(共46张PPT)
第2课时
同角三角函数关系的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 弦切互化求值
【例1】 （链接教科书第193页习题15题）已知tan α＝3，求下列各
式的值：
（1） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（2） ；
解：原式＝ ＝ ＝－ .
（3） sin 2α＋ cos 2α.
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ .
通性通法
已知角α的正切求关于 sin α， cos α的齐次式的方法
（1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin
α， cos α的式子且它们的次数之和相同.例如，已知tan α＝
m ，可以求 或 的值，可以
将分子分母同除以 cos α或 cos 2α，化成关于tan α的式子，再
代入求值；
（2）若无分母时，例如，对于 a sin 2α＋ b sin α cos α＋ c cos
2α的求值，可以把分母看作1，利用1＝ sin 2α＋ cos 2α来
代换，将分子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式
子，再代入求值.
【跟踪训练】
已知 ＝－1，求下列各式的值：
（1）tan α；
解：因为 ＝－1，所以 ＝－1，解得tan α＝1.
（2） sin 2α＋ sin α cos α＋1.
解： sin 2α＋ sin α cos α＋1
＝
＝
＝
＝ ＝2.
题型二 sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用
【例2】 （链接教科书第193页习题19题）已知 sin α＋ cos α＝ ，
α∈（0，π），求：
（1） sin α cos α；
解： 由 sin α＋ cos α＝ ，平方得2 sin α cos α＝－ ，所
以 sin α cos α＝－ .
（2） sin α－ cos α.
解：法一 因为 sin α cos α＝－ ＜0，α∈（0，π），所以
sin α＞0， cos α＜0，所以 sin α－ cos α＞0，
又（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝1＋ ＝ ，所以
sin α－ cos α＝ .
法二 由 sin α＋ cos α＝ ，得 cos α＝ － sin α.又 sin 2α＋ cos
2α＝1，
代入得 sin 2α＋（ － sin α）2＝1，整理得 sin 2α－ sin α－
＝0，
即（ sin α＋ ）（ sin α－ ）＝0，解得 sin α＝－ 或 sin α＝ .
又α∈（0，π），所以 sin α＞0，故 sin α＝ .
所以 cos α＝ － sin α＝ － ＝－ ，
sin α－ cos α＝ －（－ ）＝ .
通性通法
sin α± cos α与 sin α cos α之间的关系
已知 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α三个式子中
任意一个式子的值可用平方法求另外两个式子的值，一般利用三角恒
等式，采用整体代入的方法求解.
涉及的三角恒等式有：
（1）（ sin α＋ cos α）2＝1＋2 sin α cos α；
（2）（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α；
（3）（ sin α＋ cos α）2＋（ sin α－ cos α）2＝2；
（4）（ sin α－ cos α）2＝（ sin α＋ cos α）2－4 sin α cos α.
提醒 求 sin α＋ cos α或 sin α－ cos α的值，要注意判断它
们的符号.
【跟踪训练】
1. 若 sin θ－ cos θ＝ ，则tan θ＋ ＝ .
解析：由已知得（ sin θ－ cos θ）2＝2，∴ sin θ cos θ＝－
.∴tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－2.
－2
2. （2024·常州期末）已知α为第二象限角，且满足 sin α＋ cos α＝
－ ，则tan α＝ － .
解析： sin α＋ cos α＝－ ，则（ sin α＋ cos α）2＝（－ ）
2，即 sin α cos α＝－ ，故（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α
cos α＝ ，又α为第二象限角，故 cos α＜0， sin α＞0， sin
α－ cos α＝ ，解得 sin α＝ ， cos α＝－ ，故tan α＝－
.
－
题型三 条件恒等式的证明
【例3】 若 ＜α＜2π，求证： ＋ ＝－ .
证明：∵ ＜α＜2π，∴ sin α＜0.
左边＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
＝－ －
＝－ ＝右边.
∴原等式成立.
通性通法
对于条件恒等式的证明，在证明过程中应利用所给条件，运用同
角三角函数基本关系，由较复杂一侧切入证明，注意三角函数式的符
号、消元等.
【跟踪训练】
已知tan2α＝2tan2β＋1，求证： sin 2β＝2 sin 2α－1.
证明：因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以 ＋1＝2（ ＋1），
所以 ＋1＝2（ ＋1），
所以 ＝ ，所以 cos 2β＝2 cos 2α，
所以1－ sin 2β＝2（1－ sin 2α），即 sin 2β＝2 sin 2α－1.
1. 已知tan α＝ ，则 ＝（ ）
A. B.
C. － D. －
解析： ＝ ＝ ＝－ .故选D.
2. （多选）（2024·盐城阜宁期末）已知 sin α＋ cos α＝ ，则 sin
α－ cos α＝（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： （ sin α＋ cos α）2＝ sin 2α＋ cos 2α＋2 sin α cos
α＝1＋2 sin α cos α＝ ，所以2 sin α cos α＝－ ，所以
（ sin α－ cos α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝1－2 sin
α cos α＝1＋ ＝ ，所以 sin α－ cos α＝± .故选A、C.
3. （2024·盐城五校联盟期末）已知 ＝2，则tan θ＝ .
解析：由题意原式＝ ＝ ＝
＝2，则tan θ＝3.
3
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 ＝ ，则tan α＝（ ）
A. 0 B. 1
C. － D. －3
解析： 上下同除以 cos α得 ＝ ，解得tan α＝－ .
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2. 若tan θ＝2，则2 sin 2θ－3 sin θ cos θ＝（ ）
A. 10 B. ±
C. 2 D.
解析： 已知tan θ＝2，则2 sin 2θ－3 sin θ cos θ＝
＝ ＝ ＝ .故选D.
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3. 已知α是三角形的一个内角，且 sin α＋ cos α＝ ，那么这个三
角形的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 由 sin α＋ cos α＝ ，得2 sin α cos α＝－ ，又
∵α∈（0，π），∴ sin α＞0， cos α＜0，∴α为钝角，故选B.
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4. 若α∈（0， ），tan α＝ ，则tan α＝（ ）
A. B. 1
C. D.
解析： 因为tan α＝ ，所以 ＝ ，即2 sin α－
sin 2α＝ cos 2α，所以2 sin α＝ sin 2α＋ cos 2α＝1，即 sin α＝
，又因为α∈（0， ），所以 cos α＝ ，则tan α＝ .
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5. 已知 ＝5，则 sin 2α－ sin α cos α＝（ ）
A. B. －
C. －2 D. 2
解析： 由 ＝5得 sin α＋3 cos α＝5（3 cos α－ sin
α），即 sin α＝2 cos α，所以tan α＝2，所以 sin 2α－ sin α
cos α＝ ＝ ＝ ＝ .
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6. （多选）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A. ＝2
B. 若 sin θ· cos θ＝ ，则tan θ＋ ＝2
C. 若tan x ＝ ，则 ＝1
D. 若α为第一象限角，则 ＋ ＝2
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解析： A正确， ＝ · ＝2；B正确，tan θ＋
＝ ＋ ＝ ＝2；C不正确， ＝ ＝
＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝ ＋ ＝2.故
选A、B、D.
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7. 化简 ＝ .
解析： ＝ ＝ ＝
＝｜ cos 20°｜＝ cos 20°.
cos 20°
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8. 已知 cos θ＝ ，则 sin θ（tan θ＋ ）＝ .
解析：原式＝ sin θ（ ＋ ）＝ sin θ· ＝
＝3.
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9. 若1＋ cos 2θ＝3 sin θ· cos θ，则tan θ＝ .
解析：由1＋ cos 2θ＝3 sin θ· cos θ，得 sin 2θ＋2 cos 2θ＝3 sin
θ· cos θ，显然 cos θ≠0， sin θ≠0，所以tan2θ＋2＝3tan θ，
解得tan θ＝1或2.
1或2
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10. （2024·南京第九中学期中）已知角θ的顶点为坐标原点 O ，始边
为 x 轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点 P （ x ， y ），若点 P
位于 x 轴上方且 x ＋ y ＝ .
（1）求 sin θ－ cos θ的值；
解： 由三角函数的定义， cos θ＋ sin θ＝ ， sin θ＞0，
两边平方，得 cos 2θ＋ sin 2θ＋2 sin θ cos θ＝ ，则2 sin θ cos θ＝－ ＜0， sin θ＞0， cos θ＜0，所以 sin θ－ cos θ＞0， sin θ－ cos θ＝ ＝ .
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（2）求 sin 4θ＋ cos 4θ的值.
解： 由（1）知， sin θ cos θ＝－ ，
sin 4θ＋ cos 4θ＝（ sin 2θ＋ cos 2θ）2－2 sin 2θ cos 2θ
＝1－2× ＝ .
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11. 若 ＝2，则（ cos θ＋3）（ sin θ＋1）＝（ ）
A. 0 B. 2
C. 4 D. 0或4
解析： 若 ＝2，则 sin 2θ＋2＝2 cos θ，即1－ cos 2θ
＋2＝2 cos θ，即（ cos θ－1）（ cos θ＋3）＝0，解得 cos θ
＝1或 cos θ＝－3（舍去），故有 cos θ＝1， sin θ＝0.∴（ cos
θ＋3）（ sin θ＋1）＝4×1＝4.故选C.
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12. （多选）已知 sin θ cos θ＝ ，｜ sin θ｜＝－ sin θ，则下列
选项正确的有（ ）
A. 是第二象限角
B. sin θ＋ cos θ＝－
C. sin θ－ cos θ＝
D. tan θ＝ 或3
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解析： 对于A，｜ sin θ｜＝－ sin θ， sin θ cos θ＝ ，
∴ sin θ＜0， cos θ＜0，∴θ为第三象限角，∴π＋2 k π＜θ＜
π＋2 k π（ k ∈Z），∴ ＋ k π＜ ＜ π＋ k π（ k ∈Z），当 k 为偶
数时， 为第二象限角，当 k 为奇数时， 为第四象限角，故A错
误；对于B，（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，由于
sin θ＜0， cos θ＜0，∴ sin θ＋ cos θ＜0，∴ sin θ＋ cos θ
＝－ ，故B正确；
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对于C，（ sin θ－ cos θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，∵ sin θ＜0，
cos θ＜0，∴ sin θ－ cos θ可能正，也可能负，∴ sin θ－ cos θ＝
± ，故C错误；对于D，当 sin θ－ cos θ＝ ， sin θ＋ cos θ
＝－ 时， sin θ＝－ ， cos θ＝－ ，故tan θ＝ ，当 sin
θ－ cos θ＝－ ， sin θ＋ cos θ＝－ 时， sin θ＝－ ，
cos θ＝－ ，∴tan θ＝3，∴tan θ＝ 或3，故D正确.故选B、D.
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13. 若 sin θ， cos θ是关于 x 为未知数方程 x2－ ax ＋ a ＝0的两个实数
根，则实数 a 的值为 .
解析：∵ sin θ， cos θ是关于 x 的方程 x2－ ax ＋ a ＝0的两个实数
根.∴∴（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos
θ，整理可得 a2－2 a －1＝0，解得 a ＝1± ，又∵Δ＝ a2－4 a
≥0，∴ a ≥4或 a ≤0，∴ a ＝1－ .
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14. （2024·南通海安期末）已知 x ∈（ ，π）.
（1）化简： cos x ；
解： 原式＝ cos x ＝ cos x · ＝
cos x ，
因为 x ∈（ ，π），所以 cos x ＜0，所以原式＝ cos x ·（－
）＝－1.
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（2）若 sin x ＋ cos x ＝ ，求 －tan x 的值.
解： 因为 sin x ＋ cos x ＝ ，所以（ sin x ＋ cos x ）2＝
，即1＋2 sin x cos x ＝ ，
所以 sin x cos x ＝－ .
所以（ sin x － cos x ）2＝1－2 sin x cos x ＝ .
因为 x ∈（ ，π），所以 sin x ＞0， cos x ＜0.所以 sin x －
cos x ＞0.
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所以 sin x － cos x ＝ .
所以 －tan x ＝ －
＝ ＝ ＝ .
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15. （1）计算 cos 4 － sin 4 ， cos 2 － sin 2 ， cos 的值，你有什
么发现？
解： cos 4 － sin 4
＝
＝ cos 2 － sin 2
＝ － ＝ ＝ cos .
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（2）计算 cos 4 － sin 4 ， cos 2 － sin 2 ， cos 的值，你有什
么发现？
解： cos 4 － sin 4
＝
＝ cos 2 － sin 2 ＝ － ＝0＝ cos .
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（3）证明： x ∈R， cos 2 x － sin 2 x ＝ cos 4 x － sin 4 x ；
解： 证明： cos 4 x － sin 4 x
＝（ cos 2 x ＋ sin 2 x ）（ cos 2 x － sin 2 x ）
＝ cos 2 x － sin 2 x .
（4）推测： x ∈R， cos 2 x － sin 2 x 与 cos 2 x 的关系，不需证明.
解： 推测： cos 2 x － sin 2 x ＝ cos 2 x .
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谢 谢 观 看！第2课时 同角三角函数关系的应用
1.已知＝，则tan α＝（ ）
A.0 B.1
C.－ D.－3
2.若tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ＝（ ）
A.10 B.±
C.2 D.
3.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.若α∈（0，），tan α＝，则tan α＝（ ）
A. B.1
C. D.
5.已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝（ ）
A. B.－
C.－2 D.2
6.（多选）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A.＝2
B.若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2
C.若tan x＝，则＝1
D.若α为第一象限角，则＋＝2
7.化简＝ .
8.已知cos θ＝，则sin θ（tan θ＋）＝ .
9.若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝ .
10.（2024·南京第九中学期中）已知角θ的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P（x，y），若点P位于x轴上方且x＋y＝.
（1）求sin θ－cos θ的值；
（2）求sin4θ＋cos4θ的值.
11.若＝2，则（cos θ＋3）（sin θ＋1）＝（ ）
A.0 B.2
C.4 D.0或4
12.（多选）已知sin θcos θ＝，｜sin θ｜＝－sin θ，则下列选项正确的有（ ）
A.是第二象限角
B.sin θ＋cos θ＝－
C.sin θ－cos θ＝
D.tan θ＝或3
13.若sin θ，cos θ是关于x为未知数方程x2－ax＋a＝0的两个实数根，则实数a的值为 .
14.（2024·南通海安期末）已知x∈（，π）.
（1）化简：cos x；
（2）若sin x＋cos x＝，求－tan x的值.
15.（1）计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
（2）计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？
（3）证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x；
（4）推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.
第2课时 同角三角函数关系的应用
1.C 上下同除以cos α得＝，解得tan α＝－.
2.D 已知tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ＝＝＝＝.故选D.
3.B 由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，又∵α∈（0，π），∴sin α＞0，cos α＜0，∴α为钝角，故选B.
4.C 因为tan α＝，所以＝，即2sin α－sin2α＝cos2α，所以2sin α＝sin2α＋cos2α＝1，即sin α＝，又因为α∈（0，），所以cos α＝，则tan α＝.
5.A 由＝5得sin α＋3cos α＝5（3cos α－sin α），即sin α＝2cos α，所以tan α＝2，所以sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.
6.ABD A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D.
7.cos 20° 解析：＝＝＝＝｜cos 20°｜＝cos 20°.
8.3 解析：原式＝sin θ（＋）＝sin θ·＝＝3.
9.1或2 解析：由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ，显然cos θ≠0，sin θ≠0，所以tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2.
10.解：（1）由三角函数的定义，cos θ＋sin θ＝，sin θ＞0，
两边平方，得cos2θ＋sin2θ＋2sin θcos θ＝，
则2sin θcos θ＝－＜0，sin θ＞0，cos θ＜0，
所以sin θ－cos θ＞0，sin θ－cos θ＝＝.
（2）由（1）知，sin θcos θ＝－，
sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝.
11.C 若＝2，则sin2θ＋2＝2cos θ，即1－cos2θ＋2＝2cos θ，即（cos θ－1）（cos θ＋3）＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3（舍去），故有cos θ＝1，sin θ＝0.∴（cos θ＋3）（sin θ＋1）＝4×1＝4.故选C.
12.BD 对于A，｜sin θ｜＝－sin θ，sin θcos θ＝，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜π＋2kπ（k∈Z），∴＋kπ＜＜π＋kπ（k∈Z），当k为偶数时，为第二象限角，当k为奇数时，为第四象限角，故A错误；对于B，（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，由于sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－，故B正确；对于C，（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∵sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ可能正，也可能负，∴sin θ－cos θ＝±，故C错误；对于D，当sin θ－cos θ＝，sin θ＋cos θ＝－时，sin θ＝－，cos θ＝－，故tan θ＝，当sin θ－cos θ＝－，sin θ＋cos θ＝－时，sin θ＝－，cos θ＝－，∴tan θ＝3，∴tan θ＝或3，故D正确.故选B、D.
13.1－ 解析：∵sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个实数根.∴∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，整理可得a2－2a－1＝0，解得a＝1±，又∵Δ＝a2－4a≥0，∴a≥4或a≤0，∴a＝1－.
14.解：（1）原式＝cos x＝cos x·＝cos x，
因为x∈（，π），所以cos x＜0，所以原式＝cos x·（－）＝－1.
（2）因为sin x＋cos x＝，所以（sin x＋cos x）2＝，即1＋2sin xcos x＝，
所以sin xcos x＝－.
所以（sin x－cos x）2＝1－2sin xcos x＝.
因为x∈（，π），所以sin x＞0，cos x＜0.所以sin x－cos x＞0.
所以sin x－cos x＝.
所以－tan x＝－
＝
＝＝.
15.解：（1）cos4－sin4
＝
＝cos2－sin2
＝－＝＝cos.
（2）cos4－sin4
＝
＝cos2－sin2
＝－＝0
＝cos.
（3）证明：cos4x－sin4x
＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）
＝cos2x－sin2x.
（4）推测：cos2x－sin2x＝cos 2x.
2 / 2第2课时 同角三角函数关系的应用
题型一 弦切互化求值
【例1】 （链接教科书第193页习题15题）已知tan α＝3，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）sin2α＋cos2α.
通性通法
已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
（1）关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同.例如，已知tan α＝m，可以求或的值，可以将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，再代入求值；
（2）若无分母时，例如，对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可以把分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
【跟踪训练】
已知＝－1，求下列各式的值：
（1）tan α；
（2）sin2α＋sin αcos α＋1.
题型二 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
【例2】 （链接教科书第193页习题19题）已知sin α＋cos α＝，α∈（0，π），求：
（1）sin αcos α；
（2）sin α－cos α.
通性通法
sin α±cos α与sin αcos α之间的关系
已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中任意一个式子的值可用平方法求另外两个式子的值，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.
涉及的三角恒等式有：
（1）（sin α＋cos α）2＝1＋2sin αcos α；
（2）（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α；
（3）（sin α＋cos α）2＋（sin α－cos α）2＝2；
（4）（sin α－cos α）2＝（sin α＋cos α）2－4sin αcos α.
提醒 求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号.
【跟踪训练】
1.若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝ .
2.（2024·常州期末）已知α为第二象限角，且满足sin α＋cos α＝－，则tan α＝ .
题型三 条件恒等式的证明
【例3】 若＜α＜2π，求证：＋＝－.
通性通法
对于条件恒等式的证明，在证明过程中应利用所给条件，运用同角三角函数基本关系，由较复杂一侧切入证明，注意三角函数式的符号、消元等.
【跟踪训练】
已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
1.已知tan α＝，则＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
2.（多选）（2024·盐城阜宁期末）已知sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
3.（2024·盐城五校联盟期末）已知＝2，则tan θ＝ .
第2课时 同角三角函数关系的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝＝＝.
（2）原式＝
＝＝－.
（3）原式＝
＝＝＝.
跟踪训练
解：（1）因为＝－1，所以＝－1，解得tan α＝1.
（2）sin2α＋sin αcos α＋1
＝
＝
＝
＝＝2.
【例2】 解：（1）由sin α＋cos α＝，平方得2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－.
（2）法一 因为sin αcos α＝－＜0，α∈（0，π），所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0，
又（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，所以sin α－cos α＝.
法二 由sin α＋cos α＝，得cos α＝－sin α.又sin2α＋cos2α＝1，
代入得sin2α＋（－sin α）2＝1，整理得sin2α－sin α－＝0，
即（sin α＋）（sin α－）＝0，解得sin α＝－或sin α＝.
又α∈（0，π），所以sin α＞0，故sin α＝.
所以cos α＝－sin α＝－＝－，
sin α－cos α＝－（－）＝.
跟踪训练
1.－2 解析：由已知得（sin θ－cos θ）2＝2，∴sin θcos θ＝－.∴tan θ＋＝＋＝＝－2.
2.－ 解析：sin α＋cos α＝－，则（sin α＋cos α）2＝（－）2，即sin αcos α＝－，故（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝，又α为第二象限角，故cos α＜0，sin α＞0，sin α－cos α＝，解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－.
【例3】 证明：∵＜α＜2π，∴sin α＜0.
左边＝＋
＝＋
＝＋
＝－－＝－＝右边.
∴原等式成立.
跟踪训练
证明：因为tan2α＝2tan2β＋1，
所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，
所以＋1＝2（＋1），
所以＋1＝2（＋1），
所以＝，所以cos2β＝2cos2α，
所以1－sin2β＝2（1－sin2α），即sin2β＝2sin2α－1.
随堂检测
1.D ＝＝＝－.故选D.
2.AC （sin α＋cos α）2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，所以（sin α－cos α）2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝1＋＝，所以sin α－cos α＝±.故选A、C.
3.3 解析：由题意原式
＝＝＝＝2，则tan θ＝3.
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