第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
1.函数f（x）＝的定义域为（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，1]
C.[1，＋∞） D.（1，＋∞）
2.函数y＝2x＋1的图象是（ ）
3.为改善环境，江苏某城市对污水处理系统进行改造，三年后，该城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（ ）
A.50% B.40%
C.30% D.20%
4.（2024·宿迁月考）已知函数f（x）＝－，其中e＝2.718 28…，则f（x）是（ ）
A.奇函数，且在R上是增函数
B.偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数
C.奇函数，且在R上是减函数
D.偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数
5.（多选）下列说法正确的有（ ）
A.y＝21－x是R上的增函数
B.某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为（1＋p）12－1
C.当a＞1时，函数y＝与y＝f（x）的单调性相反
D.若2x＋1＜1，则x＜－1
6.（多选）设函数f（x）＝a－｜x｜（a＞0，且a≠1），若f（2）＝4，则（ ）
A.f（－2）＞f（－1） B.f（－1）＞f（－2）
C.f（－2）＞f（2） D.f（－4）＞f（3）
7.当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝3x－2的值域为 .
8.若函数y＝｜2x－1｜在（－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是 .
9.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f（x）（mg/mL）随时间x（h）变化的规律近似满足解析式f（x）＝规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过 h后才能开车（精确到1 h）.
10.已知函数f（x）＝（ .
（1）若a＝－1，求函数f（x）的增区间；
（2）若a＝1，求函数f（x）的最大值.
11.函数y＝的图象大致为（ ）
12.（多选）已知函数f（x）＝ax－（ ）x，其中a＞0且a≠1，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）是奇函数
B.函数f（x）＝0在其定义域上有解
C.函数f（x）的图象过定点（0，1）
D.当a＞1时，函数f（x）在其定义域上是增函数
13.函数f（x）＝a2x＋3ax－2（a＞0，且a≠1）在区间[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
14.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
（1）求p%的值；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
15.已知函数f（x）＝2x，g（x）＝2－x，x∈R，对于 x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}.
（1）求函数m（x）的最大值；
（2）对于 x∈[t，t＋1]，t∈R，不等式m（x＋1）＜[m（x）]2恒成立，求实数t的取值范围.
第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
1.C 由x－1≥0可得x≥1，所以函数f（x）＝的定义域为[1，＋∞）.故选C.
2.A 函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度所得，又当x＝0时，y＝2.故选A.
3.B 设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125（1－p）3＝27，故p＝＝0.4＝40%.故选B.
4.C 定义域为R，关于原点对称.又f（－x）＝－＝－，故有f（－x）＋f（x）＝0，所以f（x）是奇函数，函数f（x）＝－显然是减函数.故选C.
5.BD 在A中，y＝21－x＝（ ）x－1是R上的减函数，故A错误；在B中，设年平均增长率为r，原有的生产总值为a，则a（1＋p）12＝a（1＋r），解得r＝（1＋p）12－1，故B正确；在C中，由抽象函数单调性“同增异减”知y＝与y＝f（x）在a＞1时具有相同的单调性，故C错误；在D中，若2x＋1＜1，则x＋1＜0，所以x＜－1，故D正确.故选B、D.
6.AD 由f（2）＝a－2＝4得a＝，即f（x）＝（ ）－｜x｜＝2｜x｜，由函数的奇偶性及单调性可知，f（－2）＞f（－1），故A正确，B错误；f（－2）＝f（2），故C错误；f（－4）＝f（4）＞f（3），故D正确.故选A、D.
7. 解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上单调递增，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f（x）≤1.
8.（－∞，0] 解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位长度得到y＝2x－1的图象，再把y＝－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y＝｜2x－1｜的图象.由图可知y＝｜2x－1｜在（－∞，0]上单调递减，所以m∈（－∞，0].
9.4 解析：当0≤x≤1时，≤5x－2≤，此时不宜开车；由·（ ）x≤0.02，当x＝3时，不等式不成立，当x＝4时，不等式成立.故至少要过4 h后才能开车.
10.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝，
令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，
由于g（x）在（－2，＋∞）上单调递减，y＝在R上是减函数，所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，即f（x）的增区间是（－2，＋∞）.
（2）由a＝1，得f（x）＝（，
令t＝x2－4x＋3，则t＝（x－2）2－1，
故f（x）＝（在（－∞，2）上单调递增，
在（2，＋∞）上单调递减，
故其最大值为f（2）＝（）－1＝3.
11.A 函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时，函数单调递减，排除B，故选A.
12.ABD f（x）＝ax－（ ）x＝ax－a－x，定义域为R，f（－x）＝a－x－ax＝－f（x），所以f（x）为奇函数，且f（0）＝0，故A、B正确，C错误；当a＞1时，0＜＜1.因为y＝ax，y＝－（ ）x在R上均为增函数，所以f（x）在其定义域上是增函数，故D正确.故选A、B、D.
13.－ 解析：令ax＝t（t＞0），则原函数可化为g（t）＝t2＋3t－2，易知函数g（t）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，g（t）max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝.所以g（t）min＝（）2＋3×－2＝－.当a＞1时，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－.综上可知，f（x）在[－1，1]上的最小值为－.
14.解：（1）由题意得a（1－p%）10＝，
即（1－p%）10＝，
解得p%＝1－.
（2）设经过m年森林面积为a，
则a（1－p%）m＝a，即＝，得＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
（3）从今年开始，n年后森林面积为a（1－p%）n，
令a（1－p%）n≥a，即（1－p%）n≥，≥，得≤，解得n≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
15.解：（1）m（x）＝min{2x，2－x}＝
故m（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，
所以函数m（x）的最大值为m（0）＝1.
（2）因为m（x）＝所以[m（x）]2＝＝m（2x），
不等式m（x＋1）＜[m（x）]2等价于m（x＋1）＜m（2x），
易知函数m（x）是偶函数，
所以m（x＋1）＜m（2x）又等价于m（｜x＋1｜）＜m（｜2x｜），
因为m（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以｜x＋1｜＞｜2x｜，
两边平方解得－＜x＜1，
又在 x∈[t，t＋1]，t∈R上恒成立，
故解得－＜t＜0.
故实数t的取值范围为（－，0）.
2 / 2第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
题型一 与指数函数有关的图象变换
【例1】 （链接教科书第145页例3）画出下列函数的图象，并说明下列函数的图象与指数函数y＝2x的图象的关系：
（1）y＝2x－1；（2）y＝2x＋1；（3）y＝2｜x｜；
（4）y＝－2x；（5）y＝－2－x.
通性通法
利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f（x）y＝－f（x）；
②y＝f（x）y＝f（－x）；
③y＝f（x）y＝－f（－x）.
（3）翻折变换
①y＝f（x）y＝｜f（x）｜；
②y＝f（x）y＝f（｜x｜）.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的图象如图①所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
（3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
题型二 指数型函数的性质及应用
角度1 指数型函数的定义域与值域
【例2】 求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝；（2）y＝（ ；（3）y＝4x＋2x＋1＋1.
通性通法
函数y＝af（x）定义域、值域的求法
（1）形如y＝af（x）的定义域就是f（x）的定义域；
（2）形如y＝af（x）的值域，应先求出f（x）的值域，再由函数的单调性求出af（x）的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论；
（3）形如y＝f（ax）的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f（u）确定出y＝f（ax）的值域.
角度2 指数型函数的单调性
【例3】 判断f（x）＝（ 的单调性，并求其值域.
通性通法
函数y＝af（x）（a＞0，a≠1）的单调性的处理技巧
关于指数型函数y＝af（x）（a＞0，且a≠1）的单调性由两点决定：一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f（x）的单调性.它由两个函数y＝au，u＝f（x）复合而成，当这两个函数在对应区间上的单调性同增同减时，y＝af（x）为增函数；当它们的单调性一增一减时，y＝af（x）为减函数.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）＝的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是 .
2.求函数y＝4x－2·2x＋5的单调区间.
题型三 指数函数模型的实际应用
【例4】 （链接教科书第147页例4）某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市的人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
（参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127）
通性通法
解决指数型函数应用题的流程
（1）审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息；
（2）建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式；
（3）解模：运用数学知识解决问题；
（4）回归：还原为实际问题，归纳得出结论.
【跟踪训练】
有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材（不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算）？（参考数据：1.25≈2.49，1.15≈1.6，1.325≈4）
1.函数f（x）＝＋的定义域为（ ）
A.（－5，0） B.[－5，0）
C.（－5，0] D.[－5，0]
2.已知函数f（x）＝（ ）｜x｜，则f（x）的值域为（ ）
A.（0，1] B.（1，2]
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）
3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了 天.
4.函数y＝的减区间为 .
第2课时 指数函数图象与性质的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：图象如图所示：
（1）函数y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
（2）函数y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
（3）函数y＝2｜x｜的图象是由y＝2x保留y轴右侧的图象，并作其关于y轴对称的图象得到的.
（4）函数y＝－2x的图象是由y＝2x的图象关于x轴对称得到的.
（5）函数y＝－2－x的图象是由y＝2x的图象关于原点对称得到的.
跟踪训练
解：（1）f（x）的图象过点（2，0），（0，－2），
所以
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
（2）f（x）单调递减，所以0＜a＜1，又f（0）＜0.
即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为（0，1），b的取值范围为（－∞，－1）.
（3）画出｜f（x）｜＝｜（）x－3｜的图象如图所示，要使｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞）∪{0}.
【例2】 解：（1）由1－2x≥0，得2x≤1，则x≤0，所以函数的定义域为（－∞，0].
由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，则0≤1－2x＜1，
故函数y＝的值域为[0，1）.
（2）y＝（ 的定义域为R，
因为x2－2x－3＝（x－1）2－4≥－4，
所以（ ≤（ ）－4＝16.
又因为（ ＞0，故函数y＝（ 的值域为（0，16].
（3）函数的定义域为R，
因为y＝4x＋2x＋1＋1＝（2x）2＋2·2x＋1＝（2x＋1）2，
又2x＞0，所以y＞1，故函数的值域为（1，＋∞）.
【例3】 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝（ ）u.
因为u＝x2－2x＝（x－1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
又因为y＝（ ）u在（－∞，＋∞）上是减函数，
所以f（x）＝（ 在（－∞，1]上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
又u＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，
对于y＝（ ）u，u≥－1，有0＜（ ）u≤（ ）－1＝3，
所以原函数的值域为（0，3].
跟踪训练
1.（1，＋∞） 解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当0＜a＜1时，x≤1；当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1.
2.解：函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈（0，＋∞）.
y＝（2x）2－2·2x＋5＝t2－2t＋5＝（t－1）2＋4，t∈（0，＋∞）.
当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0＜t＜1时，0＜2x＜1，x＜0.
∵y＝（t－1）2＋4在[1，＋∞）上单调递增，t＝2x在[0，＋∞）上单调递增，
∴y＝4x－2·2x＋5的单调递增区间为[0，＋∞）.
同理可得单调递减区间为（－∞，0）.
【例4】 解：（1）1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×（1＋1.2%）；
2年后该城市人口总数为：y＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋1.2%）×1.2%＝100×（1＋1.2%）2；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×（1＋1.2%）x.
（2）10年后该城市人口总数为：y＝100×（1＋1.2%）10＝100×1.01210≈112.7（万人）.
跟踪训练
解：设树木最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为：y1＝a（1＋20%）5（1＋10%）5＝a（1.2×1.1）5≈4a.
乙方案在10年后树木产量为：y2＝2a（1＋20%）5＝2a×1.25≈5a.
y1－y2＝－a＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材.
随堂检测
1.C 令所以－5＜x≤0.故选C.
2.A 因为f（x）＝（ ）｜x｜＝所以其图象由y＝（ ）x（x≥0）和y＝2x（x＜0）的图象合并而成.如图.所以f（x）的值域为（0，1].故选A.
3.19 解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半.
4.[1，＋∞） 解析：令u＝－x2＋2x，则y＝2u.∵u＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，又∵y＝2u在R上是增函数，∴y＝的减区间为[1，＋∞）.
2 / 3(共56张PPT)
第2课时
指数函数图象与性质的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
03
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与指数函数有关的图象变换
【例1】 （链接教科书第145页例3）画出下列函数的图象，并说明
下列函数的图象与指数函数 y ＝2 x 的图象的关系：
（1） y ＝2 x－1；
解：图象如图
所示：
（1）函数 y ＝2 x－1的图象是由 y ＝2 x 的图象向右平移1个单位长度得到的.
解：函数 y ＝2 x ＋1的图象是由 y ＝2 x 的图象向上平移1个单位
长度得到的.
解：函数 y ＝2｜ x｜的图象是由 y ＝2 x 保留 y 轴右侧的图象，并作
其关于 y 轴对称的图象得到的.
（2） y ＝2 x ＋1；
（3） y ＝2｜ x｜；
解：函数 y ＝－2 x 的图象是由 y ＝2 x 的图象关于 x 轴对称得
到的.
解：函数 y ＝－2－ x 的图象是由 y ＝2 x 的图象关于原点对称
得到的.
（4） y ＝－2 x ；
（5） y ＝－2－ x .
通性通法
利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
① y ＝ f （ x ） y ＝－ f （ x ）；
② y ＝ f （ x ） y ＝ f （－ x ）；
③ y ＝ f （ x ） y ＝－ f （－ x ）.
（2）对称变换
（3）翻折变换
① y ＝ f （ x ） y ＝｜ f （ x ）｜；
② y ＝ f （ x ） y ＝ f （｜ x ｜）.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ＞0，且 a ≠1）.
（1）若 f （ x ）的图象如图①所示，求 a ， b 的值；
解： f（ x ）的图象过点（2，0），（0，－2），
所以
又因为 a ＞0，且 a ≠1，所以 a ＝ ， b ＝－3.
（2）若 f （ x ）的图象如图②所示，求 a ， b 的取值范围；
解： f （ x ）单调递减，所以0＜ a ＜1，又 f （0）＜0.
即 a0＋ b ＜0，所以 b ＜－1.
故 a 的取值范围为（0，1）， b 的取值范围为（－∞，－1）.
（3）在（1）中，若｜ f （ x ）｜＝ m 有且仅有一个实数根，求 m 的取值范围.
解：画出｜ f （ x ）｜＝
｜（ ） x －3｜的图象如图所示，要使｜ f （ x ）｜＝ m 有且仅有一个实数根，则 m ＝0或 m ≥3.故 m 的取值范围为[3，＋∞）∪{0}.
题型二 指数型函数的性质及应用
角度1 指数型函数的定义域与值域
【例2】 求下列函数的定义域和值域：
（1） y ＝ ；
解：由1－2 x ≥0，得2 x ≤1，则 x ≤0，所以函数的定义域为（－
∞，0].
由0＜2 x ≤1，得－1≤－2 x ＜0，则0≤1－2 x ＜1，
故函数 y ＝ 的值域为[0，1）.
（2） y ＝（ ；
解： y ＝（ 的定义域为R，
因为 x2－2 x －3＝（ x －1）2－4≥－4，
所以（ ≤（ ）－4＝16.
又因为（ ＞0，故函数 y ＝（ 的值域为
（0，16].
（3） y ＝4 x ＋2 x＋1＋1.
解：函数的定义域为R，
因为 y ＝4 x ＋2 x＋1＋1＝（2 x ）2＋2·2 x ＋1＝（2 x ＋1）2，
又2 x ＞0，所以 y ＞1，故函数的值域为（1，＋∞）.
通性通法
函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法
（1）形如 y ＝ af（ x）的定义域就是 f （ x ）的定义域；
（2）形如 y ＝ af（ x）的值域，应先求出 f （ x ）的值域，再由函数的单
调性求出 af（ x）的值域.若 a 的取值范围不确定，则需对 a 进行分
类讨论；
（3）形如 y ＝ f （ ax ）的值域，要先求出 u ＝ ax 的值域，再结合 y ＝ f
（ u ）确定出 y ＝ f （ ax ）的值域.
角度2 指数型函数的单调性
【例3】 判断 f （ x ）＝（ 的单调性，并求其值域.
解：令 u ＝ x2－2 x ，则原函数变为 y ＝（ ） u .
因为 u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1在（－∞，1]上单调递减，在（1，
＋∞）上单调递增，
又因为 y ＝（ ） u 在（－∞，＋∞）上是减函数，
所以 f （ x ）＝（ 在（－∞，1]上单调递增，在（1，＋∞）
上单调递减.
又 u ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2－1≥－1，
对于 y ＝（ ） u ， u ≥－1，有0＜（ ） u ≤（ ）－1＝3，
所以原函数的值域为（0，3].
通性通法
函数 y ＝ af（ x）（ a ＞0， a ≠1）的单调性的处理技巧
关于指数型函数 y ＝ af（ x）（ a ＞0，且 a ≠1）的单调性由两点决
定：一是底数 a ＞1还是0＜ a ＜1；二是 f （ x ）的单调性.它由两个函
数 y ＝ au ， u ＝ f （ x ）复合而成，当这两个函数在对应区间上的单调
性同增同减时， y ＝ af（ x）为增函数；当它们的单调性一增一减时， y
＝ af（ x）为减函数.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）＝ 的定义域是[1，＋∞），则 a 的取值范围
是 .
解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴当0＜ a ＜1时， x ≤1；当 a ＞1
时， x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时， a ＞1.
（1，＋∞）
2. 求函数 y ＝4 x －2·2 x ＋5的单调区间.
解：函数的定义域为R，令 t ＝2 x ， x ∈R时， t ∈（0，＋∞）.
y ＝（2 x ）2－2·2 x ＋5＝ t2－2 t ＋5＝（ t －1）2＋4， t ∈（0，＋
∞）.
当 t ≥1时，2 x ≥1， x ≥0；当0＜ t ＜1时，0＜2 x ＜1， x ＜0.
∵ y ＝（ t －1）2＋4在[1，＋∞）上单调递增， t ＝2 x 在[0，＋∞）
上单调递增，
∴ y ＝4 x －2·2 x ＋5的单调递增区间为[0，＋∞）.
同理可得单调递减区间为（－∞，0）.
题型三 指数函数模型的实际应用
【例4】 （链接教科书第147页例4）某城市现有人口总数为100万
人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市的人口总数 y （万人）与年份 x （年）的函数关
系式；
解： 1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×（1
＋1.2%）；
2年后该城市人口总数为： y ＝100×（1＋1.2%）＋100×（1＋
1.2%）×1.2%＝100×（1＋1.2%）2；
…
x 年后该城市人口总数为： y ＝100×（1＋1.2%） x .
（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）.
（参考数据：1.0129≈1.113，1.01210≈1.127）
解：10年后该城市人口总数为： y ＝100×（1＋1.2%）10＝
100×1.01210≈112.7（万人）.
通性通法
解决指数型函数应用题的流程
（1）审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提
取信息；
（2）建模：根据已知条件，列出指数函数的关系式；
（3）解模：运用数学知识解决问题；
（4）回归：还原为实际问题，归纳得出结论.
【跟踪训练】
有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内，年增加20%，如果
不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.
乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.
请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材（不考虑最初
的树苗成本，只按成材的树木计算）？（参考数据：1.25≈2.49，
1.15≈1.6，1.325≈4）
解：设树木最初栽植量为 a ，甲方案在10年后树木产量为： y1＝ a （1
＋20%）5（1＋10%）5＝ a （1.2×1.1）5≈4 a .
乙方案在10年后树木产量为： y2＝2 a （1＋20%）5＝2 a ×1.25≈5 a .
y1－ y2＝－ a ＜0，
因此，乙方案能获得更多的木材.
1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域为（ ）
A. （－5，0） B. [－5，0）
C. （－5，0] D. [－5，0]
解析： 令所以－5＜ x ≤0.故选C.
2. 已知函数 f （ x ）＝（ ）｜ x｜，则 f （ x ）的值域为（ ）
A. （0，1] B. （1，2]
C. （0，＋∞） D. （－∞，0）
解析： 因为 f （ x ）＝（ ）｜ x｜＝
所以其图象由 y ＝（ ） x （ x
≥0）和 y ＝2 x （ x ＜0）的图象合并而成.如图.所以 f
（ x ）的值域为（0，1].故选A.
3. 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖
水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，
当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了 天.
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积 y
与生长时间 x 的函数关系为 y ＝2 x－1，当 x ＝20时，长满水面，所以
生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半.
19
4. 函数 y ＝ 的减区间为 .
解析：令 u ＝－ x2＋2 x ，则 y ＝2 u .∵ u ＝－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2
＋1在（－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，又∵ y
＝2 u 在R上是增函数，∴ y ＝ 的减区间为[1，＋∞）.
[1，＋∞）
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为（ ）
A. （－∞，1） B. （－∞，1]
C. [1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 由 x －1≥0可得 x ≥1，所以函数 f （ x ）＝ 的定义
域为[1，＋∞）.故选C.
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2. 函数 y ＝2 x＋1的图象是（ ）
解析： 函数 y ＝2 x＋1的图象是由 y ＝2 x 的图象向左平移1个单位
长度所得，又当 x ＝0时， y ＝2.故选A.
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3. 为改善环境，江苏某城市对污水处理系统进行改造，三年后，该城
市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放
量平均每年降低的百分率是（ ）
A. 50% B. 40%
C. 30% D. 20%
解析： 设污水排放量平均每年降低的百分率为 p ，则有125（1
－ p ）3＝27，故 p ＝ ＝0.4＝40%.故选B.
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4. （2024·宿迁月考）已知函数 f （ x ）＝ － ，其中e＝2.718
28…，则 f （ x ）是（ ）
A. 奇函数，且在R上是增函数
B. 偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数
C. 奇函数，且在R上是减函数
D. 偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数
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解析： 定义域为R，关于原点对称.又 f （－ x ）＝ － ＝
－ ，故有 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，所以 f （ x ）是奇函数，函
数 f （ x ）＝ － 显然是减函数.故选C.
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5. （多选）下列说法正确的有（ ）
A. y ＝21－ x 是R上的增函数
B. 某企业生产总值的月平均增长率为 p ，则年平均增长率为（1＋
p ）12－1
C. 当 a ＞1时，函数 y ＝ 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反
D. 若2 x＋1＜1，则 x ＜－1
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解析： 在A中， y ＝21－ x ＝（ ） x－1是R上的减函数，故A错
误；在B中，设年平均增长率为 r ，原有的生产总值为 a ，则 a （1
＋ p ）12＝ a （1＋ r ），解得 r ＝（1＋ p ）12－1，故B正确；在C
中，由抽象函数单调性“同增异减”知 y ＝ 与 y ＝ f （ x ）
在 a ＞1时具有相同的单调性，故C错误；在D中，若2 x＋1＜1，则 x
＋1＜0，所以 x ＜－1，故D正确.故选B、D.
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6. （多选）设函数 f （ x ）＝ a－｜ x｜（ a ＞0，且 a ≠1），若 f （2）＝
4，则（ ）
A. f （－2）＞ f （－1） B. f （－1）＞ f （－2）
C. f （－2）＞ f （2） D. f （－4）＞ f （3）
解析： 由 f （2）＝ a－2＝4得 a ＝ ，即 f （ x ）＝（ ）－｜ x｜
＝2｜ x｜，由函数的奇偶性及单调性可知， f （－2）＞ f （－1），
故A正确，B错误； f （－2）＝ f （2），故C错误； f （－4）＝ f
（4）＞ f （3），故D正确.故选A、D.
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7. 当 x ∈[－1，1]时，函数 f （ x ）＝3 x －2的值域为 .
解析：因为指数函数 y ＝3 x 在区间[－1，1]上单调递增，所以3－
1≤3 x ≤31，于是3－1－2≤3 x －2≤31－2，即－ ≤ f （ x ）≤1.
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8. 若函数 y ＝｜2 x －1｜在（－∞， m ]上单调递减，则 m 的取值范围
是 .
解析：在平面直角坐标系中作出 y ＝2 x 的图象，把
图象沿 y 轴向下平移1个单位长度得到 y ＝2 x －1的
图象，再把 y ＝ －1的图象在 x 轴下方的部分关
于 x 轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到
y ＝｜2 x －1｜的图象.由图可知 y ＝｜2 x －1｜在
（－∞，0]上单调递减，所以 m ∈（－∞，0].
（－∞，0]
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9. 某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量 f （ x ）（mg/mL）随时间 x
（h）变化的规律近似满足解析式 f （ x ）＝规
定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02 mg/mL，据此可知，此
驾驶员至少要过 h后才能开车（精确到1 h）.
解析：当0≤ x ≤1时， ≤5 x－2≤ ，此时不宜开车；由 ·（ ） x
≤0.02，当 x ＝3时，不等式不成立，当 x ＝4时，不等式成立.故至
少要过4 h后才能开车.
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10. 已知函数 f （ x ）＝（ .
（1）若 a ＝－1，求函数 f （ x ）的增区间；
解： 当 a ＝－1时， f （ x ）＝ ，
令 g （ x ）＝－ x2－4 x ＋3＝－（ x ＋2）2＋7，
由于 g （ x ）在（－2，＋∞）上单调递减， y ＝ 在R上
是减函数，所以 f （ x ）在（－2，＋∞）上单调递增，即 f
（ x ）的增区间是（－2，＋∞）.
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（2）若 a ＝1，求函数 f （ x ）的最大值.
解： 由 a ＝1，得 f （ x ）＝（ ，
令 t ＝ x2－4 x ＋3，则 t ＝（ x －2）2－1，
故 f （ x ）＝（ 在（－∞，2）上单调递增，
在（2，＋∞）上单调递减，
故其最大值为 f （2）＝（ ）－1＝3.
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11. 函数 y ＝ 的图象大致为（ ）
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解析： 函数有意义，需使e x －e－ x ≠0，其定义域为{ x ｜ x
≠0}，故排除C、D；又因为 y ＝ ＝ ＝1＋ ，所
以当 x ＞0时，函数单调递减，排除B，故选A.
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ax －（ ） x ，其中 a ＞0且 a ≠1，则
下列结论中正确的是（ ）
A. f （ x ）是奇函数
B. 函数 f （ x ）＝0在其定义域上有解
C. 函数 f （ x ）的图象过定点（0，1）
D. 当 a ＞1时，函数 f （ x ）在其定义域上是增函数
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解析： f （ x ）＝ ax －（ ） x ＝ ax － a－ x ，定义域为R， f
（－ x ）＝ a－ x － ax ＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数，且 f
（0）＝0，故A、B正确，C错误；当 a ＞1时，0＜ ＜1.因为 y ＝
ax ， y ＝－（ ） x 在R上均为增函数，所以 f （ x ）在其定义域上
是增函数，故D正确.故选A、B、D.
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13. 函数 f （ x ）＝ a2 x ＋3 ax －2（ a ＞0，且 a ≠1）在区间[－1，1]上
的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .
解析：令 ax ＝ t （ t ＞0），则原函数可化为 g （ t ）＝ t2＋3 t －2，
易知函数 g （ t ）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜ a ＜1时， t
∈[ a ， a－1]， g （ t ）max＝ a－2＋3 a－1－2＝8，解得 a－1＝2，所
以 a ＝ .所以 g （ t ）min＝（ ）2＋3× －2＝－ .当 a ＞1时， t
∈[ a－1， a ]， g （ t ）max＝ a2＋3 a －2＝8，解得 a ＝2.所以 g
（ t ）min＝2－2＋3×2－1－2＝－ .综上可知， f （ x ）在[－1，1]
上的最小值为－ .
－
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14. 一片森林原来面积为 a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每
年比上一年减少 p %，10年后森林面积变为 .为保护生态环境，
所剩森林面积至少要为原面积的 .已知到今年为止，森林面积为
a .
（1）求 p %的值；
解： 由题意得 a （1－ p %）10＝ ，
即（1－ p %）10＝ ，解得 p %＝1－ .
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（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解： 设经过 m 年森林面积为 a ，
则 a （1－ p %） m ＝ a ，即 ＝ ，得 ＝ ，解得
m ＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.
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（3）今后最多还能砍伐多少年？
解：从今年开始， n 年后森林面积为 a （1－ p %） n ，
令 a （1－ p %） n ≥ a ，即（1－ p %） n ≥ ， ≥
，得 ≤ ，解得 n ≤15，
故今后最多还能砍伐15年.
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15. 已知函数 f （ x ）＝2 x ， g （ x ）＝2－ x ， x ∈R，对于 x ∈R，用
m （ x ）表示 f （ x ）， g （ x ）中的较小者，记为 m （ x ）＝min{ f
（ x ）， g （ x ）}.
（1）求函数 m （ x ）的最大值；
解： m （ x ）＝min{2 x ，2－ x }＝
故 m （ x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单
调递减，
所以函数 m （ x ）的最大值为 m （0）＝1.
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（2）对于 x ∈[ t ， t ＋1]， t ∈R，不等式 m （ x ＋1）＜[ m
（ x ）]2恒成立，求实数 t 的取值范围.
解： 因为 m （ x ）＝所以[ m （ x ）]2＝
＝ m （2 x ），
不等式 m （ x ＋1）＜[ m （ x ）]2等价于 m （ x ＋1）＜ m （2
x ），
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易知函数 m （ x ）是偶函数，
所以 m （ x ＋1）＜ m （2 x ）又等价于 m （｜ x ＋1｜）＜ m
（｜2 x ｜），
因为 m （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，所以｜ x ＋1｜＞｜2 x ｜，
两边平方解得－ ＜ x ＜1，又在 x ∈[ t ， t ＋1]， t ∈R上恒成立，
故解得－ ＜ t ＜0.
故实数 t 的取值范围为（－ ，0）.
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谢 谢 观 看！
