6.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
1.下列各函数中，是指数函数的为（ ）
A.y＝x3 B.y＝（－4）x
C.y＝5x＋1 D.y＝52x
2.若函数f（x）＝（2a－1）x是指数函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，1）∪（1，＋∞） B.[0，1）∪（1，＋∞）
C.∪（1，＋∞） D.
3.若函数f（x）＝（1－2a）x是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图象大致是（ ）
5.若f（x）＝（）｜x｜，x∈R，那么f（x）是（ ）
A.奇函数且在（0，＋∞）上单调递增
B.偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C.奇函数且在（0，＋∞）上单调递减
D.偶函数且在（0，＋∞）上单调递减
6.（2024·南通东南中学期中）a＝30.2，b＝0.23，c＝0.33，则下列关于a，b，c大小关系正确的是（ ）
A.a＞c＞b B.a＞b＞c
C.b＞c＞a D.c＞a＞b
7.（2024·南通海安实验中学期中）已知常数a＞0且a≠1，假设无论a为何值，函数y＝ax＋4＋3的图象恒经过一定点，则这个点的坐标为 .
8.已知函数f（x）为指数函数，且f＝，则f（－2）＝ .
9.不等式（ ≤2x的解集为 .
10.已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝的奇偶性，并加以证明.
11.若函数y＝（）x在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝（ ）
A.1 B.3
C.6 D.12
12.（多选）已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为（ ）
A.a＝b＝0 B.0＜b＜a
C.a＜b＜0 D.0＜a＜b
13.已知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，则函数y＝f（x）的一个可能的解析式为 .
14.设f（x）＝3x，g（x）＝（）x.
（1）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；
（2）计算f（1）与g（－1），f（π）与g（－π），f（m）与g（－m）的值，从中你能得到什么结论？
15.已知函数f（x）＝满足f（ ）＝.
（1）求常数c的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＞＋1.
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
1.D A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝52x＝25x，符合指数函数的定义，故是指数函数.故选D.
2.C 依题意得2a－1＞0，且2a－1≠1，解得a＞，且a≠1，即a的取值范围是∪（1，＋∞）.故选C.
3.B 依题意得1－2a＞1，∴a＜0.故选B.
4.A 当a＞1时，函数f（x）＝ax为增函数，当x＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
5.D 依题意，得f（－x）＝（）｜－x｜＝（）｜x｜＝f（x），所以f（x）是偶函数.当x＞0时，f（x）＝（）｜x｜＝（）x，函数f（x）单调递减.
6.A 由y＝3x单调递增，a＝30.2＞30＝1，0＜b＝0.23＝0.008＜1，c＝0.33＝0.027＞0.008，所以a＞c＞b.故选A.
7.（－4，4） 解析：因为当x＋4＝0时，即x＝－4时，y＝a0＋3＝4，即y＝ax＋4＋3恒过点（－4，4）.
8. 解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f＝得，＝，所以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝.
9.{x｜x≥1或x≤－2} 解析：因为（ ＝（2－1＝，所以原不等式等价于≤2x.因为y＝2x是R上的增函数，所以－x2＋2≤x，所以x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，所以原不等式的解集是{x｜x≥1或x≤－2}.
10.解：（1）由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，
可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x.
（2）F（x）＝是奇函数.
证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－＝2x－＝2x－2－x，
又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x），
所以F（x）是奇函数.
11.C 由指数函数y＝（）x的图象可知函数在x＝－1处取最小值2，在x＝－2处取最大值4.所以m＋n＝6.
12.ABC 由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示.由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以选项A正确；作出直线y＝k，当k＞1时，若3a＝6b＝k，则0＜b＜a，所以选项B正确；当0＜k＜1时，若3a＝6b＝k，则a＜b＜0，所以选项C正确.
13.f（x）＝2×4x 解析：由题意，得＝4，＝42，…，＝4x，∴f（x）＝2×4x.
14.解：（1）函数f（x），g（x）的图象如图所示.
（2）f（1）＝31＝3，g（－1）＝（）－1＝3，
f（π）＝3π，g（－π）＝（）－π＝3π，
f（m）＝3m，g（－m）＝（）－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.
15.解：（1）由f（ ）＝，得c·＋1＝，解得c＝，即c的值为.
（2）由（1），得f（x）＝
当0＜x＜时，x＋1＞＋1，即解得＜x＜；
当≤x＜1时，2－4x＋1＞＋1，即解得≤x＜.
综上所述，不等式f（x）＞＋1的解集为{x｜＜x＜}.
1 / 26.2 指数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运算
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次（1个分裂成2个）.
【问题】 （1）经过3小时，这种细菌由1个可分裂为几个？
（2）经过x小时，这种细菌由1个可分裂为几个？
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数y＝ （a＞0，a≠1）叫作指数函数，它的定义域是 .
提醒 指数函数的结构特征
【想一想】
为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1？
知识点二 指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：
值域：
图象过定点： ，图象在x轴的
在（－∞，＋∞）上是 函数； 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1 在（－∞，＋∞）上是 函数； 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＜0时，y＞1
提醒 （1）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近y轴；（2）当a＞1时，底数越大，图象越靠近y轴.
【想一想】
1.指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）具有奇偶性吗？
2.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
3.指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象与底数a有什么关系？
1.函数y＝2－x的图象是（ ）
2.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.指数函数y＝ax中，a可以为负数
B.y＝2x＋1是指数函数
C.已知函数f（x）＝3x，若m＞n，则f（m）＞f（n）
D.指数函数y＝ax与y＝（）x的图象关于y轴对称
3.若函数f（x）是指数函数，且f（2）＝2，求f（x）的解析式.
题型一 指数函数的概念
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是（ ）
A.y＝（－8）x B.y＝πx
C.y＝3·2x D.y＝ax
（2）若函数f（x）＝（a－3）·ax是指数函数，则f（）＝（ ）
A.2 B.－2
C.－2 D.2
通性通法
1.判断一个函数是指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
2.求指数函数解析式的方法
一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式.
【跟踪训练】
1.若函数y＝（k＋2）ax＋2－b（a＞0，且a≠1）是指数函数，则k＝ ，b＝ .
2.若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），则f（－1）＝ .
题型二 指数函数的图象及应用
【例2】 （1）如图所示是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
（2）若函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），则m＋n＝（ ）
A.3 B.1
C.－1 D.－2
通性通法
1.解决指数函数图象问题的注意点
（1）熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状；
（2）在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
2.解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，a≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点（－c，k＋b）.
【跟踪训练】
1.已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx；②y＝nx的图象为（ ）
2.已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
题型三 指数函数的性质及应用
角度1 指数式的大小比较
【例3】 （链接教科书第144页例1）比较下列各组数中两个数的大小：
（1）2.42.5，2.43.2；
（2）（ ，（ ；
（3）1.80.3，0.51.2.
通性通法
比较指数式大小的2种类型及处理方法
角度2 求解指数不等式
【例4】 （链接教科书第145页例2）（1）已知7x≥（ ，求实数x的取值范围；
（2）已知0.＜52x＋2，求实数x的取值范围.
通性通法
解指数不等式的方法
（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式；
（2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af（x）＞ag（x） f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0＜a＜1）.
【跟踪训练】
1.（2024·无锡玉祁高中期中）已知a＝20.4，b＝20.6，c＝0.20.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.c＜b＜a D.a＜c＜b
2.若a－5x＞（a＞0且a≠1），求x的取值范围.
1.下列函数中是指数函数的是（ ）
A.y＝（ ）x－1
B.y＝ax（a＞0，且a≠1）
C.y＝1x
D.y＝（ ）2x－1
2.若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝2x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
3.已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（ ）
A.m＞n B.m＜n
C.m＝n D.不能确定
4.已知函数f（x）＝＋xa＋2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 .
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
【基础知识·重落实】
知识点一
ax R
想一想
提示：①如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义；
②如果a＜0，例如y＝（－4）x，这时对于x＝，，…，该函数无意义；
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
知识点二
R （0，＋∞） （0，1） 上方 增 减
想一想
1.提示：指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）不具有奇偶性，因此它既不是奇函数也不是偶函数.
2.提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.
3.提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”“降”.当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的.
自我诊断
1.B y＝2－x＝（ ）x，此函数是指数函数，且为减函数.故选B.
2.CD 在A中，底数a为大于0且不等于1的常数，故A错误；在B中，y＝2x＋1不是指数函数，故B错误；在C中，函数f（x）＝3x为增函数，若m＞n，则f（m）＞f（n），故C正确；易知D正确.故选C、D.
3.解：设f（x）＝ax（a＞0，a≠1），∵f（2）＝2，∴a2＝2，∴a＝，即f（x）＝（）x.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）D 解析：（1）在A中，底数－8＜0，所以不是指数函数，故A错误；在B中，y＝πx是指数函数，故B正确；在C中，y＝3·2x中指数式2x的系数是3，所以不是指数函数，故C错误；在D中，只有规定a＞0且a≠1时，y＝ax才是指数函数，故D错误.故选B.
（2）因为函数f（x）是指数函数，所以所以a＝8，所以f（x）＝8x，f（）＝＝2.
跟踪训练
1.－1 2 解析：根据指数函数的定义，得解得
2. 解析：设f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），将点（2，9）代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3（舍去）.所以f（x）＝3x.所以f（－1）＝3－1＝.
【例2】 （1）B （2）C 解析：（1）在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1，所以b＜a＜1＜d＜c.
（2）由函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1.
跟踪训练
1.C 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B；作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
2.A 由0＜a＜1得y＝ax＋b是减函数，函数恒过点（0，1＋b），因为b＜－1，所以点（0，1＋b）在y轴负半轴上.故图象不经过第一象限.
【例3】 解：（1）因为函数y＝2.4x在R上是增函数，又2.5＜3.2，
所以2.42.5＜2.43.2.
（2）因为函数y＝（）x在R上是减函数，又－＞－，所以（＜（.
（3）由指数函数的性质知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1，
所以1.80.3＞0.51.2.
【例4】 解：（1）因为（ ＝，所以由7x≥（ 可得7x≥，
因为y＝7x为增函数，故x≥.
所以实数x的取值范围为区间［，＋∞）.
（2）由0.＜52x＋2得，（5－1＜52x＋2，即＜52x＋2，
因为函数y＝5x在R上是增函数，所以x2－1＜2x＋2，
即x2－2x－3＜0，解得－1＜x＜3，
所以实数x的取值范围为区间（－1，3）.
跟踪训练
1.B 因为指数函数f（x）＝2x在R上是增函数，又0＜0.4＜0.6，所以20＜20.4＜20.6，即1＜a＜b；因为指数函数g（x）＝0.2x在R上是减函数，又0＜0.6，所以0.20＞0.20.6，即1＞c，所以c＜a＜b.故选B.
2.解：（1）当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞可得－5x＜x＋7，解得x＞－；
（2）当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x的取值范围为（ －，＋∞）；
当a＞1时，x的取值范围为（ －∞，－）.
随堂检测
1.B 由指数函数的定义可判定，只有B选项中的函数是指数函数.故选B.
2.B 设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则由f（3）＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x.
3.B 因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n.
4.（1，4） 解析：因为y＝ax的图象过定点（0，1），所以令x－1＝0，即x＝1时，f（1）＝1＋1＋2＝4，所以函数图象恒过定点（1，4）.
4 / 5(共61张PPT)
6.2 指数函数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解
指数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的
图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 直观想象、
数学运算
第1课时
指数函数的概念、图象与性质
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次（1个分裂成2个）.
【问题】 （1）经过3小时，这种细菌由1个可分裂为几个？
（2）经过 x 小时，这种细菌由1个可分裂为几个？
知识点一 指数函数的概念
一般地，函数 y ＝ （ a ＞0， a ≠1）叫作指数函数，它的定义域
是 .
提醒 指数函数的结构特征
ax
R
【想一想】
为什么指数函数的底数 a ＞0，且 a ≠1？
提示：①如果 a ＝0，当 x ＞0时， ax 恒等于0，没有研究的必要；当 x
≤0时， ax 无意义；
②如果 a ＜0，例如 y ＝（－4） x ，这时对于 x ＝ ， ，…，该函数无
意义；
③如果 a ＝1，则 y ＝1 x 是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定 a ＞0，且 a ≠1.
知识点二 指数函数的图象和性质
a ＞1 0＜ a ＜1
图
象
a ＞1 0＜ a ＜1
性
质 定义域：
值域：
图象过定点： ，图象在 x 轴的
在（－∞，＋∞）上是 函
数；当 x ＞0时， y ＞1； 当 x ＜0时，0＜ y ＜1 在（－∞，＋∞）上是 函
数；当 x ＞0时，0＜ y ＜1；
当 x ＜0时， y ＞1
R
（0，＋∞）
（0，1）
上方
增
减
提醒 （1）当0＜ a ＜1时，底数越小，图象越靠近 y 轴；（2）当 a ＞
1时，底数越大，图象越靠近 y 轴.
【想一想】
1. 指数函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）具有奇偶性吗？
提示：指数函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）不具有奇偶性，因此它既
不是奇函数也不是偶函数.
2. 在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第
三、四象限.
3. 指数函数 y ＝ ax （ a ＞0， a ≠1）的图象与底数 a 有什么关系？
提示：底数 a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”“降”.
当 a ＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜ a ＜1时，指数函
数的图象是“下降”的.
1. 函数 y ＝2－ x 的图象是（ ）
解析： y ＝2－ x ＝（ ） x ，此函数是指数函数，且为减函数.故
选B.
2. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 指数函数 y ＝ ax 中， a 可以为负数
B. y ＝2 x＋1是指数函数
C. 已知函数 f （ x ）＝3 x ，若 m ＞ n ，则 f （ m ）＞ f （ n ）
D. 指数函数 y ＝ ax 与 y ＝（ ） x 的图象关于 y 轴对称
解析： 在A中，底数 a 为大于0且不等于1的常数，故A错误；
在B中， y ＝2 x＋1不是指数函数，故B错误；在C中，函数 f （ x ）＝
3 x 为增函数，若 m ＞ n ，则 f （ m ）＞ f （ n ），故C正确；易知D正
确.故选C、D.
3. 若函数 f （ x ）是指数函数，且 f （2）＝2，求 f （ x ）的解析式.
解：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0， a ≠1），∵ f （2）＝2，∴ a2＝2，
∴ a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ） x .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 指数函数的概念
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是（ B ）
A. y ＝（－8） x B. y ＝π x
C. y ＝3·2 x D. y ＝ ax
解析：在A中，底数－8＜0，所以不是指数函数，故A错误；在B中，
y ＝π x 是指数函数，故B正确；在C中， y ＝3·2 x 中指数式2 x 的系数是
3，所以不是指数函数，故C错误；在D中，只有规定 a ＞0且 a ≠1
时， y ＝ ax 才是指数函数，故D错误.故选B.
B
（2）若函数 f （ x ）＝（ a －3）· ax 是指数函数，则 f （ ）＝
（ D ）
A. 2 B. －2
C. －2 D. 2
解析：因为函数 f （ x ）是指数函数，所以所以 a
＝8，所以 f （ x ）＝8 x ， f （ ）＝ ＝2 .
D
通性通法
1. 判断一个函数是指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）这
一结构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有
一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
2. 求指数函数解析式的方法
一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件
求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式.
【跟踪训练】
1. 若函数 y ＝（ k ＋2） ax ＋2－ b （ a ＞0，且 a ≠1）是指数函数，则
k ＝ ， b ＝ .
解析：根据指数函数的定义，得解得
－1
2
2. 若指数函数 f （ x ）的图象经过点（2，9），则 f （－1）＝ .
解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1），将点（2，9）代入，得
a2＝9，解得 a ＝3或 a ＝－3（舍去）.所以 f （ x ）＝3 x .所以 f （－
1）＝3－1＝ .
题型二 指数函数的图象及应用
【例2】 （1）如图所示是指数函数① y ＝ ax ；② y ＝ bx ；③ y ＝ cx ；
④ y ＝ dx 的图象，则 a ， b ， c ， d 与1的大小关系是（ ）
A. a ＜ b ＜1＜ c ＜ d
B. b ＜ a ＜1＜ d ＜ c
C. 1＜ a ＜ b ＜ c ＜ d
D. a ＜ b ＜1＜ d ＜ c
解析：在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上底数依次增大.由指数
函数图象的升降，知 c ＞ d ＞1， b ＜ a ＜1，所以 b ＜ a ＜1＜ d ＜ c .
（2）若函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过点
（－1，4），则 m ＋ n ＝（ C ）
A. 3 B. 1
C. －1 D. －2
解析：由函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒
过点（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝－
2，∴ m ＋ n ＝－1.
C
通性通法
1. 解决指数函数图象问题的注意点
（1）熟记当底数 a ＞1和0＜ a ＜1时，图象的大体形状；
（2）在 y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
2. 解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象过定点（0，1），据此可
解决形如 y ＝ k · ax＋ c ＋ b （ k ≠0， a ＞0， a ≠1）的函数图象过定
点的问题，即令指数 x ＋ c ＝0，即 x ＝－ c ，得 y ＝ k ＋ b ，函数图
象过定点（－ c ， k ＋ b ）.
【跟踪训练】
1. 已知1＞ n ＞ m ＞0，则指数函数① y ＝ mx ；② y ＝ nx 的图象为
（ ）
解析： 由于0＜ m ＜ n ＜1，所以 y ＝ mx 与 y ＝ nx 都是减函数，
故排除A、B；作直线 x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数
y ＝ mx 的图象，故选C.
2. 已知0＜ a ＜1， b ＜－1，则函数 y ＝ ax ＋ b 的图象必定不经过
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 由0＜ a ＜1得 y ＝ ax ＋ b 是减函数，函数恒过点（0，1＋
b ），因为 b ＜－1，所以点（0，1＋ b ）在 y 轴负半轴上.故图象不
经过第一象限.
题型三 指数函数的性质及应用
角度1 指数式的大小比较
【例3】 （链接教科书第144页例1）比较下列各组数中两个数的
大小：
（1）2.42.5，2.43.2；
解：因为函数 y ＝2.4 x 在R上是增函数，又2.5＜3.2，
所以2.42.5＜2.43.2.
（2）（ ，（ ；
解：因为函数 y ＝（ ） x 在R上是减函数，又－ ＞－ ，所以
（ ＜（ .
（3）1.80.3，0.51.2.
解：由指数函数的性质知1.80.3＞1.80＝1，而0.51.2＜0.50＝1，
所以1.80.3＞0.51.2.
通性通法
比较指数式大小的2种类型及处理方法
角度2 求解指数不等式
【例4】 （链接教科书第145页例2）（1）已知7 x ≥（ ，求实
数 x 的取值范围；
解：因为（ ＝ ，所以由7 x ≥（ 可得7 x ≥ ，
因为 y ＝7 x 为增函数，故 x ≥ .
所以实数 x 的取值范围为区间［ ，＋∞）.
（2）已知0. ＜52 x＋2，求实数 x 的取值范围.
解：由0. ＜52 x＋2得，（5－1 ＜52 x＋2，即 ＜52 x
＋2，
因为函数 y ＝5 x 在R上是增函数，所以 x2－1＜2 x ＋2，
即 x2－2 x －3＜0，解得－1＜ x ＜3，
所以实数 x 的取值范围为区间（－1，3）.
通性通法
解指数不等式的方法
（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底
数相同的指数式；
（2）解不等式 af（ x）＞ ag（ x）（ a ＞0， a ≠1）的依据是指数型函数的
单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就
需进行分类讨论，即 af（ x）＞ ag（ x） f （ x ）＞ g （ x ）（ a ＞
1）或 f （ x ）＜ g （ x ）（0＜ a ＜1）.
【跟踪训练】
1. （2024·无锡玉祁高中期中）已知 a ＝20.4， b ＝20.6， c ＝0.20.6，则
a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ a ＜ b
C. c ＜ b ＜ a D. a ＜ c ＜ b
解析： 因为指数函数 f （ x ）＝2 x 在R上是增函数，又0＜0.4＜
0.6，所以20＜20.4＜20.6，即1＜ a ＜ b ；因为指数函数 g （ x ）＝
0.2 x 在R上是减函数，又0＜0.6，所以0.20＞0.20.6，即1＞ c ，所
以 c ＜ a ＜ b .故选B.
2. 若 a－5 x ＞ （ a ＞0且 a ≠1），求 x 的取值范围.
解：（1）当0＜ a ＜1时，函数 y ＝ ax 是减函数，则由 a－5 x ＞
可得－5 x ＜ x ＋7，解得 x ＞－ ；
（2）当 a ＞1时，函数 y ＝ ax 是增函数，则由 a－5 x ＞ 可得－5 x
＞ x ＋7，解得 x ＜－ .
综上，当0＜ a ＜1时， x 的取值范围为（ － ，＋∞）；
当 a ＞1时， x 的取值范围为（ －∞，－ ）.
1. 下列函数中是指数函数的是（ ）
A. y ＝（ ） x－1 B. y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）
C. y ＝1 x D. y ＝（ ）2 x －1
解析： 由指数函数的定义可判定，只有B选项中的函数是指数
函数.故选B.
2. 若指数函数 f （ x ）的图象过点（3，8），则 f （ x ）的解析式为
（ ）
A. f （ x ）＝ x3 B. f （ x ）＝2 x
C. f （ x ）＝ D. f （ x ）＝
解析： 设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），则由 f （3）＝8得 a3＝
8，∴ a ＝2，∴ f （ x ）＝2 x .
3. 已知0.3 m ＞0.3 n ，则 m ， n 的大小关系为（ ）
A. m ＞ n B. m ＜ n
C. m ＝ n D. 不能确定
解析： 因为函数 y ＝0.3 x 是R上的减函数，且0.3 m ＞0.3 n ，所
以 m ＜ n .
4. 已知函数 f （ x ）＝ ＋ xa ＋2（ a ＞0且 a ≠1）的图象恒过定点
P ，则点 P 的坐标为 .
解析：因为 y ＝ ax 的图象过定点（0，1），所以令 x －1＝0，即 x
＝1时， f （1）＝1＋1＋2＝4，所以函数图象恒过定点（1，4）.
（1，4）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列各函数中，是指数函数的为（ ）
A. y ＝ x3 B. y ＝（－4） x
C. y ＝5 x＋1 D. y ＝52 x
解析： A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，
自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”
的条件，故不是指数函数；C中，指数是 x ＋1，故不是指数函数；
D中， y ＝52 x ＝25 x ，符合指数函数的定义，故是指数函数.故选D.
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2. 若函数 f （ x ）＝（2 a －1） x 是指数函数，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. （0，1）∪（1，＋∞）
B. [0，1）∪（1，＋∞）
C. ∪（1，＋∞）
D.
解析： 依题意得2 a －1＞0，且2 a －1≠1，解得 a ＞ ，且 a
≠1，即 a 的取值范围是 ∪（1，＋∞）.故选C.
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3. 若函数 f （ x ）＝（1－2 a ） x 是增函数，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
解析： 依题意得1－2 a ＞1，∴ a ＜0.故选B.
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4. 函数 f （ x ）＝ ax 与 g （ x ）＝－ x ＋ a 的图象大致是（ ）
解析： 当 a ＞1时，函数 f （ x ）＝ ax 为增函数，当 x ＝0时， g
（0）＝ a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
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5. 若 f （ x ）＝（ ）｜ x｜， x ∈R，那么 f （ x ）是（ ）
A. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递增
B. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递减
D. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递减
解析： 依题意，得 f （－ x ）＝（ ）｜－ x｜＝（ ）｜ x｜＝ f
（ x ），所以 f （ x ）是偶函数.当 x ＞0时， f （ x ）＝（ ）｜ x｜＝
（ ） x ，函数 f （ x ）单调递减.
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6. （2024·南通东南中学期中） a ＝30.2， b ＝0.23， c ＝0.33，则下列
关于 a ， b ， c 大小关系正确的是（ ）
A. a ＞ c ＞ b B. a ＞ b ＞ c
C. b ＞ c ＞ a D. c ＞ a ＞ b
解析： 由 y ＝3 x 单调递增， a ＝30.2＞30＝1，0＜ b ＝0.23＝
0.008＜1， c ＝0.33＝0.027＞0.008，所以 a ＞ c ＞ b .故选A.
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7. （2024·南通海安实验中学期中）已知常数 a ＞0且 a ≠1，假设无论
a 为何值，函数 y ＝ ax＋4＋3的图象恒经过一定点，则这个点的坐标
为 .
解析：因为当 x ＋4＝0时，即 x ＝－4时， y ＝ a0＋3＝4，即 y ＝ ax＋
4＋3恒过点（－4，4）.
（－4，4）
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8. 已知函数 f （ x ）为指数函数，且 f ＝ ，则 f （－2）＝ .
解析：设 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1），由 f ＝ 得， ＝
，所以 a ＝3，又 f （－2）＝ a－2，所以 f （－2）＝3－2＝ .
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9. 不等式（ ≤2 x 的解集为 .
解析：因为（ ＝（2－1 ＝ ，所以原不等式等
价于 ≤2 x .因为 y ＝2 x 是R上的增函数，所以－ x2＋2≤ x ，
所以 x2＋ x －2≥0，即 x ≤－2或 x ≥1，所以原不等式的解集是
{ x ｜ x ≥1或 x ≤－2}.
{ x ｜ x ≥1或 x ≤－2}
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10. 已知函数 f （ x ）＝（ a2＋ a －5） ax 是指数函数.
（1）求 f （ x ）的表达式；
解： 由 a2＋ a －5＝1， a ＞0，且 a ≠1，
可得 a ＝2或 a ＝－3（舍去），所以 f （ x ）＝2 x .
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（2）判断 F （ x ）＝ 的奇偶性，并加以证明.
解： F （ x ）＝ 是奇函数.
证明如下： F （ x ）的定义域是R，关于原点对称，且 F
（ x ）＝ f （ x ）－ ＝2 x － ＝2 x －2－ x ，
又因 F （－ x ）＝2－ x －2 x ＝－（2 x －2－ x ）＝－ F （ x ），
所以 F （ x ）是奇函数.
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11. 若函数 y ＝（ ） x 在[－2，－1]上的最大值为 m ，最小值为 n ，则
m ＋ n ＝（ ）
A. 1 B. 3 C. 6 D. 12
解析： 由指数函数 y ＝（ ） x 的图象可知函数在 x ＝－1处取
最小值2，在 x ＝－2处取最大值4.所以 m ＋ n ＝6.
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12. （多选）已知实数 a ， b 满足等式3 a ＝6 b ，则下列可能成立的关系
式为（ ）
A. a ＝ b ＝0 B. 0＜ b ＜ a
C. a ＜ b ＜0 D. 0＜ a ＜ b
解析： 由题意，在同一坐标系内分别画出函
数 y ＝3 x 和 y ＝6 x 的图象，如图所示.由图象知，当
a ＝ b ＝0时，3 a ＝6 b ＝1，所以选项A正确；作出直
线 y ＝ k ，当 k ＞1时，若3 a ＝6 b ＝ k ，则0＜ b ＜ a ，所以选项B正确；当0＜ k ＜1时，若3 a ＝6 b ＝k ，则 a ＜ b ＜0，所以选项C正确.
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13. 已知函数 y ＝ f （ x ）， x ∈R，且 f （0）＝2， ＝2，
＝2，…， ＝2， n ∈N，则函数 y ＝ f （ x ）
的一个可能的解析式为 .
解析：由题意，得 ＝4， ＝42，…， ＝4 x ，
∴ f （ x ）＝2×4 x .
f （ x ）＝2×4 x
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14. 设 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝（ ） x .
（1）在同一坐标系中作出 f （ x ）， g （ x ）的图象；
解： 函数 f （ x ）， g （ x ）的图象如
图所示.
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（2）计算 f （1）与 g （－1）， f （π）与 g （－π）， f （ m ）与 g
（－ m ）的值，从中你能得到什么结论？
解： f （1）＝31＝3， g （－1）＝（ ）－1＝3，
f （π）＝3π， g （－π）＝（ ）－π＝3π，
f （ m ）＝3 m ， g （－ m ）＝（ ）－ m ＝3 m .
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数
时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们
的图象关于 y 轴对称.
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15. 已知函数 f （ x ）＝满足 f （ ）＝ .
（1）求常数 c 的值；
解： 由 f （ ）＝ ，得 c · ＋1＝ ，解得 c ＝ ，即 c
的值为 .
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（2）解关于 x 的不等式 f （ x ）＞ ＋1.
解： 由（1），得 f （ x ）＝
当0＜ x ＜ 时， x ＋1＞ ＋1，即解得 ＜ x＜ ；
当 ≤ x ＜1时，2－4 x ＋1＞ ＋1，即解得 ≤ x ＜ .
综上所述，不等式 f （ x ）＞ ＋1的解集为{ x ｜ ＜ x ＜ }.
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