＝｜ x ｜－1＝ x －1，此时函数单调递增，
当 x ＜0时， y ＝｜ x ｜－1＝－ x －1，此时函数单调递减，即函数
的单调递减区间为（－∞，0）.
3. （2024·南京期中）若函数 f （ x ）＝ x2－ mx ＋3在区间（－∞，2）
上单调递减，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. （－∞，2] B. [2，＋∞）
C. （－∞，4] D. [4，＋∞）
解析： 由题意得 ≥2，解得 m ≥4.故选D.
4. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）求 f （ x ）的定义域；
解：由题意知 x ＋1≠0，即 x ≠－1.∴ f （ x ）的定义域
为（－∞，－1）∪（－1，＋∞）.
（2）证明函数 f （ x ）＝ 在[1，＋∞）上单调递增.
解：证明：任取 x1， x2∈[1，＋∞），且 x1＜ x2，
f （ x ）＝ ＝2－ ，
∴ f （ x2）－ f （ x1）＝ － ＝ .
∵ x1＜ x2，∴ x2－ x1＞0.
又∵ x1， x2∈[1，＋∞），∴ x2＋1＞0， x1＋1＞0.
∴ f （ x2）－ f （ x1）＞0，∴ f （ x2）＞ f （ x1）.
∴函数 f （ x ）＝ 在[1，＋∞）上单调递增.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数 y ＝ f （ x ）的图象，则
下列关于函数 f （ x ）的说法错误的是（ ）
A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增
B. 函数在区间[1，4]上单调递增
C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性
解析： 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，
不能用“∪”连接.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若函数 f （ x ）在R上是减函数，则有（ ）
A. f （3）＜ f （5） B. f （3）≤ f （5）
C. f （3）＞ f （5） D. f （3）≥ f （5）
解析： 由 f （ x ）是R上的减函数，又3＜5，所以 f （3）＞ f
（5），故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 函数 f （ x ）＝｜ x2－1｜的增区间为（ ）
A. （－1，0）
B. （1，＋∞）
C. （－1，0）和（1，＋∞）
D. （－∞，－1）和（0，1）
解析： 画出 f （ x ）＝｜ x2－1｜的图象，
如图所示，由图象可知，函数 f （ x ）的增区
间为（－1，0）和（1，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知定义在[0，＋∞）上的减函数 f （ x ），若 f （2 a －1）＞ f
，则 a 的取值范围是（ ）
解析： 根据题意， f （ x ）是定义在[0，＋∞）上的减函数，若
f （2 a －1）＞ f ，则有0≤2 a －1＜ ，解得 ≤ a ＜ ，即 a 的取
值范围为 ，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）如果函数 f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增，那么对于任
意的 x1， x2∈[ a ， b ]（ x1≠ x2），下列结论中正确的是（ ）
B. （ x1－ x2）[ f （ x1）－ f （ x2）]＞0
C. 若 x1＜ x2，则 f （ a ）＜ f （ x1）＜ f （ x2）＜ f （ b ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 因为 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，所以对于任意的
x1， x2∈[ a ， b ]（ x1≠ x2）， x1－ x2与 f （ x1）－ f （ x2）的符号相
同，故A、B正确，D不正确；C中，若 x1＜ x2，则 f （ a ）≤ f
（ x1）＜ f （ x2）≤ f （ b ），所以C不正确，故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）下列函数在（－∞，0）上单调递增的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜＋1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： y ＝｜ x ｜＋1＝－ x ＋1（ x ＜0）在（－∞，0）上单
调递减； y ＝ ＝－1（ x ＜0）在（－∞，0）上不具有单调
性； y ＝－ ＝ x （ x ＜0）在（－∞，0）上单调递增； y ＝ x
＋ ＝ x －1（ x ＜0）在（－∞，0）上单调递增，故选C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 如果二次函数 f （ x ）＝ x2－（ a －1） x ＋5在区间 上单调递
增，则实数 a 的取值范围为 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ x2－（ a －1） x ＋5的对称轴为 x ＝ 且在
区间 上单调递增，∴ ≤ ，即 a ≤2.
（－∞，2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 函数 y ＝ 的单调递增区间是 .
解析：由2 x －3≥0，得 x ≥ .又因为 t ＝2 x －3在（－∞，＋∞）
上是增函数， y ＝ 在定义域上是增函数，所以 y ＝ 的单
调递增区间是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x ）是R上的增
函数，则实数 a 的取值范围为 .
解析：因为 f （ x ）是R上的增函数，所以解得4≤
a ＜8.
[4，8）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知函数 f （ x ）＝
（1）画出函数 f （ x ）的大致图象；
解：函数 f （ x ）的大致图象如图所示.
（2）写出函数 f （ x ）的单调递减区间.
解：由函数 f （ x ）的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2024·镇江中学期中）若函数 f （ x ）＝ － ＋ m 在[2，4]上单
调递增，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. [1，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 令 ＝ t ，则 t ∈［ ， ］，则 g （ t ）＝ t2－ mt ＋ m ，
对称轴为 t ＝－ ＝ ，则函数的单调递减区间为（－∞，
］，因为 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，且 f （ x ）＝ －
＋ m 在[2，4]上单调递增，所以［ ， ］ （－∞， ］，则
≥ ，解得 m ≥1.所以实数 m 的取值范围为[1，＋∞）.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）已知函数 f （ x ）＝2 ax2＋4（ a －3） x ＋5，下列关于函
数 f （ x ）单调性的说法正确的是（ ）
A. 函数 f （ x ）在R上不具有单调性
B. 当 a ＝1时， f （ x ）在（－∞，0）上单调递减
C. 若 f （ x ）的单调递减区间是（－∞，－4]，则 a 的值为－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 当 a ＝0时， f （ x ）＝－12 x ＋5，在R上是减函数，A
错误；当 a ＝1时， f （ x ）＝2 x2－8 x ＋5，其单调递减区间是
（－∞，2]，因此 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减，B正确；由
f （ x ）的单调递减区间是（－∞，－4]得 a
的值不存在，C错误；在D中，当 a ＝0时， f （ x ）＝－12 x ＋5，
在（－∞，3）上单调递减；当 a ≠0时，由得0
＜ a ≤ ，所以 a 的取值范围是 ，D正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知函数 f （ x ）＝2 x2－4 kx －5在区间[－1，2]上不具有单调
性，则 k 的取值范围是 .
解析：∵函数 f （ x ）＝2 x2－4 kx －5的图象的对称轴为直线 x ＝
k ，若函数 f （ x ）＝2 x2－4 kx －5在区间[－1，2]上不具有单调
性，则 k 的取值范围是（－1，2）.
（－1，2）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知函数 f （ x ）＝ .
（1）判断并证明函数 f （ x ）在（－2，＋∞）上的单调性；
解：f （ x ）＝ ＝3＋ ， f （ x ）在（－2，＋∞）上单调递减，证明如下：
设 x1＞ x2＞－2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ，因为
x1＞ x2＞－2，
所以 x1＋2＞0， x2＋2＞0， x2－ x1＜0，
所以 f （ x1）＜ f （ x2），所以 f （ x ）在（－2，＋∞）上单
调递减.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若函数 f （ x ）的定义域为（－2，2），且满足 f （－2 m ＋
3）＞ f （ m2），求 m 的取值范围.
解：由（1）可知，当 x ∈（－2，2）时，函数 f （ x ）
是减函数，所以由 f （－2 m ＋3）＞ f （ m2）得，
解得1＜ m ＜ ，
所以 m 的取值范围为（1， ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知 f （ x ）是定义在R上的增函数，对任意 x ∈R有 f （ x ）＞0，
且 f （5）＝1，设 F （ x ）＝ f （ x ）＋ ，讨论 F （ x ）的单
调性，并证明你的结论.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：在R上任取 x1， x2，且 x1＜ x2，则 f （ x1）＜ f （ x2），
∴ F （ x2）－ F （ x1）＝［ f （ x2）＋ ］－［ f （ x1）＋
］＝[ f （ x2）－ f （ x1）]· .
∵ f （ x ）是R上的增函数，且 f （5）＝1，∴当 x ＜5时，0＜ f
（ x ）＜1，当 x ＞5时， f （ x ）＞1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（1）若 x1＜ x2＜5，则0＜ f （ x1）＜ f （ x2）＜1，
∴0＜ f （ x1） f （ x2）＜1，∴1－ ＜0，
∴ F （ x2）＜ F （ x1）.
（2）若5＜ x1＜ x2，则1＜ f （ x1）＜ f （ x2），
∴ f （ x1） f （ x2）＞1，∴1－ ＞0，
∴ F （ x2）＞ F （ x1）.
综上， F （ x ）在（－∞，5）上单调递减，在（5，＋∞）上单
调递增.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
1.如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，则下列关于函数f（x）的说法错误的是（ ）
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B.函数在区间[1，4]上单调递增
C.函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D.函数在区间[－5，5]上没有单调性
2.若函数f（x）在R上是减函数，则有（ ）
A.f（3）＜f（5） B.f（3）≤f（5）
C.f（3）＞f（5） D.f（3）≥f（5）
3.函数f（x）＝｜x2－1｜的增区间为（ ）
A.（－1，0） B.（1，＋∞）
C.（－1，0）和（1，＋∞） D.（－∞，－1）和（0，1）
4.已知定义在[0，＋∞）上的减函数f（x），若f（2a－1）＞f，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）如果函数f（x）在区间[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（ ）
A.＞0
B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C.若x1＜x2，则f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b）
D.＜0
6.（多选）下列函数在（－∞，0）上单调递增的是（ ）
A.y＝｜x｜＋1 B.y＝
C.y＝－ D.y＝x＋
7.如果二次函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 .
8.函数y＝的单调递增区间是 .
9.已知函数f（x）＝若f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围为 .
10.已知函数f（x）＝
（1）画出函数f（x）的大致图象；
（2）写出函数f（x）的单调递减区间.
11.（2024·镇江中学期中）若函数f（x）＝－＋m在[2，4]上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A.[1，＋∞） B.［，＋∞）
C.［，1］ D.（－∞，］
12.（多选）已知函数f（x）＝2ax2＋4（a－3）x＋5，下列关于函数f（x）单调性的说法正确的是（ ）
A.函数f（x）在R上不具有单调性
B.当a＝1时，f（x）在（－∞，0）上单调递减
C.若f（x）的单调递减区间是（－∞，－4]，则a的值为－1
D.若f（x）在区间（－∞，3）上单调递减，则a的取值范围是
13.已知函数f（x）＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝.
（1）判断并证明函数f（x）在（－2，＋∞）上的单调性；
（2）若函数f（x）的定义域为（－2，2），且满足f（－2m＋3）＞f（m2），求m的取值范围.
15.已知f（x）是定义在R上的增函数，对任意x∈R有f（x）＞0，且f（5）＝1，设F（x）＝f（x）＋，讨论F（x）的单调性，并证明你的结论.
第1课时 函数的单调性
1.C 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“∪”连接.
2.C 由f（x）是R上的减函数，又3＜5，所以f（3）＞f（5），故选C.
3.C 画出f（x）＝｜x2－1｜的图象，如图所示，由图象可知，函数f（x）的增区间为（－1，0）和（1，＋∞）.
4.D 根据题意，f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，若f（2a－1）＞f，则有0≤2a－1＜，解得≤a＜，即a的取值范围为，故选D.
5.AB 因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1＜x2，则f（a）≤f（x1）＜f（x2）≤f（b），所以C不正确，故选A、B.
6.CD y＝｜x｜＋1＝－x＋1（x＜0）在（－∞，0）上单调递减；y＝＝－1（x＜0）在（－∞，0）上不具有单调性；y＝－＝x（x＜0）在（－∞，0）上单调递增；y＝x＋＝x－1（x＜0）在（－∞，0）上单调递增，故选C、D.
7.（－∞，2] 解析：∵函数f（x）＝x2－（a－1）x＋5的对称轴为x＝且在区间上单调递增，∴≤，即a≤2.
8. 解析：由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
9.[4，8） 解析：因为f（x）是R上的增函数，所以解得4≤a＜8.
10.解：（1）函数f（x）的大致图象如图所示.
（2）由函数f（x）的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].
11.A 令＝t，则t∈［，］，则g（t）＝t2－mt＋m，对称轴为t＝－＝，则函数的单调递减区间为（－∞，］，因为y＝在（0，＋∞）上单调递减，且f（x）＝－＋m在[2，4]上单调递增，所以［，］ （－∞，］，则≥，解得m≥1.所以实数m的取值范围为[1，＋∞）.故选A.
12.BD 当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f（x）＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是（－∞，2]，因此f（x）在（－∞，0）上单调递减，B正确；由f（x）的单调递减区间是（－∞，－4]得a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在（－∞，3）上单调递减；当a≠0时，由得0＜a≤，所以a的取值范围是，D正确.故选B、D.
13.（－1，2） 解析：∵函数f（x）＝2x2－4kx－5的图象的对称轴为直线x＝k，若函数f（x）＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是（－1，2）.
14.解：（1）f（x）＝＝3＋，f（x）在（－2，＋∞）上单调递减，证明如下：
设x1＞x2＞－2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，因为x1＞x2＞－2，
所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0，
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递减.
（2）由（1）可知，当x∈（－2，2）时，函数f（x）是减函数，所以由f（－2m＋3）＞f（m2）得，
解得1＜m＜，
所以m的取值范围为（1，）.
15.解：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），
∴F（x2）－F（x1）＝［f（x2）＋］－［f（x1）＋］＝[f（x2）－f（x1）]·.
∵f（x）是R上的增函数，且f（5）＝1，∴当x＜5时，0＜f（x）＜1，当x＞5时，f（x）＞1.
（1）若x1＜x2＜5，则0＜f（x1）＜f（x2）＜1，
∴0＜f（x1）f（x2）＜1，∴1－＜0，
∴F（x2）＜F（x1）.
（2）若5＜x1＜x2，则1＜f（x1）＜f（x2），
∴f（x1）f（x2）＞1，
∴1－＞0，
∴F（x2）＞F（x1）.
综上，F（x）在（－∞，5）上单调递减，在（5，＋∞）上单调递增.
2 / 2
