8.1.1 函数的零点
1.函数f（x）＝lg｜x｜的零点是（ ）
A.（1，0） B.（1，0）和（－1，0）
C.1 D.1和－1
2.函数f（x）＝2x－3的零点所在的区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
3.函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（ ）
A.（1，3） B.（1，2）
C.（0，3） D.（0，2）
4.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f（x） 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
5.（多选）下列函数存在零点的是（ ）
A.y＝x－
B.y＝
C.y＝logax2（a＞0且a≠1）
D.y＝
6.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为（－1，0）
B.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点
D.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标
7.请写出同时满足以下条件的一个函数： .
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点.
8.函数f（x）＝｜x－2｜－ln x的零点的个数为 .
9.函数f（x）＝9x－3x＋1－10的零点为 .
10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
（1）f（x）＝－x2＋2x－1；
（2）f（x）＝x4－x2；
（3）f（x）＝4x＋5；
（4）f（x）＝log3（x＋1）.
11.若函数f（x）在定义域{x｜x∈R且x≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，则函数f（x）的零点（ ）
A.只有一个 B.只有两个
C.至少有两个 D.无法判断
12.（多选）已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B.方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C.方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解
D.方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 .（用“＜”连接）
14.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g（x）＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间.
15.已知函数f（x）＝2a·4x－2x－1.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，求a的取值范围.
8.1.1 函数的零点
1.D 函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，令f（x）＝0，则lg｜x｜＝0，解得x＝±1，即函数f（x）的零点是1和－1.
2.B 因为f（1）＝2－3＝－1＜0，f（2）＝4－3＝1＞0，所以f（1）·f（2）＜0，即f（x）的零点所在的区间为（1，2）.
3.C 由条件可知f（1）f（2）＜0，即（2－2－a）（4－1－a）＜0，即a（a－3）＜0，解得0＜a＜3.故选C.
4.B 由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点.
5.ABC 令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点.
6.BD 根据函数零点的定义，可知f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.因此B、D正确.
7.f（x）＝x2－1（答案不唯一）
解析：因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f（x）＝x2－1（答案不唯一）.
8.2 解析：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），函数f（x）在（0，＋∞）内的零点就是方程｜x－2｜－ln x＝0的根.令y1＝｜x－2｜，y2＝ln x（x＞0），在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程｜x－2｜－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点.
9.log35 解析：由f（x）＝9x－3x＋1－10＝0得（3x）2－3·3x－10＝0，即（3x＋2）·（3x－5）＝0，∵3x＞0，∴3x－5＝0，解得x＝log35，即函数零点为log35.
10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1.
（2）令x4－x2＝0，即x2（x－1）（x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1.
（3）令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解.
所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点.
（4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，
所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0.
11.B 因为f（x）在（0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.又f（x）是偶函数，所以f（x）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.故函数f（x）只有两个零点－2和2.
12.AD 设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个.故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确.
13.a＜b＜c 解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
14.解：∵－1和2是函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点，
∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.
∴g（x）＝－x3－2x＋4.
∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0，
∴g（x）在区间（1，2）内有零点.
又∵g（x）在R上是单调函数，
∴g（x）只有一个零点.
综上可知，函数g（x）的零点所在的大致区间为（1，2）.
15.解：（1）当a＝1时，f（x）＝2·4x－2x－1.
令f（x）＝0，即2·（2x）2－2x－1＝0，
解得2x＝1或2x＝－（舍去）.∴x＝0，
∴函数f（x）的零点为0.
（2）若f（x）有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，于是2a＝＝（）x＋（）x，
令（）x＝t，则g（t）＝t＋t2＝（t＋）2－.
∵t＞0，∴g（t）在（0，＋∞）上单调递增，其值域为（0，＋∞），
∴2a＞0，∴a＞0，即a的取值范围是（0，＋∞）.
2 / 28.1.1 函数的零点
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、直观想象、数学运算
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、逻辑推理
奇奇，小东，小明，妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同一小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去妙妙家里玩.
【问题】 依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨迹，并推断他与小河有过几次接触？
情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家；
情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家；
情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家；
情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三人相约一起到妙妙家玩.
知识点 函数的零点
1.概念：把使函数y＝f（x）的值为 的实数x称为函数y＝f（x）的零点.
2.函数的零点、方程的根、图象与x轴的交点之间的关系
提醒 （1）函数的零点是实数，而不是点.如函数f（x）＝x＋1的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零点，如函数f（x）＝，y＝x2＋1均没有零点；（3）若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
3.函数零点存在定理
若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且f（a）f（b） 0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点.
【想一想】
1.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？
2.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）·f（b）＜0？
1.下列图象表示的函数中有两个零点的是（ ）
2.函数f（x）＝2x－的零点所在的区间是（ ）
A.（1，＋∞） B.（，1）
C.（，） D.（，）
3.函数f（x）＝x2＋2x－15的零点是 .
题型一 零点的概念及求法
【例1】 （链接教科书第230页练习2题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.
（1）f（x）＝x2＋2x＋4；（2）f（x）＝x3－x；
（3）f（x）＝2x－3；（4）f（x）＝1－log3x.
通性通法
函数零点的求法
（1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点；
（2）几何法：与函数y＝f（x）的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点是1和2，则mn＝ .
2.已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点.
题型二 函数零点的存在问题
【例2】 （链接教科书第229页例1、230页例2）
（1）求证：函数f（x）＝x3－2x2＋1在区间（－1，0）上存在零点；
（2）求证：函数f（x）＝3x＋2x－4有零点.
通性通法
确定函数f（x）零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）f（b）＜0.若f（a）f（b）＜0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点；
（3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【跟踪训练】
1.f（x）＝ex＋x－2的零点所在的区间是（ ）
A.（－2，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，2）
2.（2024·淮安期末）函数f（x）＝2x＋2x－7的零点所在的区间为（k，k＋1），则正整数k的值为 .
题型三 函数零点的个数问题
【例3】 判断函数f（x）＝ln x＋x2－3的零点个数.
通性通法
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；
（2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；
（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f（x）在（a，b）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
【跟踪训练】
已知0＜a＜1，则函数f（x）＝ax－｜logax｜的零点个数为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.0
1.若函数f（x）＝ax＋b（a≠0）的零点是2，则函数g（x）＝ax2＋bx的零点是（ ）
A.2 B.0和2
C.0 D.－2和0
2.已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4
f（x） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）
A.（－∞，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
3.对于函数f（x），若f（－1）f（3）＜0，则（ ）
A.方程f（x）＝0一定有一实数解
B.方程f（x）＝0一定无实数解
C.方程f（x）＝0一定有两实根
D.方程f（x）＝0可能无实数解
4.函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点有 个.
8.1.1 函数的零点
【基础知识·重落实】
知识点
1.0 2.x轴 f（x）＝0 3.不间断 ＜
想一想
1.提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2.提示：不一定，如f（x）＝x2在区间（－1，1）上有零点0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0.
自我诊断
1.D 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选D.
2.B 法一 ∵f（）＜0，f（1）＞0，∴f（）·f（1）＜0，即函数f（x）的零点所在的区间为（，1）.故选B.
法二 令f（x）＝2x－＝0，得2x＝，令g（x）＝2x，h（x）＝，画出函数g（x）与h（x）的图象，由图象可知，g（x）与h（x）的交点在区间（，1）上.故选B.
3.3，－5 解析：令f（x）＝0，即x2＋2x－15＝0，解得x＝3或x＝－5，所以函数f（x）＝x2＋2x－15的零点是3，－5.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，
所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点.
（2）令x3－x＝0，即x3－x＝x（x2－1）＝x（x－1）（x＋1）＝0，解得x＝0，1，－1，
所以函数f（x）的零点为－1，0，1.
（3）令2x－3＝0，解得x＝log23，
所以函数f（x）＝2x－3的零点是log23.
（4）令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f（x）＝1－log3x的零点是3.
跟踪训练
1.4 解析：因为f（x）＝x2＋3（m＋1）x＋n的零点为1和2，所以1和2是方程x2＋3（m＋1）x＋n＝0的两个实数解，所以解得所以mn＝4.
2.解：由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）.
令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－.
所以函数g（x）＝bx2＋ax的零点为0和－.
【例2】 证明：（1）因为f（－1）＝（－1）3－2（－1）2＋1＝－2＜0，f（0）＝1＞0，
且函数f（x）在区间[－1，0]上的图象是不间断的，
所以函数f（x）在区间（－1，0）上存在零点.
（2）因为f（0）＝30＋2×0－4＝－3＜0，f（1）＝31＋2×1－4＝1＞0，
且函数f（x）在区间[0，1]上的图象是不间断的，
所以函数f（x）＝3x＋2x－4在区间（0，1）上有零点，
从而函数f（x）＝3x＋2x－4有零点.
跟踪训练
1.C 法一 ∵f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－1＞0，∴f（x）在（0，1）内有零点.
法二 ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为（0，1）.
2.1 解析：因为函数f（x）＝2x＋2x－7在R上是增函数，且f（1）＝2＋2－7＝－3＜0，f（2）＝4＋4－7＝1＞0，所以f（x）的零点所在的区间为（1，2），所以正整数k的值为1.
【例3】 解：法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一平面直角坐标系中，作出两函数的图象（如图）.
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f（x）＝ln x＋x2－3有一个零点.
法二 由于f（1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f（2）＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
所以f（1）f（2）＜0，
又f（x）＝ln x＋x2－3的图象在[1，2]上是连续的，所以f（x）在（1，2）上必有一个零点，
又f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数，所以零点只有一个.
跟踪训练
A 函数f（x）＝ax－｜logax｜（0＜a＜1）的零点个数，等价于函数y＝ax和函数y＝｜logax｜的图象的交点个数.如图所示，函数y＝ax和函数y＝｜logax｜的图象的交点个数为2，故0＜a＜1时，函数f（x）＝ax－｜logax｜的零点个数为2.故选A.
随堂检测
1.B 由条件知f（2）＝0，∴b＝－2a，∴g（x）＝ax2＋bx＝ax（x－2）的零点为0和2.故选B.
2.C 由表可知f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞0，由函数零点存在定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3）.故选C.
3.D ∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管有f（－1）f（3）＜0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解.
4.3 解析：∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）＝（x－1）·（x＋5）（x－2），∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3 / 3(共56张PPT)
8.1.1 函数的零点
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程
解的关系 数学抽象、直观想
象、数学运算
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函
数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
奇奇，小东，小明，妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同
一小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去妙
妙家里玩.
【问题】 依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨
迹，并推断他与小河有过几次接触？
情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家；
情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家；
情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家；
情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三
人相约一起到妙妙家玩.
知识点 函数的零点
1. 概念：把使函数 y ＝ f （ x ）的值为 的实数 x 称为函数 y ＝ f
（ x ）的零点.
2. 函数的零点、方程的根、图象与 x 轴的交点之间的关系
0
提醒 （1）函数的零点是实数，而不是点.如函数 f （ x ）＝ x ＋1
的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零
点，如函数 f （ x ）＝ ， y ＝ x2＋1均没有零点；（3）若函数有零
点，则零点一定在函数的定义域内.
3. 函数零点存在定理
若函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是一条 的曲
线，且 f （ a ） f （ b ） 0，则函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ，
b ）上有零点.
不间断
＜
【想一想】
1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲
线， f （ a ） f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上
的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f
（ a ）· f （ b ）＜0？
提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f
（－1） f （1）＝1×1＝1＞0.
1. 下列图象表示的函数中有两个零点的是（ ）
解析： 有两个零点就是函数图象与 x 轴有两个交点，故选D.
2. 函数 f （ x ）＝2 x － 的零点所在的区间是（ ）
A. （1，＋∞） B. （ ，1）
C. （ ， ） D. （ ， ）
解析： 法一 ∵ f （ ）＜0， f （1）＞0，∴ f （ ）· f （1）＜
0，即函数 f （ x ）的零点所在的区间为（ ，1）.故选B.
法二 令 f （ x ）＝2 x － ＝0，得2 x ＝ ，令 g （ x ）＝2 x ， h （ x ）＝
，画出函数 g （ x ）与 h （ x ）的图象，由图
象可知， g （ x ）与 h （ x ）的交点在区间（ ，
1）上.故选B.
3. 函数 f （ x ）＝ x2＋2 x －15的零点是 .
解析：令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －15＝0，解得 x ＝3或 x ＝－5，所
以函数 f （ x ）＝ x2＋2 x －15的零点是3，－5.
3，－5
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 零点的概念及求法
【例1】 （链接教科书第230页练习2题）判断下列函数是否存在零
点，如果存在，请求出.
（1） f （ x ）＝ x2＋2 x ＋4；
解：令 x2＋2 x ＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12＜0，
所以方程 x2＋2 x ＋4＝0无实数解，
所以函数 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋4不存在零点.
（2） f （ x ）＝ x3－ x ；
解：令 x3－ x ＝0，即 x3－ x ＝ x （ x2－1）＝ x （ x －1）（ x ＋
1）＝0，解得 x ＝0，1，－1，
所以函数 f （ x ）的零点为－1，0，1.
（3） f （ x ）＝2 x －3；
解：令2 x －3＝0，解得 x ＝log23，
所以函数 f （ x ）＝2 x －3的零点是log23.
（4） f （ x ）＝1－log3 x .
解：令1－log3 x ＝0，解得 x ＝3，
所以函数 f （ x ）＝1－log3 x 的零点是3.
通性通法
函数零点的求法
（1）代数法：求方程 f （ x ）＝0的实数根，若存在实数根，则函数存
在零点，否则函数不存在零点；
（2）几何法：与函数 y ＝ f （ x ）的图象联系起来，图象与 x 轴的交点
的横坐标即为函数的零点.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋3（ m ＋1） x ＋ n 的零点是1和2，则 mn
＝ .
解析：因为 f （ x ）＝ x2＋3（ m ＋1） x ＋ n 的零点为1和2，所以1和
2是方程 x2＋3（ m ＋1） x ＋ n ＝0的两个实数解，所以
解得所以 mn ＝4.
4
2. 已知函数 f （ x ）＝ ax － b （ a ≠0）的零点为3，求函数 g （ x ）＝
bx2＋ ax 的零点.
解：由已知得 f （3）＝0，即3 a － b ＝0，则 b ＝3 a ，故 g （ x ）＝3
ax2＋ ax ＝ ax （3 x ＋1）.
令 g （ x ）＝0，即 ax （3 x ＋1）＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ .
所以函数 g （ x ）＝ bx2＋ ax 的零点为0和－ .
题型二 函数零点的存在问题
【例2】 （链接教科书第229页例1、230页例2）（1）求证：函数 f
（ x ）＝ x3－2 x2＋1在区间（－1，0）上存在零点；
证明：因为 f （－1）＝（－1）3－2（－1）2＋1＝－2＜0， f （0）＝1
＞0，
且函数 f （ x ）在区间[－1，0]上的图象是不间断的，
所以函数 f （ x ）在区间（－1，0）上存在零点.
（2）求证：函数 f （ x ）＝3 x ＋2 x －4有零点.
证明：因为 f （0）＝30＋2×0－4＝－3＜0， f （1）＝31＋2×1
－4＝1＞0，
且函数 f （ x ）在区间[0，1]上的图象是不间断的，
所以函数 f （ x ）＝3 x ＋2 x －4在区间（0，1）上有零点，
从而函数 f （ x ）＝3 x ＋2 x －4有零点.
通性通法
确定函数 f （ x ）零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程 f （ x ）＝0易解时，可先解方程，再看求
得的根是否落在给定区间上；
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]
上的图象是否连续，再看是否有 f （ a ） f （ b ）＜0.若 f （ a ） f
（ b ）＜0，则函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内必有零点；
（3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是
否有交点来判断.
【跟踪训练】
1. f （ x ）＝e x ＋ x －2的零点所在的区间是（ ）
A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： 法一 ∵ f （0）＝－1＜0， f （1）＝e－
1＞0，∴ f （ x ）在（0，1）内有零点.
法二 e x ＋ x －2＝0，即e x ＝2－ x ，∴原函数的零点所在区间即为函
数 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的图象交点的横坐标所在的区间.如图，由图象可
得函数 y ＝e x 和 y ＝2－ x 的图象交点所在的区间为（0，1）.
2. （2024·淮安期末）函数 f （ x ）＝2 x ＋2 x －7的零点所在的区间为
（ k ， k ＋1），则正整数 k 的值为 .
解析：因为函数 f （ x ）＝2 x ＋2 x －7在R上是增函数，且 f （1）＝
2＋2－7＝－3＜0， f （2）＝4＋4－7＝1＞0，所以 f （ x ）的零点
所在的区间为（1，2），所以正整数 k 的值为1.
1
题型三 函数零点的个数问题
【例3】 判断函数 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的零点个数.
解：法一 函数对应的方程为ln x ＋ x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数 y ＝ln x 与 y ＝3－ x2的图象交点个数.
在同一平面直角坐标系中，作出两函数的
图象（如图）.
由图象知，函数 y ＝3－ x2与 y ＝ln x 的图象有一个交点.从而方程ln x ＋
x2－3＝0有一个根，即函数 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3有一个零点.
法二 由于 f （1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f （2）＝ln 2＋22－3＝ln
2＋1＞0，
所以 f （1） f （2）＜0，
又 f （ x ）＝ln x ＋ x2－3的图象在[1，2]上是连续的，所以 f （ x ）在
（1，2）上必有一个零点，
又 f （ x ）在定义域（0，＋∞）上是增函数，所以零点只有一个.
通性通法
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个
零点；
（2）画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判
定零点的个数；
（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定 y ＝ f （ x ）在
（ a ， b ）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
【跟踪训练】
已知0＜ a ＜1，则函数 f （ x ）＝ ax －｜log ax ｜的零点个数为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 0
解析： 函数 f （ x ）＝ ax －｜log ax ｜（0＜ a
＜1）的零点个数，等价于函数 y ＝ ax 和函数 y
＝｜log ax ｜的图象的交点个数.如图所示，函数
y ＝ ax 和函数 y ＝｜log ax ｜的图象的交点个数为
2，故0＜ a ＜1时，函数 f （ x ）＝ ax －｜log ax ｜
的零点个数为2.故选A.
1. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0）的零点是2，则函数 g （ x ）＝ ax2
＋ bx 的零点是（ ）
A. 2 B. 0和2
C. 0 D. －2和0
解析： 由条件知 f （2）＝0，∴ b ＝－2 a ，∴ g （ x ）＝ ax2＋
bx ＝ ax （ x －2）的零点为0和2.故选B.
2. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的图象是连续不断的，且有如下对应
值表：
x 1 2 3 4
f （ x ） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数 f （ x ）一定存在零点的区间是（ ）
A. （－∞，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析： 由表可知 f （1） f （2）＞0， f （2） f （3）＜0， f （3）
f （4）＞0，由函数零点存在定理可知 f （ x ）一定存在零点的区间
是（2，3）.故选C.
3. 对于函数 f （ x ），若 f （－1） f （3）＜0，则（ ）
A. 方程 f （ x ）＝0一定有一实数解
B. 方程 f （ x ）＝0一定无实数解
C. 方程 f （ x ）＝0一定有两实根
D. 方程 f （ x ）＝0可能无实数解
解析： ∵函数 f （ x ）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管
有 f （－1） f （3）＜0，但方程 f （ x ）＝0在（－1，3）上可能无
实数解.
4. 函数 f （ x ）＝（ x －1）（ x2＋3 x －10）的零点有 个.
解析：∵ f （ x ）＝（ x －1）（ x2＋3 x －10）＝（ x －1）·（ x ＋
5）（ x －2），∴由 f （ x ）＝0得 x ＝－5或 x ＝1或 x ＝2.
3
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝lg｜ x ｜的零点是（ ）
A. （1，0） B. （1，0）和（－1，0）
C. 1 D. 1和－1
解析： 函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠0}，令 f （ x ）＝0，则
lg｜ x ｜＝0，解得 x ＝±1，即函数 f （ x ）的零点是1和－1.
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2. 函数 f （ x ）＝2 x －3的零点所在的区间是（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析： 因为 f （1）＝2－3＝－1＜0， f （2）＝4－3＝1＞0，所
以 f （1）· f （2）＜0，即 f （ x ）的零点所在的区间为（1，2）.
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3. 函数 f （ x ）＝2 x － － a 的一个零点在区间（1，2）内，则实数 a
的取值范围是（ ）
A. （1，3） B. （1，2）
C. （0，3） D. （0，2）
解析： 由条件可知 f （1） f （2）＜0，即（2－2－ a ）（4－1－
a ）＜0，即 a （ a －3）＜0，解得0＜ a ＜3.故选C.
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4. 已知函数 f （ x ）的图象是连续不断的，有如下 x ， f （ x ）的对应
值表：
x 1 2 3 4 5 6
f （ x ） 15 10 －7 6 －4 －5
则函数 f （ x ）在区间[1，6]上的零点至少有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
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解析： 由题表可知 f （2）· f （3）＜0， f （3）· f （4）＜0， f
（4）· f （5）＜0，又函数 f （ x ）的图象是连续不断的，故 f （ x ）
在区间[1，6]上至少有3个零点.
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5. （多选）下列函数存在零点的是（ ）
A. y ＝ x －
B. y ＝
C. y ＝log ax2（ a ＞0且 a ≠1）
D. y ＝
解析： 令 y ＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
选项B中函数的零点为－ 和1；只有选项D中函数无零点.
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6. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 函数 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零点为（－1，0）
B. 函数 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－2，0]的零点为－1
C. 函数 f （ x ）的零点，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点
D. 函数 f （ x ）的零点，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点的横坐标
解析： 根据函数零点的定义，可知 f （ x ）＝ x ＋1， x ∈[－
2，0]的零点为－1，即函数 f （ x ）的图象与 x 轴的交点的横坐标.
因此B、D正确.
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7. 请写出同时满足以下条件的一个函数：
.
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点.
解析：因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取
f （ x ）＝ x2－1（答案不唯一）.
f （ x ）＝ x2－1（答案不唯
一）
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8. 函数 f （ x ）＝｜ x －2｜－ln x 的零点的个数为 .
解析：由题意知，函数 f （ x ）的定义域为（0，
＋∞），函数 f （ x ）在（0，＋∞）内的零点就
是方程｜ x －2｜－ln x ＝0的根.令 y1＝｜ x －
2｜， y2＝ln x （ x ＞0），在同一平面直角坐标
系中画出两个函数的图象如图所示，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程｜ x －2｜－ln x ＝0有2个根，即对应函数有2个零点.
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9. 函数 f （ x ）＝9 x －3 x＋1－10的零点为 .
解析：由 f （ x ）＝9 x －3 x＋1－10＝0得（3 x ）2－3·3 x －10＝0，即
（3 x ＋2）（3 x －5）＝0，∵3 x ＞0，∴3 x －5＝0，解得 x ＝log35，
即函数零点为log35.
log35
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10. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
（1） f （ x ）＝－ x2＋2 x －1；
解： 令－ x2＋2 x －1＝0，解得 x ＝1，
所以函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x －1的零点为1.
（2） f （ x ）＝ x4－ x2；
解： 令 x4－ x2＝0，即 x2（ x －1）（ x ＋1）＝0，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝－1，
故函数 f （ x ）＝ x4－ x2的零点为0，－1和1.
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（3） f （ x ）＝4 x ＋5；
解： 令4 x ＋5＝0，则4 x ＝－5，
因为4 x ＞0，－5＜0，所以方程4 x ＋5＝0无实数解.
所以函数 f （ x ）＝4 x ＋5不存在零点.
（4） f （ x ）＝log3（ x ＋1）.
解： 令log3（ x ＋1）＝0，解得 x ＝0，
所以函数 f （ x ）＝log3（ x ＋1）的零点为0.
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11. 若函数 f （ x ）在定义域{ x ｜ x ∈R且 x ≠0}上是偶函数，且在
（0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0，则函数 f （ x ）的零点
（ ）
A. 只有一个 B. 只有两个
C. 至少有两个 D. 无法判断
解析： 因为 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减， f （2）＝0，
所以 f （ x ）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.又 f （ x ）是偶
函数，所以 f （ x ）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.故函
数 f （ x ）只有两个零点－2和2.
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12. （多选）已知定义域和值域均为[－ a ， a ]（ a ＞0）的函数 y ＝ f
（ x ）和 y ＝ g （ x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 方程 f [ g （ x ）]＝0有且仅有三个解
B. 方程 g [ f （ x ）]＝0有且仅有三个解
C. 方程 f [ f （ x ）]＝0有且仅有九个解
D. 方程 g [ g （ x ）]＝0有且仅有一个解
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解析： 设 f （ x ）的零点为 x1， x2， x3，且 x1＜ x2＜ x3.由 f [ g
（ x ）]＝0，得 g （ x ）＝ x1或 g （ x ）＝ x2或 g （ x ）＝ x3.由 g
（ x ）的图象可知满足条件的 x 的值有三个.故方程 f [ g （ x ）]＝0
有且仅有三个解，故A正确；同理， f [ f （ x ）]＝0最多有九个
解，故C错误；因为 g （ x ）＝0有一个解，又 g （ x ）每个对应的
值只有一个相应的解，故 g [ g （ x ）]＝0有且仅有一个解，而 g [ f
（ x ）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确.
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13. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x ＋2， h （ x ）＝log3 x
＋ x 的零点依次为 a ， b ， c ，则 a ， b ， c 的大小关系是
.（用“＜”连接）
解析：画出函数 y ＝3 x ， y ＝log3 x ， y ＝－
x ， y ＝－2的图象，如图所示，观察图象可
知，函数 f （ x ）＝3 x ＋ x ， g （ x ）＝log3 x
＋2， h （ x ）＝log3 x ＋ x 的零点依次是点
A ， B ， C 的横坐标，由图象可知 a ＜ b ＜
c .
a ＜ b ＜
c
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14. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的零点是－1和2，判断函数 g （ x ）
＝ ax3＋ bx ＋4的零点所在的大致区间.
解：∵－1和2是函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 的零点，
∴－1和2是 x2＋ ax ＋ b ＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－ a ，－1×2＝ b ，即 a ＝－1， b ＝－2.
∴ g （ x ）＝－ x3－2 x ＋4.
∵ g （1）＝1， g （2）＝－8， g （1） g （2）＜0，
∴ g （ x ）在区间（1，2）内有零点.
又∵ g （ x ）在R上是单调函数，
∴ g （ x ）只有一个零点.
综上可知，函数 g （ x ）的零点所在的大致区间为（1，2）.
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15. 已知函数 f （ x ）＝2 a ·4 x －2 x －1.
（1）当 a ＝1时，求函数 f （ x ）的零点；
解： 当 a ＝1时， f （ x ）＝2·4 x －2 x －1.
令 f （ x ）＝0，即2·（2 x ）2－2 x －1＝0，
解得2 x ＝1或2 x ＝－ （舍去）.∴ x ＝0，
∴函数 f （ x ）的零点为0.
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（2）若 f （ x ）有零点，求 a 的取值范围.
解： 若 f （ x ）有零点，则方程2 a ·4 x －2 x －1＝0有
解，于是2 a ＝ ＝（ ） x ＋（ ） x ，
令（ ） x ＝ t ，则 g （ t ）＝ t ＋ t2＝（ t ＋ ）2－ .
∵ t ＞0，∴ g （ t ）在（0，＋∞）上单调递增，其值域为
（0，＋∞），
∴2 a ＞0，∴ a ＞0，即 a 的取值范围是（0，＋∞）.
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谢 谢 观 看！
