6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第一册

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名称 6.3 第1课时 对数函数的概念、图象与性质(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 21:01:55

文档简介

第1课时 对数函数的概念、图象与性质
1.函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是(  )
A.
B.(1,+∞)
C.∪(1,+∞)
D.∪(1,+∞)
2.已知对数函数的图象过点M(9,-2),则此对数函数的解析式为(  )
A.y=log2x B.y=log3x
C.y=lox D.y=lox
3.函数y=1+lo(x-1)的图象恒过定点(  )
A.(1,1) B.(1,0)
C.(2,1) D.(2,0)
4.设a=log2π,b=loπ,c=π-2,则(  )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
5.(多选)函数y=log(a-2)[(5-a)(x2+1)]中,实数a的取值可能是(  )
A. B.3
C.4 D.5
6.(多选)在同一坐标系中,f(x)=kx+b与g(x)=logbx的图象如图,则下列关系正确的是(  )
A.k>0,0<b<1
B.k>0,b>1
C.f()>0(x>0),g(x)>0(x>0)
D.x>1时,f(x)-g(x)>0
7.如果函数f(x)对任意的正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b),则这样的函数f(x)的解析式可以是    (写出一个即可).
8.若函数y=log(2a-3)x在(0,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是    .
9.若loga<1,则a的取值范围为    .
10.已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
11.已知loga>logb>0,则下列关系正确的是(  )
A.0<b<a<1 B.0<a<b<1
C.1<b<a D.1<a<b
12.设函数f(x)=f()lg x+1,则f(10)=(  )
A.1 B.-1
C.10 D.
13.已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,则实数a的取值范围为    .
14.已知f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x.
(1)当x∈(-∞,0)时,求函数f(x)的解析式;
(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象,写出函数f(x)的单调区间.
15.若不等式x2-logmx<0在内恒成立,求实数m的取值范围.
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
1.A 由可得-<x<1.故选A.
2.C 设函数f(x)=logax(x>0,a>0且a≠1),∵对数函数的图象过点M(9,-2),∴-2=loga9,∴a-2=9,a>0,解得a=.∴此对数函数的解析式为y=lox.故选C.
3.C 令x-1=1,得x=2,此时y=1,故函数y=1+lo(x-1)的图象一定经过点(2,1).故选C.
4.C a=log2π>1,b=loπ<0,c=π-2∈(0,1),所以a>c>b.故选C.
5.AC 由题意可知,即因此2<a<5且a≠3.故选A、C.
6.AD 由图象可知k>0,0<b<1,所以A正确,B错误;当x>1时,g(x)<0,所以C选项错误;当x>1时,f(x)>0,g(x)<0,所以f(x)-g(x)>0,所以D选项正确.
7.f(x)=lg x(答案不唯一) 解析:由题意,函数f(x)对任意的正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b),可考虑对数函数f(x)=lg x,满足f(ab)=lg(ab)=lg a+lg b=f(a)+f(b),故f(x)=lg x满足题意.
8.(2,+∞) 解析:由题意,得2a-3>1,解得a>2.所以a的取值范围是(2,+∞).
9.(0,)∪(1,+∞) 解析:当a>1时,满足条件;当0<a<1时,由得0<a<,综上,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞).
10.解:(1)要使函数有意义,则需满足
解得-2<x<2.故函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,因为f(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-[loga(2+x)-loga(2-x)]=-f(x).所以函数f(x)为奇函数.
11.A 由loga>0,logb>0,可知a,b∈(0,1).又loga>logb,作出图象如图所示,结合图象易知a>b,∴0<b<a<1.
12.A ∵f(x)=f()lg x+1,将式中x换成,∴f()=f(x)lg +1.由以上两式,得f(x)=,∴f(10)==1.
13.(1,+∞) 解析:因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,所以x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,所以a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).
14.解:(1)设任意x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),所以f(-x)=log2(-x),
又f(x)为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,得f(-x)=f(x),
所以f(x)=log2(-x)(x∈(-∞,0)).
(2)画出函数图象如图所示.
f(x)的单调增区间是(0,+∞),单调减区间是(-∞,0).
15.解:由x2-logmx<0,得x2<logmx,
在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图,如图所示.
要使x2<logmx在内恒成立,
只要y=logmx在内的图象在y=x2图象的上方,于是0<m<1.
∵当x=时,y=x2=,
∴只要当x=时,y=logm≥=logm,
∴≤,即≤m.
又0<m<1,∴≤m<1.
即实数m的取值范围是.
2 / 26.3 对数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例,了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运算、逻辑推理
4.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1) 数学抽象、直观想象
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
  已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y=2x.
【问题】 (1)如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次数x呢?
(2)问题(1)中的关系式中,x是关于y的函数吗?
(3)如果用x表示自变量,用y表示函数,那么这个函数是什么?
                      
                      
知识点一 对数函数的概念
一般地,函数y=    (a>0,a≠1)叫作对数函数,它的定义域是    .
提醒 在对数函数的定义表达式y=logax(a>0,a≠1)中,logax前边的系数必须是1,自变量x在真数的位置上,否则就不是对数函数.
知识点二 对数函数的图象及性质
a>1 0<a<1
图象
性质 定义域:   
值域:  
图象过点:   
在(0,+∞)上是   函数; 当0<x<1时,y<0; 当x>1时,y>0 在(0,+∞)上是   函数; 当0<x<1时,y>0; 当x>1时,y<0
提醒 (1)当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴;(2)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
【想一想】
 底数a的取值与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象有什么关系?
知识点三 反函数
 当a>0,a≠1时,y=logax称为y=ax的反函数.反之,y=ax也称为y=logax的反函数.一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=    .
提醒 反函数性质的再理解:①互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
【想一想】
 对数函数y=logax(a>0且a≠1)与y=lox(a>0且a≠1)有什么关系?
1.(多选)下列说法正确的是(  )
A.对数函数的定义域为R
B.函数y=log2(2x)是对数函数
C.函数y=log0.3x是减函数
D.对数函数的图象一定在y轴右侧
2.若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数,则a=    .
3.函数f(x)=loga(2x-1)+2的图象恒过定点    .
题型一 对数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中是对数函数的是(  )
A.y=3log2x B.y=log6x
C.y=logx5 D.y=log2x+1
(2)(链接教科书第154页例1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(  )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
通性通法
1.判断一个函数是对数函数的方法
2.求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0;
(2)根指数为偶数时,被开方数非负;
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
【跟踪训练】
1.若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=    .
2.若对数函数f(x)=logax的图象过点(2,1),则f(8)=    .
题型二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(链接教科书第159页习题11题)函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系为(  )
A.1<d<c<a<b
B.c<d<1<a<b
C.c<d<1<b<a
D.d<c<1<a<b
(2)函数y=lo(2x-1)的图象恒过定点(  )
A.(1,1) B.(1,0)
C.(2,1) D.(2,0)
通性通法
1.对数函数底数对图象的影响
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0<c<d<1<a<b.
2.关于定点问题
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为(x,m).
【跟踪训练】
1.如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则(  )
A.0<a<b<1 B.0<b<a<1
C.a>b>1 D.b>a>1
2.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b,c的值分别为    .
题型三 对数函数的性质及应用
角度1 对数值的大小比较
【例3】 (链接教科书第154页例2)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)ln 0.3,ln 2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较;
(2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论;
(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象,再进行比较;
(4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
角度2 求解对数不等式
【例4】 (链接教科书第159页习题13题)解下列不等式:
(1)log2(2x+3)≥log2(5x-6);
(2)loga(x-4)-loga(2x-1)>0(a>0,且a≠1);
(3)logx>1.
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论;
(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解;
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
【跟踪训练】
1.(2024·南京期末)已知a=log0.32,b=log0.33,c=log32,则下列结论正确的是(  )
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.b<a<c
2.不等式log(3x-5)7>log(2x)7(x>2)的解集为    .
1.下列函数是对数函数的是(  )
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
2.(2024·南京十三中期中)函数f(x)=ln(1-2x)的定义域为(  )
A.( -∞,] B.( -∞,)
C.( 0,) D.( ,+∞)
3.在同一坐标系中,函数y=2x与y=log2x的大致图象是(  )
4.不等式lo(5+x)<lo(1-x)的解集为    .
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
【基础知识·重落实】
知识点一
 logax (0,+∞)
知识点二
 (0,+∞) R (1,0) 增 减 
想一想
 提示:底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.
知识点三
 f-1(x)
想一想
 提示:在同一坐标系内,y=logax(a>0且a≠1)的图象与y=lox(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称.
自我诊断
1.CD A中,对数函数的定义域为(0,+∞),故A错误;函数y=log2(2x)不是对数函数,故B错误;函数y=log0.3x是减函数,故C正确;对数函数的图象一定在y轴右侧,故D正确.故选C、D.
2.2 解析:由a2+a-5=1得a=-3或a=2.又a>0且a≠1,所以a=2.
3.(1,2) 解析:令2x-1=1,得x=1,又f(1)=2,故f(x)的图象恒过定点(1,2).
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)B (2)A 解析:(1)A中,log2x的系数是3,不是1,不是对数函数;B中,符合对数函数的结构形式,是对数函数;C中,自变量在底数位置上,不是对数函数;D中,对数式log2x后又加上1,不是对数函数.
(2)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
跟踪训练
1.1 解析:由a2-a+1=1,解得a=0或1.又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.
2.3 解析:依题意知1=loga2,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3.
【例2】 (1)B (2)B 解析:(1)令函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx取同样的函数值1,得到的自变量的值恰好分别是a,b,c,d.直线y=1从左到右依次与上述四个函数的图象交于(c,1),(d,1),(a,1),(b,1)四点,从而得出c<d<a<b.又a>1,b>1,d<1,c<1,所以c<d<1<a<b.
(2)令2x-1=1,得x=1,此时y=0,故函数y=lo(2x-1)的图象恒过定点(1,0).
跟踪训练
1.B 作直线y=1(图略),则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.故选B.
2.-2,2 解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c.又当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立,∴c=2,3+b=1,∴b=-2,c=2.
【例3】 解:(1)因为函数y=ln x在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3<ln 2.
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,
又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
综上所述,当a>1时,loga3.1<loga5.2;
当0<a<1时,loga3.1>loga5.2.
(3)因为log0.23>log0.24,所以<,即log30.2<log40.2.
(4)因为函数y=log3x是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
【例4】 解:(1)原不等式等价于
解得<x≤3.
所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x-4)>loga(2x-1).
当a>1时,不等式等价于 无解;
当0<a<1时,不等式等价于解得x>4.
综上可知,当a>1时,解集为 ;当0<a<1时,解集为{x|x>4}.
(3)当x>1时,logx>1=logxx,
解得x<,此时不等式无解.
当0<x<1时,logx>1=logxx,
解得x>,所以<x<1.
综上所述,原不等式的解集为.
跟踪训练
1.D 因为0=log0.31>a=log0.32>b=log0.33,c=log32>log31=0,所以b<a<c.故选D.
2.(2,5) 解析:由x>2得3x-5>1,2x>4,由log(3x-5)7>log(2x)7,得>,故1<3x-5<2x,解得2<x<5,即原不等式的解集为(2,5).
随堂检测
1.A 由对数函数的特征可得只有A选项符合.
2.B 由题意得1-2x>0,即x<.故选B.
3.B
4.(-2,1) 解析:因为函数y=lox在(0,+∞)上是减函数,
所以解得-2<x<1.
5 / 5(共63张PPT)
6.3 对数函数
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例,了解对数函数的概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函
数的图象 直观想象
3.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 直观想象、数学运
算、逻辑推理
4.知道对数函数 y =log ax 与指数函数 y = ax 互为
反函数( a >0,且 a ≠1) 数学抽象、
直观想象
第1课时 
对数函数的概念、图象与性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  已知细胞分裂个数 y 与分裂次数 x 满足 y =2 x .
【问题】 (1)如果知道了细胞的个数 y ,如何确定分裂的次数
x 呢?
(2)问题(1)中的关系式中, x 是关于 y 的函数吗?
(3)如果用 x 表示自变量,用 y 表示函数,那么这个函数是什么?
                       
                       
                       
                       
                       
知识点一 对数函数的概念
一般地,函数 y = ( a >0, a ≠1)叫作对数函数,它的定
义域是 .
提醒 在对数函数的定义表达式 y =log ax ( a >0, a ≠1)中,
log ax 前边的系数必须是1,自变量 x 在真数的位置上,否则就不是
对数函数.
log ax  
(0,+∞) 
知识点二 对数函数的图象及性质
a >1 0< a <1


a >1 0< a <1

质 定义域:
值域:
图象过点:
在(0,+∞)上是 函数; 当0< x <1时, y <0; 当 x >1时, y >0 在(0,+∞)上是 函
数;
当0< x <1时, y >0;
当 x >1时, y <0
(0,+∞) 
R 
(1,0) 
增 
减 
提醒 (1)当0< a <1时,底数越小,图象越靠近 x 轴;(2)当 a >
1时,底数越大,图象越靠近 x 轴.
【想一想】
 底数 a 的取值与对数函数 y =log ax ( a >0,且 a ≠1)的图象有什么
关系?
提示:底数 a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:当 a >
1时,对数函数的图象“上升”;当0< a <1时,对数函数的图象“下
降”.
知识点三 反函数
当 a >0, a ≠1时, y =log ax 称为 y = ax 的反函数.反之, y = ax 也称
为 y =log ax 的反函数.一般地,如果函数 y = f ( x )存在反函数,那
么它的反函数记作 y = .
提醒 反函数性质的再理解:①互为反函数的两个函数图象关于直线
y = x 对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函
数的定义域.
f-1( x ) 
【想一想】
 对数函数 y =log ax ( a >0且 a ≠1)与 y =lo x ( a >0且 a ≠1)有
什么关系?
提示:在同一坐标系内, y =log ax ( a >0且 a ≠1)的图象与 y =lo
x ( a >0且 a ≠1)的图象关于 x 轴(即直线 y =0)对称.
1. (多选)下列说法正确的是(  )
A. 对数函数的定义域为R
B. 函数 y =log2(2 x )是对数函数
C. 函数 y =log0.3 x 是减函数
D. 对数函数的图象一定在 y 轴右侧
解析:CD A中,对数函数的定义域为(0,+∞),故A错误;
函数 y =log2(2 x )不是对数函数,故B错误;函数 y =log0.3 x 是减
函数,故C正确;对数函数的图象一定在 y 轴右侧,故D正确.故选
C、D.
2. 若函数 f ( x )=( a2+ a -5)log ax 是对数函数,则 a = .
解析:由 a2+ a -5=1得 a =-3或 a =2.又 a >0且 a ≠1,所
以 a =2.
3. 函数 f ( x )=log a (2 x -1)+2的图象恒过定点 .
解析:令2 x -1=1,得 x =1,又 f (1)=2,故 f ( x )的图象恒
过定点(1,2).
2 
(1,2) 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数函数的概念
【例1】 (1)下列函数中是对数函数的是( B )
A. y =3log2 x B. y =log6 x
C. y =log x 5 D. y =log2 x +1
解析: A中,log2 x 的系数是3,不是1,不是对数函数;B中,符合对
数函数的结构形式,是对数函数;C中,自变量在底数位置上,不是
对数函数;D中,对数式log2 x 后又加上1,不是对数函数.
B
(2)(链接教科书第154页例1)函数 f ( x )=ln( x2- x )的定义域
为( A )
A. (-∞,0)∪(1,+∞)
B. (-∞,0]∪[1,+∞)
C. (0,1)
D. [0,1]
解析:由题意得 x2- x >0,解得 x >1或 x <0,故函数的定义域
是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
A
通性通法
1. 判断一个函数是对数函数的方法
2. 求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0;
(2)根指数为偶数时,被开方数非负;
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
【跟踪训练】
1. 若函数 f ( x )=( a2- a +1)log( a+1) x 是对数函数,则实数 a
= .
解析:由 a2- a +1=1,解得 a =0或1.又 a +1>0,且 a +1≠1,
∴ a =1.
2. 若对数函数 f ( x )=log ax 的图象过点(2,1),则 f (8)= .
解析:依题意知1=log a 2,所以 a =2,所以 f ( x )=log2 x ,故 f
(8)=log28=3.
1 
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题型二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(链接教科书第159页习题11题)函数 y =log ax , y =
log bx , y =log cx , y =log dx 的图象如图所示,则 a , b , c , d 的大小
关系为( B )
A. 1< d < c < a < b B. c < d <1< a < b
C. c < d <1< b < a D. d < c <1< a < b
B
解析:令函数 y =log ax, y =log bx, y =log cx, y =log dx 取同样的函数
值1,得到的自变量的值恰好分别是 a , b , c , d .直线 y =1从左到右
依次与上述四个函数的图象交于( c ,1),( d ,1),( a ,1),
( b ,1)四点,从而得出 c < d < a < b .又 a >1, b >1, d <1, c <
1,所以 c < d <1< a < b .
解析:令2 x -1=1,得 x =1,此时 y =0,故函数 y =lo (2 x
-1)的图象恒过定点(1,0).
(2)函数 y =lo (2 x -1)的图象恒过定点( B )
A. (1,1) B. (1,0)
C. (2,1) D. (2,0)
B
通性通法
1. 对数函数底数对图象的影响
其中 a , b , c , d 是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0< c < d <1< a < b .
求函数 y = m +log af ( x )( a >0,且 a ≠1)的图
象过定点时,只需令 f ( x )=1求出 x ,即得定点为( x , m ).
2. 关于定点问题
【跟踪训练】
1. 如图,若 C1, C2分别为函数 y =log ax 和 y =log bx 的图象,则
(  )
A. 0< a < b <1
B. 0< b < a <1
C. a > b >1
D. b > a >1
解析:  作直线 y =1(图略),则直线与 C1, C2的交点的横坐
标分别为 a , b ,易知0< b < a <1.故选B.
2. 若函数 y =log a ( x + b )+ c ( a >0,且 a ≠1)的图象恒过定点
(3,2),则实数 b , c 的值分别为 .解析:∵函数的图象
恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入 y =log a ( x + b )+ c ,得
2=log a (3+ b )+ c .又当 a >0,且 a ≠1时,log a 1=0恒成立,∴
c =2,3+ b =1,∴ b =-2, c =2.
-2,2 
解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入 y =
log a ( x + b )+ c ,得2=log a (3+ b )+ c .又当 a >0,且 a ≠
1时,log a 1=0恒成立,∴c =2,3+ b =1,∴ b =-2, c =2.
题型三 对数函数的性质及应用
角度1 对数值的大小比较
【例3】 (链接教科书第154页例2)比较下列各组数中两个数的
大小:
(1)ln 0.3,ln 2;
解:因为函数 y =ln x 在(0,+∞)上是增函数,且0.3<2,所
以ln 0.3<ln 2.
(2)log a 3.1,log a 5.2( a >0,且 a ≠1);
解:当 a >1时,函数 y =log ax 在(0,+∞)上是增函数,
又3.1<5.2,所以log a 3.1<log a 5.2;
当0< a <1时,函数 y =log ax 在(0,+∞)上是减函数,
又3.1<5.2,所以log a 3.1>log a 5.2.
综上所述,当 a >1时,log a 3.1<log a 5.2;
当0< a <1时,log a 3.1>log a 5.2.
(3)log30.2,log40.2;
解:因为log0.23>log0.24,所以 < ,即log30.2<
log40.2.
(4)log3π,logπ3.
解:因为函数 y =log3 x 是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
通性通法
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较;
(2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对
底数进行分类讨论;
(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再
进行比较,也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图
象,再进行比较;
(4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
角度2 求解对数不等式
【例4】 (链接教科书第159页习题13题)解下列不等式:
(1)log2(2 x +3)≥log2(5 x -6);
解:原不等式等价于
解得 < x ≤3.
所以不等式的解集为 .
(2)log a ( x -4)-log a (2 x -1)>0( a >0,且 a ≠1);
解:原不等式化为log a ( x -4)>log a (2 x -1).
当 a >1时,不等式等价于 无解;
当0< a <1时,不等式等价于解得 x >4.
综上可知,当 a >1时,解集为 ;当0< a <1时,解集为{ x | x
>4}.
(3)log x >1.
解:当 x >1时,log x >1=log xx ,
解得 x < ,此时不等式无解.
当0< x <1时,log x >1=log xx ,
解得 x > ,所以 < x <1.
综上所述,原不等式的解集为 .
通性通法
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如log ax >log ab 的不等式,借助 y =log ax 的单调性求解,如果
a 的取值不确定,需分 a >1与0< a <1两种情况进行讨论;
(2)形如log ax > b 的不等式,应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式
( b =log aab ),再借助 y =log ax 的单调性求解;
(3)形如log f( x) a >log g( x) a ( f ( x ), g ( x )>0且不等于1, a
>0)的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或
利用函数图象求解.
【跟踪训练】
1. (2024·南京期末)已知 a =log0.32, b =log0.33, c =log32,则下
列结论正确的是(  )
A. a < b < c B. a < c < b
C. c < a < b D. b < a < c
解析:  因为0=log0.31> a =log0.32> b =log0.33, c =log32>
log31=0,所以 b < a < c .故选D.
2. 不等式log(3 x-5)7>log(2 x)7( x >2)的解集为 .
解析:由 x >2得3 x -5>1,2 x >4,由log(3 x-5)7>log(2 x)7,得
> ,故1<3 x -5<2 x ,解得2< x <5,即原不
等式的解集为(2,5).
(2,5)
1. 下列函数是对数函数的是(  )
A. y =log2 x B. y =ln( x +1)
C. y =log x e D. y =log xx
解析:  由对数函数的特征可得只有A选项符合.
2. (2024·南京十三中期中)函数 f ( x )=ln(1-2 x )的定义域为
(  )
A. ( -∞, ] B. ( -∞, )
C. ( 0, ) D. ( ,+∞)
解析:  由题意得1-2 x >0,即 x < .故选B.
3. 在同一坐标系中,函数 y =2 x 与 y =log2 x 的大致图象是(  )
4. 不等式lo (5+ x )<lo (1- x )的解集为 .
解析:因为函数 y =lo x 在(0,+∞)上是减函数,
所以解得-2< x <1.
(-2,1) 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 函数 f ( x )= +lg(3 x +1)的定义域是(  )
A.
B. (1,+∞)
C. ∪(1,+∞)
D. ∪(1,+∞)
解析:  由可得- < x <1.故选A.
2. 已知对数函数的图象过点 M (9,-2),则此对数函数的解析式
为(  )
A. y =log2 x B. y =log3 x
C. y =lo x D. y =lo x
解析:  设函数 f ( x )=log ax ( x >0, a >0且 a ≠1),∵对数
函数的图象过点 M (9,-2),∴-2=log a 9,∴ a-2=9, a >
0,解得 a = .∴此对数函数的解析式为 y =lo x .故选C.
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3. 函数 y =1+lo ( x -1)的图象恒过定点(  )
A. (1,1) B. (1,0)
C. (2,1) D. (2,0)
解析:  令 x -1=1,得 x =2,此时 y =1,故函数 y =1+lo
( x -1)的图象一定经过点(2,1).故选C.
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4. 设 a =log2π, b =lo π, c =π-2,则(  )
A. a > b > c B. b > a > c
C. a > c > b D. c > b > a
解析: a =log2π>1, b =lo π<0, c =π-2∈(0,1),所以
a > c > b .故选C.
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5. (多选)函数 y =log( a-2)[(5- a )( x2+1)]中,实数 a 的取
值可能是(  )
A. B. 3 C. 4 D. 5
解析:  由题意可知,即因此2< a <5且
a ≠3.故选A、C.
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6. (多选)在同一坐标系中, f ( x )= kx + b 与 g ( x )=log bx 的图
象如图,则下列关系正确的是(  )
A. k >0,0< b <1
B. k >0, b >1
C. f ( )>0( x >0), g ( x )>0( x >0)
D. x >1时, f ( x )- g ( x )>0
解析:  由图象可知 k >0,0< b <1,所以A正确,B错误;当
x >1时, g ( x )<0,所以C选项错误;当 x >1时, f ( x )>0,
g ( x )<0,所以 f ( x )- g ( x )>0,所以D选项正确.
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7. 如果函数 f ( x )对任意的正实数 a , b ,都有 f ( ab )= f ( a )+
f ( b ),则这样的函数 f ( x )的解析式可以是
(写出一个即可).
解析:由题意,函数 f ( x )对任意的正实数 a , b ,都有 f ( ab )
= f ( a )+ f ( b ),可考虑对数函数 f ( x )=lg x ,满足 f ( ab )
=lg( ab )=lg a +lg b = f ( a )+ f ( b ),故 f ( x )=lg x 满足
题意.
f ( x )=lg x (答
案不唯一)
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8. 若函数 y =log(2 a-3) x 在(0,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值
范围是 .
解析:由题意,得2 a -3>1,解得 a >2.所以 a 的取值范围是
(2,+∞).
(2,+∞) 
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9. 若log a <1,则 a 的取值范围为  (0, )∪(1,+∞) .
解析:当 a >1时,满足条件;当0< a <1时,由
得0< a < ,综上,实数 a 的取值范围是(0, )∪(1,+∞).
(0, )∪(1,+∞) 
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10. 已知函数 f ( x )=log a (2+ x )-log a (2- x )( a >0,且 a
≠1).
(1)求函数 f ( x )的定义域;
解: 要使函数有意义,则需满足
解得-2< x <2.故函数 f ( x )的定义域为(-2,2).
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(2)判断函数 f ( x )的奇偶性.
解: 由(1)知 f ( x )的定义域关于原点对称,因
为 f (- x )=log a (2- x )-log a (2+ x )=-[log a
(2+ x )-log a (2- x )]=- f ( x ).所以函数 f
( x )为奇函数.
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11. 已知log a >log b >0,则下列关系正确的是(  )
A. 0< b < a <1 B. 0< a < b <1
C. 1< b < a D. 1< a < b
解析:  由log a >0,log b >0,可知 a , b
∈(0,1).又log a >log b ,作出图象如图
所示,结合图象易知 a > b ,∴0< b < a <1.
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12. 设函数 f ( x )= f ( )lg x +1,则 f (10)=(  )
A. 1 B. -1
C. 10 D.
解析:  ∵ f ( x )= f ( )lg x +1,将式中 x 换成 ,∴ f
( )= f ( x )lg +1.由以上两式,得 f ( x )= ,
∴ f (10)= =1.
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13. 已知函数 y =lg( x2+2 x + a )的定义域为R,则实数 a 的取值范
围为 .
解析:因为 y =lg( x2+2 x + a )的定义域为R,所以 x2+2 x + a
>0恒成立,所以Δ=4-4 a <0,所以 a >1.故实数 a 的取值范围
是(1,+∞).
(1,+∞) 
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14. 已知 f ( x )为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函
数,当 x ∈(0,+∞)时, f ( x )=log2 x .
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(1)当 x ∈(-∞,0)时,求函数 f ( x )的解析式;
解: 设任意 x ∈(-∞,0),则- x ∈(0,+∞),
所以 f (- x )=log2(- x ),
又 f ( x )为定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶
函数,得 f (- x )= f ( x ),
所以 f ( x )=log2(- x )( x ∈(-∞,0)).
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(2)在给出的坐标系中画出函数 f ( x )的图象,写出函数 f
( x )的单调区间.
解: 画出函数图象如图所示.
f ( x )的单调增区间是(0,+∞),单调减区间是(-
∞,0).
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15. 若不等式 x2-log mx <0在 内恒成立,求实数 m 的取值
范围.
解:由 x2-log mx <0,得 x2<log mx ,
在同一坐标系中作 y = x2和 y =log mx 的草图,
如图所示.
要使 x2<log mx 在 内恒成立,
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只要 y =log mx 在 内的图象在 y = x2图象的上方,于是0< m
<1.
∵当 x = 时, y = x2= ,
∴只要当 x = 时, y =log m ≥ =log m ,
∴ ≤ ,即 ≤ m .
又0< m <1,∴ ≤ m <1.
即实数 m 的取值范围是 .
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谢 谢 观 看!