(共56张PPT)
第3课时
正、余弦函数的单调性与对称性
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险
的快感令不少人着迷.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑
落、倒转（儿童过山车没有倒转）这几个循环路径.
【问题】 函数 y ＝ sin x 与 y ＝ cos x 图象也像过山车一样“爬
升”“滑落”，这是 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的什么性质？
知识点 正、余弦函数的单调性与对称性
函数 正弦函数 余弦函数
图象
函数 正弦函数 余弦函数
单
调
性 在每一个闭区间 （ k
∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间 （ k
∈Z）上都单调递减 在每一个闭区间
（ k ∈Z）上都单
调递增，
在每一个闭区间
（ k ∈Z）上都单
调递减
［2 k π－ ，2 k π＋ ］
［2 k π＋ ，2 k π＋ ］
[2 k π－
π，2 k π]
[2 k π，2
k π＋π]
函数 正弦函数 余弦函数
对称轴 x ＝ k π， k ∈Z
对称 中心 （ k π，0）， k ∈Z
提醒 （1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区
间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们
都有无数个单调区间.
1. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 正弦函数 y ＝ sin x 在R上是增函数
B. 余弦函数 y ＝ cos x 的一个单调减区间是[0，π]
C. 正弦函数 y ＝ sin x 图象的一条对称轴是 x 轴
2. 函数 y ＝ sin （ x ＋ ）图象的对称轴为（ ）
解析： 由 x ＋ ＝ k π＋ ， k ∈Z，得 x ＝ k π＋ ， k ∈Z，令 k
＝0，得 x ＝ .
3. 若函数 y ＝ cos x 在区间[－π， a ]上单调递增，则 a 的取值范围
是 .
解析：因为函数 y ＝ cos x 在区间[－π，0]上单调递增，在[0，π]上
单调递减，又已知函数 y ＝ cos x 在区间[－π， a ]上单调递增，所
以－π＜ a ≤0，即 a 的取值范围是（－π，0].
（－π，0]
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正、余弦函数的单调性及应用
角度1 求正、余弦函数的单调区间
【例1】 （链接教科书第202页练习7题）求函数 y ＝2 sin 的
单调区间.
解：令 z ＝ x － ，则 y ＝2 sin z .
∵ z ＝ x － 是增函数，∴ y ＝2 sin z 在某区间上单调递增（减）时，
函数 y ＝2 sin 也在所对应区间上单调递增（减）.
∴ z ∈ （ k ∈Z），
即 x － ∈ （ k ∈Z），
得 x ∈ （ k ∈Z），
故函数 y ＝2 sin 的单调递增区间为［2 k π－ ，2 k π＋ ］（ k
∈Z）.
同理可求函数 y ＝2 sin 的单调递减区间为［2 k π＋ ，2 k π＋
］（ k ∈Z）.
【母题探究】
1. （变设问）求函数 f （ x ）＝2 sin ， x ∈[0，2π]的单调
区间.
解：由例题知 f （ x ）＝2 sin 的单调递增区间为
， k ∈Z，又∵ x ∈[0，2π]，
∴0≤ x ≤ 或 ≤ x ≤2π，
同理函数 f （ x ）＝2 sin ， x ∈[0，2π]的单调递减区间为
.
∴函数 f （ x ）＝2 sin ， x ∈[0，2π]的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
2. （变条件、变设问）求函数 y ＝ sin 的增区间.
解： y ＝ sin ＝－ sin ，
令 z ＝ x － ，而 y ＝－ sin z 的增区间是［ ＋2 k π， ＋2 k π］， k
∈Z，
∴令 ＋2 k π≤ x － ≤ ＋2 k π， k ∈Z，
得 ＋2 k π≤ x ≤ ＋2 k π， k ∈Z，
∴函数 y ＝ sin 的增区间为［ ＋2 k π， ＋2 k π］， k
∈Z.
通性通法
求解与正、余弦函数有关的单调区间的技巧
（1）数形结合：结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调
区间；
（2）整体代换：在求形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ为常
数，且 A ≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”
整体代换，将“ω x ＋φ”看作一个整体“ z ”，即通过求 y ＝ A
sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间.同理可求形如 y ＝ A
cos （ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ为常数，且 A ≠0，ω＞0）的函
数的单调区间.
角度2 利用正、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 （链接教科书第202页例5）不求值，分别比较下列各组数
中两个三角函数值的大小：
（1） sin （－ ）与 sin （－ ）；
解： sin （－ ）＝ sin （－2π＋ ）＝ sin ，
因为 y ＝ sin x 在［－ ， ］上单调递增，且－ ＜－ ＜ ＜ ，
所以 sin （－ ）＜ sin ，即 sin （－ ）＜ sin （－ ）.
（2） cos 与 cos .
解： cos ＝ cos （2π－ ）＝ cos ， cos ＝ cos （2π－
）＝ cos .
因为函数 y ＝ cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜ ＜ ＜π，
所以 cos ＞ cos ，所以 cos ＞ cos .
通性通法
比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化
为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般先化为同名的三角
函数值，后面步骤同上.
【跟踪训练】
1. 设 a ＝ cos ， b ＝ sin ， c ＝ cos ，则（ ）
A. a ＞ c ＞ b B. c ＞ b ＞ a
C. c ＞ a ＞ b D. b ＞ c ＞ a
解析：A ∵ sin π＝ sin （8π－ π）＝－ sin π＝ sin ＝ cos ，
cos ＝ cos （2π－ ）＝ cos （－ ）＝ cos .又∵ y ＝ cos x 在
（0， ）上单调递减且 ＜ ＜ ，∴ cos ＞ cos ＞ cos ，即 a
＞ c ＞ b .
2. 求函数 y ＝2 cos 的单调区间.
解：令2 k π－π≤2 x － ≤2 k π（ k ∈Z），即2 k π－ ≤2 x ≤2 k π＋
（ k ∈Z），
∴ k π－ ≤ x ≤ k π＋ （ k ∈Z）.
∴单调递增区间为 （ k ∈Z）.
令2 k π≤2 x － ≤2 k π＋π（ k ∈Z），即2 k π＋ ≤2 x ≤2 k π＋
（ k ∈Z），
∴ k π＋ ≤ x ≤ k π＋ （ k ∈Z），
∴单调递减区间为 （ k ∈Z）.
∴函数 y ＝2 cos 的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］
（ k ∈Z），单调递减区间为［ k π＋ ， k π＋ ］（ k ∈Z）.
题型二 正、余弦函数的对称性
【例3】 （链接教科书第202页练习2题）函数 y ＝ sin 的图
象的对称轴是直线 x ＝ ＋ （ k ∈Z） ，对称中心是 （ － ，
.
x ＝ ＋ （ k ∈Z）
（ － ，
0）（ k ∈Z）
解析：要使 sin ＝±1，必有2 x ＋ ＝ k π＋ （ k ∈Z），∴ x
＝ ＋ （ k ∈Z），故函数 y ＝ sin 的图象的对称轴是直线 x
＝ ＋ （ k ∈Z）.∵函数 y ＝ sin 的图象与 x 轴的交点为对
称中心，令 y ＝0，即 sin ＝0，∴2 x ＋ ＝ k π（ k ∈Z），即 x
＝ － （ k ∈Z）.故函数 y ＝ sin 的图象的对称中心是（
－ ，0）（ k ∈Z）.
通性通法
正、余弦曲线的对称轴、对称中心的特点
（1）正、余弦曲线的对称轴分别过正、余弦曲线的最高点或最低
点，即此时的正、余弦值取最大值或最小值；
（2）正、余弦曲线的对称中心分别是正、余弦曲线与 x 轴的交点，即
此时的正、余弦值为0.
【跟踪训练】
求函数 y ＝2 sin 的图象的对称轴、对称中心.
解： y ＝2 sin ＝－2 sin ，
令2 x － ＝ ＋ k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，
所以函数 y ＝2 sin 的图象的对称轴为直线 x ＝ ＋ ， k
∈Z，
对称中心的横坐标满足2 x － ＝ k π， k ∈Z，即 x ＝ ＋ ， k ∈Z.
所以函数 y ＝2 sin 的图象的对称中心为 ， k
∈Z.
1. 函数 y ＝－ cos x 在区间 上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 先减后增 D. 先增后减
解析： 因为 y ＝ cos x 在区间 上先增后减，所以 y ＝－
cos x 在区间 上先减后增.故选C.
2. （多选）正弦函数 y ＝ sin x ， x ∈R的图象的一条对称轴是
（ ）
A. y 轴
D. 直线 x ＝π
解析： 当 x ＝ 时， y 取最大值，∴ x ＝ 是一条对称轴，当 x
＝－ 时， y 取最小值，∴ x ＝－ 是一条对称轴.故选B、C.
3. （2024·南通月考）函数 f （ x ）＝ cos 的单调递减区间
是 .
解析：令2 k π≤2 x － ≤π＋2 k π（ k ∈Z），得 ＋ k π≤ x ≤ ＋ k
π（ k ∈Z），即 f （ x ）＝ cos （2 x － ）的单调递减区间是
（ k ∈Z）.
（ k ∈Z）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝ sin 图象的一条对称轴是（ ）
解析： 由2 x ＋ ＝ ＋ k π（ k ∈Z），得 x ＝ ＋ π，（ k
∈Z），令 k ＝0，得 x ＝ .故选C.
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2. 函数 y ＝ sin 的单调递减区间是（ ）
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解析： y ＝ sin ＝－ sin ，由－ ＋2 k
π≤2 x － ≤ ＋2 k π，得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ π， k ∈Z，∴
函数 y ＝ sin 的单调递减区间是［ k π－ ， k π＋ ］
（ k ∈Z）.故选B.
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3. 下列关系式中正确的是（ ）
A. sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°
B. sin 168°＜ sin 11°＜ cos 10°
C. sin 11°＜ cos 10°＜ sin 168°
D. sin 168°＜ cos 10°＜ sin 11°
解析： 因为 sin 168°＝ sin 12°， cos 10°＝ sin 80°，所以只
需比较 sin 11°， sin 12°， sin 80°的大小.因为 y ＝ sin x 在
（0°，90°）上单调递增，所以 sin 11°＜ sin 12°＜ sin 80°，
即 sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°.
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4. 当 x ∈[－π，π]时，函数 y ＝3 cos 的减区间为（ ）
A. [－π，0] B. [0，π]
解析： 由题意可知 y ＝3 cos ＝－3 sin x ，即求正弦函数
的增区间.正弦函数的增区间为 （ k ∈Z），
结合 x ∈[－π，π]，当 k ＝0时，符合题意.则函数 y ＝3 cos
的减区间为 .故选C.
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5. （多选）关于函数 f （ x ）＝ sin 2 x ，下列选项中正确的是
（ ）
B. f （ x ）的图象关于原点对称
C. f （ x ）的最小正周期为2π
D. f （ x ）的最大值为1
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解析： 因为函数 y ＝ sin x 在 上单调递减，所以 f （ x ）
＝ sin 2 x 在 上单调递减，故A错误；因为 f （－ x ）＝ sin
（－2 x ）＝－ sin 2 x ＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数，图象关
于原点对称，故B正确； f （ x ）的最小正周期为π，故C错误； f
（ x ）的最大值为1，故D正确.故选B、D.
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6. （多选）如果函数 y ＝ sin （2 x ＋φ）的图象关于直线 x ＝π对称，
那么｜φ｜取最小值时，φ的值可以为（ ）
解析： 由函数 y ＝ sin （2 x ＋φ）的图象关于直线 x ＝π对称，
可得2π＋φ＝ ＋ k π， k ∈Z，即φ＝－ ＋ k π， k ∈Z，当｜φ｜取
最小值时， k ＝1，即φ＝－ ，或 k ＝2，即φ＝ .故｜φ｜取最小值
时，φ的值为± .故选C、D.
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7. 函数 f （ x ）＝ sin ， x ∈[0，π]的增区间为 ，减
区间为 .
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解析： f （ x ）＝－ sin ，令－ ＋2 k π≤ x － ≤ ＋2 k π，
k ∈Z，即－ ＋2 k π≤ x ≤ ＋2 k π， k ∈Z时， f （ x ）单调递减.
又0≤ x ≤π，所以0≤ x ≤ ，即 f （ x ）的减区间为 ，同理
得 f （ x ）的增区间为 ，所以 f （ x ）在 x ∈[0，π]上的减区
间为 ，增区间为 .
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8. 设函数 f （ x ）＝ cos （ω x － ）（ω＞0）的最小正周期为 ，则
它的对称中心为 .
解析：因为函数 f （ x ）＝ cos （ω x － ）的最小正周期为 ，所以
＝ ，解得ω＝10，所以 f （ x ）＝ cos （10 x － ），令10 x －
＝ k π＋ ， k ∈Z，所以 x ＝ ＋ ， k ∈Z. 故其对称中心为（
＋ ，0）（ k ∈Z）.
（ ＋ ，0）（ k ∈Z）
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9. 已知α，β为锐角三角形的两个内角，则 cos α sin β.（填
“＞”“＜”或“＝”）
解析：因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β＞ ，所
以0＜ －β＜α＜ ，所以 cos α＜ cos （ －β）＝ sin β.
＜
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10. 已知函数 f （ x ）＝2 cos （3 x ＋ ）.
（1）求 f （ x ）的增区间；
解： 令2 k π－π≤3 x ＋ ≤2 k π（ k ∈Z），解得 －
≤ x ≤ － （ k ∈Z）.
∴ f （ x ）的增区间为［ － ， － ］（ k ∈Z）.
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（2）求 f （ x ）的最小值及取得最小值时相应的 x 值.
解： 当3 x ＋ ＝2 k π－π（ k ∈Z）时， f （ x ）取得最
小值－2.
即 x ＝ － （ k ∈Z）时， f （ x ）取得最小值－2.
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11. 已知函数 f （ x ）＝－2 sin （2 x ＋φ） ，若 f （ x ）关
于 x ＝ 对称，则 f （ x ）的一个增区间可以是（ ）
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解析： ∵ f （ x ）关于 x ＝ 对称，则 ＋φ＝ ＋ k π， k ∈Z，
∴φ＝ ＋ k π， k ∈Z，又∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，∴ f （ x ）＝－2
sin .由2 k π＋ ≤2 x ＋ ≤2 k π＋ ， k ∈Z，得 k π＋ ≤
x ≤ k π＋ ， k ∈Z. 当 k ＝0时，得 ≤ x ≤ .即 f （ x ）的一个
增区间可以是 .故选D.
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12. 将 sin 1， sin 2， sin 3按从小到大的顺序排列为
.
解析：∵1＜ ＜2＜3＜π， sin （π－2）＝ sin 2， sin （π－
3）＝ sin 3， y ＝ sin x 在 上单调递增，且0＜π－3＜1
＜π－2＜ ，∴ sin （π－3）＜ sin 1＜ sin （π－2），即 sin
3＜ sin 1＜ sin 2.
sin 3＜ sin 1＜ sin
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13. （2024·连云港期末）已知函数 f （ x ）＝ sin ω x 在［－ ， ］上
单调递增，则ω的最大值是 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ sin ω x 在［－ ， ］上单调递增，∴－
ω≥－ 且 ω≤ ，求得ω≤ ，则ω的最大值为 .
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14. 已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤ ），若 f
（ x ）的图象关于点 对称，且图象上两个相邻最高点的
距离为π.
（1）求 f （ x ）；
解： 依题意 T ＝π，∴ω＝2， f （ x ）＝ sin （2 x ＋φ），
又 f （ x ）的图象关于点 对称，
∴2× ＋φ＝ k π， k ∈Z，得φ＝ ＋ k π， k ∈Z，
又｜φ｜≤ ，∴φ＝ ，
∴ f （ x ）＝ sin .
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（2）求 f （ x ）的增区间.
解： 令－ ＋2 k π≤2 x ＋ ≤ ＋2 k π， k ∈Z，
解得－ ＋ k π≤ x ≤ ＋ k π， k ∈Z，
∴ f （ x ）的增区间为 ， k ∈Z.
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15. 定义在R上的偶函数 f （ x ）满足 f （ x ＋1）＝－ f （ x ），且在[－
4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证： f
（ sin α）＞ f （ cos β）.
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证明：由 f （ x ＋1）＝－ f （ x ），
得 f （ x ＋2）＝－ f （ x ＋1）＝ f （ x ），
所以函数 f （ x ）是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数 f （ x ）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数
f （ x ）在[0，1]上单调递增.
又α，β是锐角三角形的两个内角，
则有α＋β＞ ，即 ＞α＞ －β＞0，
因为 y ＝ sin x 在［0， ］上单调递增，
所以 sin α＞ sin （ －β）＝ cos β，
且 sin α∈（0，1）， cos β∈（0，1），
所以 f （ sin α）＞ f （ cos β）.
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谢 谢 观 看！第3课时 正、余弦函数的单调性与对称性
1.函数y＝sin图象的一条对称轴是（ ）
A.x＝－ B.x＝－
C.x＝ D.x＝
2.函数y＝sin的单调递减区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.下列关系式中正确的是（ ）
A.sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
B.sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C.sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
D.sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
4.当x∈[－π，π]时，函数y＝3cos的减区间为（ ）
A.[－π，0] B.[0，π]
C. D.和
5.（多选）关于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中正确的是（ ）
A.f（x）在上单调递增
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的最小正周期为2π
D.f（x）的最大值为1
6.（多选）如果函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝π对称，那么｜φ｜取最小值时，φ的值可以为（ ）
A.－ B. C.－ D.
7.函数f（x）＝sin，x∈[0，π]的增区间为 ，减区间为 .
8.设函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则它的对称中心为 .
9.已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α sin β.（填“＞”“＜”或“＝”）
10.已知函数f（x）＝2cos（3x＋）.
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值.
11.已知函数f（x）＝－2sin（2x＋φ），若f（x）关于x＝对称，则f（x）的一个增区间可以是（ ）
A. B.
C. D.
12.将sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为 .
13.（2024·连云港期末）已知函数f（x）＝sin ωx在［－，］上单调递增，则ω的最大值是 .
14.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤），若f（x）的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的增区间.
15.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f（sin α）＞f（cos β）.
第3课时 正、余弦函数的单调性与对称性
1.C 由2x＋＝＋kπ（k∈Z），得x＝＋π，（k∈Z），令k＝0，得x＝.故选C.
2.B y＝sin＝－sin（2x－），由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z，∴函数y＝sin的单调递减区间是［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.故选B.
3.A 因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小.因为y＝sin x在（0°，90°）上单调递增，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4.C 由题意可知y＝3cos＝－3sin x，即求正弦函数的增区间.正弦函数的增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z），结合x∈[－π，π]，当k＝0时，符合题意.则函数y＝3cos的减区间为.故选C.
5.BD 因为函数y＝sin x在上单调递减，所以f（x）＝sin 2x在上单调递减，故A错误；因为f（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D正确.故选B、D.
6.CD 由函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝π对称，可得2π＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，当｜φ｜取最小值时，k＝1，即φ＝－，或k＝2，即φ＝.故｜φ｜取最小值时，φ的值为±.故选C、D.
7. 解析：f（x）＝－sin，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f（x）单调递减.又0≤x≤π，所以0≤x≤，即f（x）的减区间为，同理得f（x）的增区间为，所以f（x）在x∈[0，π]上的减区间为，增区间为.
8.（＋，0）（k∈Z） 解析：因为函数f（x）＝cos（ωx－）的最小正周期为，所以＝，解得ω＝10，所以f（x）＝cos（10x－），令10x－＝kπ＋，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.故其对称中心为（＋，0）（k∈Z）.
9.＜ 解析：因为α，β是锐角三角形的两个内角，故有α＋β＞，所以0＜－β＜α＜，所以cos α＜cos（－β）＝sin β.
10.解：（1）令2kπ－π≤3x＋≤2kπ（k∈Z），解得－≤x≤－（k∈Z）.
∴f（x）的增区间为［－，－］（k∈Z）.
（2）当3x＋＝2kπ－π（k∈Z）时，f（x）取得最小值－2.
即x＝－（k∈Z）时，f（x）取得最小值－2.
11.D ∵f（x）关于x＝对称，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，又∵｜φ｜＜，∴φ＝，∴f（x）＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，得≤x≤.即f（x）的一个增区间可以是.故选D.
12.sin 3＜sin 1＜sin 2 解析：∵1＜＜2＜3＜π，sin（π－2）＝sin 2，sin（π－3）＝sin 3，y＝sin x在上单调递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，∴sin（π－3）＜sin 1＜sin（π－2），即sin 3＜sin 1＜sin 2.
13. 解析：∵函数f（x）＝sin ωx在［－，］上单调递增，∴－ω≥－且ω≤，求得ω≤，则ω的最大值为.
14.解：（1）依题意T＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x＋φ），
又f（x）的图象关于点对称，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，
又｜φ｜≤，∴φ＝，∴f（x）＝sin.
（2）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f（x）的增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
15.证明：由f（x＋1）＝－f（x），
得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），
所以函数f（x）是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数f（x）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增.
又α，β是锐角三角形的两个内角，
则有α＋β＞，即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在［0，］上单调递增，
所以sin α＞sin（－β）＝cos β，
且sin α∈（0，1），cos β∈（0，1），
所以f（sin α）＞f（cos β）.
2 / 2第3课时 正、余弦函数的单调性与对称性
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）这几个循环路径.
【问题】 函数y＝sin x与y＝cos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cos x的什么性质？
知识点 正、余弦函数的单调性与对称性
函数 正弦函数 余弦函数
图象
单调性 在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递减 在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间 （k∈Z）上都单调递减
对称轴 x＝kx＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称 中心 （kπ，0），k∈Z （kπ＋，0），k∈Z
提醒 （1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.正弦函数y＝sin x在R上是增函数
B.余弦函数y＝cos x的一个单调减区间是[0，π]
C.正弦函数y＝sin x图象的一条对称轴是x轴
D.余弦函数y＝cos x图象的一个对称中心为（，0）
2.函数y＝sin（x＋）图象的对称轴为（ ）
A. B.
C. D.
3.若函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是 .
题型一 正、余弦函数的单调性及应用
角度1 求正、余弦函数的单调区间
【例1】 （链接教科书第202页练习7题）求函数y＝2sin的单调区间.
【母题探究】
1.（变设问）求函数f（x）＝2sin，x∈[0，2π]的单调区间.
2.（变条件、变设问）求函数y＝sin的增区间.
通性通法
求解与正、余弦函数有关的单调区间的技巧
（1）数形结合：结合正弦函数、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
（2）整体代换：在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.同理可求形如y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间.
角度2 利用正、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 （链接教科书第202页例5）不求值，分别比较下列各组数中两个三角函数值的大小：
（1）sin（－）与sin（－）；
（2）cos与cos.
通性通法
比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般先化为同名的三角函数值，后面步骤同上.
【跟踪训练】
1.设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则（ ）
A.a＞c＞b B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
2.求函数y＝2cos的单调区间.
题型二 正、余弦函数的对称性
【例3】 （链接教科书第202页练习2题）函数y＝sin的图象的对称轴是直线 ，对称中心是 .
通性通法
正、余弦曲线的对称轴、对称中心的特点
（1）正、余弦曲线的对称轴分别过正、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正、余弦值取最大值或最小值；
（2）正、余弦曲线的对称中心分别是正、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正、余弦值为0.
【跟踪训练】
求函数y＝2sin的图象的对称轴、对称中心.
1.函数y＝－cos x在区间上（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
2.（多选）正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是（ ）
A.y轴 B.直线x＝－
C.直线x＝ D.直线x＝π
3.（2024·南通月考）函数f（x）＝cos的单调递减区间是 .
第3课时 正、余弦函数的单调性与对称性
【基础知识·重落实】
知识点
［2kπ－，2kπ＋］ ［2kπ＋，2kπ＋］ [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π]
自我诊断
1.BD
2.B 由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，得x＝.
3.（－π，0] 解析：因为函数y＝cos x在区间[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，又已知函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，所以－π＜a≤0，即a的取值范围是（－π，0].
【典型例题·精研析】
【例1】 解：令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，∴y＝2sin z在某区间上单调递增（减）时，函数y＝2sin也在所对应区间上单调递增（减）.
∴z∈（k∈Z），
即x－∈（k∈Z），
得x∈（k∈Z），
故函数y＝2sin的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）.
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）.
母题探究
1.解：由例题知f（x）＝2sin的单调递增区间为，k∈Z，又∵x∈[0，2π]，
∴0≤x≤或≤x≤2π，
同理函数f（x）＝2sin，x∈[0，2π]的单调递减区间为.
∴函数f（x）＝2sin，x∈[0，2π]的单调递增区间为，，单调递减区间为.
2.解：y＝sin＝－sin，
令z＝x－，而y＝－sin z的增区间是［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z，
∴令＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数y＝sin的增区间为［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
【例2】 解：（1）sin（－）＝sin（－2π＋）＝sin，
因为y＝sin x在［－，］上单调递增，且－＜－＜＜，
所以sin（－）＜sin，即sin（－）＜sin（－）.
（2）cos＝cos（2π－）＝cos，cos＝cos（2π－）＝cos.
因为函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，且0＜＜＜π，
所以cos＞cos，所以cos＞cos.
跟踪训练
1.A ∵sinπ＝sin（8π－π）＝－sinπ＝sin＝cos，cos＝cos（2π－）＝cos（－）＝cos.又∵y＝cos x在（0，）上单调递减且＜＜，∴cos＞cos＞cos，即a＞c＞b.
2.解：令2kπ－π≤2x－≤2kπ（k∈Z），即2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），
∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）.
∴单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），即2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z），
∴kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
∴函数y＝2cos的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z），单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
【例3】 x＝＋（k∈Z） （－，0）（k∈Z） 解析：要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋（k∈Z），∴x＝＋（k∈Z），故函数y＝sin的图象的对称轴是直线x＝＋（k∈Z）.∵函数y＝sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y＝0，即sin＝0，∴2x＋＝kπ（k∈Z），即x＝－（k∈Z）.故函数y＝sin的图象的对称中心是（－，0）（k∈Z）.
跟踪训练
解：y＝2sin
＝－2sin，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以函数y＝2sin的图象的对称轴为直线x＝＋，k∈Z，
对称中心的横坐标满足2x－＝kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
所以函数y＝2sin的图象的对称中心为，k∈Z.
随堂检测
1.C 因为y＝cos x在区间上先增后减，所以y＝－cos x在区间上先减后增.故选C.
2.BC 当x＝时，y取最大值，∴x＝是一条对称轴，当x＝－时，y取最小值，∴x＝－是一条对称轴.故选B、C.
3.（k∈Z）
解析：令2kπ≤2x－≤π＋2kπ（k∈Z），得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），即f（x）＝cos（2x－）的单调递减区间是（k∈Z）.
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