(共50张PPT)
第2课时
正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
苏州乐园森林世界的冲上云霄（弹射过山车）轨道总长1 040
米，高度62.5米，设计时速可达129公里，是江浙沪速度最快的过山
车.过山车给游客所带来的体验是史无前例的，它将带着你冲上62.5
米的高空，当你还在惊叹高空俯视的壮观之际，瞬间滑落，给人“上
天，入地”的体验.
【问题】 过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应
函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的什么性质？函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的图
象在什么位置取得最大（小）值？
知识点 正、余弦函数的性质
函数 y ＝ sin x y ＝ cos x
图象
定义
域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
函数 y ＝ sin x y ＝ cos x
最值 x ＝ ， k ∈Z时，
ymax＝1； x ＝ ， k
∈Z时， ymin＝－1 x ＝ ， k ∈Z时， ymax＝
1； x ＝ ， k ∈Z时，
ymin＝－1
奇偶
性 函数 函数
周期
性 最小正周期为 最小正周期为
2 k π＋
2 k π－
2 k π
2 k π＋π
奇
偶
2π
2π
1. y ＝2 sin 的值域是（ ）
A. [－2，2] B. [0，2]
C. [－2，0] D. [－1，1]
解析： 因为 sin ∈[－1，1]，所以 y ∈[－2，2].
故选A.
2. （多选）下列说法中，正确的是（ ）
B. 函数 y ＝3 sin 2 x 是周期为π的奇函数
解析： A中，∵ y ＝ sin ＝ cos x ，∴是偶函数，故A错
误；B中， T ＝ ＝π. f （－ x ）＝3 sin （－2 x ）＝－3 sin 2 x ，故
为奇函数，故B正确；C中，余弦函数最大值为1，故C错误；D
中， y ＝ cos 的最小值为－1，则 y ＝1＋ cos 的最小值为0，故D
正确.故选B、D.
3. 函数 y ＝－2 cos x 的最大值为 ，此时 x ＝ .
解析：因为－1≤ cos x ≤1，所以当 cos x ＝－1时， ymax＝－2×
（－1）＝2.此时 x ＝2 k π＋π， k ∈Z.
2
2 k π＋π， k ∈Z
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正、余弦函数的定义域
【例1】 求函数 y ＝ ＋lg（2 sin x －1）的定义域.
解：要使函数有意义，只要即
如图所示，
cos x ≤ 的解集为{ x ｜ ＋2 k π≤ x ≤ ＋2 k π， k ∈Z}；
sin x ＞ 的解集为{ x ｜ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}，
它们的交集为{ x ｜ ＋2 k π≤ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}，即为函数
的定义域.
通性通法
用三角函数图象求解定义域的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
（2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）根据公式一写出方程或不等式的解集，同时注意区间端点的
取舍.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ 的定义域为 { x ｜2 k π－ ≤ x ≤2 k π
.
解析：要使函数有定义，需满足2 cos 2 x ＋ sin x －1≥0，即2 sin 2 x －
sin x －1≤0，解得－ ≤ sin x ≤1，由正弦函数的图象，可得函数的定
义域为{ x ｜2 k π－ ≤ x ≤2 k π＋ π， k ∈Z}.
{ x ｜2 k π－ ≤ x ≤2 k π
＋ π， k ∈Z}
题型二 正、余弦函数的值域（最值）
【例2】 （链接教科书第201页例4）求下列函数的最大值及取得最
大值时自变量 x 的集合：
（1） y ＝ sin ；
解：函数 y ＝ sin 的最大值为1.
因为使 sin t 取得最大值的 t 的集合为{ t ｜ t ＝ ＋2 k π， k ∈Z}.
令 ＝ ＋2 k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋6 k π， k ∈Z，
所以使函数 y ＝ sin 取得最大值的 x 的集合为{ x ｜ x ＝ ＋6 k
π， k ∈Z}.
（2） y ＝2－ cos 2 x .
解：函数 y ＝2－ cos 2 x 的最大值为2－（－1）＝3.
因为使 cos t 取得最小值的 t 的集合为{ t ｜ t ＝π＋2 k π， k ∈Z}.
令2 x ＝π＋2 k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，
所以使函数 y ＝2－ cos 2 x 取得最大值的 x 的集合为{ x ｜ x ＝ ＋
k π， k ∈Z}.
通性通法
三角函数值域（最值）问题的求解方法
（1）形如 y ＝ a sin x （或 y ＝ a cos x ）型，可利用正弦函数、余弦函数
的有界性，注意对 a 正负的讨论；
（2）形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）＋ b ）
型，可先由定义域求得ω x ＋φ的范围，然后求得 sin （ω x ＋φ）
（或 cos （ω x ＋φ））的范围，最后求得值域（最值）；
（3）形如 y ＝ a sin 2 x ＋ b sin x ＋ c （ a ≠0）型，可利用换元思想，设
t ＝ sin x ，转化为二次函数 y ＝ at2＋ bt ＋ c 求最值. t 的范围需要
根据定义域来确定.
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1） y ＝ cos ， x ∈ ；
解：由 y ＝ cos ， x ∈ ，可得 x ＋ ∈ ，
由函数 y ＝ cos x 在区间 上的图象（图略）可得值域为
.
（2） y ＝ cos 2 x －4 cos x ＋5， x ∈R.
解： y ＝ cos 2 x －4 cos x ＋5，令 t ＝ cos x ， x ∈R，则－1≤ t
≤1.
y ＝ t2－4 t ＋5＝（ t －2）2＋1在区间[－1，1]上单调递减，
当 t ＝－1时，函数取得最大值10；
当 t ＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2，10].
题型三 正、余弦函数的周期性与奇偶性
【例3】 定义在R上的函数 f （ x ）既是偶函数，又是周期函数，若 f
（ x ）的最小正周期为π，且当 x ∈ 时， f （ x ）＝ sin x ，则 f
＝ .
解析： f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ sin
＝ .
【母题探究】
1. （变条件）在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他条
件不变，则 f ＝ － .
解析： f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝－ f ＝
－ sin ＝－ .
－
2. （变条件）若本例中条件变为“定义在R上的函数 f （ x ）既是偶函
数，又是周期函数， f ＝－ f （ x ）， f ＝1”，则 f
＝ .
解析：∵ f ＝－ f （ x ），∴ f （ x ＋π）＝－ f ＝－
[－ f （ x ）]＝ f （ x ），∴ T ＝π，∴ f ＝ f ＝ f
＝ f ＝1.
1
通性通法
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
（1）探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝ A
sin （ω x ＋φ）或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ是常数，
且 A ≠0，ω＞0）的形式，再利用公式 T ＝ 求解；
（2）判断函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（其中
A ，ω，φ是常数，且 A ≠0，ω＞0）是否具备奇偶性，关键是看
它能否通过诱导公式转化为 y ＝ A sin ω x （ A ≠0，ω＞0）或 y ＝
A cos ω x （ A ≠0，ω＞0）其中的一个.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝ sin （ω≠0），则 f （ x ）是 （填
“奇函数”或“偶函数”），若 f （ x ）的周期为π，则ω＝ .
解析： f （ x ）＝ sin ＝－ cos ω x .∴ f （－ x ）＝－ cos
（－ω x ）＝－ cos ω x ＝ f （ x ），∴ f （ x ）为偶函数，又 T ＝π，
∴ ＝π，∴ω＝±2.
偶函数
±2
1. 函数 f （ x ）＝ sin （－ x ）的奇偶性是（ ）
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
解析： 由于 x ∈R，且 f （－ x ）＝ sin x ＝－ sin （－ x ）＝－ f
（ x ），所以 f （ x ）为奇函数.故选B.
2. 函数 y ＝｜ cos x ｜， x ∈R的周期为（ ）
A. π B. 2π
D. 4π
解析： y ＝｜ cos x ｜的图
象如图（实线部分）所示.
由图象可知， y ＝｜ cos x ｜的
周期为π.故选A.
解析：要使函数有意义，则必有2 sin x ＋1＞0，即 sin x ＞－ .画出
y ＝ sin x ， x ∈ 的草图，如图所示.
{ x ｜－ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2
k π， k ∈Z}
当－ ＜ x ＜ 时，不等式 sin x ＞－ 成立，所以函数 y ＝log2（2
sin x ＋1）的定义域为{ x ｜－ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}.
4. 已知函数 y ＝2 cos ， x ∈ .
（1）求函数的最小正周期；
解： 由 T ＝ 知 T ＝ ＝π，即函数最小正周期为π.
（2）求函数的值域.
解： ∵ x ∈ ，∴2 x ＋ ∈ ，
∴ cos ∈ ，
∴函数的值域为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝ x · cos x （ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
解析： f （ x ）的定义域为R. ∵ f （－ x ）＝（－ x ）· cos （－
x ）＝－ x · cos x ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）＝ x · cos x 是奇函数.
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2. 函数 f （ x ）＝7 sin 是（ ）
A. 周期为3π的偶函数 B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数
解析： 因为 f （ x ）＝7 sin ＝－7 cos ，所以 f
（ x ）是偶函数，周期 T ＝ ＝3π.
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3. 函数 y ＝ f （ x ）＝ x sin x 的部分图象是（ ）
解析： ∵ f （－ x ）＝－ x sin （－ x ）＝ x sin x ＝ f （ x ），∴函
数 f （ x ）是偶函数，排除B、D；当 x 取趋近于0的正数时， f （ x ）
＞0.故选A.
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4. 函数 y ＝ cos 2 x ＋ sin x 的最大值为（ ）
A. 2
C. 1 D. 0
解析： y ＝ cos 2 x ＋ sin x ＝1－ sin 2 x ＋ sin x ，令 t ＝ sin x ， t
∈[－1，1]， y ＝－ t2＋ t ＋1＝－ ＋ ，当 t ＝ 时， ymax＝
.故选B.
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5. （多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）
A. y ＝｜ sin x ｜ B. y ＝ sin 2 x
解析： A中，由 y ＝｜ sin x ｜的图象知， y ＝｜ sin x ｜是周期
为π的偶函数，所以A正确；B中，函数为奇函数，所以B不正确；
C中， y ＝ sin ＝ cos 2 x 为偶函数， T ＝π，所以C正确；D
中，函数 y ＝ cos x ， T ＝4π，所以D不正确.故选A、C.
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6. （多选）若 y ＝ a sin x ＋ b 的最大值为3，最小值为1，则 ab 的值可
以为（ ）
A. 2 B. －2
C. 0 D. －1
解析： 当 a ＞0时，得所以 ab ＝2.当 a
＜0时，得所以 ab ＝－2，综上所述， ab
＝±2.故选A、B.
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7. 若 cos x ＝ m －1有意义，则 m 的取值范围是 .
解析：因为－1≤ cos x ≤1，要使 cos x ＝ m －1有意义，需有－1≤
m －1≤1，所以0≤ m ≤2.
[0，2]
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8. （2024·南京月考）函数 f （ x ）＝lg cos x ＋ 的定义域
为 .
解析：由题意得 x 满足不等式组
即作
出 y ＝ cos x 的图象，如图所示.
结合图象可得函数的定义域为 ∪ ∪ .
∪ ∪
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9. 设函数 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1，若 f （ a ）＝11，则 f （－ a ）＝
.
解析：令 g （ x ）＝ x3 cos x ，∴ g （－ x ）＝（－ x ）3 cos （－ x ）
＝－ x3 cos x ＝－ g （ x ），∴ g （ x ）为奇函数，又 f （ x ）＝ g
（ x ）＋1，∴ f （ a ）＝ g （ a ）＋1＝11， g （ a ）＝10，∴ f （－
a ）＝ g （－ a ）＋1＝－ g （ a ）＋1＝－9.
－
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解：因为 x ∈ ，所以2 x ＋ ∈［－ ， ］，
从而－ ≤ cos ≤1.
所以当 cos ＝1，即2 x ＋ ＝0， x ＝－ 时， ymin＝3－4＝
－1.
当 cos ＝－ ，即2 x ＋ ＝ ， x ＝ 时，
ymax＝3－4× ＝5.
综上所述，当 x ＝－ 时， ymin＝－1；
当 x ＝ 时， ymax＝5.
10. 求函数 y ＝3－4 cos ， x ∈ 的最大值、最小值及
相应的 x 的值.
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11. 已知函数 f （ x ）＝4 sin （2 x － ）＋1的定义域是[0， m ]，值域
为[－1，5]，则 m 的最大值是（ ）
解析： ∵ x ∈[0， m ]，∴2 x － ∈［－ ，2 m － ］.∵ f
（ x ）的值域为[－1，5]，∴ ≤2 m － ≤ ，解得 ≤ m ≤
，∴ m 的最大值为 .故选A.
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12. 对于函数 f （ x ）＝下列说法中正确的是
（ ）
A. 该函数的值域是[－1，1]
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解析： 画出函数 f （ x ）的图象如
图中实线部分所示，由图象容易看
出，该函数的值域是［－ ，1］；
当且仅当 x ＝2 k π＋ ， k ∈Z或 x ＝2k π， k ∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当 x ＝2 k π＋ ， k ∈Z时，函数取得最小值－ ；当且仅当2 k π＋π＜ x ＜2 k π＋ ， k ∈Z时， f （ x ）＜0，可知A、B、C不正确.
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13. 函数 y ＝ sin x 的定义域为[ a ， b ]，值域为 ，则 b － a 的
最大值和最小值之和等于 .
解析：如图，当定义域为[ a1， b ]时，值域为
且 b － a 最大.当定义域为[ a2， b ]时，
值域为 且 b － a 最小.∴最大值与最小值之和为（ b － a1）＋（ b － a2）＝2 b －（ a1＋ a2）＝2× ＋ ＋ ＝2π.
2π
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14. 已知函数 f （ x ）对于任意实数 x 满足条件 f （ x ＋2）＝－
（ f （ x ）≠0）.
（1）求证：函数 f （ x ）是周期函数；
解： 证明：∵ f （ x ＋2）＝－ ，
∴ f （ x ＋4）＝－ ＝－ ＝ f （ x ），
∴ f （ x ）是周期函数，4是它的一个周期.
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（2）若 x ∈（0， ）时 f （ x ）＝－ sin x ，求 f （ f （5））的值.
解： ∵4是 f （ x ）的一个周期，
∴ f （5）＝ f （1）＝－ sin ＝－1，
∴ f （ f （5））＝ f （－1）＝ f （－3＋2）＝－ ，
又 f （ x ）是以4为周期的周期函数，
∴ f （－3）＝ f （1），故 f （ f （5））＝－ ＝1.
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15. 若 cos 2θ＋2 m sin θ－2 m －2＜0恒成立，求实数 m 的取值范围.
解：因为 cos 2θ＋2 m sin θ－2 m －2＜0，
即 sin 2θ－2 m sin θ＋2 m ＋1＞0恒成立，
令 t ＝ sin θ，则 t ∈[－1，1]，所以不等式可化为
2 m （ t －1）＜ t2＋1， t ∈[－1，1]恒成立，
当 t ＝1时，不等式变为0＜2恒成立，所以 m ∈R；
当 t ∈[－1，1）时，不等式可化为2 m ＞ ＝ ＝2
－［（1－ t ）＋ ］恒成立，
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因为2－［（1－ t ）＋ ］≤2－2 ，
当且仅当1－ t ＝ ，即 t ＝1－ 时等号成立，
所以2 m ＞2－2 ，解得 m ＞1－ ，
所以实数 m 的取值范围是（1－ ，＋∞）.
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谢 谢 观 看！第2课时 正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性
1.函数f（x）＝x·cos x（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
2.函数f（x）＝7sin是（ ）
A.周期为3π的偶函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为3π的奇函数
D.周期为的偶函数
3.函数y＝f（x）＝xsin x的部分图象是（ ）
4.函数y＝cos2x＋sin x的最大值为（ ）
A.2 B.
C.1 D.0
5.（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）
A.y＝｜sin x｜ B.y＝sin 2x
C.y＝sin D.y＝cosx
6.（多选）若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab的值可以为（ ）
A.2 B.－2
C.0 D.－1
7.若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是 .
8.（2024·南京月考）函数f（x）＝lg cos x＋的定义域为 .
9.设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝ .
10.求函数y＝3－4cos，x∈的最大值、最小值及相应的x的值.
11.已知函数f（x）＝4sin（2x－）＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1，5]，则m的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
12.对于函数f（x）＝下列说法中正确的是（ ）
A.该函数的值域是[－1，1]
B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，函数取得最大值1
C.当且仅当x＝2kπ－（k∈Z）时，函数取得最小值－1
D.当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋（k∈Z）时，f（x）＜0
13.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于 .
14.已知函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x＋2）＝－（f（x）≠0）.
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）若x∈（0，）时f（x）＝－sinx，求f（f（5））的值.
15.若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，求实数m的取值范围.
第2课时 正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性
1.A f（x）的定义域为R.∵f（－x）＝（－x）·cos（－x）＝－x·cos x＝－f（x），∴f（x）＝x·cos x是奇函数.
2.A 因为f（x）＝7sin＝－7cos ，所以f（x）是偶函数，周期T＝＝3π.
3.A ∵f（－x）＝－xsin（－x）＝xsin x＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，排除B、D；当x取趋近于0的正数时，f（x）＞0.故选A.
4.B y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，令t＝sin x，t∈[－1，1]，y＝－t2＋t＋1＝－＋，当t＝时，ymax＝.故选B.
5.AC A中，由y＝｜sin x｜的图象知，y＝｜sin x｜是周期为π的偶函数，所以A正确；B中，函数为奇函数，所以B不正确；C中，y＝sin＝cos 2x为偶函数，T＝π，所以C正确；D中，函数y＝cosx，T＝4π，所以D不正确.故选A、C.
6.AB 当a＞0时，得所以ab＝2.当a＜0时，得所以ab＝－2，综上所述，ab＝±2.故选A、B.
7.[0，2] 解析：因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，需有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.
8.∪∪
解析：由题意得x满足不等式组即作出y＝cos x的图象，如图所示.
结合图象可得函数的定义域为∪∪.
9.－9 解析：令g（x）＝x3cos x，∴g（－x）＝（－x）3cos（－x）＝－x3cos x＝－g（x），∴g（x）为奇函数，又f（x）＝g（x）＋1，∴f（a）＝g（a）＋1＝11，g（a）＝10，∴f（－a）＝g（－a）＋1＝－g（a）＋1＝－9.
10.解：因为x∈，所以2x＋∈［－，］，
从而－≤cos≤1.
所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，
ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
11.A ∵x∈[0，m]，∴2x－∈［－，2m－］.∵f（x）的值域为[－1，5]，∴≤2m－≤，解得≤m≤，∴m的最大值为.故选A.
12.D 画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，由图象容易看出，该函数的值域是［－，1］；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确.
13.2π 解析：如图，当定义域为[a1，b]时，值域为且b－a最大.当定义域为[a2，b]时，值域为且b－a最小.∴最大值与最小值之和为（b－a1）＋（b－a2）＝2b－（a1＋a2）＝2×＋＋＝2π.
14.解：（1）证明：∵f（x＋2）＝－，
∴f（x＋4）＝－＝－＝f（x），
∴f（x）是周期函数，4是它的一个周期.
（2）∵4是f（x）的一个周期，
∴f（5）＝f（1）＝－sin＝－1，
∴f（f（5））＝f（－1）＝f（－3＋2）＝－，
又f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（－3）＝f（1），故f（f（5））＝－＝1.
15.解：因为cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0，
即sin2θ－2msin θ＋2m＋1＞0恒成立，
令t＝sin θ，则t∈[－1，1]，所以不等式可化为
2m（t－1）＜t2＋1，t∈[－1，1]恒成立，
当t＝1时，不等式变为0＜2恒成立，所以m∈R；
当t∈[－1，1）时，不等式可化为2m＞＝＝2－［（1－t）＋］恒成立，
因为2－［（1－t）＋］≤2－2，
当且仅当1－t＝，即t＝1－时等号成立，
所以2m＞2－2，解得m＞1－，
所以实数m的取值范围是（1－，＋∞）.
2 / 2第2课时 正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性
苏州乐园森林世界的冲上云霄（弹射过山车）轨道总长1 040米，高度62.5米，设计时速可达129公里，是江浙沪速度最快的过山车.过山车给游客所带来的体验是史无前例的，它将带着你冲上62.5米的高空，当你还在惊叹高空俯视的壮观之际，瞬间滑落，给人“上天，入地”的体验.
【问题】 过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cos x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cos x的图象在什么位置取得最大（小）值？
知识点 正、余弦函数的性质
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1]
最值 x＝ ，k∈Z时，ymax＝1；x＝ ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝ ，k∈Z时，ymax＝1；x＝ ，k∈Z时，ymin＝－1
奇偶性 函数 函数
周期性 最小正周期为 最小正周期为
1.y＝2sin的值域是（ ）
A.[－2，2] B.[0，2]
C.[－2，0] D.[－1，1]
2.（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A.y＝sin是奇函数
B.函数y＝3sin 2x是周期为π的奇函数
C.存在实数x，使得cos x＝
D.y＝1＋cos的最小值为0
3.函数y＝－2cos x的最大值为 ，此时x＝ .
题型一 正、余弦函数的定义域
【例1】 求函数y＝＋lg（2sin x－1）的定义域.
通性通法
用三角函数图象求解定义域的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；
（2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）根据公式一写出方程或不等式的解集，同时注意区间端点的取舍.
【跟踪训练】
函数f（x）＝的定义域为 .
题型二 正、余弦函数的值域（最值）
【例2】 （链接教科书第201页例4）求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：
（1）y＝sin；（2）y＝2－cos 2x.
通性通法
三角函数值域（最值）问题的求解方法
（1）形如y＝asin x（或y＝acos x）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论；
（2）形如y＝Asin（ωx＋φ）＋b（或y＝Acos（ωx＋φ）＋b）型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin（ωx＋φ）（或cos（ωx＋φ））的范围，最后求得值域（最值）；
（3）形如y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1）y＝cos，x∈；
（2）y＝cos2x－4cos x＋5，x∈R.
题型三 正、余弦函数的周期性与奇偶性
【例3】 定义在R上的函数f（x）既是偶函数，又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈时，f（x）＝sin x，则f＝ .
【母题探究】
1.（变条件）在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他条件不变，则f＝ .
2.（变条件）若本例中条件变为“定义在R上的函数f（x）既是偶函数，又是周期函数，f＝－f（x），f＝1”，则f＝ .
通性通法
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
（1）探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0）的形式，再利用公式T＝求解；
（2）判断函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0）是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx（A≠0，ω＞0）或y＝Acos ωx（A≠0，ω＞0）其中的一个.
【跟踪训练】
函数f（x）＝sin（ω≠0），则f（x）是 （填“奇函数”或“偶函数”），若f（x）的周期为π，则ω＝ .
1.函数f（x）＝sin（－x）的奇偶性是（ ）
A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
2.函数y＝｜cos x｜，x∈R的周期为（ ）
A.π B.2π
C. D.4π
3.函数y＝log2（2sin x＋1）的定义域为 .
4.已知函数y＝2cos，x∈.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的值域.
第2课时 正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性
【基础知识·重落实】
知识点
2kπ＋ 2kπ－ 2kπ 2kπ＋π 奇 偶 2π 2π
自我诊断
1.A 因为sin∈[－1，1]，所以y∈[－2，2].故选A.
2.BD A中，∵y＝sin＝cos x，∴是偶函数，故A错误；B中，T＝＝π.f（－x）＝3sin（－2x）＝－3sin 2x，故为奇函数，故B正确；C中，余弦函数最大值为1，故C错误；D中，y＝cos的最小值为－1，则y＝1＋cos的最小值为0，故D正确.故选B、D.
3.2 2kπ＋π，k∈Z 解析：因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝－1时，ymax＝－2×（－1）＝2.此时x＝2kπ＋π，k∈Z.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：要使函数有意义，只要
即
如图所示，
cos x≤的解集为{x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}；
sin x＞的解集为{x｜＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}，
它们的交集为{x｜＋2kπ≤x＜＋2kπ，k∈Z}，即为函数的定义域.
跟踪训练
{x｜2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
解析：要使函数有定义，需满足2cos2x＋sin x－1≥0，即2sin2x－sin x－1≤0，解得－≤sin x≤1，由正弦函数的图象，可得函数的定义域为{x｜2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z}.
【例2】 解：（1）函数y＝sin的最大值为1.
因为使sin t取得最大值的t的集合为{t｜t＝＋2kπ，k∈Z}.
令＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋6kπ，k∈Z，
所以使函数y＝sin取得最大值的x的集合为{x｜x＝＋6kπ，k∈Z}.
（2）函数y＝2－cos 2x的最大值为2－（－1）＝3.
因为使cos t取得最小值的t的集合为{t｜t＝π＋2kπ，k∈Z}.
令2x＝π＋2kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，
所以使函数y＝2－cos 2x取得最大值的x的集合为{x｜x＝＋kπ，k∈Z}.
跟踪训练
解：（1）由y＝cos，x∈，可得x＋∈，
由函数y＝cos x在区间上的图象（图略）可得值域为.
（2）y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，x∈R，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝（t－2）2＋1在区间[－1，1]上单调递减，
当t＝－1时，函数取得最大值10；
当t＝1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2，10].
【例3】 解析：f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
母题探究
1.－ 解析：f＝f＝f＝f＝f＝－f＝－sin＝－.
2.1 解析：∵f＝－f（x），∴f（x＋π）＝－f＝－[－f（x）]＝f（x），∴T＝π，∴f＝f＝f＝f＝1.
跟踪训练
偶函数 ±2 解析：f（x）＝sin＝－cos ωx.∴f（－x）＝－cos（－ωx）＝－cos ωx＝f（x），∴f（x）为偶函数，又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
随堂检测
1.B 由于x∈R，且f（－x）＝sin x＝－sin（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数.故选B.
2.A y＝｜cos x｜的图象如图（实线部分）所示.
由图象可知，y＝｜cos x｜的周期为π.故选A.
3.{x｜－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}
解析：要使函数有意义，则必有2sin x＋1＞0，即sin x＞－.画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示.
当－＜x＜时，不等式sin x＞－成立，所以函数y＝log2（2sin x＋1）的定义域为{x｜－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z}.
4.解：（1）由T＝知T＝＝π，即函数最小正周期为π.
（2）∵x∈，∴2x＋∈，
∴cos∈，
∴函数的值域为.
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