(共61张PPT)
第4课时
正切函数的图象与性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
前面我们学习了正、余弦函数的图象与性质，我们知道研究一个
新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单
调性、最值（值域）等方面来进行.我们知道正切是正弦与余弦的比
值，正切函数是以π为周期的函数.
【问题】 （1）类比正、余弦函数图象的学习过程，你能否画出正
切函数在一个周期内的图象？
（2）类比正、余弦函数性质的研究过程，你能否得出正切函数的
性质？
知识点 正切函数的图象与性质
函数 y ＝tan x
图象
定义域
函数 y ＝tan x
值域 R
周期性 π
奇偶性 函数
单调性 在区间 （ k ∈Z）上单调递增
对称性
奇
提醒 （1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间
内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无
单调递减区间，没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三
点两线法：“三点”是指点 ，（0，0）， ，“两
线”是指直线 x ＝－ 和 x ＝ ，大致画出正切函数在 上的
简图后向左、向右平移（每次π个单位）即得正切曲线.
1. （多选）下列说法中，正确的是（ ）
A. 正切函数的定义域和值域都是R
B. 函数 y ＝tan 2 x 的周期为π
C. 正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心
D. 正切函数的最小正周期为π
解析： A中， y ＝tan x 的定义域为{ x ｜ x ≠ ＋ k π， k ∈Z}，
故A错误；B中， y ＝tan 2 x 的周期为 ，故B错误；C、D正确.故选
C、D.
2. 函数 y ＝tan 3 x 的定义域为
解析：因为3 x ≠ k π＋ ， k ∈Z，所以 x ≠ π＋ ， k ∈Z.
3. （2024·扬州质检）函数 y ＝tan x ， x ∈ 的值域是 .
解析： y ＝tan x 在 x ∈ 上单调递增，所以tan 0≤ y ≤tan ，
0≤ y ≤1.
[0，1]
4. （2024·南京月考）函数 y ＝tan 的单调增区间是
.
解析：令 k π－ ＜ x － ＜ k π＋ ， k ∈Z，得 k π－ ＜ x ＜ k π＋
， k ∈Z，即函数 y ＝tan 的单调增区间是
， k ∈Z.
， k ∈Z
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 （链接教科书第204页例6）（1）求函数 y ＝tan（2 x － ）
的定义域；
解：因为 y ＝tan t 的定义域为{ t ｜ t ≠ k π＋ ， k ∈Z}，
令 t ＝2 x － ，由2 x － ≠ k π＋ ， k ∈Z，
得 x ≠ ＋ ， k ∈Z，
所以函数 y ＝tan（2 x － ）的定义域为{ x ｜ x ≠ ＋ ， k ∈Z}.
（2） 求函数 y ＝tan2 x －2tan x ＋3， x ∈［ ， ］的值域.
解：由题意得 y ＝（tan x －1）2＋2.
因为 x ∈［ ， ］，
所以tan x ∈[1， ]，
所以原函数的值域为[2，6－2 ].
通性通法
1. 求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的
一般要求外，还要保证正切函数 y ＝tan x 有意义，即 x ≠ ＋
k π， k ∈Z. 而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图
象求解；
（2）求正切型函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（ A ≠0，ω＞0）的定义域
时，要将“ω x ＋φ”视为一个“整体”.令ω x ＋φ≠ k π＋ ，
k ∈Z，解得 x .
2. 求正切函数值域的方法
（1）对于 y ＝ A tan（ω x ＋φ）的值域，可以把ω x ＋φ看成整体，
结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与 y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用
配方法求值域.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝3tan（π＋ x ），－ ＜ x ≤ 的值域为 （－3， ] .
解析：函数 y ＝3tan（π＋ x ）＝3tan x ，因为正切函数在
上单调递增，所以－3＜ y ≤ ，所以值域为（－3， ].
（－3， ]
2. 函数 y ＝lg（ －tan x ）的定义域是
解析：由题意得所以函数的定义域是
.
.
题型二 正切函数的周期性、奇偶性
【例2】 （1）函数 f （ x ）＝tan（－4 x ＋ ）的最小正周期为
（ A ）
C. π D. 2π
解析： T＝ ＝ ＝ .
A
（2）函数 f （ x ）＝ sin x ＋tan x 的奇偶性为（ A ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
解析： f （ x ）的定义域为 ，关于原点对
称，又 f （－ x ）＝ sin （－ x ）＋tan（－ x ）＝－ sin x －tan x ＝
－ f （ x ），∴ f （ x ）为奇函数.
A
通性通法
正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
（1）一般地，函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）的最小正周期为 T ＝ ，
常常利用此公式来求周期；
（2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点
对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f （－ x ）
与 f （ x ）的关系.特别地，函数 y ＝tan（ω x ＋φ）（ω＞0）是奇
函数的充要条件是φ＝ （ k ∈Z）.
【跟踪训练】
1. 若 f （ x ）＝tan ω x （ω＞0）的周期为1，则 f ＝（ ）
解析： 依题意 T ＝ ＝1，ω＝π，所以 f （ x ）＝tan π x .所以 f
＝tan ＝ .故选D.
2. 函数 f （ x ）＝｜tan 2 x ｜是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
解析： f （－ x ）＝｜tan（－2 x ）｜＝｜tan 2 x ｜＝ f （ x ）为
偶函数， T ＝ .
题型三 正切函数的单调性
角度1 求正切函数的单调区间
【例3】 求函数 y ＝tan 的单调区间.
解： y ＝tan ＝－tan ，
由 k π－ ＜ x － ＜ k π＋ （ k ∈Z），
得2 k π－ ＜ x ＜2 k π＋ （ k ∈Z），
∴函数 y ＝tan 的单调递减区间是 （ k
∈Z），无单调递增区间.
通性通法
求函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（ A ，ω，φ都是常数）的单调区间的
方法
（1）若ω＞0，由于 y ＝tan x 在每一个单调区间上都单调递增，故可
用“整体代换”的思想，令 k π－ ＜ω x ＋φ＜ k π＋ （ k
∈Z），求得 x 的范围即可；
（2）若ω＜0，可利用诱导公式先把 y ＝ A tan（ω x ＋φ）转化为 y ＝ A
tan[－（－ω x －φ）]＝－ A tan（－ω x －φ），即把 x 的系数化
为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可.
角度2 利用正切函数的单调性比较大小
【例4】 （链接教科书第204页练习3题）不求值，比较下列各组中
两个三角函数值的大小：
（1） tan 与tan ；
解：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在 上单调递增，
所以tan ＜tan ，即tan ＜tan .
（2）tan 与tan .
解：因为tan ＝－tan ，tan ＝－tan ，
又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在 上单调递增，
所以tan ＞tan ，所以－tan ＜－tan ，
即tan ＜tan .
通性通法
运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将待比较的两个正切值的角转化
到同一个单调区间内；
（2）运用正切函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 若函数 y ＝tan ω x 在 内单调递减，求ω的取值范围.
解：由题意知其周期 T ≥π，即 ≥π.∴｜ω｜≤1，又函数单
调递减，∴ω＜0.故－1≤ω＜0.
2. 不求值，比较tan 和tan 的大小.
解：∵tan（－ ）＝－tan（2π－ ）＝tan ，tan（－ ）＝－tan
（2π－ ）＝tan .
又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在 内单调递增，
∴tan ＜tan ，即tan ＞tan .
1. 函数 y ＝－2＋tan 的单调递增区间为（ ）
解析： 由－ ＋ k π＜ x ＋ ＜ ＋ k π， k ∈Z，解得－ π＋2 k π
＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z. 故选A.
2. （多选）（2024·宿迁期末）已知函数 f （ x ）＝tan（3 x ＋ ），则
下列说法正确的是（ ）
C. 函数 f （ x ）在定义域上是增函数
解析： 对于A，由3 x ＋ ≠ k π＋ （ k ∈Z）可得 x ≠ ＋
（ k ∈Z），所以函数 f （ x ）的定义域为
，故A正确；对于B，函数 f （ x ）的最小正周期为 T ＝
，故B正确；对于C，函数 f （ x ）在定义域上不单调，故C错误；
对于D，因为3× ＋ ＝ ，故（ ，0）不是函数 f （ x ）的
对称中心，故D错误.故选A、B.
3. 函数 y ＝tan x 在［－ ， ］上的值域为 [－1， ] .
解析：∵－ ≤ x ≤ ，∴－1≤tan x ≤ .
4. 比较大小：tan tan .
解析：∵tan ＞0，tan ＜0，∴tan ＞tan .
[－1， ]
＞
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝ 的定义域为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得 x ∈ （ k ∈Z）.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知函数 f （ x ）＝3tan 的最小正周期为 ，则正数ω＝
（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析： ∵ω＞0，∴ T ＝ ＝ ，∴ω＝2，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 函数 y ＝tan（ x ＋ ）的一个对称中心是（ ）
A. （0，0）
D. （π，0）
解析： 令 x ＋ ＝ ， k ∈Z，得 x ＝ － ， k ∈Z，所以函数
y ＝tan（ x ＋ ）的对称中心是（ － ，0）， k ∈Z. 令 k ＝2，可
得函数的一个对称中心为（ ，0），故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 函数 f （ x ）＝tan 的单调递增区间是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由－ ＋ k π＜ x ＋ ＜ ＋ k π， k ∈Z，得－ ＋ k π＜ x
＜ ＋ k π， k ∈Z，故 f （ x ）的单调递增区间是 ， k ∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. tan x ≥1的解集为（ ）
解析： ∵tan x ≥1，由图象知， ＋ k π≤ x ＜ ＋ k π（ k ∈Z）.
故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）与函数 y ＝tan 的图象不相交的一条直线是
（ ）
解析： 令2 x － ＝ ＋ k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋ ， k ∈Z，
所以直线 x ＝ ＋ ， k ∈Z与函数 y ＝tan 的图象不相
交，所以令 k ＝－1， x ＝－ ； k ＝0， x ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 比较大小：tan tan .
解析：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0＜ ＜ ＜ ， y ＝
tan x 在（0， ）内单调递增，所以tan ＜tan ，即tan ＜tan
.
＞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知函数 f （ x ）＝tan x ＋ ，若 f （ a ）＝5，则 f （－ a ）＝
.
解析：易知函数 f （ x ）为奇函数，故 f （ a ）＋ f （－ a ）＝0，则 f
（－ a ）＝－ f （ a ）＝－5.
－
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 函数 y ＝－tan2 x ＋4tan x ＋1， x ∈ 的值域为 .
解析：∵－ ≤ x ≤ ，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝ t ，则 t ∈[－1，
1].∴ y ＝－ t2＋4 t ＋1＝－（ t －2）2＋5.∴当 t ＝－1，即 x ＝－
时， ymin＝－4；当 t ＝1，即 x ＝ 时， ymax＝4.故所求函数的值域
为[－4，4].
[－4，4]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 画出函数 y ＝｜tan x ｜的图象，并根据图象判断其单调区间、周
期性、奇偶性.
解：由 y ＝｜tan x ｜得，
y ＝
其图象如图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由图象可知，函数 y ＝｜tan x ｜是偶函数，
周期 T ＝π，
单调递增区间为［ k π， k π＋ ）（ k ∈Z），单调递减区间为（ k
π－ ， k π）（ k ∈Z）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 函数 f （ x ）＝ （ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 要使 f （ x ）有意义，必须满足即 x
≠ k π＋ ，且 x ≠（2 k ＋1）π（ k ∈Z），∴函数 f （ x ）的定义域
关于原点对称.又 f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），
∴ f （ x ）＝ 为奇函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知函数 f （ x ）＝tan ω x （ω＞0）的图象的相邻两支截直线 y ＝
所得线段长为 ，则 f ＝（ ）
A. 0
C. －1
解析： 由题意，可知 T ＝ ，所以ω＝ ＝4，即 f （ x ）＝tan 4
x ，所以 f ＝tan ＝tan π＝0，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知函数 y ＝tan ω x （ω＞0）在 上单调递增，则ω的最
大值为 .
解析：∵ ＜ ，∴由正切函数的单调性可得 ≥ ×2，且ω
＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 在同一平面直角坐标系中，画出[0，2π]内函数 y ＝ sin x 和 y ＝tan
x 的图象，依据图象回答以下问题：
（1）写出这两个函数图象的交点坐标；
（1）这两个函数图象的交点坐标为（0，0），（π，0），（2π，0）.
解：作出函数 y ＝ sin x 和函数 y ＝tan x
在 x ∈[0，2π]的图象（如图）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）写出使tan x ＞ sin x 成立的 x 的取值范围；
解：要使tan x ＞ sin x 成立，则 x 的取值范围为（0， ）∪
（π， π）.
（3）写出使tan x ＝ sin x 成立的 x 的取值范围；
解：要使tan x ＝ sin x 成立，则 x 的取值范围是{ x ｜ x ＝0或
x ＝π或 x ＝2π}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（4）写出使tan x ＜ sin x 成立的 x 的取值范围；
解：要使tan x ＜ sin x 成立，则 x 的取值范围是（ ，π）∪
（ π，2π）.
（5）写出使这两个函数有相同的单调性的区间.
解：使两函数具有相同的单调性的区间为［0， ）和（
π，2π］，它们在上述两区间上都单调递增.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 设函数 f （ x ）＝tan（ω x ＋φ） ，已知函数 y
＝ f （ x ）的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 ，且图象关于点
M 对称.
（1）求 f （ x ）的解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： 由题意知，函数 f （ x ）的最小正周期为 T ＝ ，
即 ＝ .
因为ω＞0，所以ω＝2，
从而 f （ x ）＝tan（2 x ＋φ）.
因为函数 y ＝ f （ x ）的图象关于点 M 对称，所以
2× ＋φ＝ ， k ∈Z，
即φ＝ ＋ ， k ∈Z.
因为0＜φ＜ ，取 k ＝0，所以φ＝ ，
故 f （ x ）＝tan .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求 f （ x ）的单调区间；
解： 令－ ＋ k π＜2 x ＋ ＜ ＋ k π， k ∈Z，
得－ ＋ k π＜2 x ＜ k π＋ ， k ∈Z，
即－ ＋ ＜ x ＜ ＋ ， k ∈Z.
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（－ ＋ ， ＋
）， k ∈Z，无单调递减区间.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）求不等式－1≤ f （ x ）≤ 的解集.
解： 由（1）知， f （ x ）＝tan .
由－1≤tan ≤ ，
得－ ＋ k π≤2 x ＋ ≤ ＋ k π， k ∈Z，
即－ ＋ ≤ x ≤ ＋ ， k ∈Z.
所以不等式－1≤ f （ x ）≤ 的解集为{ x － ＋ ≤ x ≤
＋ ， k ∈Z}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！第4课时 正切函数的图象与性质
1.函数y＝的定义域为（ ）
A.（k∈Z）
B.（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
2.已知函数f（x）＝3tan的最小正周期为，则正数ω＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
3.函数y＝tan（x＋）的一个对称中心是（ ）
A.（0，0） B.（，0）
C.（，0） D.（π，0）
4.函数f（x）＝tan的单调递增区间是（ ）
A.，k∈Z
B.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z
C.，k∈Z
D.［kπ－，kπ＋］，k∈Z
5.tan x≥1的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.（多选）与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
7.比较大小：tan tan .
8.已知函数f（x）＝tan x＋，若f（a）＝5，则f（－a）＝ .
9.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为 .
10.画出函数y＝｜tan x｜的图象，并根据图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.
11.函数f（x）＝（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
12.已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f＝（ ）
A.0 B.－ C.－1 D.
13.已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在上单调递增，则ω的最大值为 .
14.在同一平面直角坐标系中，画出[0，2π]内函数y＝sin x和y＝tan x的图象，依据图象回答以下问题：
（1）写出这两个函数图象的交点坐标；
（2）写出使tan x＞sin x成立的x的取值范围；
（3）写出使tan x＝sin x成立的x的取值范围；
（4）写出使tan x＜sin x成立的x的取值范围；
（5）写出使这两个函数有相同的单调性的区间.
15.设函数f（x）＝tan（ωx＋φ），已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求不等式－1≤f（x）≤的解集.
第4课时 正切函数的图象与性质
1.B 由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈（k∈Z）.故选B.
2.C ∵ω＞0，∴T＝＝，∴ω＝2，故选C.
3.C 令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数y＝tan（x＋）的对称中心是（－，0），k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为（，0），故选C.
4.C 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间是（－＋kπ，＋kπ），k∈Z.
5.D ∵tan x≥1，由图象知，＋kπ≤x＜＋kπ（k∈Z）.故选D.
6.AD 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan的图象不相交，所以令k＝－1，x＝－；k＝0，x＝.
7.＞ 解析：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0＜＜＜，y＝tan x在（0，）内单调递增，所以tan ＜tan ，即tan ＜tan .
8.－5 解析：易知函数f（x）为奇函数，故f（a）＋f（－a）＝0，则f（－a）＝－f（a）＝－5.
9.[－4，4] 解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤1.令tan x＝t，则t∈[－1，1].∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5.∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4；当t＝1，即x＝时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4，4].
10.解：由y＝｜tan x｜得，
y＝
其图象如图.
由图象可知，函数y＝｜tan x｜是偶函数，
周期T＝π，
单调递增区间为［kπ，kπ＋）（k∈Z），单调递减区间为（kπ－，kπ）（k∈Z）.
11.A 要使f（x）有意义，必须满足即x≠kπ＋，且x≠（2k＋1）π（k∈Z），∴函数f（x）的定义域关于原点对称.又f（－x）＝＝－＝－f（x），∴f（x）＝为奇函数.
12.A 由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f（x）＝tan 4x，所以f＝tan＝tan π＝0，故选A.
13.2 解析：∵＜，∴由正切函数的单调性可得≥×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
14.解：作出函数y＝sin x和函数y＝tan x在x∈[0，2π]的图象（如图）.
（1）这两个函数图象的交点坐标为（0，0），（π，0），（2π，0）.
（2）要使tan x＞sin x成立，则x的取值范围为（0，）∪（π，π）.
（3）要使tan x＝sin x成立，则x的取值范围是{x｜x＝0或x＝π或x＝2π}.
（4）要使tan x＜sin x成立，则x的取值范围是（，π）∪（π，2π）.
（5）使两函数具有相同的单调性的区间为［0，）和（π，2π］，它们在上述两区间上都单调递增.
15.解：（1）由题意知，函数f（x）的最小正周期为T＝，即＝.
因为ω＞0，所以ω＝2，从而f（x）＝tan（2x＋φ）.
因为函数y＝f（x）的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0＜φ＜，取k＝0，所以φ＝，
故f（x）＝tan.
（2）令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，
即－＋＜x＜＋，k∈Z.
所以函数f（x）的单调递增区间为（－＋，＋），k∈Z，无单调递减区间.
（3）由（1）知，f（x）＝tan.
由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f（x）≤的解集为{x－＋≤x≤＋，k∈Z}.
1 / 2第4课时 正切函数的图象与性质
前面我们学习了正、余弦函数的图象与性质，我们知道研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值（值域）等方面来进行.我们知道正切是正弦与余弦的比值，正切函数是以π为周期的函数.
【问题】 （1）类比正、余弦函数图象的学习过程，你能否画出正切函数在一个周期内的图象？
（2）类比正、余弦函数性质的研究过程，你能否得出正切函数的性质？
知识点 正切函数的图象与性质
函数 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期性 π
奇偶性 函数
单调性 在区间 （k∈Z）上单调递增
对称性 对称中心
提醒 （1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无单调递减区间，
没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指点，（0，0），，“两线”是指直线x＝－和x＝，大致画出正切函数在上的简图后向左、向右平移（每次π个单位）即得正切曲线.
1.（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A.正切函数的定义域和值域都是R
B.函数y＝tan 2x的周期为π
C.正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心
D.正切函数的最小正周期为π
2.函数y＝tan 3x的定义域为 .
3.（2024·扬州质检）函数y＝tan x，x∈的值域是 .
4.（2024·南京月考）函数y＝tan的单调增区间是 .
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 （链接教科书第204页例6）（1）求函数y＝tan（2x－）的定义域；
（2） 求函数y＝tan2x－2tan x＋3，x∈［，］的值域.
通性通法
1.求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解；
（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2.求正切函数值域的方法
（1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域.
【跟踪训练】
1.函数y＝3tan（π＋x），－＜x≤的值域为 .
2.函数y＝lg（－tan x）的定义域是 .
题型二 正切函数的周期性、奇偶性
【例2】 （1）函数f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期为（ ）
A. B. C.π D.2π
（2）函数f（x）＝sin x＋tan x的奇偶性为（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
通性通法
正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
（1）一般地，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期；
（2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f（－x）与f（x）的关系.特别地，函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0）是奇函数的充要条件是φ＝（k∈Z）.
【跟踪训练】
1.若f（x）＝tan ωx（ω＞0）的周期为1，则f＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.函数f（x）＝｜tan 2x｜是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
题型三 正切函数的单调性
角度1 求正切函数的单调区间
【例3】 求函数y＝tan的单调区间.
通性通法
求函数y＝Atan（ωx＋φ）（A，ω，φ都是常数）的单调区间的方法
（1）若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都单调递增，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋（k∈Z），求得x的范围即可；
（2）若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan（ωx＋φ）转化为y＝Atan[－（－ωx－φ）]＝－Atan（－ωx－φ），即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可.
角度2 利用正切函数的单调性比较大小
【例4】 （链接教科书第204页练习3题）不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1） tan与tan；
（2）tan与tan.
通性通法
运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将待比较的两个正切值的角转化到同一个单调区间内；
（2）运用正切函数的单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.若函数y＝tan ωx在内单调递减，求ω的取值范围.
2.不求值，比较tan和tan的大小.
1.函数y＝－2＋tan的单调递增区间为（ ）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
2.（多选）（2024·宿迁期末）已知函数f（x）＝tan（3x＋），则下列说法正确的是（ ）
A.函数f（x）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}
B.函数f（x）的最小正周期为
C.函数f（x）在定义域上是增函数
D.函数f（x）的一个对称中心为（，0）
3.函数y＝tan x在［－，］上的值域为 .
4.比较大小：tan tan.
第4课时 正切函数的图象与性质
【基础知识·重落实】
知识点
奇
自我诊断
1.CD A中，y＝tan x的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}，故A错误；B中，y＝tan 2x的周期为，故B错误；C、D正确.故选C、D.
2.
解析：因为3x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠π＋，k∈Z.
3.[0，1] 解析：y＝tan x在x∈上单调递增，所以tan 0≤y≤tan ，0≤y≤1.
4.，k∈Z
解析：令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，即函数y＝tan的单调增区间是，k∈Z.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为y＝tan t的定义域为{t｜t≠kπ＋，k∈Z}，
令t＝2x－，由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以函数y＝tan（2x－）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}.
（2）由题意得y＝（tan x－1）2＋2.
因为x∈［，］，所以tan x∈[1，]，
所以原函数的值域为[2，6－2].
跟踪训练
1.（－3，] 解析：函数y＝3tan（π＋x）＝3tan x，因为正切函数在上单调递增，所以－3＜y≤，所以值域为（－3，].
2.
解析：由题意得所以函数的定义域是{x｜kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}.
【例2】 （1）A （2）A 解析：（1）T＝＝＝.
（2）f（x）的定义域为，关于原点对称，又f（－x）＝sin（－x）＋tan（－x）＝－sin x－tan x＝－f（x），∴f（x）为奇函数.
跟踪训练
1.D 依题意T＝＝1，ω＝π，所以f（x）＝tan πx.所以f＝tan ＝.故选D.
2.D f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x）为偶函数，T＝.
【例3】 解：y＝tan＝－tan，
由kπ－＜x－＜kπ＋（k∈Z），
得2kπ－＜x＜2kπ＋（k∈Z），
∴函数y＝tan的单调递减区间是（k∈Z），无单调递增区间.
【例4】 解：（1）因为tan＝tan，tan＝tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在上单调递增，
所以tan＜tan，即tan＜tan.
（2）因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在上单调递增，
所以tan＞tan，所以－tan＜－tan，
即tan＜tan.
跟踪训练
1.解：由题意知其周期T≥π，即≥π.∴｜ω｜≤1，又函数单调递减，∴ω＜0.故－1≤ω＜0.
2.解：∵tan（－）＝－tan（2π－）＝tan，tan（－）＝－tan（2π－）＝tan.
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan＜tan，即tan＞tan.
随堂检测
1.A 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，解得－π＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.故选A.
2.AB 对于A，由3x＋≠kπ＋（k∈Z）可得x≠＋（k∈Z），所以函数f（x）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}，故A正确；对于B，函数f（x）的最小正周期为T＝，故B正确；对于C，函数f（x）在定义域上不单调，故C错误；对于D，因为3×＋＝，故（，0）不是函数f（x）的对称中心，故D错误.故选A、B.
3.[－1，] 解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤.
4.＞ 解析：∵tan＞0，tan＜0，∴tan＞tan.
4 / 4
