第2课时 函数的最值
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？
（2）设该天某时刻的气温为f（x），则f（x）在哪个范围内变化？
（3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设y＝f（x）的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有
f（x） f（x0） f（x） f（x0）
结论 那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，记为ymax＝f（x0） 那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，记为ymin＝f（x0）
几何 意义 f（x）图象上最高点的 f（x）图象上最低点的
提醒 （1）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如y＝x，x∈R；（2）一个函数至多有一个最大（小）值；（3）研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性；（4）对于定义域内的任意x都满足f（x）≤M（f（x）≥M）成立，那么M不一定是函数f（x）的最大（小）值，只有定义域内存在一点x0，使f（x0）＝M时，M才是函数的最大（小）值，否则不是.比如f（x）＝－x2≤3成立，但3不是f（x）的最大值，0才是它的最大值.
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.如果函数的值域是确定的，则它一定有最值
B.如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素
C.函数的最大值一定比最小值大
D.如果函数有最值，则至多有一个最大（小）值
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ， .
3.求函数y＝在[2，3]上的最大值.
题型一 利用函数的图象求最值
【例1】 （链接教科书第119页例3）函数y＝f（x），x∈[－2，5]的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）
A.－2，f（2） B.2，f（2）
C.－2，f（5） D.2，f（5）
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝求f（x）的最大值、最小值.
题型二 含参数的二次函数的最值
【例2】 （链接教科书第120页例4（1））已知函数f（x）＝x2－ax.
（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（2）当a＝2时，求f（x）在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值g（t）；
（3）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）.
通性通法
1.含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a（x＋h）2＋k的形式，再根据a的符号确定抛物线的开口方向，再由对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据所给定区间结合二次函数大致图象确定最大或最小值.
2.含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型
（1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；
（2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；
（3）区间变动，对称轴变动，求最值.
通常是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【跟踪训练】
已知二次函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为0，求a的值.
题型三 利用函数的单调性求最值
【例3】 （链接教科书第120页例5）求下列函数的最小值：
（1）y＝，x∈[1，2]；（2）y＝2x＋.
通性通法
函数最值与单调性的关系
（1）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递增，在区间（b，c）上单调递减，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最大值f（b）；
（2）如果函数y＝f（x）在区间（a，b]上单调递减，在区间（b，c）上单调递增，则函数y＝f（x），x∈（a，c）在x＝b处有最小值f（b）；
（3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最大（小）值.
【跟踪训练】
函数f（x）＝ax＋（2－x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，2]上的最小值为g（a），则函数g（a）的最大值为（ ）
A. B.0
C.1 D.2
1.函数y＝f（x）（－2≤x≤2）的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为（ ）
A.f（2），f（－2） B.f，f（－1）
C.f，f D.f，f（0）
2.已知函数f（x）＝则f（x）的最大值、最小值分别为（ ）
A.10，6 B.10，8
C.8，6 D.以上都不对
3.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为 .
4.已知函数f（x）＝求函数f（x）的最大值、最小值.
第2课时 函数的最值
【基础知识·重落实】
知识点
≤ ≥ 纵坐标 纵坐标
自我诊断
1.BCD A中，值域确定，但不一定有最值，故A错误；B中，由最值的定义知B正确；C中，由最值的定义知C正确；D中，函数至多有一个最大（小）值，故D正确.故选B、C、D.
2.－1 2
3.解：∵y＝在[2，3]上单调递减，∴ymax＝＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5）.
跟踪训练
解：作出函数f（x）的图象，如图.
由图象可知，当x＝±1时，f（x）取最大值为f（1）＝f（－1）＝1.
当x＝0时，f（x）取最小值为f（0）＝0，
故f（x）的最大值为1，最小值为0.
【例2】 解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，且当x＝1时，f（1）＝－1.
所以函数在x＝1时取得最小值－1，即f（x）min＝f（1）＝－1.
（2）当a＝2时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴为x＝1.
①当t≥1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，所以f（x）min＝f（t）＝t2－2t；
②当t＋1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，所以f（x）min＝f（t＋1）＝t2－1；
③当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上单调递减，在[1，t＋1]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝－1.
综上，g（t）＝
（3）因为函数f（x）＝x2－ax的图象开口向上，其对称轴为x＝，
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，
当≤，即a≤1时，f（x）max＝f（1）＝1－a；
当＞，即a＞1时，f（x）max＝f（0）＝0.
综上，h（a）＝
跟踪训练
解：∵y＝x2－2x＝（x－1）2－1，
∴对称轴为直线x＝1.
∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，故应进行讨论，
当－2＜a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，
则当x＝a时，y取最小值，即ymin＝a2－2a，
∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2（舍去）.
当a＞1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，
则当x＝1时，y取最小值，即ymin＝－1，不合题意.
综上可知a＝0.
【例3】 解：（1）因为函数y＝在x∈[1，2]上单调递减，所以其最小值在x＝2时取得，即ymin＝.
（2）函数y＝2x＋的定义域为[1，＋∞），
因为函数y＝2x与y＝在[1，＋∞）上均单调递增，
故y＝2x＋在[1，＋∞）上是增函数，
所以当x＝1时取得最小值2＋＝2，即ymin＝2.
跟踪训练
D f（x）＝ax＋（2－x）＝x＋，①当a＞1时，a＞，f（x）是增函数，f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（0）＝，∴g（a）＝（a＞1）；②当a＝1时，f（x）＝2，∴g（a）＝2（a＝1）；③当0＜a＜1时，a－＜0，f（x）是减函数，f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）＝2a，∴g（a）＝2a（0＜a＜1）.∴g（a）＝因此g（a）的最大值为2.
随堂检测
1.C 根据函数最值的定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.
2.A 当－1≤x＜1时，6≤f（x）＜8；当1≤x≤2时，8≤f（x）≤10，所以f（x）的最大值、最小值分别为10，6.故选A.
3.±2 解析：由题意知a≠0，当a＞0时，有（2a＋1）－（a＋1）＝2，解得a＝2；当a＜0时，有（a＋1）－（2a＋1）＝2，解得a＝－2，综上知a＝±2.
4.解：作出f（x）的图象如图.
由图象可知，当x＝2时，f（x）取最大值为2；
当x＝时，
f（x）取最小值为－.
所以f（x）的最大值为2，最小值为－.
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第2课时 函数的最值
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠
气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线.
【问题】 （1）该天的最高气温和最低气温分别是多少？
（2）设该天某时刻的气温为 f （ x ），则 f （ x ）在哪个范围内变化？
（3）从函数图象上看，气温的最大值（最小值）在什么时刻取得？
知识点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条
件 一般地，设 y ＝ f （ x ）的定义域为 A . 如果存在 x0∈ A ，使得对
于任意的 x ∈ A ，都有 f （ x ） f （ x0） f （ x ） f （ x0）
结
论 那么称 f （ x0）为 y ＝ f （ x ）的最大值，记为 ymax＝ f （ x0） 那么称 f （ x0）为 y ＝ f （ x ）
的最小值，记为 ymin＝ f
（ x0）
≤
≥
最大值 最小值
几何 意义 f （ x ）图象上最高点的
f （ x ）图象上最低点的
纵坐
标
纵
坐标
提醒 （1）并不是所有的函数都有最大（小）值，比如 y ＝ x ， x
∈R；（2）一个函数至多有一个最大（小）值；（3）研究函数最值
需先研究函数的定义域和单调性；（4）对于定义域内的任意 x 都满足
f （ x ）≤ M （ f （ x ）≥ M ）成立，那么 M 不一定是函数 f （ x ）的最
大（小）值，只有定义域内存在一点 x0，使 f （ x0）＝ M 时， M 才是
函数的最大（小）值，否则不是.比如 f （ x ）＝－ x2≤3成立，但3不
是 f （ x ）的最大值，0才是它的最大值.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 如果函数的值域是确定的，则它一定有最值
B. 如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素
C. 函数的最大值一定比最小值大
D. 如果函数有最值，则至多有一个最大（小）值
解析： A中，值域确定，但不一定有最值，故A错误；B
中，由最值的定义知B正确；C中，由最值的定义知C正确；D中，
函数至多有一个最大（小）值，故D正确.故选B、C、D.
2. 函数 y ＝ f （ x ）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小
值、最大值分别是 ， .
3. 求函数 y ＝ 在[2，3]上的最大值.
解：∵ y ＝ 在[2，3]上单调递减，∴ ymax＝ ＝1.
－1
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用函数的图象求最值
【例1】 （链接教科书第119页例3）函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－2，5]
的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）
A. －2， f （2） B. 2， f （2）
C. －2， f （5） D. 2， f （5）
解析： 由函数的图象知，当 x ＝－2时，有最小值－2；当 x ＝5时，有最大值 f （5）.
通性通法
用图象法求最值的3个步骤
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝求 f （ x ）的最大值、最小值.
解：作出函数 f （ x ）的图象，如图.
由图象可知，当 x ＝±1时， f （ x ）取最大值为 f
（1）＝ f （－1）＝1.
当 x ＝0时， f （ x ）取最小值为 f （0）＝0，
故 f （ x ）的最大值为1，最小值为0.
题型二 含参数的二次函数的最值
【例2】 （链接教科书第120页例4（1））已知函数 f （ x ）＝ x2－ ax .
（1）当 a ＝2时，求 f （ x ）的最小值；
解：当 a ＝2时， f （ x ）＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1≥－1，
且当 x ＝1时， f （1）＝－1.
所以函数在 x ＝1时取得最小值－1，即 f （ x ）min＝ f （1）
＝－1.
（2）当 a ＝2时，求 f （ x ）在闭区间[ t ， t ＋1]（ t ∈R）上的最小值
g （ t ）；
解：当 a ＝2时， f （ x ）＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1，其图象的对
称轴为 x ＝1.
①当 t ≥1时， f （ x ）在[ t ， t ＋1]上单调递增，所以 f （ x ）min
＝ f （ t ）＝ t2－2 t ；
②当 t ＋1≤1，即 t ≤0时， f （ x ）在[ t ， t ＋1]上单调递减，所
以 f （ x ）min＝ f （ t ＋1）＝ t2－1；
③当 t ＜1＜ t ＋1，即0＜ t ＜1时，函数 f （ x ）在[ t ，1]上单调
递减，在[1， t ＋1]上单调递增，
所以 f （ x ）min＝ f （1）＝－1.
综上， g （ t ）＝
（3）求 f （ x ）在[0，1]上的最大值 h （ a ）.
解：因为函数 f （ x ）＝ x2－ ax 的图象开口向上，其对称轴为 x
＝ ，
所以区间[0，1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到
最大值，
当 ≤ ，即 a ≤1时， f （ x ）max＝ f （1）＝1－ a ；
当 ＞ ，即 a ＞1时， f （ x ）max＝ f （0）＝0.
综上， h （ a ）＝
通性通法
1. 含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为 y ＝ a （ x
＋ h ）2＋ k 的形式，再根据 a 的符号确定抛物线的开口方向，再由
对称轴 x ＝－ h 得出顶点的位置，再根据所给定区间结合二次函数
大致图象确定最大或最小值.
2. 含参数的二次函数的最值问题有如下几种类型
（1）区间固定，对称轴变动（含参数），求最值；
（2）对称轴固定，区间变动（含参数），求最值；
（3）区间变动，对称轴变动，求最值.
通常是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
【跟踪训练】
已知二次函数 y ＝ x2－2 x ， x ∈[－2， a ]，若函数的最小值为0，求
a 的值.
解：∵ y ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1，
∴对称轴为直线 x ＝1.
∵ x ＝1不一定在区间[－2， a ]内，故应进行讨论，
当－2＜ a ≤1时，函数在[－2， a ]上单调递减，
则当 x ＝ a 时， y 取最小值，即 ymin＝ a2－2 a ，
∴ a2－2 a ＝0，∴ a ＝0或 a ＝2（舍去）.
当 a ＞1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1， a ]上单调递增，
则当 x ＝1时， y 取最小值，即 ymin＝－1，不合题意.
综上可知 a ＝0.
题型三 利用函数的单调性求最值
【例3】 （链接教科书第120页例5）求下列函数的最小值：
（1） y ＝ ， x ∈[1，2]；
解：因为函数 y ＝ 在 x ∈[1，2]上单调递减，所以其最小值在 x
＝2时取得，即 ymin＝ .
（2） y ＝2 x ＋ .
解：函数 y ＝2 x ＋ 的定义域为[1，＋∞），
因为函数 y ＝2 x 与 y ＝ 在[1，＋∞）上均单调递增，
故 y ＝2 x ＋ 在[1，＋∞）上是增函数，
所以当 x ＝1时取得最小值2＋ ＝2，即 ymin＝2.
通性通法
函数最值与单调性的关系
（1）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ]上单调递增，在区间（ b ，
c ）上单调递减，则函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 处
有最大值 f （ b ）；
（2）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ]上单调递减，在区间（ b ，
c ）上单调递增，则函数 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， c ）在 x ＝ b 处
有最小值 f （ b ）；
（3）如果函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上单调递增（减），则
在区间[ a ， b ]的左、右端点处分别取得最小（大）值、最
大（小）值.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ ax ＋ （2－ x ），其中 a ＞0，记 f （ x ）在区间[0，2]
上的最小值为 g （ a ），则函数 g （ a ）的最大值为（ ）
B. 0
C. 1 D. 2
解析： f （ x ）＝ ax ＋ （2－ x ）＝ x ＋ ，①当 a ＞
1时， a ＞ ， f （ x ）是增函数， f （ x ）在区间[0，2]上的最小
值为 f （0）＝ ，∴ g （ a ）＝ （ a ＞1）；②当 a ＝1时， f
（ x ）＝2，∴ g （ a ）＝2（ a ＝1）；③当0＜ a ＜1时， a － ＜
0， f （ x ）是减函数， f （ x ）在区间[0，2]上的最小值为 f （2）
＝2 a ，∴ g （ a ）＝2 a （0＜ a ＜1）.∴ g （ a ）＝
因此 g （ a ）的最大值为2.
1. 函数 y ＝ f （ x ）（－2≤ x ≤2）的图象如图所示，则函数的最大
值、最小值分别为（ ）
A. f （2）， f （－2）
解析： 根据函数最值的定义，结合函数图象可知，当 x ＝－
时，有最小值 f ；当 x ＝ 时，有最大值 f .
2. 已知函数 f （ x ）＝则 f （ x ）的最大值、最
小值分别为（ ）
A. 10，6 B. 10，8
C. 8，6 D. 以上都不对
解析： 当－1≤ x ＜1时，6≤ f （ x ）＜8；当1≤ x ≤2时，8≤ f
（ x ）≤10，所以 f （ x ）的最大值、最小值分别为10，6.故选A.
3. 若函数 y ＝ ax ＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数 a
的值为 .
解析：由题意知 a ≠0，当 a ＞0时，有（2 a ＋1）－（ a ＋1）＝2，
解得 a ＝2；当 a ＜0时，有（ a ＋1）－（2 a ＋1）＝2，解得 a ＝－
2，综上知 a ＝±2.
±2
4. 已知函数 f （ x ）＝求函数 f （ x ）的最大
值、最小值.
解：作出 f （ x ）的图象如图.
由图象可知，当 x ＝2时， f （ x ）取最大值为
2；
当 x ＝ 时， f （ x ）取最小值为－ .
所以 f （ x ）的最大值为2，最小值为－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数在[1，4]上最大值为3的是（ ）
B. y ＝3 x －2
C. y ＝ x2 D. y ＝1－ x
解析： B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调
递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
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2. 已知函数 y ＝ （ k ≠0）在[3，8]上的最大值为1，则 k 的值为
（ ）
A. 1 B. －6
C. －1 D. 6
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解析： 当 k ＞0时，函数 y ＝ 在[3，8]上单调递减，∵函数
在[3，8]上的最大值为1，∴ ＝1，∴ k ＝1；当 k ＜0时，函数 y
＝ 在[3，8]上单调递增，∵函数在[3，8]上的最大值为1，
∴ ＝1，∴ k ＝6（舍去）.故选A.
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3. 已知函数 f （ x ）＝－ x2＋4 x ＋ a ， x ∈[0，1]，若 f （ x ）的最小值
为－2，则 f （ x ）的最大值为（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
解析： ∵ f （ x ）＝－ x2＋4 x ＋ a 在[0，1]上单调递增，∴其最
小值为 f （0）＝ a ＝－2，∴其最大值为 f （1）＝3＋ a ＝1.
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4. 当0≤ x ≤2时， a ＜－ x2＋2 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，1] B. （－∞，0]
C. （－∞，0） D. （0，＋∞）
解析： a ＜－ x2＋2 x 恒成立，则 a 小于函数 f （ x ）＝－ x2＋2
x ， x ∈[0，2]的最小值，而 f （ x ）＝－ x2＋2 x ， x ∈[0，2]的最
小值为0，故 a ＜0.
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5. （多选）若 x ∈R， f （ x ）是 y ＝2－ x2， y ＝ x 这两个函数中的较
小者，则 f （ x ）（ ）
A. 最大值为2 B. 最大值为1
C. 最小值为－1 D. 无最小值
解析： 在同一平面直角坐标系中画出函数
y ＝2－ x2， y ＝ x 的图象，如图所示.根据题
意，图中实线部分即为函数 f （ x ）的图象.当 x
＝1时， f （ x ）取得最大值，且 f （ x ）max＝1，
由图象知 f （ x ）无最小值，故选B、D.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ a 在区间（－∞，1]上单调
递减，则函数 g （ x ）＝ 在区间（0，1]上一定（ ）
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 单调递增 D. 单调递减
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解析： 二次函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ a 图象的对称轴为直线 x
＝ a ，因为函数 f （ x ）＝ x2－2 ax ＋ a 在区间（－∞，1]上单调递
减，所以 a ≥1. g （ x ）＝ x ＋ －2 a ，该函数在（0， ）上单调
递减，而 a ≥1，所以当 x ∈（0，1]时，函数 g （ x ）单调递减，且
有最小值，为 g （1）＝1－ a .故选B、D.
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7. 已知函数 f （ x ）＝ 在区间[1，2]上的最大值为 A ，最小值为
B ，则 A － B ＝ .
解析：因为 f （ x ）＝ 在[1，2]上单调递减，所以 A ＝ f （1）＝
1， B ＝ f （2）＝ ，则 A － B ＝ .
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8. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花
园（阴影部分），则其边长 x 为 m.
解析：设矩形花园的宽为 y ，则 ＝ ，即 y ＝40－ x ，矩形花
园的面积 S ＝ x （40－ x ）＝－ x2＋40 x ＝－（ x －20）2＋400，其
中 x ∈（0，40），故当 x ＝20 m时，面积最大.
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2或－
解析：当4 a －2＞0时， f （ x ）在[－2，1]上单调递增，
∴∴则 a ＝2；当4 a －2＜0时， f （ x ）在
[－2，1]上单调递减，∴
∴则 a ＝－ .综上所述， a ＝2或 a ＝－ .
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10. 画出函数 y ＝－ x （｜ x －2｜－2）， x ∈[－1，5]的图象，并根
据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
解：原函数化为 y ＝
在平面直角坐标系内作出图象，如图.
观察图象得，函数 y ＝－ x （｜ x －2｜－2）的
单调递减区间是[－1，0]，[2，5]，单调递增
区间是（0，2），
当 x ＝2时， ymax＝4，当 x ＝5时， ymin＝－5，
所以原函数的最大值为4，最小值为－5.
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11. 函数 f （ x ）＝ 的最大值是（ ）
解析： 因为1－ x （1－ x ）＝ x2－ x ＋1＝（ x － ）2＋ ≥ ，
所以 ≤ .故 f （ x ）的最大值是 .故选C.
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12. 函数 y ＝ － 的最大值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析： 由可得 x ≥0， y ＝ － ＝
＝ .因为 y ＝ ＋ 在[0，
＋∞）上是增函数，所以 y ＝ 在[0，＋∞）上是减函
数，所以当 x ＝0时， y ＝ 取最大值1，故函数 y ＝
－ 的最大值为1.
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13. 若函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 在区间[0，1]上的最大值是 M ，最小
值是 m ，则 M － m （ ）
A. 与 a 有关，且与 b 有关 B. 与 a 有关，但与 b 无关
C. 与 a 无关，且与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关
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解析： f （ x ）＝（ x ＋ ）2－ ＋ b .①当0≤－ ≤1时， f
（ x ）min＝ m ＝ f （－ ）＝－ ＋ b ， f （ x ）max＝ M ＝max{ f
（0）， f （1）}＝max{ b ，1＋ a ＋ b }，故 M － m ＝max{ ，1＋
a ＋ }，与 a 有关，与 b 无关；②当－ ＜0时， f （ x ）在[0，1]
上单调递增，故 M － m ＝ f （1）－ f （0）＝1＋ a ，与 a 有关，与
b 无关；③当－ ＞1时， f （ x ）在[0，1]上单调递减，故 M － m
＝ f （0）－ f （1）＝－1－ a ，与 a 有关，与 b 无关.综上所述， M － m 与 a 有关，但与 b 无关.
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x2－2 ax －1＋ a ， a ∈R.
（1）若 a ＝2，试求函数 y ＝ （ x ＞0）的最小值；
解：依题意得 y ＝ ＝ ＝ x ＋ －4.
因为 x ＞0，所以 x ＋ ≥2.
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝1时，等号成立.
故当 x ＝1时， y ＝ 的最小值为－2.
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（2）对于任意的 x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}，不等式 f （ x ）≤ a 恒成
立，试求 a 的取值范围.
解：因为 f （ x ）－ a ＝ x2－2 ax －1，所以要使得“对
于任意的 x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}，不等式 f （ x ）≤ a 成立”，
只要“ x2－2 ax －1≤0在0≤ x ≤2上恒成立”.
不妨设 g （ x ）＝ x2－2 ax －1，
则只要 g （ x ）≤0在0≤ x ≤2上恒成立.
所以即
解得 a ≥ .
所以 a 的取值范围是［ ，＋∞）.
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15. 请先阅读下列材料，然后回答问题：
对于问题“已知函数 f （ x ）＝ ，问函数 f （ x ）是否存在
最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说
明理由”，一个同学给出了如下解答：
令 u ＝3＋2 x － x2，则 u ＝－（ x －1）2＋4，当 x ＝1时， u 有最大
值， umax＝4，显然 u 没有最小值.
故当 x ＝1时， f （ x ）有最小值 ，没有最大值.
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（1）你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正
确的解答；
解：不正确.没有考虑到 u 还可以小于0.正确解答如下：
令 u ＝3＋2 x － x2，则 u ＝－（ x －1）2＋4≤4，易知 u
≠0，当0＜ u ≤4时， ≥ ，即 f （ x ）≥ ；
当 u ＜0时， ＜0，即 f （ x ）＜0.
∴ f （ x ）＜0或 f （ x ）≥ ，即 f （ x ）既无最大值，也
无最小值.
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（2）试研究函数 y ＝ 的最值情况；
解：∵ x2＋ x ＋2＝ ＋ ≥ ，∴0＜ y ≤ ，
∴函数 y ＝ 的最大值为 （当 x ＝－ 时取到），无
最小值.
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（3）对于函数 f （ x ）＝ （ a ＞0），试研究其最
值情况.
解：对于函数 f （ x ）＝ （ a ＞0），令 u ＝ ax2＋ bx ＋ c ，
①当Δ＞0时， u 有最小值， umin＝ ＜0；
当 ≤ u ＜0时， ≤ ，即 f （ x ）≤ ；当 u
＞0时， f （ x ）＞0.
∴ f （ x ）＞0或 f （ x ）≤ ，即 f （ x ）既无最大值也无最小值.
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②当Δ＝0时， u 有最小值， umin＝ ＝0，结合 f （ x ）＝ 知 u ≠0，∴ u ＞0，此时 ＞0，即 f （ x ）＞0， f （ x ）既无最大值也无最小值.
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③当Δ＜0时， u 有最小值， umin＝ ＞0，即 u ≥ ＞0，
∴0＜ ≤ ，即0＜ f （ x ）≤ ，
∴当 x ＝－ 时， f （ x ）有最大值 ，没有最小值.
综上，当Δ≥0时， f （ x ）既无最大值，也无最小值；
当Δ＜0时， f （ x ）有最大值 ，此时 x ＝－ ，没有最小值.
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谢 谢 观 看！第2课时 函数的最值
1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是（ ）
A.y＝＋2 B.y＝3x－2
C.y＝x2 D.y＝1－x
2.已知函数y＝（k≠0）在[3，8]上的最大值为1，则k的值为（ ）
A.1 B.－6
C.－1 D.6
3.已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）的最小值为－2，则f（x）的最大值为（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.2
4.当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1] B.（－∞，0]
C.（－∞，0） D.（0，＋∞）
5.（多选）若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（ ）
A.最大值为2 B.最大值为1
C.最小值为－1 D.无最小值
6.（多选）已知函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，则函数g（x）＝在区间（0，1]上一定（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.单调递增 D.单调递减
7.已知函数f（x）＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝ .
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为 m.
9.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为 .
10.画出函数y＝－x（｜x－2｜－2），x∈[－1，5]的图象，并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
11.函数f（x）＝的最大值是（ ）
A. B. C. D.
12.函数y＝－的最大值为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
13.若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（ ）
A.与a有关，且与b有关
B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关
D.与a无关，但与b有关
14.已知函数f（x）＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
（1）若a＝2，试求函数y＝ （x＞0）的最小值；
（2）对于任意的x∈{x｜0≤x≤2}，不等式f（x）≤a恒成立，试求a的取值范围.
15.请先阅读下列材料，然后回答问题：
对于问题“已知函数f（x）＝，问函数f（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”，一个同学给出了如下解答：
令u＝3＋2x－x2，则u＝－（x－1）2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值.
故当x＝1时，f（x）有最小值，没有最大值.
（1）你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
（2）试研究函数y＝的最值情况；
（3）对于函数f（x）＝（a＞0），试研究其最值情况.
第2课时 函数的最值
1.A B、C在[1，4]上均单调递增，A、D在[1，4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.故选A.
2.A 当k＞0时，函数y＝在[3，8]上单调递减，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴＝1，∴k＝1；当k＜0时，函数y＝在[3，8]上单调递增，∵函数在[3，8]上的最大值为1，∴＝1，∴k＝6（舍去）.故选A.
3.A ∵f（x）＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，∴其最小值为f（0）＝a＝－2，∴其最大值为f（1）＝3＋a＝1.
4.C a＜－x2＋2x恒成立，则a小于函数f（x）＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f（x）＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值为0，故a＜0.
5.BD 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值，故选B、D.
6.BD 二次函数f（x）＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f（x）＝x2－2ax＋a在区间（－∞，1]上单调递减，所以a≥1.g（x）＝x＋－2a，该函数在（0，）上单调递减，而a≥1，所以当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递减，且有最小值，为g（1）＝1－a.故选B、D.
7. 解析：因为f（x）＝在[1，2]上单调递减，所以A＝f（1）＝1，B＝f（2）＝，则A－B＝.
8.20 解析：设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400，其中x∈（0，40），故当x＝20 m时，面积最大.
9.2或－ 解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－.
10.解：原函数化为y＝
在平面直角坐标系内作出图象，如图.
观察图象得，函数y＝－x（｜x－2｜－2）的单调递减区间是[－1，0]，[2，5]，单调递增区间是（0，2），
当x＝2时，ymax＝4，当x＝5时，ymin＝－5，
所以原函数的最大值为4，最小值为－5.
11.C 因为1－x（1－x）＝x2－x＋1＝（x－）2＋≥，所以≤.故f（x）的最大值是.故选C.
12.B 由可得x≥0，y＝－＝＝.因为y＝＋在[0，＋∞）上是增函数，所以y＝在[0，＋∞）上是减函数，所以当x＝0时，y＝取最大值1，故函数y＝－的最大值为1.
13.B f（x）＝（x＋）2－＋b.①当0≤－≤1时，f（x）min＝m＝f（－）＝－＋b，f（x）max＝M＝max{f（0），f（1）}＝max{b，1＋a＋b}，故M－m＝max{，1＋a＋}，与a有关，与b无关；②当－＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，故M－m＝f（1）－f（0）＝1＋a，与a有关，与b无关；③当－＞1时，f（x）在[0，1]上单调递减，故M－m＝f（0）－f（1）＝－1－a，与a有关，与b无关.综上所述，M－m与a有关，但与b无关.
14.解：（1）依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x＞0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立.
故当x＝1时，y＝的最小值为－2.
（2）因为f（x）－a＝x2－2ax－1，所以要使得“对于任意的x∈{x｜0≤x≤2}，不等式f（x）≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在0≤x≤2上恒成立”.
不妨设g（x）＝x2－2ax－1，
则只要g（x）≤0在0≤x≤2上恒成立.
所以即
解得a≥.
所以a的取值范围是［，＋∞）.
15.解：（1）不正确.没有考虑到u还可以小于0.正确解答如下：
令u＝3＋2x－x2，则u＝－（x－1）2＋4≤4，易知u≠0，当0＜u≤4时，≥，即f（x）≥；
当u＜0时，＜0，即f（x）＜0.
∴f（x）＜0或f（x）≥，即f（x）既无最大值，也无最小值.
（2）∵x2＋x＋2＝＋≥，∴0＜y≤，
∴函数y＝的最大值为（当x＝－时取到），无最小值.
（3）对于函数f（x）＝（a＞0），令u＝ax2＋bx＋c，
①当Δ＞0时，u有最小值，umin＝＜0；
当≤u＜0时，≤，即f（x）≤；当u＞0时，f（x）＞0.
∴f（x）＞0或f（x）≤，即f（x）既无最大值也无最小值.
②当Δ＝0时，u有最小值，umin＝＝0，结合f（x）＝知u≠0，∴u＞0，此时＞0，即f（x）＞0，f（x）既无最大值也无最小值.
③当Δ＜0时，u有最小值，umin＝＞0，即u≥＞0，
∴0＜≤，即0＜f（x）≤，
∴当x＝－时，f（x）有最大值，没有最小值.
综上，当Δ≥0时，f（x）既无最大值，也无最小值；
当Δ＜0时，f（x）有最大值，此时x＝－，没有最小值.
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