6.1 幂函数
1.在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（ ）
A.R B.
C. D.
3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（ ）
A.－1 B.1
C.2 D.3
4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.n＜m＜0 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0 D.m＞n＞0
5.（多选）（2024·南京第九中学期中）已知幂函数f（x）＝（m2－2m－2）xm的图象过点（ 2，），则（ ）
A.f（x）＝x3
B.f（x）＝x－1
C.函数f（x）在（－∞，0）上单调递减
D.函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增
6.（多选）已知幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A.f（－2）＞f（1）
B.f（－2）＜f（1）
C.f（－2）＝f（－1）
D.若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（a）＜f（b）
7.（2024·无锡玉祁高中期中）已知幂函数f（x）的图象经过点A（4，2），B（16，m），则m＝ .
8.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 .
9.已知幂函数f（x）＝x－2，若f（1－2a）＜f（a＋1），则a的取值范围是 .
10.比较下列各组数的大小：
（1）和3.；
（2）和；
（3）4.和3..
11.在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax－的图象可能是（ ）
12.（多选）已知实数a，b满足等式＝，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A.0＜b＜a＜1 B.－1＜a＜b＜0
C.1＜a＜b D.－1＜b＜a＜0
13.（2024·南通如皋期中）已知幂函数f（x）＝（其中m∈Z）为偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值为 .
14.已知幂函数f（x）＝（m∈N*）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.
15.已知函数f（x）＝xn－，且f（4）＝3.
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若在区间[1，3]上，不等式f（x）＞2x＋2m＋1恒成立，试确定实数m的取值范围.
6.1 幂函数
1.B 函数y＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα（α是常数）的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1（x≠0）不相等，所以y＝1不是幂函数.
2.D 易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈，故选D.
3.A ∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.
4.A 由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.
5.BC 由题意知，m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，f（x）＝x3，此时f（2）＝8，函数图象不过点（ 2，），故A错误；当m＝－1时，f（x）＝x－1，此时f（2）＝，函数图象过点（ 2，），故B正确；幂函数f（x）＝x－1在（－∞，0）上单调递减，故C正确；幂函数f（x）＝x－1在（0，＋∞）上单调递减，故D错误.故选B、C.
6.BD 幂函数f（x）＝xn，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f（x）＝，f（－x）＝f（x），且 f（x）在（0，＋∞）上单调递减，于是有f（－2）＝f（2）＜f（1）＝f（－1），则A错误，B正确，C错误；若｜a｜＞｜b｜＞0，则f（｜a｜）＜f（｜b｜），即f（a）＜f（b）成立，故D正确.故选B、D.
7.4 解析：设f（x）＝xα，则2＝4α，解得α＝，所以f（x）＝，又B（16，m）在幂函数图象上，则m＝1＝4.
8.－ 解析：易知函数y＝x－3＝在[－4，－2]上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝（－2）－3＝＝－.
9.（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）
解析：因为f（x）＝x－2（x≠0），f（x）为偶函数，易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，又f（1－2a）＜f（a＋1），所以f（｜1－2a｜）＜f（｜a＋1｜），所以｜1－2a｜＞｜a＋1｜＞0，解得a＞2或a＜0且a≠－1，所以a的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）.
10.解：（1）函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.2，所以＞3..
（2）＝，＝，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，而＞，所以＞.
（3）4.＞＝1，0＜3.＜＝1，
所以4.＞3..
11.C 选项A中，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.
12.AC 画出y＝与y＝的图象（如图），设＝＝m，作直线y＝m.从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若0＜m＜1，则0＜b＜a＜1；若m＞1，则1＜a＜b.故其中可能成立的是A、C.
13.1 解析：因为函数幂函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3，又m∈Z，所以m＝0或1或2.当m＝0或2时，f（x）＝x－3＝，定义域为{x｜x≠0}，且f（－x）＝＝－＝－f（x），此时函数f（x）为奇函数，不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－4＝，定义域为{x｜x≠0}，且f（－x）＝＝＝f（x），此时函数f（x）为偶函数，符合题意.综上所述，m＝1.
14.解：（1）∵m2＋m＝m（m＋1）（m∈N*），而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋m为偶数，
∴函数f（x）＝（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数.
（2）∵函数f（x）经过点（2，），
∴＝，即m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2，
又∵m∈N*，∴m＝1，f（x）＝.
又∵f（2－a）＞f（a－1），
∴解得1≤a＜.
故函数f（x）经过点（2，）时，m＝1，满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为［1，）.
15.解：（1）由f（4）＝3得n＝1，所以f（x）＝x－，其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
又f（－x）＝－x－＝－（ x－）＝－f（x），
所以函数f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为奇函数.
（2）函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2，且0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＞0，
则f（x1）－f（x2）＝（ x1－）－（ x2－）＝＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
（3）由f（x）＞2x＋2m＋1，得x－＞2x＋2m＋1，
2m＋1＜－x－＝－（ x＋），
在区间[1，3]上，－（ x＋）的最小值是－5.
由2m＋1＜－5，得m＜－3，所以实数m的取值范围是（－∞，－3）.
2 / 26.1 幂函数
新课程标准解读 核心素养
1.了解幂函数的概念 数学抽象
2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象，理解它们的变化规律 直观想象、逻辑推理
研究下列3个问题：
①如果王老师购买每千克1元的蔬菜t千克，那么她需要支付p＝t元，这里p是t的函数；
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
③如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数.
【问题】 上述3个问题中的函数有什么共同的结构特征？
知识点一 幂函数的概念
形如 的函数称为幂函数，其中x是 ，α是 .
提醒 对幂函数的再理解：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量x，指数α为常数；③项数只有一项.
知识点二 幂函数的图象与性质
1.五种常见幂函数的图象
2.五种常见幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈（0，＋∞） ； x∈（－∞，0） 增 增 x∈（0，＋∞） ； x∈（－∞，0）
3.一般幂函数的性质
（1）当α＞0时，y＝xα具有以下两条性质：
①函数的图象都过点 和 ；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而 ，函数在区间 上单调递增.
（2）当α＜0时，y＝xα具有以下两条性质：
①函数的图象都过点 ；
②在第一象限内，函数的图象随x的增大而 ，函数在区间 上单调递减.
【想一想】
1.任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗？
2.幂函数的图象为什么不过第四象限？
1.下列说法正确的是（ ）
A.幂函数图象均过点（1，1）
B.幂函数的图象均在两个象限内出现
C.幂函数在第四象限内可以有图象
D.任意两个幂函数的图象最多有两个交点
2.（多选）（2024·无锡天一中学期中）下列函数中是幂函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝－x3
C.y＝x2 D.y＝x＋2
3.若幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（3）＝ .
题型一 幂函数的概念
【例1】 （1）在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，幂函数的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
（2）若f（x）＝（m2－4m－4）xm是幂函数，则m＝ .
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
（2024·盐城第一中学期中）已知幂函数y＝mxn（m，n∈R）的图象经过点（2，8），则m－n＝ .
题型二 幂函数的图象与性质
【例2】 （链接教科书第139页例1）写出下列函数的定义域，分别指出它们的奇偶性，并在同一坐标系内画出它们的图象：
（1）y＝x2，y＝x3；
（2）y＝，y＝；
（3）y＝x－1，y＝x－2.
通性通法
幂函数图象的画法
（1）先确定幂函数在第一象限内的图象：依据幂的指数α与0，1的大小关系，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.相关结论为：①在（0，1）上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；②在（1，＋∞）上，幂的指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）；
（2）再确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数y＝xα在其他象限内的图象.
【跟踪训练】
如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为（ ）
A.2，，－，－2 B.－2，－，，2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
题型三 幂函数的性质及应用
角度1 比较幂值的大小
【例3】 （链接教科书第140页例2）试比较下列各组数的大小：
（1）1.1－0.3，0.89－0.3；
（2）（ ）0.5，（ ）0.5，（ ）0.5；
（3）（ ，1，（ .
通性通法
比较幂值大小的方法
（1）若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小；
（2）若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
角度2 幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数f（x）＝（m2＋3m－9）xm－1在（0，＋∞）上是减函数，m∈R.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若（2－a＞（2a－1，求实数a的取值范围.
通性通法
幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.
【跟踪训练】
1.（2024·镇江中学期中）幂函数f（x）＝（m2－m－1）在（0，＋∞）上单调递增，则实数m＝（ ）
A.2 B.－1 C.－2 D.2或－1
2.比较下列各组数中两个数的大小：
（1）（－3.14）3，（－π）3；（2）（ －）－1，（ －）－1；（3）1.，1.，1.42.
1.（2024·连云港月考）下列函数为幂函数的是（ ）
A.y＝2x4 B.y＝2x3－1
C.y＝ D.y＝x2
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝
3.幂函数f（x）的图象过点（2，m），且f（m）＝16，则实数m＝ .
4.比较下列各组数的大小：
（1），；（2），.
6.1 幂函数
【基础知识·重落实】
知识点一
y＝xα 自变量 常数
知识点二
2.增 减 减 减 3.（1）①（0，0）
（1，1） ②上升 [0，＋∞） （2）①（1，1）
②下降 （0，＋∞）
想一想
1.提示：不一定.例如y＝2x－5，y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数.
2.提示：因为当x＞0时，xα＞0，因此幂函数的图象不过第四象限.
自我诊断
1.A 根据幂函数的图象特征可知A正确，B、C、D错误.故选A.
2.AC 对于A、C，即y＝x－1，y＝x2均为幂函数；而选项B，y＝－x3不是幂函数，幂式前系数不为1；选项D，y＝x＋2不符合幂函数的形式，不是幂函数.故选A、C.
3. 解析：设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点（2，），则2α＝，解得α＝.∴f（x）＝＝，∴f（3）＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）5或－1 解析：（1）根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
（2）因为f（x）是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
跟踪训练
－2 解析：由函数y＝mxn（m，n∈R）为幂函数，可知m＝1，故y＝xn，又函数图象经过点（2，8），所以2n＝8，即n＝3，故m－n＝1－3＝－2.
【例2】 解：（1）函数y＝x2的定义域是R，
因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x）2＝x2，所以函数y＝x2是偶函数.
函数y＝x3的定义域是R，
因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x）3＝－x3，所以函数y＝x3是奇函数.图象如图①所示.
（2）函数y＝＝，其定义域是[0，＋∞），
因为当x∈（0，＋∞）时，－x （0，＋∞），函数y＝既不是奇函数，也不是偶函数.
函数y＝的定义域是R，
因为对任意的x∈R，－x∈R，且都有（－x＝－，所以函数y＝是奇函数.图象如图②所示.
（3）由函数y＝x－1＝可知x≠0，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），
因为对任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且（－x）－1＝－x－1，所以函数y＝x－1是奇函数.
由函数y＝x－2＝可知x≠0，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），
因为对任意的x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，且（－x）－2＝x－2，所以函数y＝x－2是偶函数.图象如图③所示.
跟踪训练
A 法一 曲线C1，C2过点（0，0），（1，1），且在第一象限内为增函数，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝.C3，C4过点（1，1），且在第一象限内为减函数，所以n＜0，n为－2，－，显然C3对应y＝，C4对应y＝x－2.
法二 取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.
【例3】 解：（1）因为函数y＝x－0.3在（0，＋∞）上单调递减，又1.1＞0.89，
所以1.1－0.3＜0.89－0.3.
（2）因为函数y＝x0.5在（0，＋∞）上单调递增，又＞＞，
所以（ ）0.5＞（ ）0.5＞（ ）0.5.
（3）因为函数y1＝在（0，＋∞）上单调递增，又＞1，所以（ ＞＝1.
又因为函数y2＝在（0，＋∞）上单调递增，又＜1，所以（ ＜＝1，
所以（ ＞1＞（ .
【例4】 解：（1）由函数f（x）＝（m2＋3m－9）xm－1为幂函数得m2＋3m－9＝1，
解得m＝2或m＝－5，
又函数在（0，＋∞）上是减函数，则m－1＜0，即m＜1，
所以m＝－5，f（x）＝x－6.
（2）由（1）得m＝－5，所以不等式为（2－a＞（2a－1，
设函数g（x）＝，则函数g（x）的定义域为（0，＋∞），且函数g（x）在（0，＋∞）上为减函数，
所以解得1＜a＜2，所以实数a的取值范围是（1，2）.
跟踪训练
1.B 因为f（x）＝（m2－m－1）是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或－1，又f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则m2－2m－2＞0，所以m＝－1满足题意，m＝2不合题意舍去.故选B.
2.解：（1）因为函数y＝x3在（－∞，0）上单调递增，又3.14＜π，所以－3.14＞－π，
所以（－3.14）3＞（－π）3.
（2）因为函数y＝x－1在（－∞，0）上单调递减，又－＜－＜0，所以（ －）－1＞（ －）－1.
（3）因为y＝在[0，＋∞）上单调递增，且1.2＜1.4，所以1.＜1..
易知1.＜1.42，所以1.＜1.＜1.42.
随堂检测
1.D 结合幂函数的形式可知D正确.故选D.
2.A 所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意.故选A.
3.4或 解析：设f（x）＝xα，则2α＝m，mα＝（2α）α＝＝16，所以α2＝4，所以α＝±2，所以m＝4或.
4.解：（1）由幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，得＜.
（2）由幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，得（ ＜（ .
4 / 4(共67张PPT)
6.1 幂函数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.了解幂函数的概念 数学抽象
2.通过具体实例，结合 y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ x3， y ＝ x
－1， y ＝ 的图象，理解它们的变化规律 直观想象、
逻辑推理
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
研究下列3个问题：
①如果王老师购买每千克1元的蔬菜 t 千克，那么她需要支付 p ＝ t
元，这里 p 是 t 的函数；
②如果正方形的边长为 a ，那么正方形的面积 S ＝ a2，这里 S 是 a
的函数；
③如果某人 t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度 v ＝ t－1
m/s，这里 v 是 t 的函数.
【问题】 上述3个问题中的函数有什么共同的结构特征？
知识点一 幂函数的概念
形如 的函数称为幂函数，其中 x 是 ，α是
.
提醒 对幂函数的再理解：① xα的系数为1；② xα的底数是自变量
x ，指数α为常数；③项数只有一项.
y ＝ xα
自变量
常
数
知识点二 幂函数的图象与性质
1. 五种常见幂函数的图象
2. 五种常见幂函数的性质
幂函
数 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝ x－1
定义
域 R R R [0，＋
∞） （－∞，0）∪
（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） R [0，＋
∞） { y ｜ y ≠0}
幂函数 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝ x－1
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x ∈（0，＋
∞） ； x
∈（－∞，
0） 增 增 x ∈（0，＋
∞） ；
x ∈（－∞，
0）
增
减
减
减
3. 一般幂函数的性质
（1）当α＞0时， y ＝ xα具有以下两条性质：
①函数的图象都过点 和 ；
②在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而 ，函数
在区间 上单调递增.
（0，0）
（1，1）
上升
[0，＋∞）
（2）当α＜0时， y ＝ xα具有以下两条性质：
①函数的图象都过点 ；
②在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而 ，函数
在区间 上单调递减.
（1，1）
下降
（0，＋∞）
【想一想】
1. 任意的一次函数和二次函数都是幂函数吗？
提示：不一定.例如 y ＝2 x －5， y ＝ x2＋2 x 分别为一次函数和二次
函数，但它们都不是幂函数.
2. 幂函数的图象为什么不过第四象限？
提示：因为当 x ＞0时， xα＞0，因此幂函数的图象不过第四象限.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 幂函数图象均过点（1，1）
B. 幂函数的图象均在两个象限内出现
C. 幂函数在第四象限内可以有图象
D. 任意两个幂函数的图象最多有两个交点
解析： 根据幂函数的图象特征可知A正确，B、C、D错误.
故选A.
2. （多选）（2024·无锡天一中学期中）下列函数中是幂函数的是
（ ）
A. y ＝ B. y ＝－ x3
C. y ＝ x2 D. y ＝ x ＋2
解析： 对于A、C，即 y ＝ x－1， y ＝ x2均为幂函数；而选项
B， y ＝－ x3不是幂函数，幂式前系数不为1；选项D， y ＝ x ＋2不
符合幂函数的形式，不是幂函数.故选A、C.
3. 若幂函数 y ＝ f （ x ）的图象经过点（2， ），则 f （3）＝ .
解析：设幂函数 y ＝ f （ x ）＝ xα，其图象经过点（2， ），则
2α＝ ，解得α＝ .∴ f （ x ）＝ ＝ ，∴ f （3）＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 幂函数的概念
【例1】 （1）在函数 y ＝ x－2， y ＝2 x2， y ＝（ x ＋1）2， y ＝3 x
中，幂函数的个数为（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：根据幂函数定义可知，只有 y ＝ x－2是幂函数，所以选B.
（2）若 f （ x ）＝（ m2－4 m －4） xm 是幂函数，则 m ＝ .
解析：因为 f （ x ）是幂函数，所以 m2－4 m －4＝1，即 m2－4 m
－5＝0，解得 m ＝5或 m ＝－1.
B
5或－1
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝ xα（α为
常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）
指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
（2024·盐城第一中学期中）已知幂函数 y ＝ mxn （ m ， n ∈R）的图象
经过点（2，8），则 m － n ＝ .
解析：由函数 y ＝ mxn （ m ， n ∈R）为幂函数，可知 m ＝1，故 y ＝
xn ，又函数图象经过点（2，8），所以2 n ＝8，即 n ＝3，故 m － n ＝1
－3＝－2.
－2
题型二 幂函数的图象与性质
【例2】 （链接教科书第139页例1）写出下列函数的定义域，分别
指出它们的奇偶性，并在同一坐标系内画出它们的图象：
（1） y ＝ x2， y ＝ x3；
解：函数 y ＝ x2的定义域是R，
因为对任意的 x ∈R，－ x ∈R，且都有（－ x ）2＝ x2，所以函数
y ＝ x2是偶函数.
函数 y ＝ x3的定义域是R，
因为对任意的 x ∈R，－ x ∈R，且都有（－ x ）3＝－ x3，所以函
数 y ＝ x3是奇函数.图象如图①所示.
（2） y ＝ ， y ＝ ；
解：函数 y ＝ ＝ ，其定义域是[0，＋∞），
因为当 x ∈（0，＋∞）时，－ x （0，＋∞），函数 y ＝ 既
不是奇函数，也不是偶函数.
函数 y ＝ 的定义域是R，
因为对任意的 x ∈R，－ x ∈R，且都有（－ x ＝－ ，所以
函数 y ＝ 是奇函数.图象如图②所示.
（3） y ＝ x－1， y ＝ x－2.
解：由函数 y ＝ x－1＝ 可知 x ≠0，定义域是（－∞，0）∪
（0，＋∞），
因为对任意的 x ∈R， x ≠0，都有－ x ∈R，－ x ≠0，且（－
x ）－1＝－ x－1，所以函数 y ＝ x－1是奇函数.
由函数 y ＝ x－2＝ 可知 x ≠0，定义域是（－∞，0）∪（0，＋
∞），
因为对任意的 x ∈R， x ≠0，都有－ x ∈R，－ x ≠0，且（－
x ）－2＝ x－2，所以函数 y ＝ x－2是偶函数.图象如图③所示.
通性通法
幂函数图象的画法
（1）先确定幂函数在第一象限内的图象：依据幂的指数α与0，1的
大小关系，确定幂函数 y ＝ xα在第一象限内的图象.相关结论
为：①在（0，1）上，幂的指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴
（简记为指大图低）；②在（1，＋∞）上，幂的指数越大，幂
函数图象越远离 x 轴（简记为指大图高）；
（2）再确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇
偶性确定幂函数 y ＝ xα在其他象限内的图象.
【跟踪训练】
如图是幂函数 y ＝ xn 的部分图象，已知 n 取 ，2，－2，－ 这四个
值，则与曲线 C1， C2， C3， C4相对应的 n 依次为（ ）
A. 2， ，－ ，－2 B. －2，－ ， ，2
C. － ，－2，2， D. 2， ，－2，－
解析： 法一 曲线 C1， C2过点（0，0），（1，1），且在第一象
限内为增函数，所以 n ＞0， n 为 ，2，显然 C1对应 y ＝ x2， C2对应 y
＝ . C3， C4过点（1，1），且在第一象限内为减函数，所以 n ＜0，
n 为－2，－ ，显然 C3对应 y ＝ ， C4对应 y ＝ x－2.
法二 取 x ＝2，分别代入 y1＝ x2， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ x－2，可求
得 y1＝4， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ ，比较得 y1＞ y2＞ y3＞ y4，则与曲
线 C1， C2， C3， C4相对应的 n 依次为2， ，－ ，－2.
题型三 幂函数的性质及应用
角度1 比较幂值的大小
【例3】 （链接教科书第140页例2）试比较下列各组数的大小：
（1）1.1－0.3，0.89－0.3；
解：因为函数 y ＝ x－0.3在（0，＋∞）上单调递减，又1.1＞
0.89，
所以1.1－0.3＜0.89－0.3.
（2）（ ）0.5，（ ）0.5，（ ）0.5；
解：因为函数 y ＝ x0.5在（0，＋∞）上单调递增，又 ＞ ＞ ，
所以（ ）0.5＞（ ）0.5＞（ ）0.5.
（3）（ ，1，（ .
解：因为函数 y1＝ 在（0，＋∞）上单调递增，又 ＞1，所
以（ ＞ ＝1.
又因为函数 y2＝ 在（0，＋∞）上单调递增，又 ＜1，所以
（ ＜ ＝1，
所以（ ＞1＞（ .
通性通法
比较幂值大小的方法
（1）若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可
构造函数，利用幂函数的单调性比较大小；
（2）若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中
间值可以是“0”或“1”.
角度2 幂函数性质的综合应用
【例4】 已知幂函数 f （ x ）＝（ m2＋3 m －9） xm－1在（0，＋∞）
上是减函数， m ∈R.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解：由函数 f （ x ）＝（ m2＋3 m －9） xm－1为幂函数得 m2＋3 m
－9＝1，
解得 m ＝2或 m ＝－5，
又函数在（0，＋∞）上是减函数，则 m －1＜0，即 m ＜1，
所以 m ＝－5， f （ x ）＝ x－6.
（2）若（2－ a ＞（2 a －1 ，求实数 a 的取值范围.
解：由（1）得 m ＝－5，所以不等式为（2－ a ＞（2 a －1
，
设函数 g （ x ）＝ ，则函数 g （ x ）的定义域为（0，＋
∞），且函数 g （ x ）在（0，＋∞）上为减函数，
所以解得1＜ a ＜2，所以实数 a 的取值范围是
（1，2）.
通性通法
幂函数 y ＝ xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取
值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也
可由这些性质去限制α的取值.
【跟踪训练】
1. （2024·镇江中学期中）幂函数 f （ x ）＝（ m2－ m －1）
在（0，＋∞）上单调递增，则实数 m ＝（ ）
A. 2 B. －1
C. －2 D. 2或－1
解析： 因为 f （ x ）＝（ m2－ m －1） 是幂函数，所
以 m2－ m －1＝1，解得 m ＝2或－1，又 f （ x ）在（0，＋∞）上单
调递增，则 m2－2 m －2＞0，所以 m ＝－1满足题意， m ＝2不合题
意舍去.故选B.
2. 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）（－3.14）3，（－π）3；
解：因为函数 y ＝ x3在（－∞，0）上单调递增，又
3.14＜（1）π，所以－3.14＞－π，
所以（－3.14）3＞（－π）3.
解：因为函数 y ＝ x－1在（－∞，0）上单调递减，又－ ＜
－ ＜0，所以（ － ）－1＞（ － ）－1.
（2）（ － ）－1，（ － ）－1；
解：因为 y ＝ 在[0，＋∞）上单调递增，且1.2＜1.4，所
以1. ＜1. .
易知1. ＜1.42，所以1. ＜1. ＜1.42.
（3）1. ，1. ，1.42.
1. （2024·连云港月考）下列函数为幂函数的是（ ）
A. y ＝2 x4 B. y ＝2 x3－1
C. y ＝ D. y ＝ x2
解析： 结合幂函数的形式可知D正确.故选D.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是
（ ）
A. y ＝ x－2 B. y ＝ x－1
C. y ＝ x2 D. y ＝
解析： 所给选项都是幂函数，其中 y ＝ x－2和 y ＝ x2是偶函数，
y ＝ x－1和 y ＝ 不是偶函数，故排除选项B、D，又 y ＝ x2在区间
（0，＋∞）上单调递增，不合题意， y ＝ x－2在区间（0，＋∞）
上单调递减，符合题意.故选A.
3. 幂函数 f （ x ）的图象过点（2， m ），且 f （ m ）＝16，则实数 m
＝ .
解析：设 f （ x ）＝ xα，则2α＝ m ， mα＝（2α）α＝ ＝16，所
以α2＝4，所以α＝±2，所以 m ＝4或 .
4或
4. 比较下列各组数的大小：
（1） ， ；
解： 由幂函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递增，得
＜ .
（2） ， .
解： 由幂函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，得
（ ＜（ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在函数 y ＝ x－4， y ＝3 x2， y ＝ x2＋2 x ， y ＝1中，幂函数的个数为
（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 函数 y ＝ x－4为幂函数；函数 y ＝3 x2中 x2的系数不是1，
所以它不是幂函数；函数 y ＝ x2＋2 x 不是 y ＝ xα（α是常数）的形
式，所以它不是幂函数；函数 y ＝1与 y ＝ x0＝1（ x ≠0）不相等，
所以 y ＝1不是幂函数.
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2. 若 f （ x ）＝ ，则函数 f （4 x －3）的定义域为（ ）
A. R B.
C. D.
解析： 易知 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），则4 x －3∈
（0，＋∞），即 x ∈ ，故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝ xa ＋ b ，不论 a 为何值， f （ x ）的图象均过点（ m ，
0），则实数 b 的值为（ ）
A. －1 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ∵幂函数 y ＝ xa 过定点（1，1），∴ f （ x ）＝ xa ＋ b 过
定点（1，1＋ b ），结合已知条件可知1＋ b ＝0，则 b ＝－1.
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4. 如图所示，曲线 C1和 C2分别是函数 y ＝ xm 和 y ＝ xn 在第一象限内的
图象，则下列结论正确的是（ ）
A. n ＜ m ＜0
B. m ＜ n ＜0
C. n ＞ m ＞0
D. m ＞ n ＞0
解析： 由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故 m
＜0， n ＜0.由幂函数图象的特点知 n ＜ m ，故 n ＜ m ＜0.
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5. （多选）（2024·南京第九中学期中）已知幂函数 f （ x ）＝（ m2－
2 m －2） xm 的图象过点（ 2， ），则（ ）
A. f （ x ）＝ x3
B. f （ x ）＝ x－1
C. 函数 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减
D. 函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增
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解析： 由题意知， m2－2 m －2＝1，即 m2－2 m －3＝0，解得
m ＝3或 m ＝－1.当 m ＝3时， f （ x ）＝ x3，此时 f （2）＝8，函数
图象不过点（ 2， ），故A错误；当 m ＝－1时， f （ x ）＝ x－1，
此时 f （2）＝ ，函数图象过点（ 2， ），故B正确；幂函数 f
（ x ）＝ x－1在（－∞，0）上单调递减，故C正确；幂函数 f （ x ）
＝ x－1在（0，＋∞）上单调递减，故D错误.故选B、C.
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6. （多选）已知幂函数 f （ x ）＝ xn ， n ∈{－2，－1，1，3}的图象关
于 y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A. f （－2）＞ f （1）
B. f （－2）＜ f （1）
C. f （－2）＝ f （－1）
D. 若｜ a ｜＞｜ b ｜＞0，则 f （ a ）＜ f （ b ）
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解析： 幂函数 f （ x ）＝ xn ， n ∈{－2，－1，1，3}的图象关
于 y 轴对称，则 n ＝－2，则 f （ x ）＝ ， f （－ x ）＝ f （ x ），且
f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，于是有 f （－2）＝ f （2）＜ f
（1）＝ f （－1），则A错误，B正确，C错误；若｜ a ｜＞｜ b ｜
＞0，则 f （｜ a ｜）＜ f （｜ b ｜），即 f （ a ）＜ f （ b ）成立，故
D正确.故选B、D.
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7. （2024·无锡玉祁高中期中）已知幂函数 f （ x ）的图象经过点 A
（4，2）， B （16， m ），则 m ＝ .
解析：设 f （ x ）＝ xα，则2＝4α，解得α＝ ，所以 f （ x ）＝
，又 B （16， m ）在幂函数图象上，则 m ＝1 ＝4.
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8. 函数 y ＝ x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 .
解析：易知函数 y ＝ x－3＝ 在[－4，－2]上单调递减，所以当 x
＝－2时， ymin＝（－2）－3＝ ＝－ .
－
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9. 已知幂函数 f （ x ）＝ x－2，若 f （1－2 a ）＜ f （ a ＋1），则 a 的取
值范围是 .
解析：因为 f （ x ）＝ x－2（ x ≠0）， f （ x ）为偶函数，易知 f
（ x ）在（0，＋∞）上单调递减，又 f （1－2 a ）＜ f （ a ＋1），
所以 f （｜1－2 a ｜）＜ f （｜ a ＋1｜），所以｜1－2 a ｜＞｜ a ＋
1｜＞0，解得 a ＞2或 a ＜0且 a ≠－1，所以 a 的取值范围是（－
∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）.
（－∞，－1）∪（－1，0）∪（2，＋∞）
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10. 比较下列各组数的大小：
（1） 和3. ；
解： 函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，又3＜
3.2，所以 ＞3. .
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（2） 和 ；
解： ＝ ， ＝ ，函数 y ＝ 在
（0，＋∞）上单调递增，而 ＞ ，所以 ＞ .
（3）4. 和3. .
解： 4. ＞ ＝1，0＜3. ＜ ＝1，
所以4. ＞3. .
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11. 在同一坐标系内，函数 y ＝ xa （ a ≠0）和 y ＝ ax － 的图象可能是
（ ）
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解析： 选项A中，幂函数的指数 a ＜0，则函数 y ＝ ax － 应为
减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数 a ＞1，则函数 y ＝ ax －
应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数 a ＜0，则－ ＞
0，函数 y ＝ ax － 与 y 轴交点的纵坐标应为正，D错误.
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12. （多选）已知实数 a ， b 满足等式 ＝ ，则下列关系式中可能
成立的是（ ）
A. 0＜ b ＜ a ＜1 B. －1＜ a ＜ b ＜0
C. 1＜ a ＜ b D. －1＜ b ＜ a ＜0
解析： 画出 y ＝ 与 y ＝ 的图象（如
图），设 ＝ ＝ m ，作直线 y ＝ m .从图
象知，若 m ＝0或1，则 a ＝ b ；若0＜ m ＜1，
则0＜ b ＜ a ＜1；若 m ＞1，则1＜ a ＜ b .故其
中可能成立的是A、C.
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解析：因为函数幂函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，所以
m2－2 m －3＜0，解得－1＜ m ＜3，又 m ∈Z，所以 m ＝0或1或2.
当 m ＝0或2时， f （ x ）＝ x－3＝ ，定义域为{ x ｜ x ≠0}，且 f
（－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），此时函数 f （ x ）为奇函
数，不符合题意；当 m ＝1时， f （ x ）＝ x－4＝ ，定义域为
{ x ｜ x ≠0}，且 f （－ x ）＝ ＝ ＝ f （ x ），此时函数 f
（ x ）为偶函数，符合题意.综上所述， m ＝1.
13. （2024·南通如皋期中）已知幂函数 f （ x ）＝ （其中 m
∈Z）为偶函数，且 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，则实数 m
的值为 .
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14. 已知幂函数 f （ x ）＝ （ m ∈N*）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的
单调性；
解： ∵ m2＋ m ＝ m （ m ＋1）（ m ∈N*），而 m 与 m
＋1中必有一个为偶数，∴ m2＋ m 为偶数，
∴函数 f （ x ）＝ （ m ∈N*）的定义域为[0，
＋∞），并且该函数在[0，＋∞）上是增函数.
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（2）若函数 f （ x ）经过点（2， ），试确定 m 的值，并求满
足条件 f （2－ a ）＞ f （ a －1）的实数 a 的取值范围.
解： ∵函数 f （ x ）经过点（2， ），
∴ ＝ ，即 m2＋ m ＝2，解得 m ＝1或 m ＝－2，
又∵ m ∈N*，∴ m ＝1， f （ x ）＝ .
又∵ f （2－ a ）＞ f （ a －1），∴解得1≤ a
＜ .
故函数 f （ x ）经过点（2， ）时， m ＝1，满足条件 f （2
－ a ）＞ f （ a －1）的实数 a 的取值范围为［1， ）.
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15. 已知函数 f （ x ）＝ xn － ，且 f （4）＝3.
（1）判断 f （ x ）的奇偶性并说明理由；
解： 由 f （4）＝3得 n ＝1，所以 f （ x ）＝ x － ，其定
义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
又 f （－ x ）＝－ x － ＝－（ x － ）＝－ f （ x ），
所以函数 f （ x ）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为奇函数.
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（2）判断 f （ x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并证明你
的结论；
解： 函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，证明
如下：
任取 x1， x2，且0＜ x1＜ x2，则 x1－ x2＜0， x1 x2＞0，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1－ ）－（ x2－ ）＝
＜0，
即 f （ x1）＜ f （ x2），所以函数 f （ x ）在（0，＋∞）
上单调递增.
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（3）若在区间[1，3]上，不等式 f （ x ）＞2 x ＋2 m ＋1恒成立，
试确定实数 m 的取值范围.
解： 由 f （ x ）＞2 x ＋2 m ＋1，得 x － ＞2 x ＋2 m
＋1，
2 m ＋1＜－ x － ＝－（ x ＋ ），
在区间[1，3]上，－（ x ＋ ）的最小值是－5.
由2 m ＋1＜－5，得 m ＜－3，所以实数 m 的取值范围是
（－∞，－3）.
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