一、幂函数
掌握五种常用幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象与性质，理解它们的变化规律，会应用幂函数的图象及性质比较大小，解方程或不等式等.
【例1】 （1）已知函数y＝＋1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，若点P在幂函数f（x）的图象上，则幂函数f（x）的图象大致是（ ）
（2）实数1.，0.，0.的大小关系是 ；
（3）已知函数f（x）＝在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，则最小的正整数a＝ .
反思感悟
1.幂函数的图象与性质特征的关系
（1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式；
（2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；
（3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋∞）上单调递减，则α＜0.
2.比较幂值大小的策略
（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较；
（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较；
（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.
二、指数函数、对数函数的图象及应用
掌握指数、对数函数图象的作法及简单的图象变换，会利用指数、对数函数的图象解决与方程和不等式有关的一些问题.
【例2】 （1）已知函数y＝ax的图象如图，则f（x）＝loga（－x＋1）的图象为（ ）
（2）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
反思感悟
指数、对数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数、对数函数图象入手，通过平移、对称、翻折变换得到相关函数的图象.
三、指数函数、对数函数的性质及应用
掌握指数、对数函数的图象和性质，能利用指数、对数函数的性质比较大小、解方程和不等式等.
【例3】 （1）（多选）对于函数f（x）＝lg（｜x－1｜＋1），下列判断正确的是（ ）
A.f（x＋1）是偶函数
B.f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增
C.方程f（x）＝0有两个根
D.f（x）的值域为[0，＋∞）
（2）已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，求a，b，c的大小关系.
反思感悟
1.指数、对数函数由于底数的不同取值而具有不同的单调性，因此利用函数单调性比较大小、解决不等关系等问题时应特别注意底数范围对函数单调性的影响.
2.含有对数式或指数式的函数也常通过换元（注意取值范围）转化，再求解相关问题.
提醒 在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围.
章末复习与总结
【例1】 （1）A （2）0.＜0.＜1. （3）3 解析：（1）由x－＝0得x＝，y＝2，即定点为（ ，2），设f（x）＝xα，则（ ）α＝2，α＝－1，∴f（x）＝x－1，图象为A.
（2）∵y＝是增函数，而0.＝（，0.7＜＜1.7，∴0.＜0.＜1..
（3）∵幂函数f（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，∴1－a＜0，即a＞1，又幂函数f（x）＝在（－∞，0）上单调递增，∴1－a为负偶数，∴最小的正整数a＝3.
【例2】 （1）D （2）B 解析：（1）由y＝ax的图象可知，函数过点（1，3），所以a1＝3，即a＝3，所以f（x）＝log3（－x＋1），所以f（0）＝0，排除A、B，f（－2）＝1，排除C.故选D.
（2）当a＞1时，显然不成立.当0＜a＜1时，如图，由x＝，可得＝2，此时对数loga＝2，解得a＝，根据对数函数的图象和性质可知，要使4x＜logax在0＜x≤时恒成立，则有＜a＜1，故选B.
【例3】 （1）解析：ABD 因为f（x）＝lg（｜x－1｜＋1），所以f（x＋1）＝lg（｜x｜＋1），为偶函数，故A正确；当x∈（－∞，1）时，f（x）＝lg（－x＋2），单调递减，当x∈（1，＋∞）时，f（x）＝lg x，单调递增，故B正确；令f（x）＝lg（｜x－1｜＋1）＝0，可解得x＝1，所以只有一个根，故C错误；因为｜x－1｜＋1≥1，所以f（x）≥0，故D正确.故选A、B、D.
（2）解：因为y＝0.2x在R上是减函数，所以0＜0.20.3＜0.20＝1，所以0＜a＜1，
又因为2b＝0.3且y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，所以b＝log20.3＜log21＝0，所以b＜0，
又因为y＝log0.3x在（0，＋∞）上是减函数，所以log0.30.2＞log0.30.3＝1，所以c＞1，
综上可知c＞a＞b.
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章末复习与总结
一、幂函数
掌握五种常用幂函数 y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ x3， y ＝ x－1， y ＝ 的
图象与性质，理解它们的变化规律，会应用幂函数的图象及性质比较
大小，解方程或不等式等.
【例1】 （1）已知函数 y ＝ ＋1（ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过
定点 P ，若点 P 在幂函数 f （ x ）的图象上，则幂函数 f （ x ）的图象大
致是（ A ）
解析：由 x － ＝0得 x ＝ ， y ＝2，即定点为（ ，2），设 f （ x ）＝
xα，则（ ）α＝2，α＝－1，∴ f （ x ）＝ x－1，图象为A.
A
（2）实数1. ，0. ，0. 的大小关系是 0. ＜0. ＜1.
；
解析：∵ y ＝ 是增函数，而0. ＝（ ，0.7＜ ＜
1.7，∴0. ＜0. ＜1. .
0. ＜0. ＜1.
（3）已知函数 f （ x ）＝ 在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋
∞）上单调递减，则最小的正整数 a ＝ .
解析：∵幂函数 f （ x ）＝ 在（0，＋∞）上单调递减，∴1
－ a ＜0，即 a ＞1，又幂函数 f （ x ）＝ 在（－∞，0）上单
调递增，∴1－ a 为负偶数，∴最小的正整数 a ＝3.
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反思感悟
1. 幂函数的图象与性质特征的关系
（1）幂函数的形式是 y ＝ xα（α∈R），其中只有一个参数α，
因此只需一个条件即可确定其解析式；
（2）判断幂函数 y ＝ xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α
是分数时，一般将其先化为根式，再判断；
（3）若幂函数 y ＝ xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在
（0，＋∞）上单调递减，则α＜0.
2. 比较幂值大小的策略
（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行
比较；
（2）同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比
较；
（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通
过比较幂值与中间值的大小来判断.
二、指数函数、对数函数的图象及应用
掌握指数、对数函数图象的作法及简单的图象变换，会利用指
数、对数函数的图象解决与方程和不等式有关的一些问题.
【例2】 （1）已知函数 y ＝ ax 的图象如图，则 f （ x ）＝log a （－ x
＋1）的图象为（ D ）
D
解析：由 y ＝ ax 的图象可知，函数过点（1，3），所以 a1＝3，即 a ＝
3，所以 f （ x ）＝log3（－ x ＋1），所以 f （0）＝0，排除A、B， f
（－2）＝1，排除C. 故选D.
（2）当0＜ x ≤ 时，4 x ＜log ax ，则 a 的取值范围是（ B ）
A. B.
C. D.
解析：当 a ＞1时，显然不成立.当0＜ a ＜1时，如图，由 x ＝
，可得 ＝2，此时对数log a ＝2，解得 a ＝ ，根据对数函
数的图象和性质可知，要使4 x ＜log ax 在0＜ x ≤ 时恒成立，则
有 ＜ a ＜1，故选B.
B
反思感悟
指数、对数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊
点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数、对数函数图象入
手，通过平移、对称、翻折变换得到相关函数的图象.
三、指数函数、对数函数的性质及应用
掌握指数、对数函数的图象和性质，能利用指数、对数函数的性
质比较大小、解方程和不等式等.
【例3】 （1）（多选）对于函数 f （ x ）＝lg（｜ x －1｜＋1），下
列判断正确的是（ ）
A. f （ x ＋1）是偶函数
B. f （ x ）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增
C. 方程 f （ x ）＝0有两个根
D. f （ x ）的值域为[0，＋∞）
解析： 因为 f （ x ）＝lg（｜ x －1｜＋1），所以 f （ x ＋1）＝
lg（｜ x ｜＋1），为偶函数，故A正确；当 x ∈（－∞，1）时， f
（ x ）＝lg（－ x ＋2），单调递减，当 x ∈（1，＋∞）时， f （ x ）＝
lg x ，单调递增，故B正确；令 f （ x ）＝lg（｜ x －1｜＋1）＝0，可
解得 x ＝1，所以只有一个根，故C错误；因为｜ x －1｜＋1≥1，所以
f （ x ）≥0，故D正确.故选A、B、D.
（2）已知 a ＝0.20.3，2 b ＝0.3， c ＝log0.30.2，求 a ， b ， c 的
大小关系.
解：因为 y ＝0.2 x 在R上是减函数，所以0＜0.20.3＜0.20＝1，所
以0＜ a ＜1，
又因为2 b ＝0.3且 y ＝log2 x 在（0，＋∞）上是增函数，所以 b ＝
log20.3＜log21＝0，所以 b ＜0，
又因为 y ＝log0.3 x 在（0，＋∞）上是减函数，所以log0.30.2＞
log0.30.3＝1，所以 c ＞1，综上可知 c ＞ a ＞ b .
反思感悟
1. 指数、对数函数由于底数的不同取值而具有不同的单调性，因此利
用函数单调性比较大小、解决不等关系等问题时应特别注意底数范
围对函数单调性的影响.
2. 含有对数式或指数式的函数也常通过换元（注意取值范围）转化，
再求解相关问题.
提醒 在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于
0，以免出现增根或扩大范围.
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