(共60张PPT)
第2课时
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 “五点法”作函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的图象
【例1】 （链接教科书第209页例7）画出函数 f （ x ）＝2 sin （ 2 x
－ ）在[0，π]上的简图，并根据简图，写出函数的减区间.
解：列表：
2 x － － 0 π
x 0 π
f （ x ） －1 0 2 0 －2 －1
描点连线得：
由图象可知，函数的减区间是［ ， ］.
通性通法
1. “五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的图象，实质是利用函
数与 x 轴的三个交点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2. “五点法”作图的关键
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
（1）计算 x 取端点值时的ω x ＋φ的范围；
（2）取ω x ＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的 x 值；
（3）利用ω x ＋φ的值计算 y 值；
（4）描点（ x ， y ），连线得到函数图象.
【跟踪训练】
已知 f （ x ）＝2 sin ，用“五点法”画出 f （ x ）的图象.
解：列表：
x ＋ 0 π 2π
x － π π π π
f （ x ） 0 2 0 －2 0
描点连线，如图所示.
将这个函数在一个周期内的图象向左、右两
边平移即得 f （ x ）＝2 sin （ x ＋ ）的图象.
题型二 已知图象求函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的解析式
【例2】 （2024·南京月考）如图是函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞
0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象的一部分，求此函数的解析式.
解：法一 由图象知 A ＝3， T ＝ － ＝π，∴ω＝ ＝2，
∴ y ＝3 sin （2 x ＋φ）.
∵点 在函数图象上且在上升区间上，∴0＝3 sin （ － ×2
＋φ）.
∴－ ×2＋φ＝2 k π（ k ∈Z），得φ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）.
∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ .∴ y ＝3 sin .
法二 由图象知 A ＝3.∵图象过点 和 ，且点（ ，
0），（ ，0）分别为五点法中的第三、第五个关键点，
∴解得
∴ y ＝3 sin .
通性通法
确定 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （ A ＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求 A ， B ，确定函数的最大值 M 和最小值 m ，则 A ＝ ， B ＝
；
（2）求ω，确定函数的周期 T ，则ω＝ ；
（3）求φ，常用方法有以下2种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在
上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点
代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为
突破口.
【跟踪训练】
已知函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最小值是
－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差 ，且图象经过点
，则函数的解析式为 y ＝5 sin .
y ＝5 sin
解析：由题意知 A ＝5， ＝ ，所以 T ＝ ＝ ，所以ω＝4，所以 y
＝5 sin （4 x ＋φ）.又因为图象经过点 ，所以 ＝5 sin φ，即
sin φ＝ ，所以φ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）或φ＝ ＋2 k π（ k ∈Z），又因
为0＜φ＜ ，所以φ＝ ，所以这个函数的解析式为 y ＝5 sin .
题型三 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的性质
【例3】 已知函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）＋ .
（1）求 f （ x ）的最小正周期及单调递增区间；
解：函数 f （ x ）的最小正周期 T ＝ ＝π；
由2 k π－ ≤2 x ＋ ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
得 k π－ ≤ x ≤ k π＋ （ k ∈Z），
所以 f （ x ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］（ k ∈Z）.
（2）求 f （ x ）的图象的对称轴方程和对称中心；
解：令2 x ＋ ＝ k π＋ （ k ∈Z），则 x ＝ ＋ （ k ∈Z），所
以对称轴方程为 x ＝ ＋ （ k ∈Z）；
令2 x ＋ ＝ k π（ k ∈Z），则 x ＝ － （ k ∈Z），
所以对称中心为（ － ， ）（ k ∈Z）.
（3）求 f （ x ）的最小值及取得最小值时 x 的取值集合.
解：当 sin （2 x ＋ ）＝－1，即2 x ＋ ＝－ ＋2 k π（ k
∈Z）， x ＝－ ＋ k π（ k ∈Z）时， f （ x ）取得最小值为 ，
此时 x 的取值集合是{ x ｜ x ＝－ ＋ k π， k ∈Z}.
通性通法
函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（或 y ＝ A cos （ω x ＋φ））（ A ≠0，
ω≠0）的性质
（1）定义域：R；
（2）值域：[－｜ A ｜，｜ A ｜]；
（3）奇偶性：函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（或 y ＝ A cos （ω x ＋φ））
不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
（4）周期性： T ＝ ；
（5）单调区间：可把ω x ＋φ看作一个整体，令 z ＝ω x ＋φ，通过 y ＝
A sin z （ y ＝ A cos z ）的单调区间解不等式求得；
（6）对称性：仍然以 y ＝ A sin z （ y ＝ A cos z ）的对称轴、对称中心
列方程求解，即ω x0＋φ＝ k π＋ 或ω x0＋φ＝ k π（ k ∈Z）.
提醒 注意ω＜0时首先将其化为ω＞0再求单调区间.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函
数，其图象关于点 M （ ，0）对称，且在区间［0， ）上具有单调
性，求φ和ω的值.
解：∵ f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函
数，∴φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），
又∵0≤φ＜π，∴φ＝ .
由 f （ x ）的图象关于点 M 对称，可知 sin （ ω＋ ）＝0，
即 ω＋ ＝ k π， k ∈Z，解得ω＝ － ， k ∈Z.
又 f （ x ）在［0， ）上具有单调性，
∴ T ≥π，即 ≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，∴ k ＝1时，ω＝ ； k ＝2时，ω＝2.
故φ＝ ，ω＝2或 .
1. 若函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）， x ∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜
）的最小正周期是π，且 f （0）＝ ，则（ ）
A. ω＝ ，φ＝ B. ω＝ ，φ＝
C. ω＝2，φ＝ D. ω＝2，φ＝
解析： ∵ ＝π，∴ω＝2.∵ f （0）＝ ，∴2 sin φ＝ .
∴ sin φ＝ .∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ .
2. 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ k （ A ＞0）的部分图象如图，则 A 与最
小正周期 T 分别是（ ）
A. A ＝3， T ＝ B. A ＝3， T ＝
C. A ＝ ， T ＝ D. A ＝ ， T ＝
解析： 由题图可知 A ＝ （3－0）＝ ，设周期为 T ，则 T ＝
－ ＝ ，得 T ＝ .故选D.
3. 在函数 y ＝2 sin （ω x ＋φ）（ω＞0）的一个周期上，当 x ＝ 时，
有最大值2，当 x ＝ 时，有最小值－2，则ω＝ .
解析：由题意得 ＝ － ＝ ，所以 T ＝π，又 T ＝ ＝π，解得ω
＝2.
2
4. 如图所示的曲线是函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）的图象的一部分，则这个函数的解析式是 y ＝2 sin .
y ＝2 sin
解析：由函数图象可知 A ＝2， T ＝ × ＝π，即 ＝π，
∴ω＝2.又 是五点作图法中的第五个点，即2× ＋φ＝
2π，∴φ＝ .∴所求函数的解析式为 y ＝2 sin .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
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1. 函数 y ＝ sin （2 x － ）在区间［－ ，π］上的简图是（ ）
解析： 当 x ＝0时， y ＝ sin （－ ）＝－ ＜0，故排除
B、D；当 x ＝ 时， y ＝ sin （2× － ）＝ sin 0＝0，排除
C，故选A.
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2. 下列各点中，可以作为函数 f （ x ）＝2 cos （ x ＋ ）＋1图象的对
称中心的是（ ）
A. （ ，1） B. （ ，1）
C. （ ，0） D. （ ，0）
解析： 由 x ＋ ＝ k π＋ ， k ∈Z得 x ＝ k π＋ ， k ∈Z. 取 k ＝
0，得 x ＝ ， f （ ）＝1.故对称中心是（ ，1）.故选B.
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3. 已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
的部分图象如图所示，则φ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由 ＝ － ＝ 得 T ＝2，∴ω＝ ＝π；由π× ＋φ＝
得φ＝ － ＝ .故选C.
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4. 已知ω＞0，函数 f （ x ）＝ cos 图象的一条对称轴方程为 x
＝ ，一个对称中心为 ，则ω有（ ）
A. 最小值2 B. 最大值2
C. 最小值1 D. 最大值1
解析： 由题意知 － ≥ ，故 T ＝ ≤π，ω≥2.故选A.
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5. 已知函数 f （ x ）＝2 sin （ ω x － ）（ω＞0）的最小正周期为π，
则函数 y ＝ f （ x ）在区间［0， ］上的最大值和最小值分别是
（ ）
A. 2和－2 B. 2和0
C. 2和－1 D. 和－
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解析： 由题知 ＝π，得ω＝2，所以函数 f （ x ）＝2 sin
.又因为 x ∈ ，所以2 x － ∈ ，所以 sin
∈ ，所以2 sin ∈[－1，2]，故函数 f （ x ）的
最大值为2，最小值为－1，故选C.
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6. （多选）（2024·南通海安期末）将函数 y ＝ cos 2 x 的图象沿 x 轴向
右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到函数 g （ x ）
的图象，则（ ）
A. 函数 y ＝ g （ x ）的最小正周期为π
B. g （ x ）在（ 0， ）上单调递增
C. g （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称
D. g （ x ）的图象关于点（ 0， ）中心对称
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解析： 由题意可得 g （ x ）＝ cos 2（ x － ）＋ ＝ cos （ 2
x － ）＋ ＝ sin 2 x ＋ ，则函数 y ＝ g （ x ）的最小正周期为 ＝
π，A正确；当 x ∈（ 0， ）时，2 x ∈（0，π），由于 y ＝ sin x 在
（ 0， ）上单调递增，在（ ，π）上单调递减，即 y ＝ sin x 在
（0，π）上不单调，故 g （ x ）在（ 0， ）上不单调，B错误；当
x ＝ 时， g （ ）＝ sin ＋ ＝－ ，即函数 g （ x ）取到最小
值，故 g （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称，C正确；
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将 x ＝0代入 y ＝ sin 2 x 中 sin 0＝0，即 y ＝ sin 2 x 的图象关于点（0，0）
中心对称，将 y ＝ sin 2 x 的图象向上平移 个单位长度，即得到 g （ x ）
的图象，故 g （ x ）的图象关于点（ 0， ）中心对称，D正确.故选A、
C、D.
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7. 若 f （ x ）＝ cos （2 x ＋ ＋φ）（｜φ｜＜ ）是奇函数，则φ
＝ .
解析：由题意可知 ＋φ＝ ＋ k π， k ∈Z，即φ＝ ＋ k π， k ∈Z.
又｜φ｜＜ ，故当 k ＝0时，得φ＝ .
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8. 如图所示为函数 f （ x ）＝2 sin （ω x ＋φ）（ω＞0， ≤φ≤π）的
部分图象，其中 A ， B 两点之间的距离为5，则 f （1）＝ .
－1
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解析：由 AB ＝5得 ＝5，解得 T ＝6.由 T ＝ ，ω＞
0得ω＝ .又当 x ＝0时， f （ x ）＝1，即2 sin ＝1，
∴ sin φ＝ ，又∵ ≤φ≤π，∴φ＝ ，∴ f （ x ）＝2 sin
，因此， f （1）＝2 sin ＝2 sin ＝2× ＝－1.
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9. 若函数 f （ x ）＝ sin （ω＞0）图象的两条相邻的对称轴之
间的距离为 ，且该函数的图象关于点（ x0，0）成中心对称， x0∈
，则 x0＝ .
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解析：由 f （ x ）＝ sin （ω＞0）图象的两条相邻的对称轴
之间的距离为 ＝ ，知 T ＝ ＝π，得ω＝2，又图象关于点（ x0，
0）成中心对称，得 sin ＝0，2 x0＋ ＝ k π（ k ∈Z），而
x0∈ ，则 x0＝ .
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10. 已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜
）的图象如图所示.
（1）求出函数 f （ x ）的解析式；
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解： 由图象得解得
又 ＝2π，∴ T ＝4π，∴ω＝ ＝ ，
由 f （ ）＝6，得 ＋φ＝2 k π＋ ， k
∈Z，
即φ＝ ＋2 k π， k ∈Z. 又｜φ｜＜ ，∴φ
＝ ，
综上， f （ x ）＝4 sin （ x ＋ ）＋2.
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（2）若将函数 f （ x ）的图象向右平移 个单位长度，再把所有点
的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 y ＝ g
（ x ）的图象，求出函数 y ＝ g （ x ）的单调递增区间及对称
中心.
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解： 根据题意可得 g （ x ）＝4 sin
（2 x ＋ ）＋2，
由2 k π－ ≤2 x ＋ ≤2 k π＋ ， k ∈Z，得
函数 g （ x ）的单调递增区间为［ k π－ ， k π＋ ］， k ∈Z.
令2 x ＋ ＝ k π， k ∈Z，得 x ＝ － ， k ∈Z，
∴对称中心为（ － ，2）， k ∈Z.
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11. 设函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ），ω＞0.若 f （ x ）在区间［ ，
］上单调，且 f （ ）＝ f （ ）＝－ f （ ），则 f （ x ）的最小
正周期为（ ）
A. B. 2π
C. 4π D. π
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解析： 因为 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）在区间［ ， ］上单
调，ω＞0，所以 － ≤ ＝ · ＝ ，解得0＜ω≤3.又因为 f
（ ）＝ f （ ）＝－ f （ ），所以直线 x ＝ ＝ 为 f （ x ）
＝ sin （ω x ＋φ）的图象的一条对称轴，又 ＝ ，所以点
（ ，0）为 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）的图象的一个对称中心.因
为0＜ω≤3，所以直线 x ＝ 与点（ ，0）为同一周期内相邻的
对称轴和对称中心，所以 T ＝4（ － ）＝π.
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12. 设偶函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）
的部分图象如图所示，△ KLM 为等腰直角三角形，∠ KML ＝
90°， KL ＝1，则 f （ ）＝ .
解析：取 KL 的中点 N ，则 MN ＝ ，∴ A ＝ .由 T ＝2，得ω＝
π.∵函数为偶函数，0＜φ＜π，∴φ＝ ，∴ f （ x ）＝ cos π x ，
∴ f （ ）＝ cos ＝ .
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13. 已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋ ）（ω＞0）， f （ ）＝ f
（ ），且 f （ x ）在区间（ ， ）上有最小值，无最大值，则ω
＝ .
解析：依题意知 f （ x ）图象关于直线 x ＝ 对称，即关于直线
x ＝ 对称，且 － ≤ T ＝ ，∴ ·ω＋ ＝ ＋2 k π， k ∈Z，且
0＜ω≤12，∴ω＝ .
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14. （2024·盐城射阳高级中学期末）函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋α）
（ A ＞0，ω＞0，－ ＜α＜ ）的最小正周期是π，且当 x ＝
时， f （ x ）取得最大值 .
（1）求函数 f （ x ）的解析式及单调递增区间；
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解： f （ x ）的最小正周期为π，所以ω＝ ＝2，
当 x ＝ 时， f （ x ）取得最大值 ，所以 A ＝ ，
且 sin （ 2× ＋α）＝1，－ ＜α＜ ， ＜α＋ ＜
，
所以α＋ ＝ ，α＝－ ，所以 f （ x ）＝ sin （ 2 x －
）.
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由2 k π－ ≤2 x － ≤2 k π＋ ， k ∈Z，解得－ ＋ k π≤ x ≤
＋ k π， k ∈Z，
所以函数 f （ x ）的单调递增区间为［－ ＋ k π， ＋ k
π］， k ∈Z.
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（2）存在 x ∈［－ ， ］，使得 f （ x ）－ m ＜0成立，求实数 m
的取值范围.
解： 若 x ∈［－ ， ］，则2 x － ∈［－ ， ］，
所以在区间［－ ， ］上，当2 x － ＝－ ，即 x ＝－
时， f （ x ）取得最小值为－ ，
依题意，存在 x ∈［－ ， ］，使得 f （ x ）＜ m 成立，所
以 m ＞－ .
故实数 m 的取值范围为（－ ，＋∞）.
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15. 已知函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
的最小值为－3，且 f （ x ）图象相邻的最高点与最低点的横坐标
之差为2π，又 f （ x ）的图象经过点（ 0， ）.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
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解： 由题意得 A ＝3， ＝2π，则 T ＝4π，即ω＝ ＝
，所以 f （ x ）＝3 sin （ x ＋φ）.
又 f （ x ）的图象经过点（ 0， ），则 ＝3 sin φ.
由｜φ｜＜ 得φ＝ ，所以 f （ x ）＝3 sin （ x ＋ ）.
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（2）若方程 f （ x ）－ k ＝0在 x ∈［0， ］有且仅有两个不同
根，求 k 的取值范围.
解： 由题意得 f （ x ）－ k ＝0在 x ∈［0， ］有且仅
有两个解 x1， x2，即函数 y ＝ f （ x ）的图象与直线 y ＝ k 在 x
∈［0， ］有且仅有两个交点.
由 x ∈［0， ］得 x ＋ ∈［ ，2π］，
则 f （ x ）＝3 sin （ x ＋ ）∈[－3，3].
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设 t ＝ x ＋ ，则函数为 y ＝3 sin t ，且 t ∈［ ，2π］，即函
数 y ＝3 sin t 的图象与直线 y ＝ k 在 t ∈［ ，2π］有且仅有两
个交点，
画出函数 y ＝3 sin t 在 t ∈［ ，2π］上的图象，由图可知， k
的取值范围为（－3，0]∪［ ，3）.
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谢 谢 观 看！第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
1.函数y＝sin（2x－）在区间［－，π］上的简图是（ ）
2.下列各点中，可以作为函数f（x）＝2cos（ x＋）＋1图象的对称中心的是（ ）
A.（ ，1） B.（ ，1）
C.（ ，0） D.（ ，0）
3.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，则φ＝（ ）
A. B.
C. D.
4.已知ω＞0，函数f（x）＝cos图象的一条对称轴方程为x＝，一个对称中心为，则ω有（ ）
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
5.已知函数f（x）＝2sin（ ωx－）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数y＝f（x）在区间［0，］上的最大值和最小值分别是（ ）
A.2和－2 B.2和0
C.2和－1 D.和－
6.（多选）（2024·南通海安期末）将函数y＝cos 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则（ ）
A.函数y＝g（x）的最小正周期为π
B.g（x）在（ 0，）上单调递增
C.g（x）的图象关于直线x＝对称
D.g（x）的图象关于点（ 0，）中心对称
7.若f（x）＝cos（2x＋＋φ）（｜φ｜＜）是奇函数，则φ＝ .
8.如图所示为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，则f（1）＝ .
9.若函数f（x）＝sin（ω＞0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数的图象关于点（x0，0）成中心对称，x0∈，则x0＝ .
10.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象如图所示.
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y＝g（x）的单调递增区间及对称中心.
11.设函数f（x）＝sin（ωx＋φ），ω＞0.若f（x）在区间［，］上单调，且f（）＝f（）＝－f（），则f（x）的最小正周期为（ ）
A. B.2π C.4π D.π
12.设偶函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f（）＝ .
13.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0），f（）＝f（），且f（x）在区间（，）上有最小值，无最大值，则ω＝ .
14.（2024·盐城射阳高级中学期末）函数f（x）＝Asin（ωx＋α）（ A＞0，ω＞0，－＜α＜）的最小正周期是π，且当x＝时，f（x）取得最大值.
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）存在x∈［－，］，使得f（x）－m＜0成立，求实数m的取值范围.
15.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的最小值为－3，且f（x）图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差为2π，又f（x）的图象经过点（ 0，）.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）－k＝0在x∈［0，］有且仅有两个不同根，求k的取值范围.
第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
1.A 当x＝0时，y＝sin（－）＝－＜0，故排除B、D；当x＝时，y＝sin（2×－）＝sin 0＝0，排除C，故选A.
2.B 由x＋＝kπ＋，k∈Z得x＝kπ＋，k∈Z.取k＝0，得x＝，f（ ）＝1.故对称中心是（ ，1）.故选B.
3.C 由＝－＝得T＝2，∴ω＝＝π；由π×＋φ＝得φ＝－＝.故选C.
4.A 由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.故选A.
5.C 由题知＝π，得ω＝2，所以函数f（x）＝2sin.又因为x∈，所以2x－∈，所以sin∈，所以2sin∈[－1，2]，故函数f（x）的最大值为2，最小值为－1，故选C.
6.ACD 由题意可得g（x）＝cos 2（ x－）＋＝cos（ 2x－）＋＝sin 2x＋，则函数y＝g（x）的最小正周期为＝π，A正确；当x∈（ 0，）时，2x∈（0，π），由于y＝sin x在（ 0，）上单调递增，在（ ，π）上单调递减，即y＝sin x在（0，π）上不单调，故g（x）在（ 0，）上不单调，B错误；当x＝时，g（ ）＝sin ＋＝－，即函数g（x）取到最小值，故g（x）的图象关于直线x＝对称，C正确；将x＝0代入y＝sin 2x中sin 0＝0，即y＝sin 2x的图象关于点（0，0）中心对称，将y＝sin 2x的图象向上平移个单位长度，即得到g（x）的图象，故g（x）的图象关于点（ 0，）中心对称，D正确.故选A、C、D.
7. 解析：由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又｜φ｜＜，故当k＝0时，得φ＝.
8.－1 解析：由AB＝5得＝5，解得T＝6.由T＝，ω＞0得ω＝.又当x＝0时，f（x）＝1，即2sin＝1，∴sin φ＝，又∵≤φ≤π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin，因此，f（1）＝2sin＝2sin＝2×＝－1.
9. 解析：由f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为＝，知T＝＝π，得ω＝2，又图象关于点（x0，0）成中心对称，得sin＝0，2x0＋＝kπ（k∈Z），而x0∈，则x0＝.
10.解：（1）由图象得解得
又＝2π，∴T＝4π，∴ω＝＝，
由f（）＝6，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋2kπ，k∈Z.又｜φ｜＜，∴φ＝，
综上，f（x）＝4sin（x＋）＋2.
（2）根据题意可得g（x）＝4sin（2x＋）＋2，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得函数g（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
∴对称中心为（－，2），k∈Z.
11.D 因为f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间［，］上单调，ω＞0，所以－≤＝·＝，解得0＜ω≤3.又因为f（）＝f（）＝－f（），所以直线x＝＝为f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象的一条对称轴，又＝，所以点（，0）为f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象的一个对称中心.因为0＜ω≤3，所以直线x＝与点（，0）为同一周期内相邻的对称轴和对称中心，所以T＝4（－）＝π.
12. 解析：取KL的中点N，则MN＝，∴A＝.由T＝2，得ω＝π.∵函数为偶函数，0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝cos πx，∴f（）＝cos ＝.
13. 解析：依题意知f（x）图象关于直线x＝对称，即关于直线x＝对称，且－≤T＝，∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0＜ω≤12，∴ω＝.
14.解：（1）f（x）的最小正周期为π，所以ω＝＝2，
当x＝时，f（x）取得最大值，所以A＝，
且sin（ 2×＋α）＝1，－＜α＜，＜α＋＜，
所以α＋＝，α＝－，所以f（x）＝sin（ 2x－）.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
（2）若x∈［－，］，则2x－∈［－，］，
所以在区间［－，］上，当2x－＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值为－，
依题意，存在x∈［－，］，使得f（x）＜m成立，所以m＞－.
故实数m的取值范围为（－，＋∞）.
15.解：（1）由题意得A＝3，＝2π，则T＝4π，即ω＝＝，所以f（x）＝3sin（ x＋φ）.
又f（x）的图象经过点（ 0，），则＝3sin φ.
由｜φ｜＜得φ＝，所以f（x）＝3sin（ x＋）.
（2）由题意得f（x）－k＝0在x∈［0，］有且仅有两个解x1，x2，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝k在x∈［0，］有且仅有两个交点.
由x∈［0，］得x＋∈［，2π］，
则f（x）＝3sin（ x＋）∈[－3，3].
设t＝x＋，则函数为y＝3sin t，且t∈［，2π］，即函数y＝3sin t的图象与直线y＝k在t∈［，2π］有且仅有两个交点，
画出函数y＝3sin t在t∈［，2π］上的图象，由图可知，k的取值范围为（－3，0]∪［，3）.
3 / 3第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
题型一 “五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象
【例1】 （链接教科书第209页例7）画出函数f（x）＝2sin（ 2x－）在[0，π]上的简图，并根据简图，写出函数的减区间.
通性通法
1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数与x轴的三个交点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.“五点法”作图的关键
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
（1）计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
（2）取ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
（3）利用ωx＋φ的值计算y值；
（4）描点（x，y），连线得到函数图象.
【跟踪训练】
已知f（x）＝2sin，用“五点法”画出f（x）的图象.
题型二 已知图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例2】 （2024·南京月考）如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象的一部分，求此函数的解析式.
通性通法
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝；
（3）求φ，常用方法有以下2种：
①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【跟踪训练】
已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，则函数的解析式为 .
题型三 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
【例3】 已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋.
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.
通性通法
函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））（A≠0，ω≠0）的性质
（1）定义域：R；
（2）值域：[－｜A｜，｜A｜]；
（3）奇偶性：函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））不一定具备奇偶性，要由φ的值确定；
（4）周期性：T＝；
（5）单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝Asin z（y＝Acos z）的单调区间解不等式求得；
（6）对称性：仍然以y＝Asin z（y＝Acos z）的对称轴、对称中心列方程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋或ωx0＋φ＝kπ（k∈Z）.
提醒 注意ω＜0时首先将其化为ω＞0再求单调区间.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间［0，）上具有单调性，求φ和ω的值.
1.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R（其中ω＞0，｜φ｜＜）的最小正周期是π，且f（0）＝，则（ ）
A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝
C.ω＝2，φ＝ D.ω＝2，φ＝
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A＞0）的部分图象如图，则A与最小正周期T分别是（ ）
A.A＝3，T＝ B.A＝3，T＝
C.A＝，T＝ D.A＝，T＝
3.在函数y＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝ .
4.如图所示的曲线是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象的一部分，则这个函数的解析式是 .
第2课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
【典型例题·精研析】
【例1】 解：列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f（x） －1 0 2 0 －2 －1
描点连线得：
由图象可知，函数的减区间是［，］.
跟踪训练
解：列表：
x＋ 0 π 2π
x － π π π π
f（x） 0 2 0 －2 0
描点连线，如图所示.
将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边平移即得f（x）＝2sin（x＋）的图象.
【例2】 解：法一 由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin（2x＋φ）.
∵点在函数图象上且在上升区间上，∴0＝3sin（ －×2＋φ）.
∴－×2＋φ＝2kπ（k∈Z），得φ＝＋2kπ（k∈Z）.
∵｜φ｜＜，∴φ＝.∴y＝3sin.
法二 由图象知A＝3.∵图象过点和，且点（，0），（，0）分别为五点法中的第三、第五个关键点，
∴解得
∴y＝3sin.
跟踪训练
y＝5sin 解析：由题意知A＝5，＝，所以T＝＝，所以ω＝4，所以y＝5sin（4x＋φ）.又因为图象经过点，所以＝5sin φ，即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ（k∈Z）或φ＝＋2kπ（k∈Z），又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以这个函数的解析式为y＝5sin.
【例3】 解：（1）函数f（x）的最小正周期T＝＝π；
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
（2）令2x＋＝kπ＋（k∈Z），则x＝＋（k∈Z），所以对称轴方程为x＝＋（k∈Z）；
令2x＋＝kπ（k∈Z），则x＝－（k∈Z），
所以对称中心为（－，）（k∈Z）.
（3）当sin（2x＋）＝－1，即2x＋＝－＋2kπ（k∈Z），x＝－＋kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值为，
此时x的取值集合是{x｜x＝－＋kπ，k∈Z}.
跟踪训练
解：∵f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ＜π）是R上的偶函数，∴φ＝＋kπ（k∈Z），
又∵0≤φ＜π，∴φ＝.
由f（x）的图象关于点M对称，可知sin（ω＋）＝0，
即ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z.
又f（x）在［0，）上具有单调性，
∴T≥π，即≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2.
故φ＝，ω＝2或.
随堂检测
1.D ∵＝π，∴ω＝2.∵f（0）＝，∴2sin φ＝.∴sin φ＝.∵｜φ｜＜，∴φ＝.
2.D 由题图可知A＝（3－0）＝，设周期为T，则T＝－＝，得T＝.故选D.
3.2 解析：由题意得＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，解得ω＝2.
4.y＝2sin 解析：由函数图象可知A＝2，T＝×＝π，即＝π，∴ω＝2.又是五点作图法中的第五个点，即2×＋φ＝2π，∴φ＝.∴所求函数的解析式为y＝2sin.
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