培优课 函数性质的综合问题
题型一 函数图象的对称性
【例1】 定义在R上的偶函数y=f(x),其图象关于点(,0)对称,且x∈[0,1]时,f(x)=-x+,则f()=( )
A.-1 B.0
C.1 D.
通性通法
1.函数图象关于直线对称
y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴
f(a+x)=f(a-x) 直线x=a
f(x)=f(a-x) 直线x=
f(a+x)=f(b-x) 直线x=
2.函数图象关于点对称
y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x) (,0)
f(a+x)=-f(b-x) (,0)
f(a+x)+f(b-x)=c (,)
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)的定义域为R,若f(1-x)为奇函数,f(x-1)为偶函数.设f(-2)=1,则f(2)=( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.已知图象开口向上的二次函数f(x),对任意x∈R,都满足f(-x)=f(x+),若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,] B.(1,]
C.[-,+∞) D.(-∞,2]
题型二 函数性质的综合应用
【例2】 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
(1)图象法:根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论;
(2)性质法:根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题.
提醒 使用性质要规范,切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.
1.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(4)+f(5)=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.奇函数f(x)在区间[0,+∞)上的图象如图,则函数f(x)的增区间为 .
3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=1+.
(1)求f(2)的值;
(2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性;
(3)求当x>0时,f(x)的解析式.
培优课 函数性质的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 B ∵y=f(x)的图象关于点(,0)对称,∴f(+x)+f(-x)=0,即f(1+x)+f(-x)=0.又∵y=f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(1+x)+f(x)=0,即f(1+x)=-f(x),∴f()=-f()=0.
跟踪训练
1.A ∵f(x-1)为偶函数,∴f(-x-1)=f(x-1),∴f(x)图象关于直线x=-1对称,∴f(-2)=f(0)=1;∵f(1-x)为奇函数,∴f(1+x)=-f(1-x),∴f(x)图象关于点(1,0)对称,∴f(2)=-f(0)=-1,故选A.
2.B 由f(-x)=f(x+),得函数f(x)图象的对称轴是直线x=,又二次函数f(x)图象开口向上,若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则解得1<a≤.故选B.
【例2】 解:(1)根据题意得
即
解得∴f(x)=.
(2)证明:任取x1,x2∈(-1,1),且令x1<x2,
f(x1)-f(x2)=-
=.
∵-1<x1<x2<1,
∴x1-x2<0,1+>0,1+>0,1-x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴解得0<t<.
∴不等式的解集为.
跟踪训练
解:(1)由题意可知
所以解得<x<,
故函数g(x)的定义域为(,).
(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因为f(x)为奇函数,所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上是减函数,
所以解得<x≤2.
所以不等式g(x)≤0的解集为(,2].
随堂检测
1.A 由于f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,由于f(x+2)为偶函数,所以f(x)关于直线x=2对称,所以f(4)+f(5)=f(0)+f(-1)=-f(1)=-1.
2.(-∞,-1],[1,+∞) 解析:奇函数的图象关于原点对称,可知函数f(x)的增区间为(-∞,-1],[1,+∞).
3.解:(1)根据题意,知函数f(x)为奇函数,
当x<0时,f(x)=1+,则f(2)=-f(-2)=-(1+)=-.
(2)根据题意得,当x<0时,f(x)=1+.
在(-∞,0)上任取x1,x2,设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(1+)-(1+)=-=.
又由x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,
可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
由定义可知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递减.
(3)当x>0时,-x<0,则f(-x)=1-,
由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x),
所以f(x)=-1+=-.
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培优课
函数性质的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 函数图象的对称性
【例1】 定义在R上的偶函数 y = f ( x ),其图象关于点( ,0)
对称,且 x ∈[0,1]时, f ( x )=- x + ,则 f ( )=( )
A. -1 B. 0 C. 1
解析: ∵ y = f ( x )的图象关于点( ,0)对称,∴ f ( + x )
+ f ( - x )=0,即 f (1+ x )+ f (- x )=0.又∵ y = f ( x )为偶
函数,∴ f (- x )= f ( x ),∴ f (1+ x )+ f ( x )=0,即 f (1+
x )=- f ( x ),∴ f ( )=- f ( )=0.
通性通法
1. 函数图象关于直线对称
y = f ( x )在定义域内恒满足的条件 y = f ( x )的图象的对称轴
f ( a + x )= f ( a - x ) 直线 x = a
f ( x )= f ( a - x )
f ( a + x )= f ( b - x )
2. 函数图象关于点对称
y = f ( x )在定义域内恒满足的条件 y = f ( x )的图象的对称中心
f ( a - x )=- f ( a + x ) ( a ,0)
f ( x )=- f ( a - x )
f ( a + x )=- f ( b - x )
f ( a + x )+ f ( b - x )= c
【跟踪训练】
1. 已知函数 f ( x )的定义域为R,若 f (1- x )为奇函数, f ( x -
1)为偶函数.设 f (-2)=1,则 f (2)=( )
A. -1 B. 0
C. 1 D. 2
解析: ∵ f ( x -1)为偶函数,∴ f (- x -1)= f ( x -1),
∴ f ( x )图象关于直线 x =-1对称,∴ f (-2)= f (0)=1;
∵ f (1- x )为奇函数,∴ f (1+ x )=- f (1- x ),∴ f ( x )
图象关于点(1,0)对称,∴ f (2)=- f (0)=-1,故选A.
2. 已知图象开口向上的二次函数 f ( x ),对任意 x ∈R,都满足 f (
- x )= f ( x + ),若 f ( x )在区间( a ,2 a -1)上单调递
减,则实数 a 的取值范围为( )
D. (-∞,2]
解析: 由 f ( - x )= f ( x + ),得函数 f ( x )图象的对称
轴是直线 x = ,又二次函数 f ( x )图象开口向上,若 f ( x )在区
间( a ,2 a -1)上单调递减,则解得1< a ≤ .故
选B.
题型二 函数性质的综合应用
【例2】 已知函数 f ( x )= 是定义在(-1,1)上的奇函
数,且 f ( )= .
(1)确定函数 f ( x )的解析式;
解:根据题意得即
解得∴ f ( x )= .
(2)用定义法证明 f ( x )在(-1,1)上是增函数;
解:证明:任取 x1, x2∈(-1,1),
且令 x1< x2,
f ( x1)- f ( x2)= - = .
∵-1< x1< x2<1,
∴ x1- x2<0,1+ >0,1+ >0,1- x1 x2>0,
∴ f ( x1)- f ( x2)<0,即 f ( x1)< f ( x2),
∴ f ( x )在(-1,1)上是增函数.
(3)解不等式: f ( t -1)+ f ( t )<0.
解: f ( t -1)<- f ( t )= f (- t ).
∵ f ( x )在(-1,1)上是增函数,
∴解得0< t < .
∴不等式的解集为 .
通性通法
解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法
(1)图象法:根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论;
(2)性质法:根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决
求值和比较大小的问题.
提醒 使用性质要规范,切不可自创性质.
【跟踪训练】
已知函数 f ( x )的定义域为(-2,2),函数 g ( x )= f ( x -1)
+ f (3-2 x ).
(1)求函数 g ( x )的定义域;
解:由题意可知
所以解得 < x < ,
故函数 g ( x )的定义域为( , ).
(2)若 f ( x )为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式 g
( x )≤0的解集.
解:由 g ( x )≤0,得 f ( x -1)+ f (3-2 x )≤0,
所以 f ( x -1)≤- f (3-2 x ).
因为 f ( x )为奇函数,所以 f ( x -1)≤ f (2 x -3).
而 f ( x )在(-2,2)上是减函数,
所以解得 < x ≤2.
所以不等式 g ( x )≤0的解集为( ,2].
1. 已知奇函数 f ( x )的定义域为R,若 f ( x +2)为偶函数,且 f
(1)=1,则 f (4)+ f (5)=( )
A. -1 B. 0
C. 1 D. 2
解析: 由于 f ( x )是定义在R上的奇函数,所以 f (0)=0,
由于 f ( x +2)为偶函数,所以 f ( x )关于直线 x =2对称,所以 f
(4)+ f (5)= f (0)+ f (-1)=- f (1)=-1.
2. 奇函数 f ( x )在区间[0,+∞)上的图象如图,则函数 f ( x )的
增区间为 .
解析:奇函数的图象关于原点对称,可知函数 f ( x )的增区间为
(-∞,-1],[1,+∞).
(-∞,-1],[1,+∞)
3. 已知函数 f ( x )是定义域为R的奇函数,当 x <0时, f ( x )=1+
.
(1)求 f (2)的值;
解:根据题意,知函数 f ( x )为奇函数,
当 x <0时, f ( x )=1+ ,则 f (2)=- f (-2)=-
(1+ )=- .
(2)用定义法判断 y = f ( x )在区间(-∞,0)上的单调性;
解:根据题意得,当 x <0时, f ( x )=1+ .
在(-∞,0)上任取 x1, x2,设 x1< x2,
则 f ( x1)- f ( x2)=(1+ )-(1+ )=
- = .
又由 x1-1<0, x2-1<0, x2- x1>0,
可得 f ( x1)- f ( x2)>0,
即 f ( x1)> f ( x2).
由定义可知,函数 y = f ( x )在区间(-∞,0)上单调递减.
(3)求当 x >0时, f ( x )的解析式.
解:当 x >0时,- x <0,则 f (- x )=1- ,
由函数 f ( x )为奇函数知 f ( x )=- f (- x ),
所以 f ( x )=-1+ =- .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f ( x )是定义域为R的奇函数,且 f ( x )= f (4- x ),
当-2≤ x <0时, f ( x )= ,则 f ( )=( )
A. -2
D. 2
解析: ∵ f ( x )= f (4- x ),∴ f ( x )的图象关于直线 x =
2对称,∴ f ( )= f ( ).又∵函数 f ( x )为奇函数,∴ f ( )
=- f (- )=-(-2)=2,即 f ( )=2.
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2. 已知定义在R上的奇函数 f ( x ),且当 x ∈[0,+∞)时, f ( x )
单调递增,则不等式 f (2 x +1)+ f (1)≥0的解集是( )
A. (-∞,1) B. (-1,+∞)
C. [-1,+∞) D. (-∞,1]
解析: 因为函数 f ( x )是奇函数,所以不等式 f (2 x +1)+ f
(1)≥0等价于 f (2 x +1)≥ f (-1).又当 x ≥0时,函数 f
( x )单调递增,所以函数 f ( x )在R上为增函数,所以 f (2 x +
1)≥ f (-1)等价于2 x +1≥-1,解得 x ≥-1.
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3. 已知函数 f ( x )在区间(0,2)上单调递减,又函数 y = f ( x +
2)是偶函数,那么 f ( x )( )
A. 在区间(2,4)上单调递减
B. 在区间(2,4)上单调递增
C. 在区间(-2,0)上单调递减
D. 在区间(-2,0)上单调递增
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解析: ∵函数 y = f ( x +2)是偶函数,∴函数 y = f ( x +2)
关于 y 轴对称,即函数 y = f ( x )关于 x =2对称,∵函数 f ( x )在
(0,2)上单调递减,∴函数 f ( x )在(2,4)上单调递增.函数
在(-2,0)的单调性无法确定.故选B.
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4. 若定义在R上的函数 f ( x )满足:对任意 x1, x2∈R,有 f ( x1+
x2)= f ( x1)+ f ( x2)+1,则下列说法一定正确的是( )
A. f ( x )-1为奇函数 B. f ( x )-1为偶函数
C. f ( x )+1为奇函数 D. f ( x )+1为偶函数
解析: ∵对任意 x1, x2∈R,有 f ( x1+ x2)= f ( x1)+ f
( x2)+1,令 x1= x2=0,得 f (0)=-1.令 x1= x , x2=- x ,得
f (0)= f ( x )+ f (- x )+1.∴ f ( x )+1=- f (- x )-1=
-[ f (- x )+1],∴ f ( x )+1为奇函数.
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5. 设定义在R上的奇函数 f ( x )在(0,+∞)上单调递增,且 f
(1)=0,则不等式 x [ f ( x )- f (- x )]<0的解集为( )
A. { x |-1< x <0或 x >1}
B. { x | x <-1或0< x <1}
C. { x | x <-1或 x >1}
D. { x |-1< x <0或0< x <1}
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解析: ∵奇函数 f ( x )在(0,+∞)上单调
递增, f (- x )=- f ( x ), x [ f ( x )- f (-
x )]<0,∴ xf ( x )<0,又 f (1)=0,∴ f
(-1)=0,从而有函数 f ( x )的大致图象如图
所示.则不等式 x [ f ( x )- f (- x )]<0的解集
为{ x |-1< x <0或0< x <1}.
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6. 设函数 f ( x )的定义域为R, f ( x +1)为奇函数, f ( x +2)为
偶函数,当 x ∈[1,2]时, f ( x )= ax2+ b .若 f (0)+ f (3)=
6,则 f ( )=( )
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解析: ∵ f ( x +1)为奇函数,∴ f ( x )的图象关于点(1,
0)成中心对称, f (1)=0.∵ f ( x +2)为偶函数,∴ f ( x )的
图象关于直线 x =2成轴对称,∴ f (0)=- f (2), f (3)= f
(1)=0.又∵ f (0)+ f (3)=6,∴ f (0)=6, f (2)=-6.
如图所示.又当 x ∈[1,2]时, f ( x )= ax2+ b ,
∴∴∴当 x ∈[1,2]时, f ( x )=-2 x2
+2,∴ f ( )= f (- )=- f ( )=- f ( )=-(-2×
+2)= .
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7. (多选)已知定义在R上的函数 f ( x ),若函数 f ( x )在(0,+
∞)上单调递增,且 f ( x )>1,则下列结论正确的是( )
A. 若 f ( x )是奇函数,则 f ( x )的值域为(-∞,-1)∪(1,+
∞)
B. 若 f ( x )是偶函数,则 f ( x )的值域为(1,+∞)
C. 若 f ( x )是奇函数,则 f ( x )在(-∞,0)上单调递增
D. 若 f ( x )是偶函数,则 f ( x )在(-∞,0)上单调递减
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解析: 当 f ( x )是定义在R上的奇函数时, f (0)=0,即0
在值域内,故A错误;若 f ( x )是奇函数,因为函数 f ( x )在
(0,+∞)上单调递增,所以 f ( x )在(-∞,0)上单调递
增,故C正确;当 f ( x )是定义在R上的偶函数时, f ( x )的图象
关于 y 轴对称,因为函数 f ( x )在(0,+∞)上的值域为(1,+
∞),但在 x =0时的函数值不确定,故B错误;若 f ( x )是偶函
数,因为函数 f ( x )在(0,+∞)上单调递增,则 f ( x )在(-
∞,0)上单调递减,故D正确.故选C、D.
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8. (多选)函数 f ( x )的图象关于点 P ( a , b )成中心对称图形的
充要条件是函数 y = f ( x + a )- b 为奇函数,则下列函数有对称
中心的是( )
A. f ( x )= x B. f ( x )= x3-3 x2
C. f ( x )= x4+ x2
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解析: ∵函数 y = f ( x + a )- b 为奇函
数,∴ f (- x + a )- b =- f ( x + a )+ b ,即 f
( x + a )+ f (- x + a )=2 b .对于A,由 f ( x +
a )+ f (- x + a )=2 b 得 a = b ,∴对于任意的 a
= b , P ( a , b )都是其对称中心,故A满足题
意;
对于B, f ( x )= x3-3 x2=( x -1)3-3 x +1=
( x -1)3-3( x -1)-2,∴ f ( x +1)= x3-3 x
-2,∴ f ( x +1)+2= x3-3 x 是奇函数,∴ P
(1,-2)为其对称中心,故B满足题意;对于C,
∵ f ( x )= x4+ x2是偶函数,图象关于 y 轴对称,
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且 f ( x )在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递
减,其图象大致如图①所示,故不可能找到一个点使它为中心对称
图形,故C不满足题意;对于D, f ( x )= 的图象如图②所示.
其图象关于(1,0)对称.
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9. (多选)已知函数 f ( x )对 x ∈R,都有 f (- x )=- f ( x ),
f (2- x )= f ( x ),且 f (1)=1,则( )
A. f ( x )的图象关于直线 x =2对称
B. f ( x )的图象关于点(-2,0)中心对称
C. f (6)=0
D. f (5)=-1
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解析: 因为 f (- x )=- f ( x ),所以 f ( x )为奇函数,又
因为 f (2- x )= f ( x ),所以 f ( x )关于 x =1对称,所以 f (2
- x )=- f (- x ),令 x 等价于- x ,所以 f (2+ x )=- f
( x ),再令 x 等价于 x +2,所以 f ( x )= f ( x +4),由 f ( x )
= f ( x +4), f (- x )=- f ( x )可得:- f (- x )= f ( x +
4),所以 f ( x )的图象关于(2,0)对称,故A不正确;又因为 f
( x )的图象关于(2,0)对称,且 f ( x )= f ( x +4),所以 f
( x )的图象关于点(-2,0)中心对称,故B正确;令 f (2-
x )= f ( x )中 x =0,可得 f (2)=0,所以 f (6)= f (2)=
0,故C正确; f (5)= f (1)=1,故D不正确.故选B、C.
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10. 已知偶函数 f ( x )和奇函数 g ( x )的定义域都是(-4,4),
且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于 x 的不等式 f ( x )· g
( x )<0的解集是 .
(-4,-2)∪(0,2)
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解析:设 h ( x )= f ( x ) g ( x ),则 h (- x )= f (- x )· g
(- x )=- f ( x ) g ( x )=- h ( x ),所以 h ( x )是奇函
数,由图象可知,当-4< x <-2时, f ( x )>0, g ( x )<0,
即 h ( x )<0,当0< x <2时, f ( x )<0, g ( x )>0,即 h
( x )<0,所以 h ( x )<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
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11. 已知函数 f ( x )=若 f ( x -1)< f (2 x +
1),则 x 的取值范围为 .
解析:若 x >0,则- x <0, f (- x )=(- x )2+2 x = x2+2 x
= f ( x ),同理可得,当 x <0时, f (- x )= f ( x ),且 x =0
时, f (0)=0,所以 f ( x )是偶函数.因为当 x >0时,函数 f
( x )单调递增,所以不等式 f ( x -1)< f (2 x +1)等价于| x
-1|<|2 x +1|,整理得 x ( x +2)>0,解得 x >0或 x <-2.
(-∞,-2)∪(0,+∞)
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12. 已知函数 f ( x )= .
(1)判断 f ( x )的奇偶性并证明;
解:(1)函数 f ( x )是奇函数.
证明:函数 f ( x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+
∞),
因为 f (- x )= =- =- f ( x ),
所以函数 f ( x )是奇函数.
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(2)当 x ∈(1,+∞)时,判断 f ( x )的单调性并证明;
解:(2)函数 f ( x )在(1,+∞)上单调递增.
证明:任取 x1, x2∈(1,+∞)且 x1> x2,则
f ( x1)- f ( x2)= -
= =
= ,
因为 x1> x2>1,所以 x1- x2>0, x1 x2-1>0, x1 x2>0,
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所以 f ( x1)- f ( x2)>0,
即 f ( x1)> f ( x2),
所以函数 f ( x )在(1,+∞)上单调递增.
(3)在(2)的条件下,若实数 m 满足 f (3 m )> f (5-2 m ),
求 m 的取值范围.
解:(3)由(2)知函数 f ( x )在(1,+∞)上单调递
增,所以3 m >5-2 m >1,
解得1< m <2,
所以 m 的取值范围为(1,2).
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13. 设 a 为实数,函数 f ( x )= x2+| x - a |+1.
(1)讨论 f ( x )的奇偶性;
解:(1)当 a =0时,函数 f (- x )=(- x )2+|- x |
+1= f ( x ),
此时 f ( x )为偶函数;
当 a ≠0时, f ( a )= a2+1, f (- a )= a2+2| a |+1,
则 f (- a )≠ f ( a ), f (- a )≠- f ( a ),
此时函数 f ( x )既不是奇函数,也不是偶函数.
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(2)求 f ( x )的最小值.
解:(2)①当 x < a 时,
f ( x )= x2- x + a +1=( x - )2+ a + .
若 a ≤ ,则函数 f ( x )在(-∞, a ]上单调递减,从而函
数 f ( x )在(-∞, a ]上的最小值为 f ( a )= a2+1;
若 a > ,则函数 f ( x )在(-∞, a ]上的最小值为 f
( )= + a ,且 f ( )< f ( a ).
②当 x ≥ a 时,
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f ( x )= x2+ x - a +1=( x + )2- a + .
若 a ≤- ,则函数 f ( x )在[ a ,+∞)上的最小值为 f
(- )= - a ,且 f (- )≤ f ( a );
若 a >- ,则函数 f ( x )在[ a ,+∞)上单调递增,从而
函数 f ( x )在[ a ,+∞)上的最小值为 f ( a )= a2+1.
综上所述,当 a ≤- 时,函数 f ( x )的最小值是 - a ;
当- < a ≤ 时,
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函数 f ( x )的最小值是 a2+1;
当 a > 时,
函数 f ( x )的最小值是 a + .
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谢 谢 观 看!培优课 函数性质的综合问题
1.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x<0时,f(x)=,则f()=( )
A.-2 B.-
C. D.2
2.已知定义在R上的奇函数f(x),且当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是( )
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
3.已知函数f(x)在区间(0,2)上单调递减,又函数y=f(x+2)是偶函数,那么f(x)( )
A.在区间(2,4)上单调递减 B.在区间(2,4)上单调递增
C.在区间(-2,0)上单调递减 D.在区间(-2,0)上单调递增
4.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( )
A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数
C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数
5.设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为( )
A.{x|-1<x<0或x>1} B.{x|x<-1或0<x<1}
C.{x|x<-1或x>1} D.{x|-1<x<0或0<x<1}
6.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=( )
A.- B.-
C. D.
7.(多选)已知定义在R上的函数f(x),若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)>1,则下列结论正确的是( )
A.若f(x)是奇函数,则f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.若f(x)是偶函数,则f(x)的值域为(1,+∞)
C.若f(x)是奇函数,则f(x)在(-∞,0)上单调递增
D.若f(x)是偶函数,则f(x)在(-∞,0)上单调递减
8.(多选)函数f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,则下列函数有对称中心的是( )
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
9.(多选)已知函数f(x)对 x∈R,都有f(-x)=-f(x),f(2-x)=f(x),且f(1)=1,则( )
A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称
C.f(6)=0 D.f(5)=-1
10.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是 .
11.已知函数f(x)=若f(x-1)<f(2x+1),则x的取值范围为 .
12.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)当x∈(1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)在(2)的条件下,若实数m满足f(3m)>f(5-2m),求m的取值范围.
13.设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1.
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
培优课 函数性质的综合问题
1.D ∵f(x)=f(4-x),∴f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f()=f().又∵函数f(x)为奇函数,∴f()=-f(-)=-(-2)=2,即f()=2.
2.C 因为函数f(x)是奇函数,所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).又当x≥0时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在R上为增函数,所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1,解得x≥-1.
3.B ∵函数y=f(x+2)是偶函数,∴函数y=f(x+2)关于y轴对称,即函数y=f(x)关于x=2对称,∵函数f(x)在(0,2)上单调递减,∴函数f(x)在(2,4)上单调递增.函数在(-2,0)的单调性无法确定.故选B.
4.C ∵对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,得f(0)=-1.令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1.∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],∴f(x)+1为奇函数.
5.D ∵奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(-x)=-f(x),x[f(x)-f(-x)]<0,∴xf(x)<0,又f(1)=0,∴f(-1)=0,从而有函数f(x)的大致图象如图所示.则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为{x|-1<x<0或0<x<1}.
6.D ∵f(x+1)为奇函数,∴f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,f(1)=0.∵f(x+2)为偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=2成轴对称,∴f(0)=-f(2),f(3)=f(1)=0.又∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,f(2)=-6.如图所示.又当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴∴∴当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2,∴f()=f(-)=-f()=-f()=-(-2×+2)=.
7.CD 当f(x)是定义在R上的奇函数时,f(0)=0,即0在值域内,故A错误;若f(x)是奇函数,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,故C正确;当f(x)是定义在R上的偶函数时,f(x)的图象关于y轴对称,因为函数f(x)在(0,+∞)上的值域为(1,+∞),但在x=0时的函数值不确定,故B错误;若f(x)是偶函数,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,故D正确.故选C、D.
8.ABD ∵函数y=f(x+a)-b为奇函数,∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,即f(x+a)+f(-x+a)=2b.对于A,由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b,∴对于任意的a=b,P(a,b)都是其对称中心,故A满足题意;
对于B,f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3x+1=(x-1)3-3(x-1)-2,∴f(x+1)=x3-3x-2,∴f(x+1)+2=x3-3x是奇函数,∴P(1,-2)为其对称中心,故B满足题意;对于C,∵f(x)=x4+x2是偶函数,图象关于y轴对称,
且f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,其图象大致如图①所示,故不可能找到一个点使它为中心对称图形,故C不满足题意;对于D,f(x)=的图象如图②所示.其图象关于(1,0)对称.
9.BC 因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,又因为f(2-x)=f(x),所以f(x)关于x=1对称,所以f(2-x)=-f(-x),令x等价于-x,所以f(2+x)=-f(x),再令x等价于x+2,所以f(x)=f(x+4),由f(x)=f(x+4),f(-x)=-f(x)可得:-f(-x)=f(x+4),所以f(x)的图象关于(2,0)对称,故A不正确;又因为f(x)的图象关于(2,0)对称,且f(x)=f(x+4),所以f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称,故B正确;令f(2-x)=f(x)中x=0,可得f(2)=0,所以f(6)=f(2)=0,故C正确;f(5)=f(1)=1,故D不正确.故选B、C.
10.(-4,-2)∪(0,2) 解析:设h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),所以h(x)是奇函数,由图象可知,当-4<x<-2时,f(x)>0,g(x)<0,即h(x)<0,当0<x<2时,f(x)<0,g(x)>0,即h(x)<0,所以h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
11.(-∞,-2)∪(0,+∞) 解析:若x>0,则-x<0,f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x),同理可得,当x<0时,f(-x)=f(x),且x=0时,f(0)=0,所以f(x)是偶函数.因为当x>0时,函数f(x)单调递增,所以不等式f(x-1)<f(2x+1)等价于|x-1|<|2x+1|,整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.
12.解:(1)函数f(x)是奇函数.
证明:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,则
f(x1)-f(x2)=-
=
=
=,
因为x1>x2>1,所以x1-x2>0,x1x2-1>0,x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
(3)由(2)知函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以3m>5-2m>1,解得1<m<2,
所以m的取值范围为(1,2).
13.解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
则f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),
此时函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)①当x<a时,
f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+.
若a≤,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;
若a>,则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f()=+a,且f()<f(a).
②当x≥a时,
f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+.
若a≤-,则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(-)=-a,且f(-)≤f(a);
若a>-,则函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上所述,当a≤-时,函数f(x)的最小值是-a;
当-<a≤时,函数f(x)的最小值是a2+1;
当a>时,函数f(x)的最小值是a+.
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