5.4 函数的奇偶性
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用 直观想象、逻辑推理
第1课时 奇偶性的概念
生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，反比例函数y＝的图象关于原点对称等.
【问题】 我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？
知识点 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 函数y＝f（x）的定义域为A， x∈A，都有
条件 f（－x）＝ f（－x）＝
定义域特征 关于 对称
图象特征 关于 对称 关于 对称
提醒 （1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0；（3）若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数.【想一想】
如果定义域内存在x0，满足f（－x0）＝f（x0），函数f（x）是偶函数吗？
1.下列说法正确的是（ ）
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.函数f（x）＝x2，x∈[－1，2]是偶函数
D.若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0
2.（2024·无锡江阴四校期中）函数y＝f（x），x∈[－1，a]（a＞－1）是奇函数，则a＝（ ）
A.1 B.0
C.－1 D.无法确定
3.若f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝2，则f（－3）＝ ，f（0）＝ .
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】 （链接教科书第124页例1）判定下列函数是否为奇函数或偶函数：
（1） f（x）＝x4－1；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝2－｜x｜；
（4）f（x）＝＋；
（5）f（x）＝；
（6）f（x）＝
通性通法
判断函数奇偶性的3种方法
（1）定义法
（2）图象法
（3）性质法：①偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2（x2＋2）；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝｜x＋a｜－｜x－a｜（a∈R）；
（4）f（x）＝
题型二 奇、偶函数的图象及应用
【例2】 （链接教科书第125页例2）已知函数f（x）＝x3＋x.
（1）判断函数y＝f（x）是否具有奇偶性；
（2）如图所示是f（x）图象的一部分，请根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象.
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若f（m＋1）＋f（2m－3）＜0，试求实数m的取值范围.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式等问题.
【跟踪训练】
已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补全函数y＝f（x）的图象；
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间；
（3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合.
题型三 利用函数的奇偶性求值
【例3】 （链接教科书第127页习题5题）（1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ .
通性通法
利用奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数；
（2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
【跟踪训练】
1.（2024·连云港期中）设a为实数，已知函数f（x）＝a－的图象关于原点对称，则a的值为（ ）
A.－ B.
C.2 D.－2
2.（多选） （2024·无锡辅仁高中期中）若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为R上的偶函数，当－1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A.m＝1 B.m＝2
C.f（x）min＝2 D.f（x）max＝6
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
2.如图，给出奇函数y＝f（x）的部分图象，则f（－2）＋f（－1）＝（ ）
A.－2 B.2
C.1 D.0
3.下列函数为奇函数的是（ ）
A.y＝｜x｜ B.y＝3－x
C.y＝ D.y＝－x2＋14
4.已知函数f（x）＝ax3＋bx－8，若f（－2）＝10，则f（2）＝ .
第1课时 奇偶性的概念
【基础知识·重落实】
知识点
－x∈A f（x） －f（x） 原点 y轴
原点
想一想
提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立.
自我诊断
1.D
2.A 因为函数y＝f（x），x∈[－1，a]（a＞－1）是奇函数，所以定义域关于原点对称，即－1＋a＝0，所以a＝1.故选A.
3.－2 0 解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－2，f（0）＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）函数f（x）＝x4－1的定义域是R.
因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4－1＝x4－1＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数.
（2）函数f（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，
因为f（－x）＝－＝－f（x），所以函数f（x）＝是奇函数.
（3）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，因为f（－x）＝2－｜－x｜＝2－｜x｜＝f（x），
所以f（x）为偶函数.
（4）因为函数f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f（x）＝0，
又因为f（－x）＝f（x），且f（－x）＝－f（x），所以f（x）既是奇函数又是偶函数.
（5）因为函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.
（6）f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.
当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1＝f（x）；
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x＋1＝f（x）.
综上可知，对于x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数.
跟踪训练
解：（1）∵x∈R，关于原点对称，
又∵f（－x）＝（－x）2[（－x）2＋2]＝x2（x2＋2）＝f（x），
∴f（x）为偶函数.
（2）f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称，
又∵f（－x）＝＝－＝－f（x）.
∴f（x）为奇函数.
（3）函数的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称.
①当a≠0时，f（－x）＝｜－x＋a｜－｜－x－a｜＝｜x－a｜－｜x＋a｜＝－（｜x＋a｜－｜x－a｜）＝－f（x），∴函数f（x）为奇函数；
②当a＝0时，函数f（x）＝｜x＋a｜－｜x－a｜＝｜x｜－｜x｜＝0，此时函数f（x）既是奇函数又是偶函数.
综上所述，当a≠0时，函数f（x）为奇函数；当a＝0时，函数f（x）既是奇函数又是偶函数.
（4）函数f（x）＝画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数.
【例2】 解：（1）函数f（x）的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且 f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），所以函数y＝f（x）是奇函数.
（2）由奇函数的图象关于原点对称可画出函数y＝f（x）在y轴左边的图象，作出函数图象如图.
母题探究
解：因为f（m＋1）＋f（2m－3）＜0，所以f（m＋1）＜－f（2m－3），
因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），则－f（2m－3）＝f（3－2m），
所以f（m＋1）＜f（3－2m），又因为f（x）的定义域是R且为增函数，
所以m＋1＜3－2m，解得m＜，即实数m的取值范围是（－∞，）.
跟踪训练
解：（1）由题意作出函数图象如图.
（2）据图可知，增区间为（－1，0），（1，＋∞）.
（3）据图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为{x｜－2＜x＜2，且x≠0}.
【例3】 （1） 0 （2）0 解析：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
（2）由奇函数定义有f（－x）＋f（x）＝0，得a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
跟踪训练
1.A 由题意知，f（－x）＝－f（x），即a－＝－a＋，故2a＝＋＝＋＝＋＝＝－1，解得a＝－.故选A.
2.BCD 根据题意，有f（－x）＝f（x），即（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）＝（m－1）x2－（m－2）x＋（m2－7m＋12），必有m－2＝0，即m＝2，则f（x）＝x2＋2，为开口向上的二次函数，对称轴为x＝0，当－1≤x≤2时，其最小值为f（0）＝2，最大值为f（2）＝6.故选B、C、D.
随堂检测
1.B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
2.A f（－2）＋f（－1）＝－f（2）－f（1）＝－－＝－2.
3.C A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.故选C.
4.－26 解析：法一 令g（x）＝ax3＋bx，则g（x）是奇函数，∴f（－2）＝g（－2）－8＝－g（2）－8，又f（－2）＝10，∴g（2）＝－18.又f（2）＝g（2）－8，∴f（2）＝－18－8＝－26.
法二 由题意知f（－2）＝（－2）3a＋（－2）b－8＝－8a－2b－8＝10，则8a＋2b＝－18，∴f（2）＝23a＋2b－8＝8a＋2b－8＝－18－8＝－26.
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第1课时 奇偶性的概念
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象
2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶
性的简单应用 直观想象、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上
也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数 y ＝ x2的图
象关于 y 轴对称，反比例函数 y ＝ 的图象关于原点对称等.
【问题】 我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象
的对称性反映了函数的什么性质呢？
知识点 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 A ， x ∈ A ，都有 条件 f （－ x ）＝ f （－ x ）＝
定义域特征 关于 对称 图象特征 关于 对称 关于 对称
－ x ∈ A
f （ x ）
－ f （ x ）
原点
y 轴
原点
提醒 （1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点
处有定义，则必有 f （0）＝0；（3）若 f （－ x ）＝－ f （ x ），且 f
（－ x ）＝ f （ x ），则 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
【想一想】
如果定义域内存在 x0，满足 f （－ x0）＝ f （ x0），函数 f （ x ）是偶函
数吗？
提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个 x 都成立.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 偶函数的图象一定与 y 轴相交
B. 奇函数的图象一定通过原点
C. 函数 f （ x ）＝ x2， x ∈[－1，2]是偶函数
D. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数，则 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0
2. （2024·无锡江阴四校期中）函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－1， a ]（ a ＞
－1）是奇函数，则 a ＝（ ）
A. 1 B. 0
C. －1 D. 无法确定
解析： 因为函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－1， a ]（ a ＞－1）是奇函
数，所以定义域关于原点对称，即－1＋ a ＝0，所以 a ＝1.故选A.
3. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数， f （3）＝2，则 f （－3）＝
， f （0）＝ .
解析：因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （－3）＝－ f
（3）＝－2， f （0）＝0.
－
2
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】 （链接教科书第124页例1）判定下列函数是否为奇函数或
偶函数：
（1） f （ x ）＝ x4－1；
解：函数 f （ x ）＝ x4－1的定义域是R.
因为对于任意的 x ∈R，都有－ x ∈R，且 f （－ x ）＝（－ x ）4
－1＝ x4－1＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）是偶函数.
（2） f （ x ）＝ ；
解：函数 f （ x ）＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋
∞），关于原点对称，
因为 f （－ x ）＝－ ＝－ f （ x ），所以函数 f （ x ）＝ 是
奇函数.
（3） f （ x ）＝2－｜ x ｜；
解：函数 f （ x ）的定义域为R，关于原点对称，因为 f （－ x ）
＝2－｜－ x ｜＝2－｜ x ｜＝ f （ x ），
所以 f （ x ）为偶函数.
（4） f （ x ）＝ ＋ ；
解：因为函数 f （ x ）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且 f
（ x ）＝0，
又因为 f （－ x ）＝ f （ x ），且 f （－ x ）＝－ f （ x ），所以 f
（ x ）既是奇函数又是偶函数.
（5） f （ x ）＝ ；
解：因为函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠1}，不关于原点对
称，所以 f （ x ）是非奇非偶函数.
（6） f （ x ）＝
解： f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点
对称.
当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝－（－ x ）＋1＝ x ＋1＝ f
（ x ）；
当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝－ x ＋1＝ f （ x ）.
综上可知，对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有 f （－
x ）＝ f （ x ），所以 f （ x ）为偶函数.
通性通法
判断函数奇偶性的3种方法
（1）定义法
（2）图象法
（3）性质法：①偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函
数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇（偶）数个奇函数的
积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；④一个奇函数与一个
偶函数的积为奇函数.
【跟踪训练】
判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ x2（ x2＋2）；
解：∵ x ∈R，关于原点对称，
又∵ f （－ x ）＝（－ x ）2[（－ x ）2＋2]＝ x2（ x2＋2）＝ f （ x ），
∴ f （ x ）为偶函数.
（2） f （ x ）＝ ；
解： f （ x ）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称，
又∵ f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ）.
∴ f （ x ）为奇函数.
①当 a ≠0时， f （－ x ）＝｜－ x ＋ a ｜－｜－ x － a ｜＝｜ x －
a ｜－｜ x ＋ a ｜＝－（｜ x ＋ a ｜－｜ x － a ｜）＝－ f （ x ），
∴函数 f （ x ）为奇函数；
②当 a ＝0时，函数 f （ x ）＝｜ x ＋ a ｜－｜ x － a ｜＝｜ x ｜
－｜ x ｜＝0，此时函数 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
综上所述，当 a ≠0时，函数 f （ x ）为奇函数；当 a ＝0时，函数
f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
（3） f （ x ）＝｜ x ＋ a ｜－｜ x － a ｜（ a ∈R）；
解：函数的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称.
（4） f （ x ）＝
解：函数 f （ x ）＝画出图象如图所示，图
象关于原点对称，因此函数 f （ x ）是奇函数.
题型二 奇、偶函数的图象及应用
【例2】 （链接教科书第125页例2）已知函数 f （ x ）＝ x3＋ x .
（1）判断函数 y ＝ f （ x ）是否具有奇偶性；
解：函数 f （ x ）的定义域是R. 因为对于任意的 x ∈R，都有－ x ∈R，且 f （－ x ）＝（－ x ）3＋（－ x ）＝－（ x3＋ x ）＝－ f （ x ），所以函数 y ＝ f （ x ）是奇函数.
（2）如图所示是 f （ x ）图象的一部分，请根据 f （ x ）的奇偶性画出
它在 y 轴左边的图象.
解：由奇函数的图象关于原点对称可画出函数 y ＝ f （ x ）在 y 轴
左边的图象，作出函数图象如图.
【母题探究】
（变设问）本例条件不变，若 f （ m ＋1）＋ f （2 m －3）＜0，试求
实数 m 的取值范围.
解：因为 f （ m ＋1）＋ f （2 m －3）＜0，所以 f （ m ＋1）＜－ f （2 m
－3），
因为 f （ x ）是奇函数，所以 f （－ x ）＝－ f （ x ），则－ f （2 m －3）
＝ f （3－2 m ），
所以 f （ m ＋1）＜ f （3－2 m ），又因为 f （ x ）的定义域是R且为增
函数，
所以 m ＋1＜3－2 m ，解得 m ＜ ，即实数 m 的取值范围是（－∞， ）.
通性通法
巧用奇、偶函数的图象求解问题
（1）依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于 y 轴
对称；
（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较
大小及解不等式等问题.
【跟踪训练】
已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ≤0时， f （ x ）＝ x2＋2 x .现已画出函数 f （ x ）在 y 轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补全函数 y ＝ f （ x ）的图象；
解：由题意作出函数图象如图.
（2）根据图象写出函数 y ＝ f （ x ）的增区间；
解：据图可知，增区间为（－1，0），（1，＋∞）.
（3）根据图象写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合.
解：据图可知，使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合为{ x ｜－2＜ x ＜
2，且 x ≠0}.
题型三 利用函数的奇偶性求值
【例3】 （链接教科书第127页习题5题）（1）若函数 f （ x ）＝ ax2
＋ bx ＋3 a ＋ b 是偶函数，定义域为[ a －1，2 a ]，则 a ＝ ， b
＝ ；
0
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a －1＝－2 a ，解得 a
＝ .又函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的
特点，易得 b ＝0.
（2）已知函数 f （ x ）＝ ax2＋2 x 是奇函数，则实数 a ＝ .
解析：由奇函数定义有 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，得 a （－ x ）2＋
2（－ x ）＋ ax2＋2 x ＝2 ax2＝0，故 a ＝0.
0
通性通法
利用奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f
（－ x ）＝ f （ x ）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定
义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和
为0求参数；
（2）求函数值：利用 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）求
解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港期中）设 a 为实数，已知函数 f （ x ）＝ a － 的
图象关于原点对称，则 a 的值为（ ）
C. 2 D. －2
解析： 由题意知， f （－ x ）＝－ f （ x ），即 a － ＝－ a
＋ ，故2 a ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
－1，解得 a ＝－ .故选A.
2. （多选） （2024·无锡辅仁高中期中）若函数 f （ x ）＝（ m －1）
x2＋（ m －2） x ＋（ m2－7 m ＋12）为R上的偶函数，当－1≤ x ≤2
时，下列说法正确的是（ ）
A. m ＝1 B. m ＝2
C. f （ x ）min＝2 D. f （ x ）max＝6
解析： 根据题意，有 f （－ x ）＝ f （ x ），即（ m －1） x2＋
（ m －2） x ＋（ m2－7 m ＋12）＝（ m －1） x2－（ m －2） x ＋
（ m2－7 m ＋12），必有 m －2＝0，即 m ＝2，则 f （ x ）＝ x2＋2，
为开口向上的二次函数，对称轴为 x ＝0，当－1≤ x ≤2时，其最小
值为 f （0）＝2，最大值为 f （2）＝6.故选B、C、D.
1. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
解析： 选项A中的图象关于原点或 y 轴均不对称，故排除；选
项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇
偶性，故排除；选项B中的图象关于 y 轴对称，其表示的函数是偶
函数.
2. 如图，给出奇函数 y ＝ f （ x ）的部分图象，则 f （－2）＋ f （－1）
＝（ ）
A. －2 B. 2 C. 1 D. 0
解析： f （－2）＋ f （－1）＝－ f （2）－ f （1）＝－ － ＝－2.
3. 下列函数为奇函数的是（ ）
A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x
D. y ＝－ x2＋14
解析： A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函
数，而C项中函数为奇函数.故选C.
4. 已知函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx －8，若 f （－2）＝10，则 f （2）＝
.
解析：法一 令 g （ x ）＝ ax3＋ bx ，则 g （ x ）是奇函数，∴ f （－
2）＝ g （－2）－8＝－ g （2）－8，又 f （－2）＝10，∴ g （2）
＝－18.又 f （2）＝ g （2）－8，∴ f （2）＝－18－8＝－26.
－
26
法二 由题意知 f （－2）＝（－2）3 a ＋（－2） b －8＝－8 a －2 b －
8＝10，则8 a ＋2 b ＝－18，∴ f （2）＝23 a ＋2 b －8＝8 a ＋2 b －8＝
－18－8＝－26.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知一个奇函数的定义域为{－1，2， a ， b }，则 a ＋ b ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析： 因为该奇函数的定义域为{－1，2， a ， b }，且奇函数
的定义域关于原点对称，所以 a 与 b 中一个等于1，一个等于－2，
所以 a ＋ b ＝1＋（－2）＝－1，故选A.
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2. （2024·泰州月考）已知 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ＜0
时， f （ x ）＝ x3＋ x2，则 f （2）＝（ ）
A. －12 B. －4
C. 4 D. 12
解析： 由题意得 f （2）＝－ f （－2）＝－[（－2）3＋（－2）2]＝4.故选C.
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3. （2024·宿迁泗阳中学期中）函数 f （ x ）＝ 的图象大致为
（ ）
解析： 当 x ＞0时，函数 f （ x ）＝ ＞0，B、C错误；又 f
（－ x ）＝ ＝－ f （ x ），即函数为奇函数，D错误.故选A.
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4. （2024·苏州中学期中）设函数 f （ x ）＝若 f
（ x ）是奇函数，则 m （－1）＝（ ）
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解析： ∵函数 f （ x ）为奇函数，∴ f （－1）＝－ f （1）＝－
（1－3）＝2，当 x ＜0时， f （ x ）＝ m （ x ） m （ x ）＝2 f
（ x ），∴ m （－1）＝2 f （－1）＝4.故选D.
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5. （多选）下列给出的函数是奇函数的是（ ）
A. f （ x ）＝ x4＋1
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解析： f （ x ）＝ x4＋1的定义域为R， f （－ x ）＝（－ x ）4＋
1＝ x4＋1＝ f （ x ），所以 f （ x ）是偶函数； f （ x ）＝ x － 的定义
域为{ x ｜ x ≠0}， f （－ x ）＝（－ x ）－ ＝－（ x － ）＝－ f
（ x ），所以 f （ x ）是奇函数； f （ x ）＝是定义
在R上的分段函数，当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝－（－ x ）2
－（－ x ）＝－ x2＋ x ＝－（ x2－ x ）＝－ f （ x ）；当 x ＜0时，－ x
＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2－（－ x ）＝ x2＋ x ＝－（－ x2－ x ）＝
－ f （ x ），且 x ＝0时， f （0）＝0，所以 f （ x ）是奇函数； f
（ x ）＝ 的定义域为{ x ｜ x ≠0且 x ≠－1}，不关于原点对
称，所以 f （ x ）是非奇非偶函数.故选B、C.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）是定义在R上的偶函数，当 x ≥0时， f
（ x ）＝ x － x2，则下列说法正确的是（ ）
A. f （－1）＝0
C. f （ x ）在（－1，0）上单调递增
D. f （ x ）＞0的解集为（－1，1）
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解析： f （－1）＝ f （1）＝0，A正确； x ≥0时， f （ x ）＝ x
－ x2＝－（ x － ）2＋ ，∴ f （ x ）的最大值为 ，B正确； f
（ x ）在（－ ，0）上单调递减，C错误； f （ x ）＞0的解集为
（－1，0）∪（0，1），D错误.
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7. 已知函数 y ＝ f （ x ）为偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f
（ x ）＝0的所有实根之和是 .
解析：由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以偶函数的图象与 x 轴
的交点也关于 y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半
轴上，另两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
0
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8. 设函数 f （ x ）＝ 为奇函数，则 a ＝ .
解析：∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ），即
＝－ .显然 x ≠0，整理得（2 a ＋2） x
＝0，故 a ＝－1.
－1
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9. 定义在R上的奇函数 f （ x ）满足：当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2 x ＋
a ，则 a ＝ ， f （－3）＝ .
解析：由定义在R上的奇函数 f （ x ）满足：当 x ≥0时， f （ x ）＝
x2－2 x ＋ a ，可得 f （0）＝ a ＝0.所以当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2
x ，则 f （－3）＝－ f （3）＝－（32－2×3）＝－3.
0
－3
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10. 判断下列函数的奇偶性：
（1） f （ x ）＝ x3＋ x5；
解：函数的定义域为R. ∵ f （－ x ）＝（－ x ）3＋（－ x ）5＝－（ x3＋ x5）＝－ f （ x ），∴ f （ x ）是奇函数.
（2） f （ x ）＝｜ x ＋1｜＋｜ x －1｜；
解：f （ x ）的定义域是R. ∵ f （－ x ）＝｜－ x ＋1｜＋｜－ x －1｜＝｜ x －1｜＋｜ x ＋1｜＝ f （ x ），∴ f （ x ）是偶函数.
（3） f （ x ）＝ .
解：函数 f （ x ）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，
＋∞），不关于原点对称，∴ f （ x ）是非奇非偶函数.
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11. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 a ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. ±1
解析： ∵函数 f （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ），则
有 f （－1）＝－ f （1），即1＋ a ＝－ a －1，即2 a ＝－2，得 a ＝
－1（符合题意），故选A.
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12. （多选）（2024·盐城东台月考）狄利克雷是德国数学家，是解析
数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，
于1837年提出函数是 x 与 y 之间的一种对应关系的现代观点，用其
名字命名的“狄利克雷函数”为 D （ x ）＝下列
叙述中正确的是（ ）
A. D （ x ）是偶函数
B. D （ x ＋2）＝ D （ x ）
D. D （ D （ x ））＝1
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解析： A中， 当 x 是有理数，则－ x 是有理数，当 x 是
无理数，则－ x 是无理数，所以 D （－ x ）＝ D （ x ），则 D
（ x ）是偶函数，故A正确；B中，当 x 是有理数，则 x ＋2是
有理数，当 x 是无理数，则 x ＋2是无理数，所以 D （ x ＋2）
＝ D （ x ），故B正确；C中，当 x ＝－ 时， D （ x ＋ ）
＝ D （0）＝1， D （ x ）＝ D （－ ）＝0，故C错误；D
中，当 x 是有理数时， D （ x ）＝1， D （ D （ x ））＝ D
（1）＝1，当 x 是无理数时， D （ x ）＝0， D （ D （ x ））＝
D （0）＝1，故D正确.故选A、B、D.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ ，若 f （ a ）＝ ，则 f （－ a ）＝
.
解析：根据题意， f （ x ）＝ ＝1＋ ，而 h （ x ）＝
是奇函数，故 f （ a ）＝1＋ h （ a ）＝ ，所以 h （ a ）＝－
，所以 f （－ a ）＝1＋ h （－ a ）＝1－ h （ a ）＝1－（－ ）＝ .
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14. 设函数 f （ x ）＝ x2－4｜ x ｜＋3， x ∈[－4，4].
（1）求证： f （ x ）是偶函数；
解：证明：函数的定义域关于原点对称，
f （－ x ）＝（－ x ）2－4｜－ x ｜＋3＝ x2－4｜ x ｜＋3＝ f
（ x ），则 f （ x ）是偶函数.
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（2）画出函数 y ＝｜ f （ x ）｜的图象，并指出函数 f （ x ）的单
调区间；（不需要证明）
解：先画出函数 f （ x ）的图象，
当0≤ x ≤4时， f （ x ）＝ x2－4 x ＋3，其图象如图所示，
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又 f （ x ）为偶函数，作其关于 y 轴对称的图象，就得到 f （ x ）在[－4，4]上的图象，
再将 x 轴下方的图象沿 x 轴向上翻折就得到 y ＝｜ f （ x ）｜的图象，如图中实线部分.
由图象知函数的增区间为[－3，－2]，[－1，0]，[1，2]，[3，4]，
减区间为[－4，－3），（－2，－1），（0，1），（2，3）.
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（3）求函数｜ f （ x ）｜的值域.
解：由图象知，当 x ＝0或 x ＝4或 x ＝－4时，函数｜ f （ x ）｜取得最大值为｜ f （0）｜＝3，
当 x ＝－3或 x ＝－1或 x ＝1或 x ＝3时，函数｜ f （ x ）｜的最
小值为0，
即函数｜ f （ x ）｜的值域为[0，3].
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15. 已知函数 f （ x ）是正比例函数，函数 g （ x ）是反比例函数，且 f
（1）＝1， g （1）＝2.
（1）求函数 f （ x ）和 g （ x ）的解析式；
解：设 f （ x ）＝ k1 x ， g （ x ）＝ （ k1， k2≠0），
则1＝ f （1）＝ k1，2＝ g （1）＝ k2，
∴ f （ x ）＝ x ， g （ x ）＝ .
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（2）判断 f （ x ）＋ g （ x ）的奇偶性；
解：令 h （ x ）＝ f （ x ）＋ g （ x ）＝ x ＋ ，
则其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
又 h （－ x ）＝－ x ＋ ＝－（ x ＋ ）＝－ h （ x ），
∴ f （ x ）＋ g （ x ）为奇函数.
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（3）求函数 f （ x ）＋ g （ x ）在（0，2）上的最小值.
解：∵当 x ∈（0，2）时， f （ x ）＋ g （ x ）＝ x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当 x ＝ ＞0，即 x ＝ ∈（0，2）时不等式等号成立，故 f （ x ）＋ g （ x ）在（0，2）上的最小值为2 .
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谢 谢 观 看！5.4 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
1.已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝（ ）
A.－1 B.1 C.0 D.2
2.（2024·泰州月考）已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x3＋x2，则f（2）＝（ ）
A.－12 B.－4
C.4 D.12
3.（2024·宿迁泗阳中学期中）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
4.（2024·苏州中学期中）设函数f（x）＝若f（x）是奇函数，则m（－1）＝（ ）
A.－4 B.－2 C.2 D.4
5.（多选）下列给出的函数是奇函数的是（ ）
A.f（x）＝x4＋1 B.f（x）＝x－
C.f（x）＝ D.f（x）＝
6.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（ ）
A.f（－1）＝0
B.f（x）的最大值为
C.f（x）在（－1，0）上单调递增
D.f（x）＞0的解集为（－1，1）
7.已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是 .
8.设函数f（x）＝为奇函数，则a＝ .
9.定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，则a＝ ，f（－3）＝ .
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x3＋x5；
（2）f（x）＝｜x＋1｜＋｜x－1｜；
（3）f（x）＝.
11.已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝（ ）
A.－1 B.1 C.0 D.±1
12.（多选）（2024·盐城东台月考）狄利克雷是德国数学家，是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，于1837年提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点，用其名字命名的“狄利克雷函数”为D（x）＝下列叙述中正确的是（ ）
A.D（x）是偶函数 B.D（x＋2）＝D（x）
C.D（x＋）＝D（x） D.D（D（x））＝1
13.已知函数f（x）＝，若f（a）＝，则f（－a）＝ .
14.设函数f（x）＝x2－4｜x｜＋3，x∈[－4，4].
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）画出函数y＝｜f（x）｜的图象，并指出函数f（x）的单调区间；（不需要证明）
（3）求函数｜f（x）｜的值域.
15.已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数，且f（1）＝1，g（1）＝2.
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（2）判断f（x）＋g（x）的奇偶性；
（3）求函数f（x）＋g（x）在（0，2）上的最小值.
第1课时 奇偶性的概念
1.A 因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1，故选A.
2.C 由题意得f（2）＝－f（－2）＝－[（－2）3＋（－2）2]＝4.故选C.
3.A 当x＞0时，函数f（x）＝＞0，B、C错误；又f（－x）＝＝－f（x），即函数为奇函数，D错误.故选A.
4.D ∵函数f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1）＝－（1－3）＝2，当x＜0时，f（x）＝m（x） m（x）＝2f（x），∴m（－1）＝2f（－1）＝4.故选D.
5.BC f（x）＝x4＋1的定义域为R，f（－x）＝（－x）4＋1＝x4＋1＝f（x），所以f（x）是偶函数；f（x）＝x－的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝（－x）－＝－（x－）＝－f（x），所以f（x）是奇函数；f（x）＝是定义在R上的分段函数，当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－（－x）2－（－x）＝－x2＋x＝－（x2－x）＝－f（x）；当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）2－（－x）＝x2＋x＝－（－x2－x）＝－f（x），且x＝0时，f（0）＝0，所以f（x）是奇函数；f（x）＝的定义域为{x｜x≠0且x≠－1}，不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数.故选B、C.
6.AB f（－1）＝f（1）＝0，A正确；x≥0时，f（x）＝x－x2＝－（x－）2＋，∴f（x）的最大值为，B正确；f（x）在（－，0）上单调递减，C错误；f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1），D错误.
7.0 解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
8.－1 解析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即＝－.显然x≠0，整理得（2a＋2）x＝0，故a＝－1.
9.0 －3 解析：由定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝x2－2x＋a，可得f（0）＝a＝0.所以当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（－3）＝－f（3）＝－（32－2×3）＝－3.
10.解：（1）函数的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）3＋（－x）5＝－（x3＋x5）＝－f（x），∴f（x）是奇函数.
（2）f（x）的定义域是R.∵f（－x）＝｜－x＋1｜＋｜－x－1｜＝｜x－1｜＋｜x＋1｜＝f（x），∴f（x）是偶函数.
（3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数.
11.A ∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1（符合题意），故选A.
12.ABD A中， 当x是有理数，则－x是有理数，当x是无理数，则－x是无理数，所以D（－x）＝D（x），则D（x）是偶函数，故A正确；B中，当x是有理数，则x＋2是有理数，当x是无理数，则x＋2是无理数，所以D（x＋2）＝D（x），故B正确；C中，当x＝－时，D（x＋）＝D（0）＝1，D（x）＝D（－）＝0，故C错误；D中，当x是有理数时，D（x）＝1，D（D（x））＝D（1）＝1，当x是无理数时，D（x）＝0，D（D（x））＝D（0）＝1，故D正确.故选A、B、D.
13. 解析：根据题意，f（x）＝＝1＋，而h（x）＝是奇函数，故f（a）＝1＋h（a）＝，所以h（a）＝－，所以f（－a）＝1＋h（－a）＝1－h（a）＝1－（－）＝.
14.解：（1）证明：函数的定义域关于原点对称，
f（－x）＝（－x）2－4｜－x｜＋3＝x2－4｜x｜＋3＝f（x），则f（x）是偶函数.
（2）先画出函数f（x）的图象，
当0≤x≤4时，f（x）＝x2－4x＋3，其图象如图所示，
又f（x）为偶函数，作其关于y轴对称的图象，就得到f（x）在[－4，4]上的图象，
再将x轴下方的图象沿x轴向上翻折就得到y＝｜f（x）｜的图象，如图中实线部分.
由图象知函数的增区间为[－3，－2]，[－1，0]，[1，2]，[3，4]，
减区间为[－4，－3），（－2，－1），（0，1），（2，3）.
（3）由图象知，当x＝0或x＝4或x＝－4时，函数｜f（x）｜取得最大值为｜f（0）｜＝3，
当x＝－3或x＝－1或x＝1或x＝3时，函数｜f（x）｜的最小值为0，
即函数｜f（x）｜的值域为[0，3].
15.解：（1）设f（x）＝k1x，g（x）＝（k1，k2≠0），则1＝f（1）＝k1，2＝g（1）＝k2，
∴f（x）＝x，g（x）＝.
（2）令h（x）＝f（x）＋g（x）＝x＋，
则其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
又h（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－h（x），
∴f（x）＋g（x）为奇函数.
（3）∵当x∈（0，2）时，f（x）＋g（x）＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝＞0，即x＝∈（0，2）时不等式等号成立，故f（x）＋g（x）在（0，2）上的最小值为2.
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