第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
1.已知函数y＝ax与y＝logax，其中a＞0且a≠1，下列说法错误的是（ ）
A.两者的图象关于直线y＝x对称
B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C.两函数在各自的定义域内增减性相同
D.y＝ax的图象经过平行移动可得到y＝logax的图象
2.已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是（ ）
A.（－∞，－6] B.[－6，－3]
C.[－3，0） D.（0，＋∞）
3.函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
4.如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.m＜0，n＞1
B.m＞0，n＞1
C.m＞0，0＜n＜1
D.m＜0，0＜n＜1
5.（多选）函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x2）＝2f（x）
B.f（2x）＝f（x）＋f（2）
C.f＝f（x）－f（2）
D.f（2x）＝2f（x）
6.（多选）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝a－x与y＝loga（－x）的图象可能是（ ）
7.函数f（x）＝｜lox｜的单调递增区间是 .
8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝ .
9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是 m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为 .
10.设函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0.
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的定义证明.
11.函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（ ）
12.（多选）设偶函数f（x）＝loga｜x－b｜在（－∞，0）上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A.f（a＋1）＞f（b＋2） B.f（a＋1）＜f（b＋2）
C.f（1）＝0 D.f（1）＞0
13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，则实数a＝ .
14.已知函数y＝f（x）的图象与g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过点（9，2）.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（3x－1）＞f（－x＋5），求x的取值范围.
15.已知函数f（x）＝lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1].
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围.
第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
1.D 由于a＞0且a≠1，函数y＝ax与y＝logax互为反函数，因此其图象关于直线y＝x对称，前者的定义域和值域分别是后者的值域和定义域，两函数在各自的定义域内增减性相同，故A、B、C正确，D错误.
2.B ∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3].
3.A 当a＞1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函数，所以f（x）是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是减函数，所以f（x）是增函数.故选A.
4.D 根据图象可知，函数y＝m＋lognx（m，n是常数）是减函数，所以0＜n＜1；又当x＝1时，y＜0，即y＝m＋logn1＝m＜0.故选D.
5.ABC 因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga（2x）＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝loga（x）＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以选项A、B、C正确.
6.CD 当a＞1时，y＝a－x是减函数，图象恒过点（0，1），y＝loga（－x）是减函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），C选项符合题意；当0＜a＜1时，y＝a－x是增函数，图象恒过点（0，1），y＝loga（－x）是增函数，定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），D选项符合题意.故选C、D.
7.[1，＋∞） 解析：f（x）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞）.
8.4 解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4.
9. 100 解析：当O＝2 700时，v＝log3＝log3＝log327＝（m/s）.一条鱼静止时，v＝0，则log3＝0，所以＝1，所以O＝100.
10.解：（1）函数f（x）＝lg （a∈R），且f（1）＝0，
则f（1）＝lg ＝0.则＝1，解得a＝2.
（2）f（x）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减.
证明：设0＜x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝lg －lg ＝lg ＝lg（x2＋1）－lg（x1＋1），
因为0＜x1＜x2，所以lg（x2＋1）＞lg（x1＋1），所以f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
11.B 由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函数，由此知C、D错误.又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）上单调递增，所以B正确.故选B.
12.AC 由于函数f（x）＝loga｜x－b｜是偶函数，所以b＝0，又函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则0＜a＜1，所以有1＜a＋1＜2.因为f（a＋1）＝loga｜a＋1｜，f（b＋2）＝loga2，所以f（a＋1）＞f（b＋2）.又f（x）＝loga｜x｜，所以f（1）＝0.故选A、C.
13. 解析：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2，∴正方形ABCD的边长BC＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD的边长AB＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.
14.解：（1）因为g（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点（9，2），
所以loga9＝2，解得a＝3，所以g（x）＝log3x.
又因为函数y＝f（x）的图象与g（x）＝log3x的图象关于x轴对称，所以f（x）＝lox.
（2）因为f（3x－1）＞f（－x＋5），
即lo（3x－1）＞lo（－x＋5），
则解得＜x＜，
所以x的取值范围为{x｜＜x＜}.
15.解：（1）函数f（x）＝lg[（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1]的定义域为R，
即（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1＞0在R上恒成立.
当a2－1＝0时，得a＝1或a＝－1.
当a＝1时，显然2x＋1＞0在R上不能恒成立，故舍去；
当a＝－1时，1＞0恒成立.
当a2－1≠0，即a≠±1时，
则解得a＞或a＜－1.
综上可得，实数a的取值范围是（－∞，－1]∪.
（2）设u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1.
因为f（x）的值域为R，所以u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1的函数值要取遍所有的正数，
即（0，＋∞）是u（x）值域的子集.
当a2－1＝0时，得a＝1或a＝－1.
当a＝1时，符合题意；当a＝－1时，不符合题意.
当a≠±1时，函数u（x）为二次函数，
即函数u（x）＝（a2－1）x2＋（a＋1）x＋1的图象与x轴有交点且开口向上，
则解得1＜a≤.
综上可知，实数a的取值范围是.
2 / 2第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
题型一 与对数函数有关的图象变换
【例1】 （1）（链接教科书第155页例3）画出函数y＝log2（x＋1）与y＝log2（x－1）的图象，并指出这两个函数的图象与函数y＝log2x的图象的关系；
（2）（链接教科书第156页例4）已知f（x）＝loga｜x｜（a＞0，a≠1）满足f（－5）＝1，试画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间.
【母题探究】
（变设问）若本例（2）条件不变，试画出函数h（x）＝｜logax｜的图象，并根据图象写出函数h（x）的单调区间.
通性通法
对数函数图象的变换方法
（1）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律；
（2）作y＝f（｜x｜）的图象时，保留y＝f（x）（x≥0）图象不变，当x＜0时，y＝f（｜x｜）的图象与y＝f（x）（x＞0）的图象关于y轴对称；
（3）作y＝｜f（x）｜的图象时，保留y＝f（x）的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）的图象大致为（ ）
2.画出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调区间.
题型二 反函数
【例2】 若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝（ ）－x，则f（2）＋g（4）＝（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
通性通法
反函数的性质
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
【跟踪训练】
若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f（f（2））＝（ ）
A.16 B.0
C.1 D.2
题型三 对数型函数的性质及应用
角度1 对数型函数的值域（最值）
【例3】 求下列函数的值域：
（1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]；
（2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）.
通性通法
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；
（2）求f（x）的定义域；
（3）求u的取值范围；
（4）利用y＝logau的单调性求解.
角度2 对数型函数的单调性
【例4】 （链接教科书第157页练习3题）求函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调区间.
通性通法
1.解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是大于1还是大于0小于1，当底数未明确给出时，则应对底数进行分类讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域.
2.对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f（logax）（a＞0，且a≠1）型.
【跟踪训练】
1.（2024·泰州期末）函数f（x）＝ln（x2－4x＋5）的减区间为（ ）
A.（－∞，－1） B.（－∞，2）
C.（2，＋∞） D.（5，＋∞）
2.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a＝（ ）
A. B.
C.2 D.4
题型四 对数函数模型的实际应用
【例5】 （链接教科书第164页复习题8题）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A＋1）进行奖励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.
（1）写出奖金y关于销售利润x的解析式；
（2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
通性通法
对数函数应用题的解题思路
（1）依题意，找出或建立对数增长型数学模型；
（2）依实际情况确定解析式中的参数；
（3）依题设及对数函数知识解决数学问题；
（4）得出结论.
【跟踪训练】
某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系式为y＝alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为（ ）
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
1.函数y＝loga（x－1）（0＜a＜1）的图象可能是（ ）
2.“每天进步一点点”可以用数学知识来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是（ ）
A.y＝log1.05x B.y＝log1.005x
C.y＝log0.95x D.y＝log0.995x
3.函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间是 .
4.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（，），则a＝ .
第2课时 对数函数图象与性质的综合应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝log2（x＋1）的图象，
由函数y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝log2（x－1）的图象，
图象如图所示.
（2）因为f（－5）＝1，所以loga5＝1，即a＝5，所以f（x）＝log5｜x｜.
由于函数f（x）＝log5｜x｜满足对任意的x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝log5｜－x｜＝log5｜x｜＝f（x），
所以函数f（x）＝log5｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.
当x＞0时，log5｜x｜＝log5x.因此，我们先画出函数f（x）＝log5x（x＞0）的图象C1，
再作出C1关于y轴对称的图象C2.C1和C2构成函数f（x）＝log5｜x｜的图象，如图所示.
由图象可以知道，函数f（x）＝log5｜x｜的减区间是（－∞，0），增区间是（0，＋∞）.
母题探究
解：因为a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x）的图象如图所示.
由图象可以知道，函数h（x）＝｜log5x｜的减区间是（0，1），增区间是（1，＋∞）.
跟踪训练
1.C 因为函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f（x）＝loga（－x）＋1是减函数，又因为图象过（1，1），（－1，1）两点，结合选项可知C正确.故选C.
2.解：函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象如图所示.由图象知，其值域为[0，＋∞），减区间是（－1，0]，增区间是[0，＋∞）.
【例2】 D 因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝（ ）－x＝2x，所以g（x）＝log2x，所以f（2）＋g（4）＝22＋log24＝6.
跟踪训练
B 函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f（x）＝log2x.所以f（f（2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.故选B.
【例3】 解：（1）∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33＝1.
∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1].
（2）∵f（x）＝log2·log2
＝（log2x－2）·（log2x－1）
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f（x）取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值2，
∴函数f（x）的值域是.
【例4】 解：设t＝x2－2x－3＞0，得x＞3或x＜－1，
由于t＝（x－1）2－4在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减，
又y＝lot在定义域内是减函数，
因而函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调递增区间为（－∞，－1），单调递减区间为（3，＋∞）.
跟踪训练
1.B 由题意y＝ln t在定义域内是增函数，若要f（x）＝ln（x2－4x＋5）单调递减，只需t＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1＞0关于x单调递减，所以函数f（x）＝ln（x2－4x＋5）的减区间为（－∞，2）.故选B.
2.B 由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的最大值或最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝.
【例5】 解：（1）由题意知y＝
（2）由题意知1.5＋2log5（x－9）＝5.5，
即log5（x－9）＝2，
所以x－9＝52，解得x＝34.
所以老江的销售利润是34万元.
跟踪训练
A 由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故选A.
随堂检测
1.A 函数y＝loga（x－1）的图象是由y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，因为0＜a＜1，所以y＝loga（x－1）在（1，＋∞）上单调递减，故A图象符合.故选A.
2.B 由题意得x＝（1＋5‰）y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x.
3. 解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f（x）＝log5（2x＋1）是其定义域上的增函数，所以函数f（x）的单调增区间是.
4. 解析：由题意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因为f（x）的图象过点（，），所以loga＝，所以＝，所以a2＝2，所以a＝（负值舍去）.
3 / 3(共54张PPT)
第2课时
对数函数图象与性质的综合应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与对数函数有关的图象变换
【例1】 （1）（链接教科书第155页例3）画出函数 y ＝log2（ x ＋
1）与 y ＝log2（ x －1）的图象，并指出这两个函数的图象与函数 y ＝
log2 x 的图象的关系；
解：由函数 y ＝log2 x 的图象向左平移1个单位长度得到函数 y ＝log2
（ x ＋1）的图象，
由函数 y ＝log2 x 的图象向右平移1个单位长度得到函数 y ＝log2（ x －
1）的图象，
图象如图所示.
（2）（链接教科书第156页例4）已知 f （ x ）＝log a ｜ x ｜（ a ＞0， a
≠1）满足 f （－5）＝1，试画出函数 f （ x ）的图象，并根据图
象写出函数 f （ x ）的单调区间.
解：因为 f （－5）＝1，所以log a 5＝1，即 a ＝5，所以 f （ x ）＝log5｜ x ｜.
由于函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜满足对任意的 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有 f （－x ）＝log5｜－ x ｜＝log5｜ x ｜＝ f （ x ），所以函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜是偶函数，它的图象关于 y 轴对称.
当 x ＞0时，log5｜ x ｜＝log5 x .因此，我们先画出函数 f （ x ）＝log5 x （ x ＞0）的图象 C1，
再作出 C1关于 y 轴对称的图象 C2. C1和 C2构成函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜的图象，如图所示.
由图象可以知道，函数 f （ x ）＝log5｜ x ｜
的减区间是（－∞，0），增区间是（0，
＋∞）.
【母题探究】
（变设问）若本例（2）条件不变，试画出函数 h （ x ）＝｜log ax ｜的
图象，并根据图象写出函数 h （ x ）的单调区间.
解：因为 a ＝5，所以 h （ x ）＝｜log5 x ｜. h （ x ）的
图象如图所示.
由图象可以知道，函数 h （ x ）＝｜log5 x ｜的减区间
是（0，1），增区间是（1，＋∞）.
通性通法
对数函数图象的变换方法
（1）有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的
规律；
（2）作 y ＝ f （｜ x ｜）的图象时，保留 y ＝ f （ x ）（ x ≥0）图象不
变，当 x ＜0时， y ＝ f （｜ x ｜）的图象与 y ＝ f （ x ）（ x ＞0）
的图象关于 y 轴对称；
（3）作 y ＝｜ f （ x ）｜的图象时，保留 y ＝ f （ x ）的 x 轴及上方图象
不变，把 x 轴下方图象以 x 轴为对称轴翻折上去即可.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）的图象大致为（ ）
解析： 因为函数 f （ x ）＝log a ｜ x ｜＋1（ a ＞1）是偶函
数，所以 f （ x ）的图象关于 y 轴对称，当 x ＞0时， f （ x ）＝
log ax ＋1是增函数；当 x ＜0时， f （ x ）＝log a （－ x ）＋1是
减函数，又因为图象过（1，1），（－1，1）两点，结合选项
可知C正确.故选C.
2. 画出函数 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调
区间.
解：函数 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象如图所示.由
图象知，其值域为[0，＋∞），减区间是（－1，
0]，增区间是[0，＋∞）.
题型二 反函数
【例2】 若函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称，函数 f
（ x ）＝（ ）－ x ，则 f （2）＋ g （4）＝（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析： 因为函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称， f
（ x ）＝（ ）－ x ＝2 x ，所以 g （ x ）＝log2 x ，所以 f （2）＋ g （4）
＝22＋log24＝6.
通性通法
反函数的性质
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ＝ x 对称.
【跟踪训练】
若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝2 x 的反函数，则 f （ f （2））＝（ ）
A. 16 B. 0 C. 1 D. 2
解析： 函数 y ＝2 x 的反函数是 y ＝log2 x ，即 f （ x ）＝log2 x .所以 f
（ f （2））＝ f （log22）＝ f （1）＝log21＝0.故选B.
题型三 对数型函数的性质及应用
角度1 对数型函数的值域（最值）
【例3】 求下列函数的值域：
（1） y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]；
解：∵1≤ x ≤2，∴1≤2 x －1≤3，∴0＝log31≤log3（2 x －1）
≤log33＝1.
∴函数 y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]的值域是[0，1].
（2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）.
解：∵ f （ x ）＝log2 ·log2
＝（log2 x －2）·（log2 x －1）
＝ － ，
又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2，
∴当log2 x ＝ ，即 x ＝ ＝2 时， f （ x ）取最小值－ ；
当log2 x ＝0，即 x ＝1时， f （ x ）取得最大值2，
∴函数 f （ x ）的值域是 .
通性通法
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如 y ＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的复合函数，其值域
（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成 y ＝log au ， u ＝ f （ x ）两个函数；
（2）求 f （ x ）的定义域；
（3）求 u 的取值范围；
（4）利用 y ＝log au 的单调性求解.
角度2 对数型函数的单调性
【例4】 （链接教科书第157页练习3题）求函数 f （ x ）＝lo （ x2
－2 x －3）的单调区间.
解：设 t ＝ x2－2 x －3＞0，得 x ＞3或 x ＜－1，
由于 t ＝（ x －1）2－4在（3，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）
上单调递减，
又 y ＝lo t 在定义域内是减函数，
因而函数 f （ x ）＝lo （ x2－2 x －3）的单调递增区间为（－∞，－
1），单调递减区间为（3，＋∞）.
通性通法
1. 解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是大于1还
是大于0小于1，当底数未明确给出时，则应对底数进行分类讨论；
二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定
义域.
2. 对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即 y
＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）型；另一类是对数函数为内函
数，即 y ＝ f （log ax ）（ a ＞0，且 a ≠1）型.
【跟踪训练】
1. （2024·泰州期末）函数 f （ x ）＝ln（ x2－4 x ＋5）的减区间为
（ ）
A. （－∞，－1） B. （－∞，2）
C. （2，＋∞） D. （5，＋∞）
解析： 由题意 y ＝ln t 在定义域内是增函数，若要 f （ x ）＝ln
（ x2－4 x ＋5）单调递减，只需 t ＝ x2－4 x ＋5＝（ x －2）2＋1＞0
关于 x 单调递减，所以函数 f （ x ）＝ln（ x2－4 x ＋5）的减区间为
（－∞，2）.故选B.
2. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋log a （ x ＋1）在[0，1]上的最大值和最小值
之和为 a ，则 a ＝（ ）
A. B. C. 2 D. 4
解析： 由题意得 f （ x ）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴ f
（ x ）的最大值或最小值在端点处取得，即 f （0）＋ f （1）＝ a ，
即1＋ a ＋log a 2＝ a ，∴log a 2＝－1，解得 a ＝ .
题型四 对数函数模型的实际应用
【例5】 （链接教科书第164页复习题8题）某公司制定了一个激励
销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的
15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出 A 万元，则超出部
分按2log5（ A ＋1）进行奖励.记奖金为 y （单位：万元），销售利润
为 x （单位：万元）.
（1）写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式；
解：由题意知 y ＝
（2）如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少
万元？
解：由题意知1.5＋2log5（ x －9）＝5.5，
即log5（ x －9）＝2，
所以 x －9＝52，解得 x ＝34.
所以老江的销售利润是34万元.
通性通法
对数函数应用题的解题思路
（1）依题意，找出或建立对数增长型数学模型；
（2）依实际情况确定解析式中的参数；
（3）依题设及对数函数知识解决数学问题；
（4）得出结论.
【跟踪训练】
某种动物的数量 y （单位：只）与时间 x （单位：年）的函数关系式
为 y ＝ a log2（ x ＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数
量为（ ）
A. 300只 B. 400只
C. 500只 D. 600只
解析： 由题意，知100＝ a log2（1＋1），得 a ＝100，则当 x ＝7
时， y ＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.故选A.
1. 函数 y ＝log a （ x －1）（0＜ a ＜1）的图象可能是（ ）
解析： 函数 y ＝log a （ x －1）的图象是由 y ＝log ax 的图象向右
平移1个单位长度得到的，因为0＜ a ＜1，所以 y ＝log a （ x －1）在
（1，＋∞）上单调递减，故A图象符合.故选A.
2. “每天进步一点点”可以用数学知识来诠释，假如你今天的数学水
平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过 y 天之后，你的
数学水平 x 与 y 之间的函数关系式是（ ）
A. y ＝log1.05 x B. y ＝log1.005 x
C. y ＝log0.95 x D. y ＝log0.995 x
解析： 由题意得 x ＝（1＋5‰） y ＝1.005 y ，化为对数函数得 y
＝log1.005 x .
3. 函数 f （ x ）＝log5（2 x ＋1）的单调增区间是 .
解析：因为 y ＝log5 x 与 y ＝2 x ＋1均为增函数，故函数 f （ x ）＝
log5（2 x ＋1）是其定义域上的增函数，所以函数 f （ x ）的单调增
区间是 .
4. 若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数，其
图象经过点（ ， ），则 a ＝ .
解析：由题意得 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1， x ＞0），因为 f
（ x ）的图象过点（ ， ），所以log a ＝ ，所以 ＝ ，
所以 a2＝2，所以 a ＝ （负值舍去）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 y ＝ ax 与 y ＝log ax ，其中 a ＞0且 a ≠1，下列说法错误的
是（ ）
A. 两者的图象关于直线 y ＝ x 对称
B. 前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C. 两函数在各自的定义域内增减性相同
D. y ＝ ax 的图象经过平行移动可得到 y ＝log ax 的图象
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解析： 由于 a ＞0且 a ≠1，函数 y ＝ ax 与 y ＝log ax 互为反函数，
因此其图象关于直线 y ＝ x 对称，前者的定义域和值域分别是后者
的值域和定义域，两函数在各自的定义域内增减性相同，故A、
B、C正确，D错误.
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2. 已知函数 f （ x ）＝3lo x 的定义域为[3，9]，则函数 f （ x ）的值
域是（ ）
A. （－∞，－6] B. [－6，－3]
C. [－3，0） D. （0，＋∞）
解析： ∵ y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤ x ≤9
时，lo 9≤lo x ≤lo 3，即－2≤lo x ≤－1，∴－6≤3lo x
≤－3，∴函数 f （ x ）的值域是[－6，－3].
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3. 函数 f （ x ）＝log a [（ a －1） x ＋1]在定义域上（ ）
A. 是增函数 B. 是减函数
C. 先增后减 D. 先减后增
解析： 当 a ＞1时， y ＝log at 和 t ＝（ a －1） x ＋1都是增函数，
所以 f （ x ）是增函数；当0＜ a ＜1时， y ＝log at 和 t ＝（ a －1） x
＋1都是减函数，所以 f （ x ）是增函数.故选A.
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4. 如图为函数 y ＝ m ＋log nx 的图象，其中 m ， n 为常数，则下列结论
正确的是（ ）
A. m ＜0， n ＞1
B. m ＞0， n ＞1
C. m ＞0，0＜ n ＜1
D. m ＜0，0＜ n ＜1
解析： 根据图象可知，函数 y ＝ m ＋log nx （ m ， n 是常数）是
减函数，所以0＜ n ＜1；又当 x ＝1时， y ＜0，即 y ＝ m ＋log n 1＝ m
＜0.故选D.
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5. （多选）函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的反函
数，则下列结论正确的是（ ）
A. f （ x2）＝2 f （ x ）
B. f （2 x ）＝ f （ x ）＋ f （2）
C. f ＝ f （ x ）－ f （2）
D. f （2 x ）＝2 f （ x ）
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解析： 因为函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）
的反函数，所以 f （ x ）＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）.所以 f （ x2）＝
log ax2＝2log ax ＝2 f （ x ）， f （2 x ）＝log a （2 x ）＝log a 2＋log ax
＝ f （ x ）＋ f （2）， f ＝log a （ x ）＝log ax －log a 2＝ f （ x ）
－ f （2）.所以选项A、B、C正确.
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6. （多选）已知 a ＞0，且 a ≠1，则函数 y ＝ a－ x 与 y ＝log a （－ x ）
的图象可能是（ ）
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解析： 当 a ＞1时， y ＝ a－ x 是减函数，图象恒过点（0，
1）， y ＝log a （－ x ）是减函数，定义域为（－∞，0），图象
恒过点（－1，0），C选项符合题意；当0＜ a ＜1时， y ＝ a－ x
是增函数，图象恒过点（0，1）， y ＝log a （－ x ）是增函数，
定义域为（－∞，0），图象恒过点（－1，0），D选项符合题
意.故选C、D.
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7. 函数 f （ x ）＝｜lo x ｜的单调递增区间是 .
解析： f （ x ）的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，
＋∞）.
[1，＋∞）
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8. 设 a ＞1，函数 f （ x ）＝log ax 在区间[ a ，2 a ]上的最大值与最小值
之差为 ，则 a ＝ .
解析：∵ a ＞1，∴ f （ x ）＝log ax 在[ a ，2 a ]上单调递增，∴log a
（2 a ）－log aa ＝ ，即log a 2＝ ，∴ ＝2， a ＝4.
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9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家
发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v ＝ log3 ，单位是m/s，其中 O
表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它
的游速是 m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为 .
解析：当 O ＝2 700时， v ＝ log3 ＝ log3 ＝ log327＝
（m/s）.一条鱼静止时， v ＝0，则 log3 ＝0，所以 ＝1，所
以 O ＝100.
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10. 设函数 f （ x ）＝lg （ a ∈R），且 f （1）＝0.
（1）求 a 的值；
解： 函数 f （ x ）＝lg （ a ∈R），且 f （1）＝0，
则 f （1）＝lg ＝0.则 ＝1，解得 a ＝2.
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（2）判断 f （ x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并用单调性的
定义证明.
解： f （ x ）＝lg 在区间（0，＋∞）上单调递减.
证明：设0＜ x1＜ x2， f （ x1）－ f （ x2）＝lg －lg ＝
lg ＝lg（ x2＋1）－lg（ x1＋1），
因为0＜ x1＜ x2，所以lg（ x2＋1）＞lg（ x1＋1），所以 f
（ x1）－ f （ x2）＞0，
即 f （ x1）＞ f （ x2），即函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调
递减.
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11. 函数 f （ x ）＝lg（｜ x ｜－1）的大致图象是（ ）
解析： 由 f （ x ）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），
且 f （－ x ）＝lg（｜－ x ｜－1）＝lg（｜ x ｜－1）＝ f （ x ），得
f （ x ）是偶函数，由此知C、D错误.又当 x ＞1时， f （ x ）＝lg
（ x －1）在（1，＋∞）上单调递增，所以B正确.故选B.
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12. （多选）设偶函数 f （ x ）＝log a ｜ x － b ｜在（－∞，0）上单调
递增，则下列说法正确的是（ ）
A. f （ a ＋1）＞ f （ b ＋2）
B. f （ a ＋1）＜ f （ b ＋2）
C. f （1）＝0
D. f （1）＞0
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解析： 由于函数 f （ x ）＝log a ｜ x － b ｜是偶函数，所
以 b ＝0，又函数 f （ x ）在（－∞，0）上单调递增，所以 f
（ x ）在（0，＋∞）上单调递减，则0＜ a ＜1，所以有1＜ a
＋1＜2.因为 f （ a ＋1）＝log a ｜ a ＋1｜， f （ b ＋2）＝log a
2，所以 f （ a ＋1）＞ f （ b ＋2）.又 f （ x ）＝log a ｜ x ｜，
所以 f （1）＝0.故选A、C.
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13. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为2， BC 平行于 x 轴，顶点 A ， B
和 C 分别在函数 y1＝3log ax ， y2＝2log ax 和 y ＝log ax （ a ＞1）的图
象上，则实数 a ＝ .
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解析：设 B （ x ，2log ax ），∵ BC 平行于 x 轴，∴ C （x'，2log
ax ），即log a x'＝2log ax ，∴x'＝ x2，∴正方形 ABCD 的边长 BC ＝
x2－ x ＝2，解得 x ＝2.由已知得 AB 垂直于 x 轴，∴ A （ x ，3log
ax ），正方形 ABCD 的边长 AB ＝3log ax －2log ax ＝log ax ＝2，即
log a 2＝2，∴ a ＝ .
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14. 已知函数 y ＝ f （ x ）的图象与 g （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1）的
图象关于 x 轴对称，且 g （ x ）的图象过点（9，2）.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解： 因为 g （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1）的图象过点
（9，2），
所以log a 9＝2，解得 a ＝3，所以 g （ x ）＝log3 x .
又因为函数 y ＝ f （ x ）的图象与 g （ x ）＝log3 x 的图象关于
x 轴对称，所以 f （ x ）＝lo x .
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（2）若 f （3 x －1）＞ f （－ x ＋5），求 x 的取值范围.
解： 因为 f （3 x －1）＞ f （－ x ＋5），
即lo （3 x －1）＞lo （－ x ＋5），
则解得 ＜ x ＜ ，
所以 x 的取值范围为 .
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15. 已知函数 f （ x ）＝lg[（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1].
（1）若 f （ x ）的定义域为R，求实数 a 的取值范围；
解： 函数 f （ x ）＝lg[（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1]的定义域为R，
即（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1＞0在R上恒成立.
当 a2－1＝0时，得 a ＝1或 a ＝－1.
当 a ＝1时，显然2 x ＋1＞0在R上不能恒成立，故舍去；当 a ＝－1时，1＞0恒成立.
当 a2－1≠0，即 a ≠±1时，
则解得 a ＞ 或 a
＜－1.
综上可得，实数 a 的取值范围是（－∞，－1]∪ .
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（2）若 f （ x ）的值域为R，求实数 a 的取值范围.
解： 设 u （ x ）＝（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1.
因为 f （ x ）的值域为R，所以 u （ x ）＝（ a2－1） x2＋（ a
＋1） x ＋1的函数值要取遍所有的正数，
即（0，＋∞）是 u （ x ）值域的子集.
当 a2－1＝0时，得 a ＝1或 a ＝－1.
当 a ＝1时，符合题意；当 a ＝－1时，不符合题意.
当 a ≠±1时，函数 u （ x ）为二次函数，
即函数 u （ x ）＝（ a2－1） x2＋（ a ＋1） x ＋1的图象与 x 轴
有交点且开口向上，
则解得1＜ a ≤ .
综上可知，实数 a 的取值范围是 .
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