7.3.1 三角函数的周期性
1.函数f（x）＝cos的最小正周期为（ ）
A.2π B.12
C. D.3π
2.函数y＝sin是（ ）
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
3.设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（x），则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
4.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则ω＝（ ）
A. B.π C.2 D.2π
5.若函数y＝f（x）是以2为周期的函数，且f（5）＝6，则f（1）＝（ ）
A.1 B.3
C.5 D.6
6.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.因为sin（π－x）＝sin x，所以π是函数y＝sin x的一个周期
B.因为tan（2π＋x）＝tan x，所以2π是函数y＝tan x的一个周期
C.因为cos（0＋x）＝cos x，所以0是函数y＝cos x的一个周期
D.因为cos≠cos x，所以不是函数y＝cos x的一个周期
7.已知函数y＝sin（A＞0）的最小正周期为3π，则函数y＝3cos[（2A－1）x－π]的最小正周期为 .
8.函数y＝tan（k＞0）的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为 .
9.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2sin（x），则f（7）＝ .
10.求下列函数的周期：
（1）f（x）＝2sin，x∈R；
（2）f（x）＝1－2cosx，x∈R.
11.设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若f（x）＝则f＝（ ）
A.1 B.
C.0 D.－
12.设f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝sin x＋x，则当1＜x＜2时，f（x）＝（ ）
A.sin x＋x B.sin（x－2）＋x－2
C.sin（x＋2）＋x＋2 D.sin（x＋2）＋x－2
13.函数f（x）＝sinx＋cos 3x的最小正周期为 .
14.已知函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且f（1）＝a.
（1）求f（3），f（5）的值；
（2）求f（x）的一个周期，并加以证明.
15.已知函数f（x）＝cos x，求f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）的值.
7.3.1 三角函数的周期性
1.C 因为f（x）＝cos＝cos，所以最小正周期为T＝.
2.D 因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数.故选D.
3.B 由f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.由f（x＋2）＝f（x），则f（x）的周期为2.故选B.
4.C 由题图可知T＝－＝π，故＝π，ω＝2.故选C.
5.D ∵f（x）的周期为2，∴f（5）＝f（2×2＋1）＝f（1）＝6.
6.BD 根据周期函数的定义容易知道A、C均是错误的；对于B，2π是函数y＝tan x的一个周期，故B正确；D显然正确.故选B、D.
7.π 解析：由题意知2π·A＝3π，∴A＝，∴2A－1＝2.∴y＝3cos[（2A－1）x－π]＝3cos（2x－π）的最小正周期T＝π.
8.7 解析：因为T＝＝≤2，所以k≥2π，又k∈N*，所以正整数k的最小值为7.
9.－2 解析：因为f（x＋4）＝f（x），所以函数的周期是4.因为f（x）在R上是奇函数，且当x∈（0，2）时，f（x）＝2sin（x），所以f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.
10.解：（1）法一 设f（x）的周期为T，
则2sin［（x＋T）＋］＝2sin，即2sin（x＋＋）＝2sin对任意的x均成立.
即2sin＝2sin u，其中u＝x＋.
∵y＝2sin u的周期为2π，∴＝2π，∴T＝4π，
∴f（x）＝2sin的周期为4π.
法二 ∵T＝＝4π，∴f（x）＝2sin的周期为4π.
（2）f（x）＝1－2cosx的周期为T＝＝4.
11.B f＝f［×（－3）＋］＝f＝sin＝.故选B.
12.B 当1＜x＜2时，－2＜－x＜－1，则0＜2－x＜1，因为当0＜x＜1时，f（x）＝sin x＋x，所以f（2－x）＝sin（2－x）＋2－x.因为f（x）是周期为2的奇函数，所以f（x）＝－f（－x）＝－f（2－x）＝－sin（2－x）＋x－2＝sin（x－2）＋x－2.
13.6π 解析：由y＝sin的周期T1＝3π，y＝cos 3x的周期T2＝π，T1，T2的最小公倍数为6π，故f（x）的最小正周期为6π.
14.解：（1）令x＝1，则由f（x＋2）＝－f（x），得f（3）＝－f（1）＝－a；
令x＝3，则由f（x＋2）＝－f（x），得f（5）＝－f（3）＝a.
（2）f（x）的一个周期为4.证明如下：
∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）
＝－[－f（x）]＝f（x），
即f（x＋4）＝f（x）.
∴f（x）的一个周期为4.
15.解：由ω＝，得T＝6，因为f（1）＝cos ＝，f（2）＝cos ＝－，f（3）＝cos π＝－1，f（4）＝cos ＝－，f（5）＝cos ＝，f（6）＝cos 2π＝1，
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，即每连续六项的和均为0.
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝－－1＝－1.
1 / 27.3.1 三角函数的周期性
新课程标准解读 核心素养
1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性 数学抽象
2.会求一些简单三角函数的周期 数学运算
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有唐朝诗人李建枢的诗《咏月》为证：“昨夜圆非今夜圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律.
【问题】 从角到角的三角函数值也都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是三角函数的什么性质吗？
知识点 函数的周期性
1.周期函数：设函数y＝f（x）的定义域为A.如果存在一个 ，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且 ，那么函数f（x）就叫作周期函数.非零常数T叫作这个函数的周期.
2.最小正周期：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的 ，那么，这个最小的 就叫作f（x）的 .
3.三角函数的周期性
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）及y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期为 ；
（2）函数y＝Atan（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期为 .
提醒 对周期函数定义的再理解：①并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；②如果T是定义在A上的函数f（x）的一个周期，并且对任意x∈A，都有x＋nT∈A（n∈Z且n≠0），那么nT（n∈Z且n≠0）也是f（x）的周期；③函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质.
1.下列函数中周期为的是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin 2x
C.y＝tan D.y＝cos（－4x）
2.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.y＝｜sin x｜不是周期函数
B.6π不是函数y＝sin x的一个周期
C.周期函数的周期可以有无数多个
D.若函数f（x）的周期为T，则kT，k∈N*也是f（x）的周期
3.设k＞0，若函数f（x）＝sin的最小正周期为，则k＝ .
题型一 周期函数的概念
【例1】 下列命题正确的是（ ）
A.存在函数f（x）定义域中的某个自变量x0，使f（x0＋T）＝f（x0），则f（x）为周期函数
B.存在常数T，使得对f（x）定义域内任意x，都满足f（x＋T）＝f（x），则f（x）为周期函数
C.周期函数可能没有最小正周期
D.周期函数的周期是唯一的
通性通法
理解周期函数概念应注意的3点
（1）周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的，如果只有个别的x值满足f（x＋T）＝f（x），那么T不能称为f（x）的周期；
（2）存在一个常数T，且T≠0，若T为f（x）的一个周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是该函数的周期；
（3）不是所有的函数都是周期函数，也不是所有的周期函数都有最小正周期.
【跟踪训练】
已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，且f（－3）＝－3，求f（99）的值.
题型二 周期函数在实际问题中的应用
【例2】 （链接教科书第195页例1）已知作周期性单摆运动的小球相对静止位置的位移x（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
（2）从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？若从A点算起呢？
（3）求t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移.
通性通法
根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周期解决问题.周期函数图象上任意横坐标差为kT（k∈Z且k≠0）的两点对应的纵坐标相等.
【跟踪训练】已知弹簧振子对平衡位置的位移x（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
（2）求当t＝25.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
题型三 求三角函数的周期
【例3】 （链接教科书第195页例2）（1）求函数f（x）＝sin 2x的周期；
（2）求下列函数的最小正周期：
①f（x）＝cos（2x＋）；②f（x）＝｜sin x｜.
通性通法
求三角函数的周期的方法
（1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f（x＋T）＝f（x）的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
（2）公式法：对形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A≠0）的函数，可利用T＝来求；形如y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0）的函数，可利用T＝来求；
（3）图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中，最小正周期为2π的是（ ）
A.y＝cos｜x｜ B.y＝cos（－2x）
C.y＝sin D.y＝tan
1.函数f（x）＝sin的最小正周期为（ ）
A.6π B.3π
C.2π D.π
2.周期函数y＝f（x）的图象如图，则函数f（x）的最小正周期为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知函数f（x）＝2cos（ωx＋）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π，则ω＝（ ）
A. B.
C.5 D.4
7.3.1 三角函数的周期性
【基础知识·重落实】
知识点
1.非零的常数T f（x＋T）＝f（x）
2.正数 正数 最小正周期 3.（1） （2）
自我诊断
1.D A中，y＝sin的周期是4π；B中，y＝sin 2x的周期是π；C中，y＝tan的周期是2π ；D中，y＝cos（－4x）＝cos 4x的周期是.故选D.
2.CD 对于A，y＝｜sin x｜是周期函数，故A错误；对于B，6π是函数y＝sin x的一个周期，故B错误；函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期，故C正确；对于D，利用周期函数的定义，f（x）＝f（x＋T）＝f（x＋2T）＝…＝f（x＋kT）（k∈N*），故D正确.故选C、D.
3.3 解析：T＝＝，∴k＝3.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 由周期函数的定义，可知f（x＋T）＝f（x）对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故A、B不正确；如常数函数f（x）＝1，x∈R，显然是周期函数，但它没有最小正周期，故C正确；若T为函数f（x）的周期，则f（x＋2T）＝f（（x＋T）＋T）＝f（x＋T）＝f（x），所以2T也是周期，故D不正确.
跟踪训练
解：T＝4，f（99）＝f（24×4＋3）＝f（3）＝－f（－3）＝3.
【例2】 解：（1）从图象可以看出，该函数的周期是0.4 s.
（2）若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.
（3）设x＝f（t），∵函数f（t）的周期为0.4 s，
∴f（11）＝f（0.4×27＋0.2）＝f（0.2）＝0.
∴当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是0 cm.
跟踪训练
解：（1）由函数图象可知，该函数的周期T＝4.5－0.5＝4（s）.
（2）设x＝f（t），∵函数f（t）的周期为4 s，
∴f（25.5）＝f（6×4＋1.5）＝f（1.5）＝－3.
∴当t＝25.5 s时，弹簧振子对平衡位置的位移为－3 cm.
【例3】 解：（1）设f（x）的周期为T，则f（x＋T）＝f（x），
即sin[2（x＋T）]＝sin 2x对任意实数x都成立，
也就是sin（u＋2T）＝sin u对任意实数u都成立，其中u＝2x.
由y＝sin u的周期为2π，可知使得sin（u＋2T）＝sin u对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π，∴2T＝2π，即T＝π，
∴f（x）＝sin 2x的周期为π.
（2）①法一（定义法） ∵f（x）＝cos（2x＋）＝cos（2x＋＋2π）＝cos［2（x＋π）＋］＝f（x＋π），即f（x＋π）＝f（x），
∴函数f（x）＝cos的最小正周期T＝π.
法二（公式法） ∵f（x）＝cos（2x＋），∴ω＝2.
又T＝＝＝π.
∴函数f（x）＝cos的最小正周期T＝π.
②利用周期函数的定义，
∵f（x＋π）＝｜sin（x＋π）｜＝｜－sin x｜＝｜sin x｜＝f（x）.
∴f（x）＝｜sin x｜的周期为π.
跟踪训练
AC 对于A，y＝cos｜x｜＝cos x，周期为2π；对于B，y＝cos（－2x）的周期为π；对于C，y＝sin的周期为2π；对于D，y＝tan周期为π.故选A、C.
随堂检测
1.A T＝＝6π.故选A.
2.B 由图象知，函数f（x）的最小正周期T＝2.
3.A ∵f（x）的最小正周期为，∴＝10π，∴ω＝.
3 / 3(共50张PPT)
7.3.1
三角函数的周期性
新课程标准解读 核心素养
1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见
的函数的周期性 数学抽象
2.会求一些简单三角函数的周期 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，月亮圆了又缺，缺了又圆，这一
周而复始的自然现象，有唐朝诗人李建枢的诗《咏月》为证：“昨夜
圆非今夜圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少
年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们
要珍惜时光，努力学习.我们知道，单摆运动、时钟的圆周运动、四
季变化等，都具有周期性变化的规律.
【问题】 从角到角的三角函数值也都有周而复始的现象，你知道这
一现象反映的是三角函数的什么性质吗？
知识点 函数的周期性
1. 周期函数：设函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 A . 如果存在一个
，使得对于任意的 x ∈ A ，都有 x ＋ T ∈ A ，并且
，那么函数 f （ x ）就叫作周期函数.非零常数 T
叫作这个函数的周期.
2. 最小正周期：对于一个周期函数 f （ x ），如果在它所有的周期中
存在一个最小的 ，那么，这个最小的 就叫作 f
（ x ）的 .
非零
的常数 T
f （ x
＋ T ）＝ f （ x ）
正数
正数
最小正周期
（2）函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ为常数，且 A ≠0，
ω＞0）的周期为 .
提醒 对周期函数定义的再理解：①并不是每一个函数都是
周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；②
如果 T 是定义在 A 上的函数 f （ x ）的一个周期，并且对任意 x
∈ A ，都有 x ＋ nT ∈ A （ n ∈Z且 n ≠0），那么 nT （ n ∈Z且
n ≠0）也是 f （ x ）的周期；③函数的周期性是函数在定义域
上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个
周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质.
1. 下列函数中周期为 的是（ ）
B. y ＝ sin 2 x
D. y ＝ cos （－4 x ）
解析： A中， y ＝ sin 的周期是4π；B中， y ＝ sin 2 x 的周期是
π；C中， y ＝tan 的周期是2π ；D中， y ＝ cos （－4 x ）＝ cos 4 x
的周期是 .故选D.
2. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. y ＝｜ sin x ｜不是周期函数
B. 6π不是函数 y ＝ sin x 的一个周期
C. 周期函数的周期可以有无数多个
D. 若函数 f （ x ）的周期为 T ，则 kT ， k ∈N*也是 f （ x ）的周期
解析： 对于A， y ＝｜ sin x ｜是周期函数，故A错误；对于
B，6π是函数 y ＝ sin x 的一个周期，故B错误；函数的周期不唯
一，任何 T 的非零整数倍都是函数的周期，故C正确；对于D，利
用周期函数的定义， f （ x ）＝ f （ x ＋ T ）＝ f （ x ＋2 T ）＝…＝ f
（ x ＋ kT ）（ k ∈N*），故D正确.故选C、D.
3. 设 k ＞0，若函数 f （ x ）＝ sin 的最小正周期为 ，则 k
＝ .
解析： T ＝ ＝ ，∴ k ＝3.
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 周期函数的概念
【例1】 下列命题正确的是（ ）
A. 存在函数 f （ x ）定义域中的某个自变量 x0，使 f （ x0＋ T ）＝ f
（ x0），则 f （ x ）为周期函数
B. 存在常数 T ，使得对 f （ x ）定义域内任意 x ，都满足 f （ x ＋ T ）＝
f （ x ），则 f （ x ）为周期函数
C. 周期函数可能没有最小正周期
D. 周期函数的周期是唯一的
解析： 由周期函数的定义，可知 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ）对定义域内
的任意一个 x 都成立，且 T ≠0，故A、B不正确；如常数函数 f （ x ）
＝1， x ∈R，显然是周期函数，但它没有最小正周期，故C正确；若 T
为函数 f （ x ）的周期，则 f （ x ＋2 T ）＝ f （（ x ＋ T ）＋ T ）＝ f （ x
＋ T ）＝ f （ x ），所以2 T 也是周期，故D不正确.
通性通法
理解周期函数概念应注意的3点
（1）周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的，如果只有个
别的 x 值满足 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ），那么 T 不能称为 f （ x ）的
周期；
（2）存在一个常数 T ，且 T ≠0，若 T 为 f （ x ）的一个周期，则 kT
（ k ∈Z，且 k ≠0）也是该函数的周期；
（3）不是所有的函数都是周期函数，也不是所有的周期函数都有最
小正周期.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）是定义在R上的周期为4的奇函数，且 f （－3）＝
－3，求 f （99）的值.
解： T ＝4， f （99）＝ f （24×4＋3）＝ f （3）＝－ f （－3）＝3.
题型二 周期函数在实际问题中的应用
【例2】 （链接教科书第195页例1）已知作周期性单摆运动的小球
相对静止位置的位移 x （单位：cm）与时间 t （单位：s）之间的函数
关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
解：从图象可以看出，该函数的周期是0.4 s.
（2）从 O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？若
从 A 点算起呢？
解：若从 O 点算起，到曲线上的 D 点表示完成了一次往复运
动；若从 A 点算起，则到曲线上的 E 点表示完成了一次往复
运动.
（3）求 t ＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移.
解：设 x ＝ f （ t ），∵函数 f （ t ）的周期为0.4 s，
∴ f （11）＝ f （0.4×27＋0.2）＝ f （0.2）＝0.
∴当 t ＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是0 cm.
通性通法
根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周
期解决问题.周期函数图象上任意横坐标差为 kT （ k ∈Z且 k ≠0）的
两点对应的纵坐标相等.
【跟踪训练】
已知弹簧振子对平衡位置的位移 x （单位：cm）与时间 t （单位：s）
之间的函数关系如图所示.
（1）求该函数的周期；
解：由函数图象可知，该函数的周期 T ＝4.5－0.5＝4（s）.
（2）求当 t ＝25.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
解：设 x ＝ f （ t ），∵函数 f （ t ）的周期为4 s，
∴ f （25.5）＝ f （6×4＋1.5）＝ f （1.5）＝－3.
∴当 t ＝25.5 s时，弹簧振子对平衡位置的位移为－3 cm.
题型三 求三角函数的周期
【例3】 （链接教科书第195页例2）（1）求函数 f （ x ）＝ sin 2 x 的
周期；
解：设 f （ x ）的周期为 T ，则 f （ x ＋ T ）＝ f （ x ），
即 sin [2（ x ＋ T ）]＝ sin 2 x 对任意实数 x 都成立，
也就是 sin （ u ＋2 T ）＝ sin u 对任意实数 u 都成立，其中 u ＝2 x .
由 y ＝ sin u 的周期为2π，可知使得 sin （ u ＋2 T ）＝ sin u 对任意实数
u 都成立的2 T 的最小正值为2π，∴2 T ＝2π，即 T ＝π，
∴ f （ x ）＝ sin 2 x 的周期为π.
① f （ x ）＝ cos （2 x ＋ ）；
② f （ x ）＝｜ sin x ｜.
（2）求下列函数的最小正周期：
解：①法一（定义法） ∵ f （ x ）＝ cos （2 x ＋ ）＝ cos （2
x ＋ ＋2π）＝ cos ［2（ x ＋π）＋ ］＝ f （ x ＋π），即 f （ x ＋
π）＝ f （ x ），
∴函数 f （ x ）＝ cos 的最小正周期 T ＝π.
法二（公式法） ∵ f （ x ）＝ cos ，∴ω＝2.
又 T ＝ ＝ ＝π.
∴函数 f （ x ）＝ cos 的最小正周期 T ＝π.
②利用周期函数的定义，
∵ f （ x ＋π）＝｜ sin （ x ＋π）｜＝｜－ sin x ｜＝｜ sin x ｜＝ f
（ x ）.
∴ f （ x ）＝｜ sin x ｜的周期为π.
通性通法
求三角函数的周期的方法
（1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f （ x
＋ T ）＝ f （ x ）的非零常数 T . 该方法主要适用于抽象函数；
（2）公式法：对形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（ A
≠0）的函数，可利用 T ＝ 来求；形如 y ＝ A tan（ω x ＋
φ）（ A ≠0）的函数，可利用 T ＝ 来求；
（3）图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特
别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中，最小正周期为2π的是（ ）
A. y ＝ cos ｜ x ｜ B. y ＝ cos （－2 x ）
解析：AC 对于A， y ＝ cos ｜ x ｜＝ cos x ，周期为2π；对于B， y ＝
cos （－2 x ）的周期为π；对于C， y ＝ sin 的周期为2π；对于
D， y ＝tan 周期为π.故选A、C.
1. 函数 f （ x ）＝ sin 的最小正周期为（ ）
A. 6π B. 3π
C. 2π D. π
解析： T ＝ ＝6π.故选A.
2. 周期函数 y ＝ f （ x ）的图象如图，则函数 f （ x ）的最小正周期为
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由图象知，函数 f （ x ）的最小正周期 T ＝2.
3. 已知函数 f （ x ）＝2 cos （ω x ＋ ）（其中ω＞0， x ∈R）的最小
正周期为10π，则ω＝（ ）
C. 5 D. 4
解析： ∵ f （ x ）的最小正周期为 ，∴ ＝10π，∴ω＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ cos 的最小正周期为（ ）
A. 2π B. 12 D. 3π
解析： 因为 f （ x ）＝ cos ＝ cos ，所以最小
正周期为 T ＝ .
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2. 函数 y ＝ sin 是（ ）
A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
C. 周期为2π的奇函数 D. 周期为2π的偶函数
解析： 因为 y ＝ sin ＝ cos x ，所以该函数是周期为2π的
偶函数.故选D.
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3. 设函数 f （ x ）（ x ∈R）满足 f （－ x ）＝ f （ x ）， f （ x ＋2）＝ f
（ x ），则函数 y ＝ f （ x ）的图象可能是（ ）
解析： 由 f （－ x ）＝ f （ x ），则 f （ x ）是偶函数，图象关于 y
轴对称.由 f （ x ＋2）＝ f （ x ），则 f （ x ）的周期为2.故选B.
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4. 已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
的部分图象如图所示，则ω＝（ ）
B. π
C. 2 D. 2π
解析： 由题图可知 T ＝ － ＝π，故 ＝π，ω＝2.故选C.
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5. 若函数 y ＝ f （ x ）是以2为周期的函数，且 f （5）＝6，则 f （1）＝
（ ）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 6
解析： ∵ f （ x ）的周期为2，∴ f （5）＝ f （2×2＋1）＝ f
（1）＝6.
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6. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 因为 sin （π－ x ）＝ sin x ，所以π是函数 y ＝ sin x 的一个周期
B. 因为tan（2π＋ x ）＝tan x ，所以2π是函数 y ＝tan x 的一个周期
C. 因为 cos （0＋ x ）＝ cos x ，所以0是函数 y ＝ cos x 的一个周期
解析： 根据周期函数的定义容易知道A、C均是错误的；
对于B，2π是函数 y ＝tan x 的一个周期，故B正确；D显然正确.
故选B、D.
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7. 已知函数 y ＝ sin （ A ＞0）的最小正周期为3π，则函数 y ＝3
cos [（2 A －1） x －π]的最小正周期为 .
解析：由题意知2π· A ＝3π，∴ A ＝ ，∴2 A －1＝2.∴ y ＝3 cos
[（2 A －1） x －π]＝3 cos （2 x －π）的最小正周期 T ＝π.
π
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8. 函数 y ＝tan （ k ＞0）的最小正周期不大于2，则正整数 k
的最小值为 .
解析：因为 T ＝ ＝ ≤2，所以 k ≥2π，又 k ∈N*，所以正整数 k
的最小值为7.
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9. 已知 f （ x ）在R上是奇函数，且满足 f （ x ＋4）＝ f （ x ），当 x ∈
（0，2）时， f （ x ）＝2 sin （ x ），则 f （7）＝ .
解析：因为 f （ x ＋4）＝ f （ x ），所以函数的周期是4.因为 f
（ x ）在R上是奇函数，且当 x ∈（0，2）时， f （ x ）＝2 sin （
x ），所以 f （7）＝ f （7－8）＝ f （－1）＝－ f （1）＝－2.
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10. 求下列函数的周期：
（1） f （ x ）＝2 sin ， x ∈R；
解： 法一 设 f （ x ）的周期为 T ，
则2 sin ［ （ x ＋ T ）＋ ］＝2 sin ，即2 sin （ x
＋ ＋ ）＝2 sin 对任意的 x 均成立.
即2 sin ＝2 sin u ，其中 u ＝ x ＋ .
∵ y ＝2 sin u 的周期为2π，∴ ＝2π，∴ T ＝4π，
∴ f （ x ）＝2 sin 的周期为4π.
法二 ∵ T ＝ ＝4π，∴ f （ x ）＝2 sin 的周期为4π.
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（2） f （ x ）＝1－2 cos x ， x ∈R.
解： f （ x ）＝1－2 cos x 的周期为 T ＝ ＝4.
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11. 设 f （ x ）是定义域为R，最小正周期为 的函数，若 f （ x ）＝
则 f ＝（ ）
A. 1 C. 0
解析： f ＝ f ［ ×（－3）＋ ］＝ f ＝ sin ＝
.故选B.
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12. 设 f （ x ）是周期为2的奇函数，当0＜ x ＜1时， f （ x ）＝ sin x ＋
x ，则当1＜ x ＜2时， f （ x ）＝（ ）
A. sin x ＋ x B. sin （ x －2）＋ x －2
C. sin （ x ＋2）＋ x ＋2 D. sin （ x ＋2）＋ x －2
解析： 当1＜ x ＜2时，－2＜－ x ＜－1，则0＜2－ x ＜1，因为
当0＜ x ＜1时， f （ x ）＝ sin x ＋ x ，所以 f （2－ x ）＝ sin （2－
x ）＋2－ x .因为 f （ x ）是周期为2的奇函数，所以 f （ x ）＝－ f
（－ x ）＝－ f （2－ x ）＝－ sin （2－ x ）＋ x －2＝ sin （ x －2）
＋ x －2.
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13. 函数 f （ x ）＝ sin x ＋ cos 3 x 的最小正周期为 .
解析：由 y ＝ sin 的周期 T1＝3π， y ＝ cos 3 x 的周期 T2＝ π，
T1， T2的最小公倍数为6π，故 f （ x ）的最小正周期为6π.
6π
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14. 已知函数 y ＝ f （ x ）满足 f （ x ＋2）＝－ f （ x ），且 f （1）＝ a .
（1）求 f （3）， f （5）的值；
解： 令 x ＝1，则由 f （ x ＋2）＝－ f （ x ），得 f （3）
＝－ f （1）＝－ a ；
令 x ＝3，则由 f （ x ＋2）＝－ f （ x ），得 f （5）＝－ f
（3）＝ a .
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（2）求 f （ x ）的一个周期，并加以证明.
解： f （ x ）的一个周期为4.证明如下：
∵ f （ x ＋2）＝－ f （ x ），
∴ f （ x ＋4）＝ f [（ x ＋2）＋2]＝－ f （ x ＋2）
＝－[－ f （ x ）]＝ f （ x ），
即 f （ x ＋4）＝ f （ x ）.
∴ f （ x ）的一个周期为4.
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15. 已知函数 f （ x ）＝ cos x ，求 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋ f
（2 025）的值.
解：由ω＝ ，得 T ＝6，因为 f （1）＝ cos ＝ ， f （2）＝ cos
＝－ ， f （3）＝ cos π＝－1， f （4）＝ cos ＝－ ， f （5）＝
cos ＝ ， f （6）＝ cos 2π＝1，
所以 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋ f （4）＋ f （5）＋ f （6）＝0，
即每连续六项的和均为0.
所以 f （1）＋ f （2）＋ f （3）＋…＋ f （2 025）＝ f （2 023）＋ f
（2 024）＋ f （2 025）＝ f （1）＋ f （2）＋ f （3）＝ － －1＝－1.
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