第2课时 奇偶性的应用
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 (链接教科书第127页习题7题)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.
通性通法
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a,b]上的解析式,求关于原点的对称区间[-b,-a]上的解析式,其解决思路为:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)利用已知区间上的解析式进行代入;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
提醒 若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.
通性通法
已知函数f(x),g(x)的组合运算与奇偶性,把x换为-x,构造方程组求解.
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)=为奇函数,则g(x)= .
2.(2024·南通中学期中)已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=x2-x+1,则g(3)= .
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
【例3】 设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(-x)=f(x),当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.已知f(x)是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )
A.f(-0.5)<f(0)<f(-1)
B.f(-1)<f(-0.5)<f(0)
C.f(0)<f(-0.5)<f(-1)
D.f(-1)<f(0)<f(-0.5)
2.已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,在[0,5]上是单调函数,且f(-4)<f(-2),则下列不等式一定成立的是( )
A.f(-1)<f(3)
B.f(2)<f(3)
C.f(-3)<f(5)
D.f(0)>f(1)
题型三 利用函数的奇偶性与单调性解不等式
【例4】 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
【母题探究】
(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法
(1)利用图象解不等式;
(2)转化为简单不等式求解:①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式;②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
提醒 列不等式(组)时不要忘掉函数定义域.
【跟踪训练】
1.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f(1)的x的取值范围是( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-1,1)
2.(2024·苏州中学期中)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(3)=0,则满足不等式xf(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
1.已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,则( )
A.f(1)<f(2) B.f(1)>f(2)
C.f(1)=f(2) D.以上都有可能
2.设偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
A.f (-)<f(-1)<f(2)
B.f(2)<f (-)<f(-1)
C.f(2)<f(-1)<f (-)
D.f(-1)<f (-)<f(2)
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x-x2.则当x<0时,f(x)的解析式为 .
4.(2024·南通东南中学期中)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<f()的x的取值范围为 .
第2课时 奇偶性的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解:设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)+1=x+1,
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=x+1,
∴当x<0时,f(x)=-x-1.
又x=0时,f(0)=0,∴f(x)=
【例2】 解:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
由f(x)+g(x)=, ①
用-x代替x,
得f(-x)+g(-x)=,
∴f(x)-g(x)=, ②
(①+②)÷2,得f(x)=;
(①-②)÷2,得g(x)=.
跟踪训练
1. 解析:因为函数f(x)=为奇函数,所以f(0)=g(0)=0.设x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2+1=x2+1,所以f(x)=g(x)=-f(-x)=-x2-1.综上可得g(x)=
2.-3 解析:因为f(x)+g(x)=x2-x+1,①.所以f(-x)+g(-x)=x2+x+1,由函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,则f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),所以f(x)-g(x)=x2+x+1,②.则①-②可得:2g(x)=-2x,所以g(x)=-x,则g(3)=-3.
【例3】 A 由偶函数与单调性的关系知,若当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则当x∈(-∞,0]时,f(x)单调递减,故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,∵|-2|<|-3|<π,∴f(π)>f(-3)>f(-2).
跟踪训练
1.B ∵函数f(x)为奇函数,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在R上是增函数,∴f(-1)<f(-0.5)<f(0).
2.D 因为函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,且f(-4)<f(-2),所以f(4)<f(2).又f(x)在[0,5]上是单调函数.所以f(x)在[0,5]上单调递减,从而f(0)>f(1),故选D.
【例4】 解:因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上是减函数.
所以不等式f(1-m)<f(m)等价于解得-1≤m<.
所以实数m的取值范围为[-1,).
母题探究
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在区间[-2,0]上单调递减,所以函数在区间[0,2]上单调递增,
原不等式可化为f(|1-m|)<f(|m|),
故可得
即
解得<m≤2.故实数m的取值范围为.
跟踪训练
1.B 函数定义域是R,根据题意得|2x-1|<1,解得0<x<1.故选B.
2.C 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(3)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-3)=0,作出函数f(x)的简图,如图所示,当x>0时,由xf(x)<0得f(x)<0,即x>3;当x<0时,由xf(x)<0得f(x)>0,即x<-3;当x=0时,xf(x)=0不合题意.所以满足不等式xf(x)<0的x的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).故选C.
随堂检测
1.A ∵f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(1)<f(2).故选A.
2.B ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2).又f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<-<-1,∴f(2)=f(-2)<f (-)<f(-1).故选B.
3.f(x)=2x+x2 解析:当x<0时,-x>0,于是f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-2x-x2)=2x+x2,即当x<0时,f(x)=2x+x2.
4.(,) 解析:因为f(x)是偶函数,f(-x)=f(x)=f(|x|),所以不等式f(2x-1)<f()等价于f(|2x-1|)<f(),又因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以|2x-1|<,解得<x<.
3 / 3(共52张PPT)
第2课时 奇偶性的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用函数的奇偶性求解析式
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 (链接教科书第127页习题7题)函数 f ( x )是定义域为R
的奇函数,当 x >0时, f ( x )=- x +1,求 f ( x )的解析式.
解:设 x <0,则- x >0,
∴ f (- x )=-(- x )+1= x +1,
又∵函数 f ( x )是定义域为R的奇函数,
∴ f (- x )=- f ( x )= x +1,
∴当 x <0时, f ( x )=- x -1.
又 x =0时, f (0)=0,∴ f ( x )=
通性通法
如果已知函数的奇偶性和一个区间[ a , b ]上的解析式,求关于
原点的对称区间[- b ,- a ]上的解析式,其解决思路为:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式, x 就应在哪个区
间上设;
(2)利用已知区间上的解析式进行代入;
(3)利用 f ( x )的奇偶性写出- f ( x )或 f (- x ),从而解出 f
( x ).
提醒 若函数 f ( x )的定义域内含0且为奇函数,则必有 f (0)
=0,但若为偶函数,未必有 f (0)=0.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设 f ( x )是偶函数, g ( x )是奇函数,且 f ( x )+ g
( x )= ,求函数 f ( x ), g ( x )的解析式.
解:∵ f ( x )是偶函数, g ( x )是奇函数,∴ f (- x )= f ( x ),
g (- x )=- g ( x ),
由 f ( x )+ g ( x )= , ①
用- x 代替 x ,
得 f (- x )+ g (- x )= ,
∴ f ( x )- g ( x )= , ②
(①+②)÷2,得 f ( x )= ;
(①-②)÷2,得 g ( x )= .
通性通法
已知函数 f ( x ), g ( x )的组合运算与奇偶性,把 x 换为- x ,
构造方程组求解.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f ( x )=为奇函数,则 g ( x )
= .
解析:因为函数 f ( x )=为奇函数,所以 f (0)
= g (0)=0.设 x <0,则- x >0, f (- x )=(- x )2+1= x2
+1,所以 f ( x )= g ( x )=- f (- x )=- x2-1.综上可得 g
( x )=
2. (2024·南通中学期中)已知函数 f ( x ), g ( x )分别是定义在R
上的偶函数和奇函数,且 f ( x )+ g ( x )= x2- x +1,则 g (3)
= .
解析:因为 f ( x )+ g ( x )= x2- x +1,①.所以 f (- x )+ g
(- x )= x2+ x +1,由函数 f ( x ), g ( x )分别是定义在R上
的偶函数和奇函数,则 f ( x )= f (- x ), g ( x )=- g (-
x ),所以 f ( x )- g ( x )= x2+ x +1,②.则①-②可得:2 g
( x )=-2 x ,所以 g ( x )=- x ,则 g (3)=-3.
-3
题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小
【例3】 设函数 f ( x )的定义域为R,对于任意实数 x 总有 f (-
x )= f ( x ),当 x ∈[0,+∞)时, f ( x )单调递增,则 f (-
2), f (π), f (-3)的大小关系是( )
A. f (π)> f (-3)> f (-2)
B. f (π)> f (-2)> f (-3)
C. f (π)< f (-3)< f (-2)
D. f (π)< f (-2)< f (-3)
解析: 由偶函数与单调性的关系知,若当 x ∈[0,+∞)时, f
( x )单调递增,则当 x ∈(-∞,0]时, f ( x )单调递减,故其图
象的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,∵|-2|
<|-3|<π,∴ f (π)> f (-3)> f (-2).
通性通法
利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转
化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 已知 f ( x )是奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则 f (-
0.5), f (-1), f (0)的大小关系是( )
A. f (-0.5)< f (0)< f (-1)
B. f (-1)< f (-0.5)< f (0)
C. f (0)< f (-0.5)< f (-1)
D. f (-1)< f (0)< f (-0.5)
解析: ∵函数 f ( x )为奇函数,且 f ( x )在区间[0,+∞)
上单调递增,∴ f ( x )在R上是增函数,∴ f (-1)< f (-0.5)
< f (0).
2. 已知函数 f ( x )在[-5,5]上是偶函数,在[0,5]上是单调函
数,且 f (-4)< f (-2),则下列不等式一定成立的是( )
A. f (-1)< f (3) B. f (2)< f (3)
C. f (-3)< f (5) D. f (0)> f (1)
解析: 因为函数 f ( x )在[-5,5]上是偶函数,且 f (-
4)< f (-2),所以 f (4)< f (2).又 f ( x )在[0,5]上
是单调函数.所以 f ( x )在[0,5]上单调递减,从而 f (0)>
f (1),故选D.
题型三 利用函数的奇偶性与单调性解不等式
【例4】 设定义在[-2,2]上的奇函数 f ( x )在区间[0,2]上单调
递减,若 f (1- m )< f ( m ),求实数 m 的取值范围.
解:因为 f ( x )是奇函数且 f ( x )在[0,2]上单调递减,所以 f
( x )在[-2,2]上是减函数.
所以不等式 f (1- m )< f ( m )等价于解得-
1≤ m < .
所以实数 m 的取值范围为[-1, ).
【母题探究】
(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,
2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数 m 的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在区间[-2,0]上单调
递减,所以函数在区间[0,2]上单调递增,
原不等式可化为 f (|1- m |)< f (| m |),
故可得即
解得 < m ≤2.故实数 m 的取值范围为 .
通性通法
利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法
(1)利用图象解不等式;
(2)转化为简单不等式求解:①利用已知条件,结合函数的奇偶
性,把已知不等式转化为 f ( x1)< f ( x2)或 f ( x1)> f ( x2)
的形式;②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在
对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“ f ”转化为简单不
等式(组)求解.
提醒 列不等式(组)时不要忘掉函数定义域.
【跟踪训练】
1. 已知偶函数 f ( x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f (2 x -
1)< f (1)的 x 的取值范围是( )
A. (-1,0) B. (0,1)
C. (1,2) D. (-1,1)
解析: 函数定义域是R,根据题意得|2 x -1|<1,解得0< x
<1.故选B.
2. (2024·苏州中学期中)若函数 f ( x )是定义在R上的奇函数,且 f
( x )在(-∞,0)上单调递减, f (3)=0,则满足不等式 xf
( x )<0的 x 的取值范围是( )
A. (-3,0)∪(3,+∞)
B. (-3,0)∪(0,3)
C. (-∞,-3)∪(3,+∞)
D. (-∞,-3)∪(0,3)
解析: 因为函数 f ( x )是定义在R上的奇函
数,且 f ( x )在(-∞,0)上单调递减, f
(3)=0,所以 f ( x )在(0,+∞)上单调递
减,且 f (-3)=0,作出函数 f ( x )的简图,
如图所示,当 x >0时,由 xf ( x )<0得 f ( x )
<0,即 x >3;当 x <0时,由 xf ( x )<0得 f
( x )>0,即 x <-3;当 x =0时, xf ( x )=0
不合题意.所以满足不等式 xf ( x )<0的 x 的取
值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).故选C.
1. 已知奇函数 f ( x )在(-∞,0)上单调递增,则( )
A. f (1)< f (2) B. f (1)> f (2)
C. f (1)= f (2) D. 以上都有可能
解析: ∵ f ( x )是奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴ f
( x )在(0,+∞)上单调递增,∴ f (1)< f (2).故选A.
2. 设偶函数 f ( x )在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
A. f (- )< f (-1)< f (2)
B. f (2)< f (- )< f (-1)
C. f (2)< f (-1)< f (- )
D. f (-1)< f (- )< f (2)
解析: ∵ f ( x )为偶函数,∴ f (- x )= f ( x ),∴ f (2)
= f (-2).又 f ( x )在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<
- <-1,∴ f (2)= f (-2)< f (- )< f (-1).故选B.
3. 已知 f ( x )是定义在R上的奇函数,且当 x ≥0时, f ( x )=2 x -
x2.则当 x <0时, f ( x )的解析式为 .
解析:当 x <0时,- x >0,于是 f (- x )=2(- x )-(- x )2
=-2 x - x2.因为 f ( x )是定义在R上的奇函数,所以 f ( x )=-
f (- x )=-(-2 x - x2)=2 x + x2,即当 x <0时, f ( x )=2 x
+ x2.
f ( x )=2 x + x2
4. (2024·南通东南中学期中)已知偶函数 f ( x )在区间[0,+∞)
上单调递增,则满足 f (2 x -1)< f ( )的 x 的取值范围
为 .
解析:因为 f ( x )是偶函数, f (- x )= f ( x )= f (| x |),
所以不等式 f (2 x -1)< f ( )等价于 f (|2 x -1|)< f
( ),又因为偶函数 f ( x )在区间[0,+∞)上单调递增,所
以|2 x -1|< ,解得 < x < .
( , )
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 定义在R上的偶函数 f ( x )在[0,+∞)上单调递增,若 f ( a )
< f ( b ),则一定可得( )
A. a < b B. a > b
C. | a |<| b | D. 0≤ a < b 或 a > b ≥0
解析: ∵ f ( x )是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递
增,∴由 f ( a )< f ( b )可得| a |<| b |.故选C.
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2. 已知 f ( x ), g ( x )分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f
( x )- g ( x )= x3+ x2+1,则 f (1)+ g (1)=( )
A. -3 B. -1
C. 1 D. 3
解析: 法一 用“- x ”代替“ x ”,得 f (- x )- g (- x )
=(- x )3+(- x )2+1,化简得 f ( x )+ g ( x )=- x3+ x2+
1,令 x =1,得 f (1)+ g (1)=1.
法二 由于 f ( x )为偶函数, g ( x )为奇函数,而 f ( x )- g
( x )= x3+( x2+1),因此 f ( x )= x2+1, g ( x )=- x3满足条
件.于是 f (1)+ g (1)=(1+1)+(-13)=1.
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3. 若奇函数 f ( x )在区间[3,6]上单调递增,且在区间[3,6]上的
最大值为7,最小值为-1,则 f (-3)+2 f (-6)=( )
A. 13 B. -13
C. 5 D. -5
解析: 由 f ( x )在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的
最大值为7,最小值为-1,得 f (3)=-1, f (6)=7.∵ f ( x )
是奇函数,∴ f (-3)=- f (3)=1, f (-6)=- f (6)=-
7,∴ f (-3)+2 f (-6)=1+2×(-7)=-13.
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4. 若奇函数 f ( x )在(-∞,0)上的解析式为 f ( x )= x (1+
x ),则 f ( x )在(0,+∞)上有( )
A. 最大值- B. 最大值
C. 最小值- D. 最小值
解析: 法一 当 x <0时, f ( x )= x2+ x =( x + )2- ,
所以 f ( x )有最小值- ,因为 f ( x )是奇函数,所以当 x >0
时, f ( x )有最大值 .
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法二 当 x >0时,- x <0,所以 f (- x )=- x (1- x ).又 f (-
x )=- f ( x ),所以 f ( x )= x (1- x )=- x2+ x =-( x - )2
+ ,所以 f ( x )有最大值 .故选B.
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解析: 因为 f ( x )为(-2,2)上的奇函数,所以 f ( t -1)
+ f (2 t -3)<0可化为 f ( t -1)< f (3-2 t ),又因为函数 f
( x )在(-2,2)上是增函数,所以-2< t -1<3-2 t <2,解
得 < t < .
5. 已知函数 f ( x )是定义在(-2,2)上的奇函数,又是增函数,
若 f ( t -1)+ f (2 t -3)<0,则 t 的取值范围为( )
A. (0, ) B. (0, )
C. ( , ) D. ( ,+∞)
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6. (多选)已知函数 f ( x )是R上的奇函数,且当 x ≥0时, f ( x )
= x2+ x + a -2,则( )
A. a =2 B. f (2)=2
C. f ( x )是R上的增函数 D. f (-3)=-12
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解析: f ( x )是R上的奇函数,故 f (0)= a -2=0,得 a
=2,故A正确. f (2)=4+2=6,故B错误.当 x ≥0时, f ( x )=
x2+ x 在[0,+∞)上单调递增,利用奇函数的对称性可知, f
( x )在(-∞,0]上单调递增,故 f ( x )是R上的增函数,故C
正确. f (-3)=- f (3)=-9-3=-12,故D正确.故选A、
C、D.
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7. 已知偶函数 f ( x )在[0,+∞)上单调递减, f (2)=0.若 f ( x
-1)>0,则 x 的取值范围是 .
解析:因为 f ( x )是偶函数,所以 f ( x -1)= f (| x -1|).
又因为 f (2)=0,所以 f ( x -1)>0可化为 f (| x -1|)> f
(2).又因为 f ( x )在[0,+∞)上单调递减,所以| x -1|<
2,解得-2< x -1<2,所以-1< x <3.
(-1,3)
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8. 已知函数 f ( x )是定义在[-3,3]上的奇函数,当 x >0时, f
( x )=- x ( x +1).则函数 f ( x )的解析式为
.
解析:设-3≤ x <0,则0<- x ≤3,则有 f (- x )= x (- x +
1)=- x ( x -1),又因为 f ( x )=- f (- x ),所以 f ( x )
= x ( x -1),又 f (0)=0,所以 f ( x )=
f ( x )=
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9. 已知 f ( x )是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调
递增.若 f (-3)=0,则 <0的解集为
.
解析:∵ f ( x )是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上
单调递增,∴ f ( x )在区间(0,+∞)上单调递减.∴ f (3)= f
(-3)=0.当 x >0时,由 f ( x )<0,解得 x >3;当 x <0时,由
f ( x )>0,解得-3< x <0.故所求解集为{ x |-3< x <0或 x >3}.
{ x |-3< x <0或 x
>3}
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10. 已知函数 f ( x )的图象关于原点对称,且当 x >0时 f ( x )= x2-
2 x +3.
(1)试求 f ( x )在R上的解析式;
解:因为函数 f ( x )的图象关于原点对称,所以 f
( x )为奇函数,则 f (0)=0.
设 x <0,则- x >0.
因为当 x >0时, f ( x )= x2-2 x +3,
所以当 x <0时, f ( x )=- f (- x )=-( x2+2 x +3)
=- x2-2 x -3.
于是有 f ( x )=
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(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.
解:先画出函数在 y 轴右侧的图象,再根据对称性画
出 y 轴左侧的图象,如图.
由图象可知函数 f ( x )的增区间是(-∞,-1],[1,+
∞),减区间是[-1,0),(0,1].
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11. (2024·盐城东台期中)已知 f ( x )是定义域为R的奇函数,当 x
>0时, f ( x )单调递增,且 f (4)=0,则满足不等式 f ( x -
1)<0的 x 的取值范围是( )
A. (-3,1)
B. (1,5)
C. (-3,0)∪(1,5)
D. (-∞,-3)∪(1,5)
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解析: ∵ f ( x )是定义域为R的奇函数,∴ f (4)=- f (-
4)=0, f (-4)=0,当 x -1>0时, f ( x )在(0,+∞)上
单调递增,且 f (4)=0, f ( x -1)< f (4),∴0< x -1<4,
∴1< x <5,当 x -1<0时,根据奇函数的性质可知 f ( x )在
(-∞,0)上单调递增,且 f (-4)=0, f ( x -1)< f (-
4),∴ x -1<-4,∴ x <-3,∴ x ∈(-∞,-3)∪(1,
5).故选D.
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12. 若函数 y = f ( x )是奇函数,且函数 F ( x )= af ( x )+ bx +2
在(0,+∞)上有最大值8,则函数 y = F ( x )在(-∞,0)
上有( )
A. 最大值-8 B. 最小值-8
C. 最小值-6 D. 最小值-4
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解析: ∵ y = f ( x )和 y = x 都是奇函数,∴ T ( x )=
af ( x )+ bx 也为奇函数.又∵ F ( x )= af ( x )+ bx +2
在(0,+∞)上有最大值8,∴ T ( x )= af ( x )+ bx 在
(0,+∞)上有最大值6,∴ T ( x )= af ( x )+ bx 在(-
∞,0)上有最小值-6,∴ F ( x )= af ( x )+ bx +2在
(-∞,0)上有最小值-4.
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13. 若函数 f ( x )=( x + a )( bx +2 a )(常数 a , b ∈R)是偶函
数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f ( x )=
.
-2
x2+4
解析:∵ f ( x )=( x + a )( bx +2 a )= bx2+(2 a + ab ) x
+2 a2是偶函数,∴图象关于 y 轴对称,∴2 a + ab =0,∴ a =0或
b =-2.若 a =0,则函数为 f ( x )= bx2,当 b 为正数时,值域为
[0,+∞),不符合题意;当 b 为负数时,值域为(-∞,0],
不符合题意;当 b =0时,值域为{0},不符合题意.若 b =-2,则
函数为 f ( x )=-2 x2+2 a2.又∵值域为(-∞,4],∴2 a2=4,
∴ f ( x )=-2 x2+4.
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14. 已知定义在R上的偶函数 f ( x ),当 x ≥0时, f ( x )= x2-
4 x +3.
(1)求函数 f ( x )在R上的解析式;
解:当 x <0时,- x >0, f (- x )=(- x )2-4
(- x )+3= x2+4 x +3,
又∵ f ( x )为偶函数,
∴ f ( x )= f (- x )= x2+4 x +3.
∴当 x <0时, f ( x )= x2+4 x +3,
∴ f ( x )=
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(2)若函数 f ( x )在区间[-1, a -2]上单调递增,求实数 a 的
取值范围.
解:由(1)知 f ( x )=( x -2)2-1( x ≥0)在
[0,2]上单调递减,函数 f ( x )是偶函数.
∴ f ( x )= x2+4 x +3( x <0)在[-2,0]上单调递增.
又∵ f ( x )在[-1, a -2]上单调递增,
∴[-1, a -2] [-2,0].
∴则1< a ≤2,
故实数 a 的取值范围是(1,2].
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15. 已知函数 f ( x )= x2- mx ( m >0)在区间[0,2]上的最小值为
g ( m ).
(1)求函数 g ( m )的解析式;
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解:f ( x )= x2- mx = - ( m >0),
当0< ≤2,即0< m ≤4时, g ( m )= f =- .
当 m >4时,函数 f ( x )= - 在区间[0,2]上单调递减,
此时 g ( m )= f (2)=4-2 m .
综上可知, g ( m )=
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解:因为当 x >0时, h ( x )= g ( x ),
所以当 x >0时, h ( x )=
易知函数 h ( x )在(0,+∞)上单调递减,
因为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 h ( x )为
偶函数,且 h ( t )> h (4),
所以0<| t |<4,解得-4< t <0或0< t <4.
综上所述,实数 t 的取值范围为(-4,0)∪(0,4).
(2)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 h ( x )为偶函
数,且当 x >0时, h ( x )= g ( x ).若 h ( t )> h
(4),求实数 t 的取值范围.
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谢 谢 观 看!第2课时 奇偶性的应用
1.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(a)<f(b),则一定可得( )
A.a<b B.a>b
C.|a|<|b| D.0≤a<b或a>b≥0
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
3.若奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,且在区间[3,6]上的最大值为7,最小值为-1,则f(-3)+2f(-6)=( )
A.13 B.-13
C.5 D.-5
4.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有( )
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
5.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,又是增函数,若f(t-1)+f(2t-3)<0,则t的取值范围为( )
A.(0,) B.(0,)
C.(,) D.(,+∞)
6.(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x+a-2,则( )
A.a=2 B.f(2)=2
C.f(x)是R上的增函数 D.f(-3)=-12
7.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是 .
8.已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x(x+1).则函数f(x)的解析式为 .
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若f(-3)=0,则<0的解集为 .
10.已知函数f(x)的图象关于原点对称,且当x>0时f(x)=x2-2x+3.
(1)试求f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数的图象,根据图象写出它的单调区间.
11.(2024·盐城东台期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)单调递增,且f(4)=0,则满足不等式f(x-1)<0的x的取值范围是( )
A.(-3,1) B.(1,5)
C.(-3,0)∪(1,5) D.(-∞,-3)∪(1,5)
12.若函数y=f(x)是奇函数,且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,则函数y=F(x)在(-∞,0)上有( )
A.最大值-8 B.最小值-8
C.最小值-6 D.最小值-4
13.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
14.已知定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-4x+3.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
15.已知函数f(x)=x2-mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m).
(1)求函数g(m)的解析式;
(2)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且当x>0时,h(x)=g(x).若h(t)>h(4),求实数t的取值范围.
第2课时 奇偶性的应用
1.C ∵f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,∴由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.故选C.
2.C 法一 用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1.
法二 由于f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,而f(x)-g(x)=x3+(x2+1),因此f(x)=x2+1,g(x)=-x3满足条件.于是f(1)+g(1)=(1+1)+(-13)=1.
3.B 由f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为7,最小值为-1,得f(3)=-1,f(6)=7.∵f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3)=1,f(-6)=-f(6)=-7,∴f(-3)+2f(-6)=1+2×(-7)=-13.
4.B 法一 当x<0时,f(x)=x2+x=(x+)2-,所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值.
法二 当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-(x-)2+,所以f(x)有最大值.故选B.
5.C 因为f(x)为(-2,2)上的奇函数,所以f(t-1)+f(2t-3)<0可化为f(t-1)<f(3-2t),又因为函数f(x)在(-2,2)上是增函数,所以-2<t-1<3-2t<2,解得<t<.
6.ACD f(x)是R上的奇函数,故f(0)=a-2=0,得a=2,故A正确.f(2)=4+2=6,故B错误.当x≥0时,f(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,利用奇函数的对称性可知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,故f(x)是R上的增函数,故C正确.f(-3)=-f(3)=-9-3=-12,故D正确.故选A、C、D.
7.(-1,3) 解析:因为f(x)是偶函数,所以f(x-1)=f(|x-1|).又因为f(2)=0,所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2).又因为f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|x-1|<2,解得-2<x-1<2,所以-1<x<3.
8.f(x)=
解析:设-3≤x<0,则0<-x≤3,则有f(-x)=x(-x+1)=-x(x-1),又因为f(x)=-f(-x),所以f(x)=x(x-1),又f(0)=0,所以f(x)=
9.{x|-3<x<0或x>3}
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.∴f(3)=f(-3)=0.当x>0时,由f(x)<0,解得x>3;当x<0时,由f(x)>0,解得-3<x<0.故所求解集为{x|-3<x<0或x>3}.
10.解:(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.
设x<0,则-x>0.
因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.
于是有f(x)=
(2)先画出函数在y轴右侧的图象,再根据对称性画出y轴左侧的图象,如图.
由图象可知函数f(x)的增区间是(-∞,-1],[1,+∞),减区间是[-1,0),(0,1].
11.D ∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(4)=-f(-4)=0,f(-4)=0,当x-1>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(4)=0,f(x-1)<f(4),∴0<x-1<4,∴1<x<5,当x-1<0时,根据奇函数的性质可知f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-4)=0,f(x-1)<f(-4),∴x-1<-4,∴x<-3,∴x∈(-∞,-3)∪(1,5).故选D.
12.D ∵y=f(x)和y=x都是奇函数,∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数.又∵F(x)=af(x)+bx+2在(0,+∞)上有最大值8,∴T(x)=af(x)+bx在(0,+∞)上有最大值6,∴T(x)=af(x)+bx在(-∞,0)上有最小值-6,∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞,0)上有最小值-4.
13.-2x2+4 解析:∵f(x)=(x+a)·(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,∴图象关于y轴对称,∴2a+ab=0,∴a=0或b=-2.若a=0,则函数为f(x)=bx2,当b为正数时,值域为[0,+∞),不符合题意;当b为负数时,值域为(-∞,0],不符合题意;当b=0时,值域为{0},不符合题意.若b=-2,则函数为f(x)=-2x2+2a2.又∵值域为(-∞,4],∴2a2=4,∴f(x)=-2x2+4.
14.解:(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-4(-x)+3=x2+4x+3,
又∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x)=x2+4x+3.
∴当x<0时,f(x)=x2+4x+3,
∴f(x)=
(2)由(1)知f(x)=(x-2)2-1(x≥0)在[0,2]上单调递减,函数f(x)是偶函数.
∴f(x)=x2+4x+3(x<0)在[-2,0]上单调递增.
又∵f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
∴[-1,a-2] [-2,0].
∴则1<a≤2,
故实数a的取值范围是(1,2].
15.解:(1)f(x)=x2-mx=-(m>0),
当0<≤2,即0<m≤4时,g(m)=f=-.
当m>4时,函数f(x)=-在区间[0,2]上单调递减,
此时g(m)=f(2)=4-2m.
综上可知,g(m)=
(2)因为当x>0时,h(x)=g(x),
所以当x>0时,h(x)=
易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,
因为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数h(x)为偶函数,且h(t)>h(4),
所以0<|t|<4,解得-4<t<0或0<t<4.
综上所述,实数t的取值范围为(-4,0)∪(0,4).
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