一、函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集.
【例1】 （1）函数f（x）＝＋（3x－1）0的定义域是（ ）
A. B.
C. D.∪
（2）已知函数y＝f（x＋1）的定义域是[－2，3]，则y＝f（2x－1）的定义域是（ ）
A. B.[－1，4]
C.[－5，5] D.[－3，7]
反思感悟
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出；
（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域.
二、函数的值域
函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.
【例2】 （1）求函数y＝x－的值域；
（2）求函数f（x）＝的值域.
反思感悟
求函数值域的方法多种多样，可以利用基本初等函数的性质、函数的单调性、函数图象、换元转化为熟悉的函数、分式中的分离常数、应用基本不等式等进行求解，其求解过程应认真观察函数解析式的结构特征，选择相对应的方法，还需注意函数的定义域.
三、函数的图象
掌握简单的基本函数图象，会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察出函数的值域、最值、单调性、奇偶性等.
【例3】 （1）定义运算a b＝设函数f（x）＝x （x＋1），则该函数的图象应该是（ ）
（2）对于函数f（x）＝x2－2｜x｜.
①判断其奇偶性，并证明；
②画出函数的图象，指出函数的单调区间和最小值.
反思感悟
函数图象的辨识可从以下4方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
四、函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，掌握单调性和奇偶性的判断与证明，会利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式等.
【例4】 （1）给出下列四个函数，在定义域内既是奇函数，又为减函数的是（ ）
A.f（x）＝－x－x3 B.f（x）＝－x（x≥0）
C.f（x）＝－ D.f（x）＝x｜x｜
（2）已知函数f（x）的定义域为[－1，1]，若对任意的x，y∈[－1，1]，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且x＞0时，f（x）＜0.
①判断函数f（x）的奇偶性；
②讨论函数f（x）在区间[－1，1]上的单调性；
③设f（1）＝－4，若f（x）＜m2－2am＋1对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.
反思感悟
1.解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
提醒 研究函数的性质时，需先明确函数的定义域.
章末复习与总结
【例1】 （1）D （2）A 解析：（1）由题意得，解得x＜1且x≠.故函数f（x）的定义域是（－∞，）∪（，1）.
（2）设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f（u）的定义域为[－1，4].再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤，即函数y＝f（2x－1）的定义域是.
【例2】 解：（1）法一 令t＝（t≥0），
所以x＝－t2＋，
即y＝－t2－t＋＝－（t＋1）2＋1，
当t≥0时，y≤，即函数的值域为（－∞，］.
法二 由于y＝x与y＝－均为定义域内的增函数，所以y＝x－在（－∞，］内单调递增，所以y≤，即函数的值域为（－∞，］.
（2）f（x）＝＝＝2－，
因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，即－1≤－＜0，得1≤2－＜2，
即函数f（x）的值域为[1，2）.
【例3】 （1）解析：C 由a b的定义，可知f（x）＝由f（0）＝0－1＝－1，所以函数图象过点（0，－1），排除A、B；当x＜0时，y＝x2＞0，排除D.故选C.
（2）解：①函数f（x）＝x2－2｜x｜是偶函数.
证明：函数的定义域为R，
因为f（－x）＝（－x）2－2｜－x｜＝x2－2｜x｜，
所以f（－x）＝f（x），
所以f（x）是偶函数.
②当x≥0时，f（x）＝x2－2｜x｜＝x2－2x＝（x－1）2－1，其函数图象如图所示，
由于函数f（x）是偶函数，函数图象关于y轴对称，利用其对称性可画出定义域在（－∞，0）的图象，
观察图象可知，函数f（x）的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞）；单调递减区间是（－∞，－1]，[0，1].
【例4】 （1）解析：A B选项函数的定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数，排除B；C选项函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增，排除C；D选项函数由图象（图略）知其在定义域上是增函数，排除D.故选A.
（2）解：①因为f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0，
令y＝－x，得f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x）.
又f（x）的定义域为[－1，1]，关于原点对称，所以f（x）为奇函数.
②设－1≤x1＜x2≤1.
因为f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，则f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）.
因为x＞0时，f（x）＜0，
所以f（x2－x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）.
故函数f（x）在区间[－1，1]上是减函数.
③因为函数f（x）在区间[－1，1]上是减函数，
所以函数f（x）在区间[－1，1]上的最大值为f（－1）＝－f（1）＝4，
所以要使f（x）＜m2－2am＋1对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，
只要m2－2am＋1＞4，即m2－2am－3＞0对a∈[－1，1]恒成立.
令g（a）＝－2am＋m2－3，
由得
解得m＜－3或m＞3，
故实数m的取值范围为（－∞，－3）∪（3，＋∞）.
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章末复习与总结
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
一、函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大
于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义
的集合的交集.
【例1】 （1）函数 f （ x ）＝ ＋（3 x －1）0的定义域是（ D ）
解析：由题意得，解得 x ＜1且 x ≠ .故函数 f （ x ）的
定义域是（－∞， ）∪（ ，1）.
D
A. B.
C. D.∪
（2）已知函数 y ＝ f （ x ＋1）的定义域是[－2，3]，则 y ＝ f （2 x －
1）的定义域是（ A ）
A. B. [－1，4]
C. [－5，5] D. [－3，7]
解析：设 u ＝ x ＋1，由－2≤ x ≤3，得－1≤ x ＋1≤4，所以 y ＝
f （ u ）的定义域为[－1，4].再由－1≤2 x －1≤4，解得0≤ x ≤
，即函数 y ＝ f （2 x －1）的定义域是 .
A
反思感悟
1. 求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式
子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际
问题，定义域应使实际问题有意义.
2. 求抽象函数定义域的方法
（1）若已知函数 f （ x ）的定义域为[ a ， b ]，则复合函数 f （ g
（ x ））的定义域可由不等式 a ≤ g （ x ）≤ b 求出；
（2）若已知函数 f （ g （ x ））的定义域为[ a ， b ]，则 f （ x ）的
定义域为 g （ x ）在 x ∈[ a ， b ]上的值域.
二、函数的值域
函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用
函数的图象或函数的单调性求值域.
【例2】 （1）求函数 y ＝ x － 的值域；
解：法一 令 t ＝ （ t ≥0），
所以 x ＝－ t2＋ ，
即 y ＝－ t2－ t ＋ ＝－ （ t ＋1）2＋1，
当 t ≥0时， y ≤ ，即函数的值域为（－∞， ］.
法二 由于 y ＝ x 与 y ＝－ 均为定义域内的增函数，所以 y ＝ x
－ 在（－∞， ］内单调递增，所以 y ≤ ，即函数的值域为
（－∞， ］.
解： f （ x ）＝ ＝ ＝2－ ，
因为 x2＋1≥1，所以0＜ ≤1，即－1≤－ ＜0，得1≤2
－ ＜2，
即函数 f （ x ）的值域为[1，2）.
（2）求函数 f （ x ）＝ 的值域.
反思感悟
求函数值域的方法多种多样，可以利用基本初等函数的性质、函
数的单调性、函数图象、换元转化为熟悉的函数、分式中的分离常
数、应用基本不等式等进行求解，其求解过程应认真观察函数解析式
的结构特征，选择相对应的方法，还需注意函数的定义域.
三、函数的图象
掌握简单的基本函数图象，会根据函数的解析式及性质判断函数
的图象，利用函数的图象可以直观的观察出函数的值域、最值、单调
性、奇偶性等.
【例3】 （1）定义运算 a b ＝设函数 f （ x ）＝
x （ x ＋1），则该函数的图象应该是（ ）
解析： 由 a b 的定义，可知 f （ x ）＝由 f （0）
＝0－1＝－1，所以函数图象过点（0，－1），排除A、B；当 x ＜0
时， y ＝ x2＞0，排除D. 故选C.
①判断其奇偶性，并证明；
②画出函数的图象，指出函数的单调区间和最小值.
解：①函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜是偶函数.
证明：函数的定义域为R，
因为 f （－ x ）＝（－ x ）2－2｜－ x ｜＝ x2－2｜ x ｜，
所以 f （－ x ）＝ f （ x ），
所以 f （ x ）是偶函数.
（2）对于函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜.
②当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1，
其函数图象如图所示，
由于函数 f （ x ）是偶函数，函数图象关于 y 轴对称，利用其对
称性可画出定义域在（－∞，0）的图象，
观察图象可知，函数 f （ x ）的最小值是－1.单调递增区间是[－
1，0]，[1，＋∞）；单调递减区间是（－∞，－1]，[0，1].
反思感悟
函数图象的辨识可从以下4方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断
图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
四、函数的性质
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，掌握单调性
和奇偶性的判断与证明，会利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大
小、解不等式等.
【例4】 （1）给出下列四个函数，在定义域内既是奇函数，又为减
函数的是（ ）
A. f （ x ）＝－ x － x3 B. f （ x ）＝－ x （ x ≥0）
C. f （ x ）＝－ D. f （ x ）＝ x ｜ x ｜
解析： B选项函数的定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶
函数，排除B；C选项函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递
增，排除C；D选项函数由图象（图略）知其在定义域上是增函数，
排除D. 故选A.
①判断函数 f （ x ）的奇偶性；
②讨论函数 f （ x ）在区间[－1，1]上的单调性；
③设 f （1）＝－4，若 f （ x ）＜ m2－2 am ＋1对所有 x ∈[－1，
1]， a ∈[－1，1]恒成立，求实数 m 的取值范围.
（2）已知函数 f （ x ）的定义域为[－1，1]，若对任意的 x ， y ∈[－
1，1]，都有 f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），且 x ＞0时， f
（ x ）＜0.
解：①因为 f （ x ＋ y ）＝ f （ x ）＋ f （ y ），
令 x ＝ y ＝0，得 f （0）＝ f （0）＋ f （0），所以 f （0）＝0，
令 y ＝－ x ，得 f （0）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＝0，
所以 f （－ x ）＝－ f （ x ）.
又 f （ x ）的定义域为[－1，1]，关于原点对称，所以 f （ x ）为
奇函数.
②设－1≤ x1＜ x2≤1.
因为 f （ x ）是定义在[－1，1]上的奇函数，则 f （ x2）－ f
（ x1）＝ f （ x2）＋ f （－ x1）＝ f （ x2－ x1）.
因为 x ＞0时， f （ x ）＜0，
所以 f （ x2－ x1）＜0，即 f （ x2）＜ f （ x1）.
故函数 f （ x ）在区间[－1，1]上是减函数.
③因为函数 f （ x ）在区间[－1，1]上是减函数，
所以函数 f （ x ）在区间[－1，1]上的最大值为 f （－1）＝－ f
（1）＝4，所以要使 f （ x ）＜ m2－2 am ＋1对所有 x ∈[－1，
1]， a ∈[－1，1]恒成立，
只要 m2－2 am ＋1＞4，即 m2－2 am －3＞0对 a ∈[－1，1]恒成
立.令 g （ a ）＝－2 am ＋ m2－3，
由得
解得 m ＜－3或 m ＞3，
故实数 m 的取值范围为（－∞，－3）∪（3，＋∞）.
反思感悟
1. 解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶
性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调
性求最值.
2. 研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给 x
灵活赋值.
提醒 研究函数的性质时，需先明确函数的定义域.
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