1.3 课时1 并集与交集
【学习目标】
1.理解并集、交集的概念.(数学抽象)
2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.(直观想象)
3.会求简单集合的并集和交集.(数学运算)
【自主预习】
1.对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么集合A与集合C是什么关系
2.空集是任何集合的子集,对吗
3.{0}与 相等吗
4.含n个元素的集合有多少个子集 多少个真子集
5.若集合A是集合B的子集,求由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合.该运算称为集合A与B的何种运算
6.若集合A是集合B的子集,求由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合.该运算称为集合A与B的何种运算
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若集合A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素. ( )
(2)若A∪B=A,B≠ ,则集合B中的每个元素都属于集合A. ( )
(3)并集定义中的“或”能改为“和”. ( )
(4)若A∩B=C∩B,则A=C. ( )
2.已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=( ).
A.{x|-1≤x<3}
B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}
D.{x|x≥-1}
3.已知集合A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},则A∩B= .
4.若集合A={x|-32},C={x|x≤-3},则A∩B= ,A∩C= .
【合作探究】
探究1 并集
某次校运动会有田赛和径赛可以报名参加,高一(1)班有10人报名参加田赛,有12人报名参加径赛.
问题1:若没有人两项都报,你能算出高一(1)班参赛的人数吗
问题2:若两项都报的有3人,你能算出高一(1)班参赛的人数吗
问题3:如何用Venn图表示问题2中的案例
问题4:集合A∪B的元素个数是否一定等于集合A与集合B的元素个数之和
并集的概念
(1)自然语言:一般地,由集合A集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作(读作“ ”).
(2)符号语言:A∪B= .
(3)图形语言:
(4)并集的运算性质:A∪B=B∪A;A∪A=;A∪ =;A B A∪B=B.
例1 (1)已知集合A={x|0≤x<2},B={x|-1A.{x|-1B.{x|-1C.{x|0≤x<1}
D.{x|0(2)已知集合A=,B={x|3>2x-1},则A∪B= .
【方法总结】1.离散型集合并集的运算,多借助定义或Venn图求解.
2.若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解A∪B.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示.
已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B=( ).
A.{x|3≤x<4}
B.{x|x≥2}
C.{x|2≤x<4}
D.{x|2≤x≤3}
(多选题)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可以是( ).
A.{5} B.{1,5}
C.{3} D.{1,3}
探究2 交集
观察下面的例子:
(1)A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3};
(2)A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形}.
问题1:你能发现集合A,B和C之间有什么关系吗
问题2:如何用Venn图表示集合A与B的交集
问题3:并集A∪B和交集A∩B有什么联系和区别
交集的概念
(1)自然语言:一般地,由集合A集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作(读作“ ”).
(2)符号语言:A∩B= .
(3)图形语言:
(4)交集的运算性质:A∩B=;A∩A=;A∩ =;A B A∩B= .
例2 (1)(2024年新高考全国Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1,0}
B.{2,3}
C.{-3,-1,0}
D.{-1,0,2}
(2)已知集合M={x|-2≤x<1},N={x|-1A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-1C.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1【方法总结】求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可;
(2)对于元素是连续实数的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于这两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍.
已知集合A={x|x>1},B={0,1,2},则A∩B=( ).
A.{0} B.{2}
C.{1,2} D.{0,1,2}
已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为 .
探究3 并集与交集的性质及应用
已知集合A,B.
问题1:若A∪B= ,说明什么
问题2:若A∩B= ,则集合A与集合B之间的关系是什么
问题3:若A∪B=A,A∩B=A,则集合A与集合B之间的关系是什么
1.(1)A∪B=B∪A;(2)A A∪B;(3)A∪B=B A .
2.(1)A∩B=∩;(2)A∩B A;(3)A∩B=A A .
例3 已知集合A={x|-1(1)当k=-1时,求A∩B;
(2)若A∪B=A,求实数k的取值范围.
设集合A={x|-2≤x≤2},B={x|2x+a≥0},若A∩B={x|-1≤x≤2},则a=( ).
A.-4
B.-2
C.2
D.4
若集合A={x|-3≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+9},A∪B=B,则实数m的取值范围是.
【随堂检测】
1.设集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( ).
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}
D.{-1,0,1,2}
2.已知集合A={x|x>1},B={x|-13.某班级有30人参加合唱团,45人参加运动队,其中参加合唱团而未参加运动队的有10人,且每人至少参加一项,则参加运动队而未参加合唱团的人数是.
4.已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
参考答案
1.3 集合的基本运算
课时1 并集与交集
自主预习·悟新知
预学忆思
1.A C.
2.正确.
3.不相等.
4.含n个元素的集合有2n个子集,(2n-1)个真子集.
5.由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合为B,该运算为求集合A与B的并集,表示为A∪B=B.
6.由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合为A,该运算为求集合A与B的交集,表示为A∩B=A.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.C 【解析】在数轴上表示出两个集合,如图,可得P∪Q={x|x≤4}.
3.{-1,0} 【解析】由A={-1,0,1,2},B={-1,0,3},得A∩B={-1,0}.
4.{x|2合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:能,高一(1)班参赛的人数为10+12=22.
问题2:能,19人.参赛人数包括参加田赛的,也包括参加径赛的,但由于元素互异性的要求,两项都报的不能重复计算,故有10+12-3=19(人).
问题3:
问题4:不一定,A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.
新知生成
(1)所有属于 或属于 A∪B A并B (2){x|x∈A,或x∈B} (4)A A
新知运用
例1 (1)B (2){x|x<3} 【解析】(1)因为A={x|0≤x<2},B={x|-1所以A∪B={x|-1(2)解不等式组得-2则A={x|-2解不等式3>2x-1,得x<2,则B={x|x<2}.
用数轴表示集合A和B,如图所示,
则A∪B={x|x<3}.
巩固训练1 B 【解析】由题意得B={x|x≥3},结合数轴(图略)知,A∪B={x|x≥2},故选B.
巩固训练2 AB 【解析】由{1,3}∪A={1,3,5}知,A {1,3,5},且集合A中至少有1个元素5,因此满足条件的集合A有4个,它们分别是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}.
探究2 情境设置
问题1:A∩B=C.
问题2:
问题3:联系:并集A∪B和交集A∩B都是由集合A和B的元素组成的一个新集合.
区别:并集A∪B是把集合A和B的元素合并在一起,由合并后的所有元素组成的集合;交集A∩B是由A和B的公共元素组成的集合.
新知生成
(1)所有属于 且属于 A∩B A交B (2){x|x∈A,且x∈B} (4)B∩A A A
新知运用
例2 (1)A (2)B 【解析】(1)因为A=,B={-3,-1,0,2,3},且1<<2,
所以A∩B={-1,0}.故选A.
(2)由题意,集合M={x|-2≤x<1},N={x|-1根据交集的概念及运算,可得M∩N={x|-1巩固训练1 B 【解析】∵集合A={x|x>1},B={0,1,2},∴A∩B={2}.故选B.
巩固训练2 4 【解析】∵A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},
∴A∩B={1,2},共有2个元素,故集合A∩B的子集个数为22=4.
探究3 情境设置
问题1:A∪B= 说明A,B均为 .
问题2:A∩B= 说明集合A,B中没有公共元素.
问题3:A∪B=A B A,A∩B=A A B,所以A=B.
新知生成
1.(3)B
2.(1)B A (3)B
新知运用
例3 【解析】(1)当k=-1时,B={x|0因为集合A={x|-1(2)因为A∪B=A,所以B A.
当B= 时,k+1≥3-k,解得k≥1;
当B≠ 时,由B A得解得0≤k<1.
综上,实数k的取值范围是{k|k≥0}.
巩固训练1 C 【解析】A={x|-2≤x≤2},B={x|2x+a≥0}=xx≥-.
∵A∩B={x|-1≤x≤2},∴-=-1,解得a=2.故选C.
巩固训练2 {m|-2≤m≤-1} 【解析】∵A∪B=B,
∴A B,如图所示,
∴解得-2≤m≤-1,
∴实数m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】∵M={-1,0,1},N={0,1,2},∴M∪N={-1,0,1,2},故选D.
2.{x|11},B={x|-13.25 【解析】设参加合唱团的人构成集合A,参加运动队的人构成集合B,
则可用Venn图表示集合A,B的关系,如图,
由题意可知,集合A中的元素个数为30,因为参加合唱团而未参加运动队的有10人,
所以A∩B中的元素个数为30-10=20,
则参加运动队而未参加合唱团的人数为45-20=25.
4.【解析】(1)由题意得A∩B={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A,所以C A,
所以a-1≥3,即a≥4,故实数a的取值范围为{a|a≥4}.1.3 课时2 全集与补集
【学习目标】
1.理解全集、补集的概念.(数学抽象)
2.准确使用补集符号和Venn图.(直观想象)
3.会求补集,并能解决一些集合综合运算的问题.(数学运算)
【自主预习】
1.已知A={1,3,4,5},B={2,4,6},求A∩B,A∪B.
2.设A={x|x是奇数},B={x|x是偶数},求A∩B,A∪B.
3.方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解是什么 在实数范围内的解是什么
4.若A={2},U={2,,-},则用集合A,U怎么表示出集合B={,-}
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)全集是由任何元素组成的集合. ( )
(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同. ( )
(3)集合BC与AC相等. ( )
(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素. ( )
2.已知全集U={0,1,2},且UA={2},则A=( ).
A.{0}
B.{1}
C.
D.{0,1}
3.若全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则U(M∪N)=( ).
A.{1,2,3}
B.{2}
C.{1,3,4}
D.{4}
4.设全集为U,M={1,2},UM={3},则U= .
【合作探究】
探究1 补集
观察下列三个集合:
S={x|x是高一年级的同学},
A={x|x是高一年级参加军训的同学},
B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}.
问题1:如何确定高一年级的同学中谁参加了军训
问题2:集合S与集合A,B之间有什么关系
问题3:如何在全集S中研究相关集合A和B之间的关系呢
1.全集
(1)定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集.
(2)符号表示:全集通常记作 .
2.补集
(1)文字语言:对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作 .
(2)符号语言:UA={x| }.
(3)图形语言:
(4)性质:①UA U;
②UU=,U = ;
③U(UA)= ;
④A∪(UA)=,A∩(UA)= ;
⑤若A∩(UB)= ,则AB,
若A∪(UB)=U,则AB.
例1 (1)(2024年全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则A(A∩B)=( ).
A.{1,4,9}
B.{3,4,9}
C.{1,2,3}
D.{2,3,5}
(2)已知全集U=R,集合A={x|-1【方法总结】补集的求解步骤及方法
(1)步骤:①确定全集,在进行补集的简单运算时,首先应明确全集;②紧扣定义求解补集.
(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集的性质求解.
设集合U=R,M={x|x>2或x<-2},则UM=( ).
A.{x|-2≤x≤2}
B.{x|-2C.{x|x<-2或x>2}
D.{x|x≤-2或x≥2}
设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0},若RM RN,则实数k的取值范围是 .
探究2 集合并、交、补集的综合运算
某城镇有1 000户居民,其中819户有彩电,682户有空调,535户两种家电都有.设这1 000户居民组成的集合为全集U,其中有彩电的居民组成的集合为A,有空调的居民组成的集合为B.请用集合表示出下列问题,并回答各有多少户.
问题1:既有彩电又有空调的居民.
问题2:彩电和空调至少有一种的居民.
问题3:有彩电无空调的居民.
问题4:有空调无彩电的居民.
问题5:无空调无彩电的居民.
设集合U为全集,集合A,B是集合U的子集,则
(1)U(A∩B)=(UA)∪(UB);
(2)U(A∪B)=(UA)∩(UB).
例2 (1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则U(M∪N)=( ).
A.{5}
B.{1,2}
C.{3,4}
D.{1,2,3,4}
(2)(人教A版必修第一册习题1.3第6题改编)已知全集U=A∪B={x∈N*|0≤x≤10},A∩(UB)={1,3,5,7},A∩B= ,则集合B= .
【方法总结】解决集合的混合运算问题时,一般先计算括号内的部分,再计算其他部分.有限混合运算可借助Venn图求解,与不等式有关的集合运算可借助数轴求解.
(多选题)如图,已知U表示全集,A,B是U的两个子集,则阴影部分可表示为( ).
A.(UA)∩B B.U(A∩B)
C.B(A∩B) D.(A∪B)A
已知集合A={x|x≤1},B={x|-1A.{x|11}
C.{x|1≤x<2} D.{x|x≥1}
【随堂检测】
1.设集合A={x∈N*|x≤6},B={2,4},则AB等于( ).
A.{2,4}
B.{0,1,3,5}
C.{1,3,5,6}
D.{x∈N*|x≤6}
2.已知集合U,A,B及集合间的关系如图所示,则(UB)∩A等于( ).
A.{3} B.{0,1,2,4,7,8}
C.{1,2} D.{1,2,3}
3.已知全集U={0,1,3,5,6,8},集合A={1,5,8},B={2},则集合(UA)∪B=( ).
A.{0,2,3,6}
B.{0,3,6}
C.{2,1,5,8}
D.
4.设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2参考答案
课时2 全集与补集
自主预习·悟新知
预学忆思
1.A∩B={4},A∪B={1,2,3,4,5,6}.
2.A∩B= ,A∪B={x|x是整数}.
3.在有理数范围内的解是{2},在实数范围内的解是{2,,-}.
4.UA=B.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.D 【解析】根据补集的定义可知D正确.
3.D 【解析】∵集合M={1,2},N={2,3},∴M∪N={1,2,3}.又全集U={1,2,3,4},∴U(M∪N)={4}.故选D.
4.{1,2,3} 【解析】U=M∪(UM)={1,2}∪{3}={1,2,3}.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:如果我们直接去统计张三、李四、王五等人谁参加了军训,这样做可就麻烦多了.若确定出没有参加军训的同学,则剩下的同学就都参加了军训,问题可就简单多了.
问题2:A∪B=S.
问题3:由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B.
新知生成
1.(1)所有元素 (2)U
2.(1)不属于集合A UA (2)x∈U,且x A (4)② U ③A ④U ⑤
新知运用
例1 (1)D (2){x|-1则A∩B={1,4,9},A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
(2)因为UB={x|x≤0或x≥5},所以A∩(UB)={x|-1巩固训练1 A 【解析】如图,在数轴上表示出集合M,可知UM={x|-2≤x≤2}.
巩固训练2 {k|k≥2} 【解析】由RM RN可知,M N,则实数k的取值范围为{k|k≥2}.
探究2 情境设置
问题1:既有彩电又有空调的居民组成的集合为A∩B,有535户.
问题2:彩电和空调至少有一种的居民组成的集合为A∪B,有819+682-535=966(户).
问题3:有彩电无空调的居民组成的集合为A(A∩B),有819-535=284(户).
问题4:有空调无彩电的居民组成的集合为B(A∩B),有682-535=147(户).
问题5:无空调无彩电的居民组成的集合为U(A∪B),有1 000-966=34(户).
新知运用
例2 (1)A (2){2,4,6,8,9,10} 【解析】(1)由题意可得M∪N={1,2,3,4},则U(M∪N)={5}.
(2)由题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
根据题设,∵A∩B= ,∴A=UB={1,3,5,7},
∴B=UA={2,4,6,8,9,10}.
巩固训练1 ACD 【解析】在阴影部分区域内任取一个元素x,则x A,且x∈B,即x∈UA,且x∈B,所以阴影部分可表示为(UA)∩B,A正确;
因为x∈B,且x (A∩B),所以阴影部分可表示为B(A∩B),C正确;
因为x∈(A∪B),且x A,所以阴影部分可表示为(A∪B)A,D正确;
显然,阴影部分区域所表示的集合为U(A∩B)的真子集,B不正确.
巩固训练2 A 【解析】因为集合A={x|x≤1},所以RA={x|x>1},则(RA)∩B={x|1随堂检测·精评价
1.C 【解析】因为A={x∈N*|x≤6}={1,2,3,4,5,6},B={2,4},所以AB={1,3,5,6}.故选C.
2.C 【解析】由Venn图易得(UB)∩A={1,2}.
3.A 【解析】因为UA={0,3,6},所以(UA)∪B={0,2,3,6}.
4.【解析】在数轴上表示出集合A,B,如图,
由图知,A∪B={x|2所以R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
因为RA={x|x<3或x≥7},
所以(RA)∩B={x|2
