7.1.2 弧度制
1.若α＝－2 rad，则角α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.（2024·徐州期末）已知扇形的半径为4 cm，弧长为2 cm，则该扇形的面积为（ ）
A.1 cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
3.与30°角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α｜α＝k·360°＋，k∈Z}
B.{α｜α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C.{α｜α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}
4.集合{α｜kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
5.（多选）若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则（ ）
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
6.（多选）下列表示中正确的是（ ）
A.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为{α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝，k∈Z}
D.终边在直线y＝x上的角的集合是{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}
7.时针走了一小时，转过了 弧度.
8.已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，则α，β，γ，θ的大小关系为 .
9.一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为 .
10.已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限角；
（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
11.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动（如图所示），设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转（ ）
A. B. C. D.π
12.若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）
A.α＋β＝0
B.α－β＝0
C.α＋β＝2kπ（k∈Z）
D.α－β＝2kπ＋（k∈Z）
13.某学生在手工课上设计制作了一款树叶形状的书签（如图所示），该书签的边缘由两段圆弧组成，每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，这两段圆弧关于直线AB对称.若AB＝10 cm，则该书签的面积为 cm2.
14.已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R.
（1）若α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.
15.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和线段AD，BC围成的.设圆弧，所在圆的半径分别为r1，r2（单位：米），圆心角为θ（单位：弧度）.
（1）若θ＝，r1＝3，r2＝6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1 200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？
7.1.2 弧度制
1.C α＝－2 rad≈－2×57.3°＝－114.6°为第三象限角.故选C.
2.C 由扇形的面积公式得S＝×2×4＝4 cm2.故选C.
3.D 与30°角终边相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度制为α＝2kπ＋，k∈Z，故与30°角终边相同角的集合是{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}，故选D.
4.C 当k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x的左上部分（包含边界）；当k为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）.
5.BC ∵｜α｜＝，∴当r，l均变为原来的2倍时，｜α｜不变.故B正确；在S＝｜α｜r2中，∵｜α｜不变，半径r变为原来的2倍时，S变为原来的4倍.故C正确.故选B、C.
6.ABC A、B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，其并集为{α｜α＝，k∈Z}，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，故D不正确.
7.－ 解析：由于时针按顺时针方向转动，形成的角是负角，又由于时针转动一小时，转动的角度为－30°，故转动的弧度数为－.
8.α＜β＜γ＜θ 解析：法一（化为弧度） α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ.
法二（化为角度） β＝＝×＝18°，γ＝1≈57.30°，显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ.
9. 解析：如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.
10.解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝＝3×2π＋，
所以角α与的终边相同.
所以角α是第二象限角.
（2）因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z，
所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
11.B 设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.
12.D 因为α＝x＋＋2k1π（k1∈Z），β＝x－＋2k2π（k2∈Z），所以α－β＝＋2（k1－k2）π（k1∈Z，k2∈Z）.因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ（k∈Z）.
13.25π－50 解析：由题知每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，则每段圆弧所对的圆心角均为，且两圆弧所在圆的半径相等，设其为r，则r＝5 cm，所以书签的面积S＝2×［π×（5）2－×（5）2］＝25π－50（cm2）.
14.解：（1）l＝αR＝×6＝2π（cm），
即扇形的弧长为2π cm.
（2）依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R，
扇形的面积S＝lR＝（12－2R）R＝－R2＋6R，
所以当R＝3 cm时，扇形面积S有最大值9.
此时弧长l＝6 cm，得α＝＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
15.解：（1）花坛的面积S＝×62×－×32×＝（平方米）.
（2）弧的长为r1θ米，弧的长为r2θ米，线段AD的长为（r2－r1）米.
由题意知60·2（r2－r1）＋90（r1θ＋r2θ）＝1 200，
即4（r2－r1）＋3θ（r2＋r1）＝40.（*）
则花坛的面积S＝θ－θ＝θ（r2＋r1）（r2－r1）.
由（*）式知，θ（r2＋r1）＝－（r2－r1），
记r2－r1＝x，则0＜x＜10，
所以S＝x＝－（x－5）2＋，x∈（0，10），
当x＝5时，S取得最大值，即AD＝5米时，花坛的面积最大.
1 / 27.1.2 弧度制
新课程标准解读 核心素养
1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化 数学抽象、数学运算
2.体会引入弧度制的必要性 数学抽象
3.理解弧度制下弧长与面积公式 数学运算
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.
【问题】 （1）角的度量是否也能用不同的单位制呢？
（2）能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
知识点一 度量角的两种制度
角 度 制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧 度 制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad（rad可省略不写）
提醒 不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值.
知识点二 角度与弧度的换算
1.弧度数的计算
2.弧度与角度的换算
【想一想】
在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
知识点三 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
（1）弧长公式：l＝ ；
（2）扇形面积公式：S＝ ＝｜α｜r2.
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.
【想一想】
角度制下的扇形的弧长公式和扇形面积公式是什么？
1.（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
B.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
C.1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
D.1 rad的角比1°的角要大
2.（1）－π rad化为角度是 ；
（2）105°的弧度数是 .
3.（2024·盐城阜宁期末）已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，求扇形的弧长、周长与面积.
题型一 弧度与角度的互化
角度1 弧度化为角度
【例1】 （链接教科书第173页例3）把下列各角从弧度化为度：
（1）－；（2）1.4；（3）.
通性通法
弧度化角度的方法
弧度化角度时，抓住关系式π rad＝180°，利用1 rad＝进行换算.
角度2 角度化为弧度
【例2】 （链接教科书第173页例4）把下列各角从度化为弧度：
（1）270°；（2）－22°30'；（3）－150°.
通性通法
角度化弧度的方法
角度化弧度时，抓住关系式180°＝π rad，利用1°＝ rad进行换算.
提醒 （1）用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
（2）用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.
【跟踪训练】
1.把下列弧度化为角度：
（1）＝ ；（2）－＝ .
2.把下列角度化为弧度：
（1）－1 500°＝ ；
（2）67°30'＝ .
题型二 用弧度制表示角
【例3】 （链接教科书第176页练习5题）将－1 125°写成α＋2kπ（k∈Z）的形式，其中0≤α＜2π.
（1）判断它是第几象限角；
（2）在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
通性通法
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒 （1）角度与弧度不能混用；
（2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z.
【跟踪训练】
1.用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
2.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合.
题型三 扇形的弧长及面积公式
【例4】 （链接教科书第174页例5）（1）已知扇形的周长为6 cm，圆心角为1，求该扇形的面积；
（2）已知扇形的周长为10 cm，面积等于4 cm2，求其圆心角的弧度数.
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝，S＝lr，S＝｜α｜r2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解.
【跟踪训练】
1.在直径为20 cm的圆中，的圆心角所对弧的长为 cm.
2.已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角（正角）为多大时，扇形的周长取得最小值？
1.1 920°转化为弧度数是（ ）
A. B.
C. D.
2.将弧度化成角度为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.已知扇形的圆心角为，弧长为π，则扇形的面积为 .
4.已知α＝.
（1）写出所有与α终边相同的角；
（2）写出在（－4π，2π）内与α终边相同的角.
7.1.2 弧度制
【基础知识·重落实】
知识点一
半径长
知识点二
1.正数 负数 0 2.2π 360° π 180°
想一想
提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
知识点三
（1）｜α｜r （2）lr
想一想
提示：扇形弧长l＝ ，扇形面积公式S＝.（其中，r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角）
自我诊断
1.CD 在A中，用角度制和弧度制度量角都与圆的半径无关，故A错误；在B中，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小，故B错误；在C中，由1°与1弧度的定义，可知C正确；在D中，1 rad≈57.30°＞1°，故D正确.故选C、D.
2.（1）－144° （2） rad 解析：（1）－π＝－π×＝－144°.
（2）105°＝105× rad＝ rad.
3.解：由已知得，扇形的半径R＝2，圆心角的弧度数α＝2，则扇形的弧长为l＝αR＝4，扇形的周长为l＋2R＝αR＋2R＝8，扇形的面积S＝lR＝×4×2＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）－ rad＝－×＝－108°.
（2）1.4 rad＝1.4×≈1.4×57.30°＝80.22°.
（3） rad＝×＝140°.
【例2】 解：（1）270°＝270× rad＝ rad.
（2）－22°30'＝－22.5°＝－22.5× rad＝－ rad.
（3）－150°＝－150× rad＝－ rad.
跟踪训练
1.（1）690° （2）－390° 解析：（1）＝×＝690°.
（2）－＝－×＝－390°.
2.（1）－ （2） 解析：（1）－1 500°＝－1 500×＝－.
（2）67°30'＝67.5°＝67.5×＝.
【例3】 解：（1）－1 125°＝－1 125×＝－＝－8π＋.
因为＜＜2π，所以是第四象限角，所以－1 125°是第四象限角.
（2）依题意与α终边相同的角为＋2kπ，k∈Z，
由－4π≤＋2kπ≤4π，k∈Z，知k＝－2，－1，0，1，
所以所求角的集合为{－，－，，}.
跟踪训练
1. 解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为.
2.解：终边落在射线OA上的角为θ＝k·360°＋135°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z.
终边落在射线OB上的角为θ＝k·360°－30°，k∈Z，即θ＝2kπ－，k∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为θ｜2kπ－≤θ≤2kπ＋，k∈Z.
【例4】 解：（1）设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为1 rad，依据弧长公式可得l＝r，从而扇形的周长为l＋2r＝3r＝6，解得r＝2，则l＝2.
故扇形的面积S＝rl＝×2×2＝2（cm2）.
（2）设圆心角弧度数为α（0＜α＜2π），弧长为l，半径为r，则有解得或
当时，α＝＝8＞2π，不符合题意，舍去；
当时，α＝＝.
综上，圆心角的弧度数为.
跟踪训练
1.π 解析：由弧长公式l＝｜α｜R可得，弧长为×＝（cm）.
2.解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r.
由题意知lr＝25，则l＝，
∴y＝＋2r≥2＝20，当且仅当＝2r，即r＝5时，y取得最小值，最小值为20，此时l＝10，圆心角α＝＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值.
随堂检测
1.D 1 920°＝1 920×＝.
2.C rad＝×＝120°.故选C.
3.2π 解析：由扇形的圆心角α＝，弧长l＝π，得扇形的半径r＝＝4，则扇形的面积S＝lr＝×π×4＝2π.
4.解：（1）所有与α终边相同的角可表示为θ｜θ＝2kπ＋，k∈Z.
（2）在（－4π，2π）内与α终边相同的角有－，－，.
4 / 4(共64张PPT)
7.1.2 弧度制
新课程标准解读 核心素养
1.理解1弧度的角的定义，了解弧度制的概念，能进
行角度与弧度之间的互化 数学抽象、数
学运算
2.体会引入弧度制的必要性 数学抽象
3.理解弧度制下弧长与面积公式 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用
千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.
【问题】 （1）角的度量是否也能用不同的单位制呢？
（2）能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
知识点一 度量角的两种制度
角
度 制 定义 用度作为单位来度量角的单位制
1度的
角 1度的角等于周角的 ，记作1°
弧
度 制 定义 用弧度作为角的单位来度量角的单位制
1弧度
的角 长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的
角，记作1 rad（rad可省略不写）
半径长
提醒 不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径
大小无关的定值.
知识点二 角度与弧度的换算
1. 弧度数的计算
2. 弧度与角度的换算
【想一想】
在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同
的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同.
知识点三 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 r ，弧长为 l ，α为其圆心角，则
（1）弧长公式： l ＝ ；
（2）扇形面积公式： S ＝ lr ＝ ｜α｜ r2.
提醒 在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是
“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则
应先化成“弧度”，再代入计算.
｜α｜ r
lr
【想一想】
角度制下的扇形的弧长公式和扇形面积公式是什么？
提示：扇形弧长 l ＝ ，扇形面积公式 S ＝ .（其中， r 是扇形所
在圆的半径， n 为扇形的圆心角）
1. （多选）下列说法中，正确的是（ ）
A. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
B. 1弧度就是1°的圆心角所对的弧
C. 1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的
D. 1 rad的角比1°的角要大
解析： 在A中，用角度制和弧度制度量角都与圆的半径无
关，故A错误；在B中，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的
大小，故B错误；在C中，由1°与1弧度的定义，可知C正确；在D
中，1 rad≈57.30°＞1°，故D正确.故选C、D.
2. （1）－ π rad化为角度是 ；
解析： － π＝－ π× ＝－144°.
（2）105°的弧度数是 .
解析： 105°＝105× rad＝ rad.
－144°
rad
3. （2024·盐城阜宁期末）已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数
是2，求扇形的弧长、周长与面积.
解：由已知得，扇形的半径 R ＝2，圆心角的弧度数α＝2，则扇形
的弧长为 l ＝α R ＝4，扇形的周长为 l ＋2 R ＝α R ＋2 R ＝8，扇形
的面积 S ＝ lR ＝ ×4×2＝4.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 弧度与角度的互化
【例1】 （链接教科书第173页例3）把下列各角从弧度化为度：
（1）－ ；
解：－ rad＝－ × ＝－108°.
角度1 弧度化为角度
（2）1.4；
解：1.4 rad＝1.4× ≈1.4×57.30°＝80.22°.
（3） .
解： rad＝ × ＝140°.
通性通法
弧度化角度的方法
弧度化角度时，抓住关系式π rad＝180°，利用1 rad＝ 进行
换算.
角度2 角度化为弧度
【例2】 （链接教科书第173页例4）把下列各角从度化为弧度：
（1）270°；
解：270°＝270× rad＝ rad.
（2）－22°30'；
解：－22°30'＝－22.5°＝－22.5× rad＝－ rad.
（3）－150°.
解：－150°＝－150× rad＝－ rad.
通性通法
角度化弧度的方法
角度化弧度时，抓住关系式180°＝π rad，利用1°＝ rad进行
换算.
提醒 （1）用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可
以省略不写；
（2）用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，
如无特别要求，不必把π写成小数.
【跟踪训练】
1. 把下列弧度化为角度：
（1） ＝ ；
解析： ＝ × ＝690°.
（2）－ ＝ .
解析：－ ＝－ × ＝－390°.
690°
－390°
2. 把下列角度化为弧度：
（1）－1 500°＝ ；
解析：－1 500°＝－1 500× ＝－ .
（2）67°30'＝ .
解析：67°30'＝67.5°＝67.5× ＝ .
－
题型二 用弧度制表示角
【例3】 （链接教科书第176页练习5题）将－1 125°写成α＋2 k π
（ k ∈Z）的形式，其中0≤α＜2π.
（1）判断它是第几象限角；
解：－1 125°＝－1 125× ＝－ ＝－8π＋ .
因为 ＜ ＜2π，所以 是第四象限角，所以－1 125°是第四
象限角.
（2）在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合.
解：依题意与α终边相同的角为 ＋2 k π， k ∈Z，
由－4π≤ ＋2 k π≤4π， k ∈Z，知 k ＝－2，－1，0，1，
所以所求角的集合为{－ ，－ ， ， }.
通性通法
弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2 k π＋
α， k ∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
提醒 （1）角度与弧度不能混用；
（2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2 k π， k ∈Z.
【跟踪训练】
1. 用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 .
解析：150°＝150× ＝ ，故与150°角终边相同的角的集合
为 .
2. 用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内
的角θ的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为θ＝ k ·360°＋135°， k ∈Z，即θ
＝ ＋2 k π， k ∈Z.
终边落在射线 OB 上的角为θ＝ k ·360°－30°， k ∈Z，即θ＝2 k
π－ ， k ∈Z，
故终边落在阴影部分的角θ的集合为 θ｜2 k π－ ≤θ≤2 k π＋
， k ∈Z .
题型三 扇形的弧长及面积公式
【例4】 （链接教科书第174页例5）（1）已知扇形的周长为6 cm，
圆心角为1，求该扇形的面积；
解：设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，由圆心角为1 rad，依据
弧长公式可得 l ＝ r ，从而扇形的周长为 l ＋2 r ＝3 r ＝6，解得 r
＝2，则 l ＝2.
故扇形的面积 S ＝ rl ＝ ×2×2＝2（cm2）.
（2）已知扇形的周长为10 cm，面积等于4 cm2，求其圆心角的弧
度数.
解：设圆心角弧度数为α（0＜α＜2π），弧长为 l ，半径为 r ，
则有解得或
当时，α＝ ＝8＞2π，不符合题意，舍去；
当时，α＝ ＝ .
综上，圆心角的弧度数为 .
通性通法
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝ ， S ＝ lr ， S ＝ ｜α｜ r2，要恰当
选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程
（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长
（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值
求解.
【跟踪训练】
1. 在直径为20 cm的圆中， 的圆心角所对弧的长为 π cm.
解析：由弧长公式 l ＝｜α｜ R 可得，弧长为 × ＝ （cm）.
π
2. 已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角（正角）为多大时，扇形的
周长取得最小值？
解：设扇形的半径为 r ，弧长为 l ，周长为 y ，则 y ＝ l ＋2 r .
由题意知 lr ＝25，则 l ＝ ，
∴ y ＝ ＋2 r ≥2 ＝20，当且仅当 ＝2 r ，即 r ＝5时， y 取
得最小值，最小值为20，此时 l ＝10，圆心角α＝ ＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值.
1.1 920°转化为弧度数是（ ）
A. B. C. D.
解析： 1 920°＝1 920× ＝ .
2. 将 弧度化成角度为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： rad＝ × ＝120°.故选C.
3. 已知扇形的圆心角为 ，弧长为π，则扇形的面积为 .
解析：由扇形的圆心角α＝ ，弧长 l ＝π，得扇形的半径 r ＝ ＝
4，则扇形的面积 S ＝ lr ＝ ×π×4＝2π.
2π
4. 已知α＝ .
（1）写出所有与α终边相同的角；
解： 所有与α终边相同的角可表示为 θ｜θ＝2 k π＋
， k ∈Z .
（2）写出在（－4π，2π）内与α终边相同的角.
解： 在（－4π，2π）内与α终边相同的角有－ ，－
， .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若α＝－2 rad，则角α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： α＝－2 rad≈－2×57.3°＝－114.6°为第三象限角.故
选C.
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2. （2024·徐州期末）已知扇形的半径为4 cm，弧长为2 cm，则该扇
形的面积为（ ）
A. 1 cm2 B. 2 cm2
C. 4 cm2 D. 8 cm2
解析： 由扇形的面积公式得 S ＝ ×2×4＝4 cm2.故选C.
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3. 与30°角终边相同的角的集合是（ ）
A. {α｜α＝ k ·360°＋ ， k ∈Z}
B. {α｜α＝2 k π＋30°， k ∈Z}
C. {α｜α＝2 k ·360°＋30°， k ∈Z}
D. {α｜α＝2 k π＋ ， k ∈Z}
解析： 与30°角终边相同的角α＝ k ·360°＋30°， k ∈Z，化
为弧度制为α＝2 k π＋ ， k ∈Z，故与30°角终边相同角的集合是
{α｜α＝2 k π＋ ， k ∈Z}，故选D.
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4. 集合{α｜ k π＋ ≤α≤ k π＋ ， k ∈Z}中角所表示的范围（阴影
部分）是（ ）
解析： 当 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 y ＝ x
的左上部分（包含边界）；当 k 为奇数时，集合对应的区域为第三
象限内直线 y ＝ x 的右下部分（包含边界）.
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5. （多选）若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2
倍，则（ ）
A. 扇形的面积不变
B. 扇形的圆心角不变
C. 扇形的面积增大到原来的4倍
D. 扇形的圆心角增大到原来的2倍
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解析： ∵｜α｜＝ ，∴当 r ， l 均变为原来的2倍时，｜α｜
不变.故B正确；在 S ＝ ｜α｜ r2中，∵｜α｜不变，半径 r 变为
原来的2倍时， S 变为原来的4倍.故C正确.故选B、C.
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6. （多选）下列表示中正确的是（ ）
A. 终边在 x 轴上的角的集合是{α｜α＝ k π， k ∈Z}
B. 终边在第二象限的角的集合为{α｜ ＋2 k π＜α＜π＋2 k π， k
∈Z}
C. 终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝ ， k ∈Z}
D. 终边在直线 y ＝ x 上的角的集合是{α｜α＝ ＋2 k π， k ∈Z}
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解析： A、B显然正确；对于C，终边在 x 轴上的角的集
合为{α｜α＝ k π， k ∈Z}，终边在 y 轴上的角的集合为{α｜
α＝ ＋ k π， k ∈Z}，其并集为{α｜α＝ ， k ∈Z}，故C正
确；对于D，终边在 y ＝ x 上的角的集合为{α｜α＝ ＋ k π， k
∈Z}，故D不正确.
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7. 时针走了一小时，转过了 弧度.
解析：由于时针按顺时针方向转动，形成的角是负角，又由于时针
转动一小时，转动的角度为－30°，故转动的弧度数为－ .
－
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8. 已知α＝15°，β＝ ，γ＝1，θ＝105°，则α，β，γ，θ
的大小关系为 .
解析：法一（化为弧度） α＝15°＝15× ＝ ，θ＝
105°＝105× ＝ .显然 ＜ ＜1＜ ，故α＜β＜γ
＜θ.
法二（化为角度） β＝ ＝ × ＝18°，γ＝
1≈57.30°，显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜
γ＜θ.
α＜β＜γ＜θ
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9. 一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧
所对的圆心角为 .
解析：如图，设圆的半径为 R ，则正方形边长为
R ，∴弧长 l ＝ R ，∴α＝ ＝ ＝ .
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10. 已知角α＝1 200°.
（1）将α改写成β＋2 k π（ k ∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出
α是第几象限角；
解： 因为α＝1 200°＝1 200× ＝ ＝3×2π＋
，
所以角α与 的终边相同.
所以角α是第二象限角.
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（2）在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角.
解： 因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2 k π
＋ ， k ∈Z，
所以由－4π≤2 k π＋ ≤π，得－ ≤ k ≤ .
因为 k ∈Z，所以 k ＝－2或 k ＝－1或 k ＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－ ，－
， .
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11. 已知某机械采用齿轮传动，由主动轮 M 带着从动轮 N 转动（如图
所示），设主动轮 M 的直径为150 mm，从动轮 N 的直径为300
mm，若主动轮 M 顺时针旋转 ，则从动轮 N 逆时针旋转（ ）
A. B.
解析： 设从动轮 N 逆时针旋转θ rad，
由题意，知主动轮 M 与从动轮 N 转动的弧长相等，所以 × ＝ ×θ，解得θ＝ ，故选B.
C. D. π
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12. 若角α与角 x ＋ 有相同的终边，角β与角 x － 有相同的终边，
那么α与β间的关系为（ ）
A. α＋β＝0
B. α－β＝0
C. α＋β＝2 k π（ k ∈Z）
D. α－β＝2 k π＋ （ k ∈Z）
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解析： 因为α＝ x ＋ ＋2 k1π（ k1∈Z），β＝ x － ＋2 k2π
（ k2∈Z），所以α－β＝ ＋2（ k1－ k2）π（ k1∈Z， k2∈Z）.
因为 k1∈Z， k2∈Z，所以 k1－ k2∈Z. 所以α－β＝ ＋2 k π（ k
∈Z）.
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13. 某学生在手工课上设计制作了一款树叶形状的书签（如图所
示），该书签的边缘由两段圆弧组成，每段圆弧均为其所在圆周
的四分之一，这两段圆弧关于直线 AB 对称.若 AB ＝10 cm，则该
书签的面积为 cm2.
25π－50
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解析：由题知每段圆弧均为其所在圆周的四分之一，则每段圆弧
所对的圆心角均为 ，且两圆弧所在圆的半径相等，设其为 r ，则
r ＝5 cm，所以书签的面积 S ＝2×
＝25π－50（cm2）.
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14. 已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为 R .
（1）若α＝ ， R ＝6 cm，求该扇形的弧长 l ；
解： l ＝α R ＝ ×6＝2π（cm），
即扇形的弧长为2π cm.
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（2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面
积？并求出这个最大面积.
解： 依题意，得2 R ＋ l ＝12，则 l ＝12－2 R ，
扇形的面积 S ＝ lR ＝ （12－2 R ） R ＝－ R2＋6 R ，
所以当 R ＝3 cm时，扇形面积 S 有最大值9.
此时弧长 l ＝6 cm，得α＝ ＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
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15. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以
点 O 为圆心的两个同心圆弧和线段 AD ， BC 围成的.设圆弧 ，
所在圆的半径分别为 r1， r2（单位：米），圆心角为θ（单
位：弧度）.
（1）若θ＝ ， r1＝3， r2＝6，求花坛的面积；
解： 花坛的面积 S ＝ ×62× －
×32× ＝ （平方米）.
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（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直
线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/
米，预算费用总计1 200元，问线段 AD 的长度为多少时，花
坛的面积最大？
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解： 弧 的长为 r1θ米，弧 的长
为 r2θ米，线段 AD 的长为（ r2－ r1）米.
由题意知60·2（ r2－ r1）＋90（ r1θ＋
r2θ）＝1 200，
即4（ r2－ r1）＋3θ（ r2＋ r1）＝40.
（*）
则花坛的面积 S ＝ θ－ θ＝ θ
（ r2＋ r1）（ r2－ r1）.
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由（*）式知，θ（ r2＋ r1）＝ － （ r2－ r1），
记 r2－ r1＝ x ，则0＜ x ＜10，
所以 S ＝ x ＝－ （ x －5）2＋ ， x ∈（0，
10），
当 x ＝5时， S 取得最大值，即 AD ＝5米时，花坛的面积最
大.
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