培优课 与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题
题型一 与指（对）数函数有关的恒成立问题
角度1 转换成函数最值
【例1】 已知x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·4x－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围.
通性通法
转换成函数最值解决恒成立问题的思路
（1）m≥f（x）在x∈D上恒成立 m≥f（x）max，x∈D；
（2）m≤f（x）在x∈D上恒成立 m≤f（x）min，x∈D.
角度2 借助函数图象
【例2】 当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（1，2] D.（0，）
通性通法
借助函数图象解决恒成立问题的思路
（1）若f（x）＞g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的上方；
（2）若f（x）＜g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的下方.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ax－（a＞1），不等式f（x2＋bx）＋f（4－x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围.
题型二 与指（对）数函数有关的能成立问题
【例3】 已知函数f（x）＝b·ax（a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）.
（1）求a，b的值；
（2）若不等式（）x≥2m＋1在x∈[1，＋∞）上能成立，求实数m的取值范围.
通性通法
解决能成立问题的思路
（1）m≥f（x）在x∈D上能成立 m≥f（x）min，x∈D；
（2）m≤f（x）在x∈D上能成立 m≤f（x）max，x∈D.
【跟踪训练】
若不等式lo（－x2＋4x＋4）≤m2－4m在x∈（0，3）上能成立，则实数m的取值范围为 .
1.若｜log2x｜＋1≥（）－m＋2恒成立，则m的取值范围为（ ）
A.（－∞，2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
2.若不等式（）x＋（）x－m≥0在（－∞，1]上恒成立，则m的取值范围为 .
3.若关于x的不等式32x－2·3x＋a2－a－1＞0在x∈[0，1]上恒成立，求a的取值范围.
培优课 与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：原不等式变形为m2－m＜（）x，
因为函数y＝（）x在（－∞，－1]上单调递减，所以（）x≥（）－1＝2，
故当x∈（－∞，－1]时，m2－m＜（）x恒成立等价于m2－m＜2成立，
解得－1＜m＜2.
故实数m的取值范围为（－1，2）.
【例2】 C 设f1（x）＝（x－1）2，f2（x）＝logax，要使当x∈（1，2）时，不等式（x－1）2＜logax恒成立，只需f1（x）＝（x－1）2在（1，2）上的图象在f2（x）＝logax在（1，2）上的图象的下方即可.当0＜a＜1时，显然不成立.当a＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上，f1（x）＝（x－1）2的图象在f2（x）＝logax的图象下方，只需f1（2）≤f2（2），即（2－1）2≤loga2，loga2≥1，解得1＜a≤2，故选C.
跟踪训练
解： x∈R，f（－x）＝a－x－＝－ax＝－f（x），即f（x）是R上的奇函数.
当a＞1时，由复合函数单调性可知f（x）在R上是增函数.
因为f（x2＋bx）＋f（4－x）＞0，
所以f（x2＋bx）＞－f（4－x）＝f（x－4），
即x2＋bx＞x－4，
因此，x2＋（b－1）x＋4＞0对x∈R恒成立，
故Δ＝（b－1）2－16＝（b－5）（b＋3）＜0，
解得－3＜b＜5.
故实数b的取值范围为（－3，5）.
【例3】 解：（1）由题意可得
解得a＝2，b＝3.
（2）由于不等式（）x≥2m＋1在x∈[1，＋∞）上能成立，且由（1）知a＝2，b＝3，
则2m＋1≤［（）x］max，
由于指数函数y＝（）x在[1，＋∞）上单调递减，则ymax＝，所以2m＋1≤，
解得m≤－.
因此，实数m的取值范围是（ －∞，－］.
跟踪训练
（－∞，1]∪[3，＋∞）
解析：由lo（－x2＋4x＋4）≤m2－4m在x∈（0，3）上能成立，则m2－4m≥[lo（－x2＋4x＋4）]min，设f（x）＝lo（－x2＋4x＋4），则f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，3）上单调递增，故f（x）min＝f（2）＝lo8＝－3，故m2－4m≥－3，即m2－4m＋3≥0，解得m≤1或m≥3，即m的取值范围为（－∞，1]∪[3，＋∞）.
随堂检测
1.A 作出函数f（x）＝｜log2x｜＋1的图象如图所示，由｜log2x｜＋1≥（）－m＋2恒成立，则（）－m＋2≤f（x）min，由图象知，f（x）min＝1，故（）－m＋2≤1，即－m＋2≥0，m≤2，故选A.
2.（ －∞，］ 解析：当x∈（－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在（－∞，1]上恒成立.又因为y＝与y＝在（－∞，1]上均为减函数，所以y＝＋在（－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
3.解：设t＝3x，则t∈[1，3]，
原不等式可化为a2－a－1＞－t2＋2t，t∈[1，3]，即a2－a－1＞f（t）max，又f（t）＝－t2＋2t在t∈[1，3]上的最大值为1，故a2－a－1＞1，即a2－a－2＞0，
解得a＜－1或a＞2，
故a的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
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培优课
与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 与指（对）数函数有关的恒成立问题
角度1 转换成函数最值
【例1】 已知 x ∈（－∞，－1]时，不等式（ m2－ m ）·4 x －2 x ＜0恒
成立，求实数 m 的取值范围.
解：原不等式变形为 m2－ m ＜（ ） x ，
因为函数 y ＝（ ） x 在（－∞，－1]上单调递减，所以（ ） x ≥
（ ）－1＝2，
故当 x ∈（－∞，－1]时， m2－ m ＜（ ） x 恒成立等价于 m2－ m ＜2
成立，
解得－1＜ m ＜2.
故实数 m 的取值范围为（－1，2）.
通性通法
转换成函数最值解决恒成立问题的思路
（1） m ≥ f （ x ）在 x ∈ D 上恒成立 m ≥ f （ x ）max， x ∈ D ；
（2） m ≤ f （ x ）在 x ∈ D 上恒成立 m ≤ f （ x ）min， x ∈ D .
角度2 借助函数图象
【例2】 当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax 恒成立，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （1，2] D. （0， ）
解析： 设 f1（ x ）＝（ x －1）2， f2（ x ）＝log
ax ，要使当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log
ax 恒成立，只需 f1（ x ）＝（ x －1）2在（1，2）上的
图象在 f2（ x ）＝log ax 在（1，2）上的图象的下方即
可.当0＜ a ＜1时，显然不成立.当 a ＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上， f1（ x ）＝（ x －1）2的图象在 f2（ x ）＝log ax 的图象下方，只需 f1（2）≤ f2（2），即（2－1）2≤log a 2，log a 2≥1，解得1＜ a ≤2，故选C.
通性通法
借助函数图象解决恒成立问题的思路
（1）若 f （ x ）＞ g （ x ）在 x ∈ D 上恒成立，则在区间 D 上，函数 y
＝ f （ x ）的图象在函数 y ＝ g （ x ）图象的上方；
（2）若 f （ x ）＜ g （ x ）在 x ∈ D 上恒成立，则在区间 D 上，函数 y
＝ f （ x ）的图象在函数 y ＝ g （ x ）图象的下方.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ ax － （ a ＞1），不等式 f （ x2＋ bx ）＋ f （4－
x ）＞0在 x ∈R上恒成立，求实数 b 的取值范围.
解： x ∈R， f （－ x ）＝ a－ x － ＝ － ax ＝－ f （ x ），即 f （ x ）
是R上的奇函数.
当 a ＞1时，由复合函数单调性可知 f （ x ）在R上是增函数.
因为 f （ x2＋ bx ）＋ f （4－ x ）＞0，
所以 f （ x2＋ bx ）＞－ f （4－ x ）＝ f （ x －4），
即 x2＋ bx ＞ x －4，
因此， x2＋（ b －1） x ＋4＞0对 x ∈R恒成立，
故Δ＝（ b －1）2－16＝（ b －5）（ b ＋3）＜0，
解得－3＜ b ＜5.
故实数 b 的取值范围为（－3，5）.
题型二 与指（对）数函数有关的能成立问题
【例3】 已知函数 f （ x ）＝ b · ax （ a ， b 为常数且 a ＞0， a ≠1）的
图象经过点 A （1，6）， B （3，24）.
（1）求 a ， b 的值；
解：由题意可得
解得 a ＝2， b ＝3.
（2）若不等式（ ） x ≥2 m ＋1在 x ∈[1，＋∞）上能成立，求实数 m
的取值范围.
解：由于不等式（ ） x ≥2 m ＋1在 x ∈[1，＋∞）上能成立，
且由（1）知 a ＝2， b ＝3，则2 m ＋1≤［（ ） x ］max，
由于指数函数 y ＝（ ） x 在[1，＋∞）上单调递减，则 ymax＝
，所以2 m ＋1≤ ，解得 m ≤－ .
因此，实数 m 的取值范围是（ －∞，－ ］.
通性通法
解决能成立问题的思路
（1） m ≥ f （ x ）在 x ∈ D 上能成立 m ≥ f （ x ）min， x ∈ D ；
（2） m ≤ f （ x ）在 x ∈ D 上能成立 m ≤ f （ x ）max， x ∈ D .
【跟踪训练】
若不等式lo （－ x2＋4 x ＋4）≤ m2－4 m 在 x ∈（0，3）上能成立，
则实数 m 的取值范围为 .
（－∞，1]∪[3，＋∞）
解析：由lo （－ x2＋4 x ＋4）≤ m2－4 m 在 x ∈（0，3）上能成立，
则 m2－4 m ≥[lo （－ x2＋4 x ＋4）]min，设 f （ x ）＝lo （－ x2＋4
x ＋4），则 f （ x ）在（0，2]上单调递减，在（2，3）上单调递增，
故 f （ x ）min＝ f （2）＝lo 8＝－3，故 m2－4 m ≥－3，即 m2－4 m ＋
3≥0，解得 m ≤1或 m ≥3，即 m 的取值范围为（－∞，1]∪[3，＋
∞）.
1. 若｜log2 x ｜＋1≥（ ）－ m＋2恒成立，则 m 的取值范围为（ ）
A. （－∞，2] B. [－2，0）
C. （0，2] D. [2，＋∞）
解析： 作出函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜＋1的图象如
图所示，由｜log2 x ｜＋1≥（ ）－ m＋2恒成立，则
（ ）－ m＋2≤ f （ x ）min，由图象知， f （ x ）min＝1，
故（ ）－ m＋2≤1，即－ m ＋2≥0， m ≤2，故选A.
2. 若不等式（ ） x ＋（ ） x － m ≥0在（－∞，1]上恒成立，则 m 的
取值范围为 .
解析：当 x ∈（－∞，1]时， ＋ － m ≥0恒成立，即 m ≤
＋ 在（－∞，1]上恒成立.又因为 y ＝ 与 y ＝ 在
（－∞，1]上均为减函数，所以 y ＝ ＋ 在（－∞，1]上也
是减函数，所以当 x ＝1时， y ＝ ＋ 有最小值 ，所以 m ≤
，即 m 的取值范围是 .
（ －∞， ］
3. 若关于 x 的不等式32 x －2·3 x ＋ a2－ a －1＞0在 x ∈[0，1]上恒成
立，求 a 的取值范围.
解：设 t ＝3 x ，则 t ∈[1，3]，
原不等式可化为 a2－ a －1＞－ t2＋2 t ， t ∈[1，3]，即 a2－ a －1＞
f （ t ）max，又 f （ t ）＝－ t2＋2 t 在 t ∈[1，3]上的最大值为1，故 a2
－ a －1＞1，即 a2－ a －2＞0，
解得 a ＜－1或 a ＞2，
故 a 的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知实数 x ， y 满足ln x ＞ln｜ y ｜，则下列关系式中恒成立的是
（ ）
A. （ ） x ＞（ ） y B. 2 x ＞2 y
C. x ＜ y D. ＜
解析： 由题意知 x ＞｜ y ｜＞0，－ x ＜ y ＜ x ，故C错误；由指
数函数的单调性可知选项B正确；对于选项A，因为 y ＜ x ，结合指
数函数的单调性可得（ ） x ＜（ ） y ，故A错误；对于选项D，取
x ＝2， y ＝－1，故D错误.故选B.
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2. 如图所示，函数 f （ x ）的图象为折线 ACB ，则不等式 f （ x ）
≥log2（ x ＋1）的解集是（ ）
A. { x ｜－1＜ x ≤0} B. { x ｜－1≤ x ≤1}
C. { x ｜－1＜ x ≤1} D. { x ｜－1＜ x ≤2}
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解析： 在平面直角坐标系中作出函数 y
＝log2（ x ＋1）的大致图象，如图所示，且
y ＝log2（ x ＋1）的定义域为（－1，＋
∞）.由图可知， f （ x ）≥log2（ x ＋1）的
解集是{ x ｜－1＜ x ≤1}.
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3. 若对任意的 t ∈[－2，2]，不等式 a ·2 t －2－ t ＋1≥0（ a 为常数）恒
成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （ －∞， ］ B. （－∞， ］
C. ［ ，＋∞） D. [12，＋∞）
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解析： 对任意的 t ∈[－2，2]，不等式 a ·2 t －2－ t ＋1≥0（ a 为
常数）恒成立，即不等式 a ≥（ ）2－ 在 t ∈[－2，2]上恒成
立.令 m ＝ ，则 m ∈［ ，4］，则 f （ m ）＝ m2－ m ， f （ m ）在
［ ，4］上有最大值12，所以 a ≥12.故选D.
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4. （多选）已知 g （ x ）为偶函数， h （ x ）为奇函数，且满足 g
（ x ）－ h （ x ）＝2 x .若存在 x ∈[－1，1]，使得不等式 mg （ x ）
＋ h （ x ）≤0能成立，则实数 m 的值可以为（ ）
A. －1 B.
C. 1 D. 2
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解析： 因为 g （ x ）－ h （ x ）＝2 x ①，所以 g （－ x ）－ h
（－ x ）＝2－ x ，又 g （ x ）为偶函数， h （ x ）为奇函数，所以 g
（ x ）＋ h （ x ）＝2－ x ②，联立①②，得 g （ x ）＝ ， h
（ x ）＝ .由 mg （ x ）＋ h （ x ）≤0得 m ≤ ＝ ＝
1－ .因为 y ＝1－ 为R上的增函数，所以当 x ∈[－1，1]
时，（1－ ）max＝1－ ＝ ，所以 m ≤ ，结合选项知 m 的
值可以为－1， ，故选A、B.
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5. 使log2（－ x ）＜ x ＋1恒成立的 x 的取值范围是 .
解析：设 y1＝log2（－ x ）， y2＝ x ＋1，在同一坐
标系中画出 y1， y2的图象，如图所示.易知当 x ＝
－1时， y1＝ y2＝0，再由图易知使 y1＜ y2恒成立的
x 的取值范围为（－1，0）.
（－1，0）
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6. 若不等式 ＞（ ） x＋1对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取
值范围为 .
解析：因为不等式 ＞（ ） x＋1对一切实数 x 恒成立，所以
＞（3－1） x＋1，即 ＞3－ x－1对一切实数 x 恒成立，
又因为 y ＝3 x 为R上的增函数，所以 x2－2 ax ＞－ x －1对一切实数 x
恒成立，所以 x2＋（1－2 a ） x ＋1＞0对一切实数 x 恒成立，故Δ＝
（1－2 a ）2－4＜0，解得－ ＜ a ＜ .
（－ ， ）
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7. 已知函数 f （ x ）＝（lo x ）2＋ a lo x ＋2，若对任意的 x ∈
［ ，1）， f （ x ）≤3恒成立，则实数 a 的最大值为 － .
－
解析：令 t ＝lo x ，由 x ∈［ ，1）可得 t ∈（0，2]，原问题转化
为对任意 t ∈（0，2]， t2＋ at ＋2≤3恒成立，参变量分离即 a ≤
－ t 对任意 t ∈（0，2]恒成立.因为函数 y ＝ － t 在（0，2]上单调
递减，则 ymin＝ －2＝－ ，所以 a ≤－ ，即实数 a 的最大值为－
.
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8. 已知函数 f （ x ）＝log2（ ＋1）是奇函数， a ∈R.
（1）求 a 的值；
解： 令 ＋1＞0，则 ＞0， x ＜－ a －1或 x ＞
－ a ，
f （ x ）是奇函数，其定义域关于原点对称，－ a －1－ a ＝
0， a ＝－ .
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（2）对任意的 x ∈（－∞，0），不等式 f （2 x ＋1）＞log2（ m －2
x ）恒成立，求实数 m 的取值范围.
解： f （2 x ＋1）＞log2（ m －2 x ），
即log2（ ＋1）＞log2（ m －2 x ），
整理得 m ＜2 x ＋ ＋ ＋ ，
令 u ＝2 x ＋ ， x ∈（－∞，0），所以 u ∈（ ， ），
令 g （ u ）＝ u ＋ ＋ ，易知 g （ u ）≥ ，
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当 u ＝1时取等号，所以 m ＜ .
又由 m －2 x ＞0，即 m ＞2 x ，故 m ≥1，
所以 m 的取值范围是［1， ）.
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9. 已知函数 f （ x ）＝log a （8－ ax ）（ a ＞0， a ≠1）.
（1）若 f （ x ）＜2，求实数 x 的取值范围；
解： 当 a ＞1时，由 f （ x ）＜2，得0＜8－ ax ＜ a2，所
以 － a ＜ x ＜ ；
当0＜ a ＜1时，可知8－ ax ＞ a2，
所以 x ＜ － a .
所以当 a ＞1时， x 的取值范围是（ － a ， ）；
当0＜ a ＜1时， x 的取值范围是（－∞， － a ）.
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（2）若 f （ x ）＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数 a 的取值范围.
解： 当 a ＞1时， f （ x ）＝log a （8－ ax ）在[1，2]上单
调递减.
由 f （ x ）＞1恒成立，得 f （ x ）min＝log a （8－2 a ）＞1，
即8－2 a ＞ a ＞1，解得1＜ a ＜ .
当0＜ a ＜1时， f （ x ）在[1，2]上单调递增.
由 f （ x ）＞1恒成立，
得 f （ x ）min＝log a （8－ a ）＞1，且8－2 a ＞0，
即0＜8－ a ＜ a 且8－2 a ＞0，
所以4＜ a ＜8，且 a ＜4，故 a 不存在.
综上可知，实数 a 的取值范围是（1， ）.
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10. 已知函数 g （ x ）＝ ax2－2 ax ＋1＋ b （ a ＞0）在区间[2，3]上有
最大值4和最小值1.设 f （ x ）＝ .
（1）求 a ， b 的值；
解： g （ x ）＝ a （ x －1）2＋1＋ b － a ，
因为 a ＞0，所以 g （ x ）在区间[2，3]上单调递增，故
解得
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（2）若不等式 f （2 x ）－ k ·2 x ≥0在 x ∈[－1，1]上有解，求实数
k 的取值范围.
解： 由（1）可得 f （ x ）＝ x ＋ －2，
所以 f （2 x ）－ k ·2 x ≥0可化为2 x ＋ －2≥ k ·2 x ，化为1＋
（ ）2－2· ≥ k .
令 t ＝ ，则 k ≤ t2－2 t ＋1.
因为 x ∈[－1，1]，故 t ∈［ ，2］.
记 h （ t ）＝ t2－2 t ＋1，因为 t ∈［ ，2］，
故 h （ t ）max＝1，所以实数 k 的取值范围是（－∞，1].
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谢 谢 观 看！培优课 与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题
1.已知实数x，y满足ln x＞ln｜y｜，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A.（）x＞（）y B.2x＞2y
C.x＜y D.＜
2.如图所示，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（ ）
A.{x｜－1＜x≤0} B.{x｜－1≤x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1＜x≤2}
3.若对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0（a为常数）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（ －∞，］ B.（－∞，］
C.［，＋∞） D.[12，＋∞）
4.（多选）已知g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，且满足g（x）－h（x）＝2x.若存在x∈[－1，1]，使得不等式mg（x）＋h（x）≤0能成立，则实数m的值可以为（ ）
A.－1 B.
C.1 D.2
5.使log2（－x）＜x＋1恒成立的x的取值范围是 .
6.若不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 .
7.已知函数f（x）＝（lox）2＋alox＋2，若对任意的x∈［，1），f（x）≤3恒成立，则实数a的最大值为 .
8.已知函数f（x）＝log2（＋1）是奇函数，a∈R.
（1）求a的值；
（2）对任意的x∈（－∞，0），不等式f（2x＋1）＞log2（m－2x）恒成立，求实数m的取值范围.
9.已知函数f（x）＝loga（8－ax）（a＞0，a≠1）.
（1）若f（x）＜2，求实数x的取值范围；
（2）若f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围.
10.已知函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f（x）＝.
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围.
培优课 与指（对）数函数有关的恒（能）成立问题
1.B 由题意知x＞｜y｜＞0，－x＜y＜x，故C错误；由指数函数的单调性可知选项B正确；对于选项A，因为y＜x，结合指数函数的单调性可得（）x＜（）y，故A错误；对于选项D，取x＝2，y＝－1，故D错误.故选B.
2.C 在平面直角坐标系中作出函数y＝log2（x＋1）的大致图象，如图所示，且y＝log2（x＋1）的定义域为（－1，＋∞）.由图可知，f（x）≥log2（x＋1）的解集是{x｜－1＜x≤1}.
3.D 对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0（a为常数）恒成立，即不等式a≥（）2－在t∈[－2，2]上恒成立.令m＝，则m∈［，4］，则f（m）＝m2－m，f（m）在［，4］上有最大值12，所以a≥12.故选D.
4.AB 因为g（x）－h（x）＝2x①，所以g（－x）－h（－x）＝2－x，又g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，所以g（x）＋h（x）＝2－x②，联立①②，得g（x）＝，h（x）＝.由mg（x）＋h（x）≤0得m≤＝＝1－.因为y＝1－为R上的增函数，所以当x∈[－1，1]时，（1－）max＝1－＝，所以m≤，结合选项知m的值可以为－1，，故选A、B.
5.（－1，0） 解析：设y1＝log2（－x），y2＝x＋1，在同一坐标系中画出y1，y2的图象，如图所示.易知当x＝－1时，y1＝y2＝0，再由图易知使y1＜y2恒成立的x的取值范围为（－1，0）.
6.（－，） 解析：因为不等式＞（）x＋1对一切实数x恒成立，所以＞（3－1）x＋1，即＞3－x－1对一切实数x恒成立，又因为y＝3x为R上的增函数，所以x2－2ax＞－x－1对一切实数x恒成立，所以x2＋（1－2a）x＋1＞0对一切实数x恒成立，故Δ＝（1－2a）2－4＜0，解得－＜a＜.
7.－ 解析：令t＝lox，由x∈［，1）可得t∈（0，2]，原问题转化为对任意t∈（0，2]，t2＋at＋2≤3恒成立，参变量分离即a≤－t对任意t∈（0，2]恒成立.因为函数y＝－t在（0，2]上单调递减，则ymin＝－2＝－，所以a≤－，即实数a的最大值为－.
8.解：（1）令＋1＞0，则＞0，x＜－a－1或x＞－a，
f（x）是奇函数，其定义域关于原点对称，－a－1－a＝0，a＝－.
（2）f（2x＋1）＞log2（m－2x），
即log2（＋1）＞log2（m－2x），
整理得m＜2x＋＋＋，
令u＝2x＋，x∈（－∞，0），所以u∈（，），
令g（u）＝u＋＋，易知g（u）≥，
当u＝1时取等号，所以m＜.
又由m－2x＞0，即m＞2x，故m≥1，
所以m的取值范围是［1，）.
9.解：（1）当a＞1时，由f（x）＜2，得0＜8－ax＜a2，所以－a＜x＜；
当0＜a＜1时，可知8－ax＞a2，
所以x＜－a.
所以当a＞1时，x的取值范围是（－a，）；
当0＜a＜1时，x的取值范围是（－∞，－a）.
（2）当a＞1时，f（x）＝loga（8－ax）在[1，2]上单调递减.
由f（x）＞1恒成立，得f（x）min＝loga（8－2a）＞1，
即8－2a＞a＞1，解得1＜a＜.
当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递增.
由f（x）＞1恒成立，
得f（x）min＝loga（8－a）＞1，且8－2a＞0，
即0＜8－a＜a且8－2a＞0，
所以4＜a＜8，且a＜4，故a不存在.
综上可知，实数a的取值范围是（1，）.
10.解：（1）g（x）＝a（x－1）2＋1＋b－a，
因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上单调递增，故解得
（2）由（1）可得f（x）＝x＋－2，
所以f（2x）－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，化为1＋（）2－2·≥k.
令t＝，则k≤t2－2t＋1.
因为x∈[－1，1]，故t∈［，2］.
记h（t）＝t2－2t＋1，因为t∈［，2］，
故h（t）max＝1，所以实数k的取值范围是（－∞，1].
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