8.1.2 用二分法求方程的近似解
1.下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
2.用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（ ）
A.（－2，－1） B.（－1，0）
C.（0，1） D.（1，2）
3.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，若精确到0.01，则下列有根区间正确的是（ ）
A.（0.835，0.846）
B.（1.478，1.501）
C.（3.487 5，3.490 3）
D.（10.325，10.436）
4.[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
5.（多选）在用二分法求函数f（x）零点近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A.[1，4] B.[－2，1]
C.[1，2.5] D.[－0.5，1]
6.（多选）函数f（x）＝lox＋x－4的零点所在的区间可以为（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，4） D.（4，8）
7.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间（2，4）上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是 .
8.求函数f（x）＝x3－x－1在区间（1，1.5）内的一个零点（精确到0.1），用“二分法”逐次计算列表如下：
端（中）点的值 中点函数值符号 零点所在区间
（1，1.5）
1.25 f（1.25）＜0 （1.25，1.5）
1.375 f（1.375）＞0 （1.25，1.375）
1.312 5 f（1.312 5）＜0 （1.312 5，1.375）
1.343 75 f（1.343 75）＞0 （1.312 5，1.343 75）
则函数零点的近似值为 .
9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币.
10.已知函数f（x）＝3x＋在（－1，＋∞）上单调递增，用二分法求方程f（x）＝0的正根（精确到0.1）.
11.若函数f（x）的零点与函数g（x）＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）＝（ ）
A.4x－1 B.log3（2－x）
C.3x－1 D.2x－3
12.已知定义在区间[a，b]上的增函数f（x），在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，［a，］，［a＋，］，又f（）＝0，则函数f（x）的零点为（ ）
A.－ B.－
C.－ D.－
13.已知y＝x（x－1）（x＋1）的图象如图所示，今考虑f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01，则方程f（x）＝0：
①有三个实根；②当x＜－1时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根.
正确的有 .（填序号）
14.已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0，1]内有两个实根.
15.判断方程2x3－6x2＋3＝0是否有解？如果有解，有几个解，且全部解的和为多少（精确到0.01）？
8.1.2 用二分法求方程的近似解
1.D 根据函数零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
2.A f（－2）f（－1）＝－12＜0，所以可以取的初始区间是（－2，－1）.故选A.
3.C A选项，0.835精确到0.01的近似值为0.84，0.846精确到0.01的近似值为0.85，故A错误；B选项，1.478精确到0.01的近似值为1.48，1.501精确到0.01的近似值为1.50，故B错误；C选项，3.487 5精确到0.01的近似值为3.49，3.490 3精确到0.01的近似值为3.49，故C正确；D选项，10.325精确到0.01的近似值为10.33，10.436精确到0.01的近似值为10.44，故D错误.故选C.
4.C 令f（x）＝ln x＋3x－15.当x＝4时，f（4）＝ln 4＋3×4－15＜0，当x＝5时，f（5）＝ln 5＋3×5－15＞0，即f（4）f（5）＜0，∴f（x）在（4，5）上有零点即方程ln x＋3x－15＝0有根.∴[x0]＝4.故选C.
5.CD 因第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，故选C、D.
6.AD 设y1＝lox，y2＝4－x，则f（x）的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图，由图知，y1与y2在区间（0，1）内有一个交点，又当x＝4时，f（4）＝－2＜0，当x＝8时，f（8）＝1＞0，所以在（4，8）内两曲线又有一个交点.故函数f（x）的两零点所在的区间为（0，1），（4，8）.
7.（2，3） 解析：设函数f（x）＝x3－2x－5，∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝16＞0，f（4）＝51＞0，∴下一个有根区间是（2，3）.
8.1.3 解析：由表可知，1.312 5和1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3，∴函数零点的近似值为1.3.
9.3 解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币.
10.解：由于函数f（x）＝3x＋在（－1，＋∞）上单调递增，故在（0，＋∞）上也单调递增，
因此f（x）＝0的正根最多有一个.
因为f（0）＝－1＜0，f（1）＝＞0，
所以方程的正根在（0，1）内，取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点值 中点函数近似值
（0，1） 0.5 0.732
（0，0.5） 0.25 －0.084
（0.25，0.5） 0.375 0.328
（0.25，0.375） 0.312 5 0.124
（0.25，0.312 5）
∵0.25与0.312 5精确到0.1的近似值都为0.3，∴f（x）＝0的正根约为0.3.
11.A 对A，f（x）＝4x－1的零点为；对B，f（x）＝log3（2－x）的零点为1；对C，f（x）＝3x－1的零点为0；对D，f（x）＝2x－3的零点为；g（0）＝40－2＝－1＜0，g（）＝＋2×－2＝1＞0，g（0）g（）＜0，故g（x）零点在（0，）之间，再用二分法，取x＝，g（）＝＋2×－2＝－＜0，g（）g（）＜0，故g（x）的零点x∈（，），由题f（x），g（x）的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有f（x）＝4x－1的零点符合.故选A.
12.C 由题意得，f（a）＜0，f（b）＞0，又a＋＞a恒成立，则解得∵f（）＝0，∴f（x）的零点为＝－.故选C.
13.①② 解析：由y＝x（x－1）（x＋1）的图象可知，f（x）＝x（x－1）（x＋1）＋0.01与x轴有三个交点，对应f（x）＝0有三个实根，①正确；∵f（－2）＝（－2）×（－3）×（－1）＋0.01＝－5.99＜0，f（－1）＝0.01＞0，即f（－2）f（－1）＜0，∴在（－2，－1）内有一个实根，结合图象（图略）可知，方程在（－∞，－1）上恰有一个实根，②正确；又∵f（0）＝0.01＞0，结合图象可知f（x）＝0在（－1，0）上没有实数根，③不正确；又∵f（0.5）＝0.5×（－0.5）×1.5＋0.01＝－0.365＜0，f（1）＝0.01＞0，即f（0.5）f（1）＜0，∴f（x）＝0在（0.5，1）上必有一实根，且f（0）f（0.5）＜0，∴f（x）＝0在（0，0.5）上也有一个实根.∴f（x）＝0在（0，1）上有两个实根，④不正确；由f（1）＞0结合图象知，f（x）＝0在（1，＋∞）上没有实根，⑤不正确.
14.证明：∵f（1）＞0，∴f（1）＝3a＋2b＋c＞0，
即3（a＋b＋c）－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0，
∴－b－c＞c，即a＞c.
∵f（0）＞0，∴f（0）＝c＞0，∴a＞0.
取区间[0，1]的中点，
则f（）＝a＋b＋c＝a＋（－a）＝－a＜0.
∵f（0）＞0，f（1）＞0，
∴函数f（x）在区间和上各有一个零点.
又f（x）为二次函数，最多有两个零点，
∴f（x）＝0在[0，1]内有两个实根.
15.解：设函数f（x）＝2x3－6x2＋3.
∵f（－1）＝－5＜0，f（0）＝3＞0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝－5＜0，f（3）＝3＞0，且函数f（x）＝2x3－6x2＋3的图象是一条连续的曲线，
∴函数f（x）＝2x3－6x2＋3在区间（－1，0），（0，1），（2，3）上分别有一个零点，
∴方程2x3－6x2＋3＝0有3个实数解.
∵f（－1）f（0）＜0，∴函数f（x）在区间（－1，0）内有一个零点x0.
取区间（－1，0）的中点x1＝－0.5，用计算器计算得f（－0.5）＝1.25＞0.
∵f（－1）f（－0.5）＜0，∴x0∈（－1，－0.5）.
再取（－1，－0.5）的中点x2＝－0.75，用计算器计算得f（－0.75）＝－1.218 75＜0，
∵f（－0.75）f（－0.5）＜0，
∴x0∈（－0.75，－0.5）.
同理可得，x0∈（－0.75，－0.625），
x0∈（－0.687 5，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.640 625），
x0∈（－0.648 437 5，－0.640 625），
x0∈（－0.644 531 25，－0.640 625）.
∵－0.644 531 25和－0.640 625精确到0.01的近似值都是－0.64，
∴方程2x3－6x2＋3＝0在区间（－1，0）内的近似解为－0.64.
同理，可求得方程2x3－6x2＋3＝0在区间（0，1）和（2，3）内的近似解分别为0.83，2.81.
∴方程2x3－6x2＋3＝0的3个解的和为－0.64＋0.83＋2.81＝3.
2 / 28.1.2 用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图 数学抽象
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学运算、逻辑推理
某电视娱乐节目中，有一种有趣的“猜数”游戏：竞猜者如在规定的时间内猜出某种商品的价格（或重量），就可获得该件商品.现有一商品，价格在0～4 000元之间.
【问题】 采取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢？
知识点 二分法
1.二分法的概念
条件 （1）函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上连续不断； （2）在区间端点的函数值满足f（a）f（b）＜0
方法 不断地把函数y＝f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
提醒 用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
2.用二分法求方程的一个近似解的操作流程
在以上操作过程中，如果存在c，使得f（c）＝0，那么c就是方程f（x）＝0的一个精确解.
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ ）
2.（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A.要用二分法，必须先确定零点所在区间
B.函数f（x）＝｜x｜不能用二分法求其零点
C.二分法可求所有函数的近似零点
D.二分法所求出的方程的解都是近似解
3.用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈ ，第二次应计算 .
题型一 二分法概念的理解
【例1】 （1）已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ ）
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
（2）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A.f（x）＝3x－1
B.f（x）＝x2－2x＋1
C.f（x）＝4x
D.f（x）＝ex－2
通性通法
运用二分法求函数零点的适用条件
（1）函数图象在零点附近连续不断；
（2）零点为变号零点，即在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【跟踪训练】
用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是 .
题型二 用二分法求函数的零点
【例2】 已知函数f（x）＝2x3－x2－3x＋1.
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请利用二分法计算f（x）＝0的一个近似解（精确到0.1）.
f（1）＝－1 f（1.5）＝1 f（1.25）＝－0.406 25
f（1.375）≈0.183 59 f（1.312 5）≈－0.138 18 f（1.343 75）≈0.015 81
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）；
（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确到0.1，参考数据：21.5≈2.83，21.25≈2.38，21.125≈2.18，21.187 5≈2.28，21.218 75≈2.33，21.234 375≈2.35）.
题型三 用二分法求方程的近似解
【例3】 用二分法求方程2x＝4－x的近似解（精确到0.1）.
附参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.437 5
2x 2.18 2.38 2.59 2.71
x 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.83 3.08 3.36 3.67
通性通法
用二分法求方程的近似解应明确两点
（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求方程的近似解与求相应函数的零点是等价的.求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解；
（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
【跟踪训练】
求方程lg x＝（）x－1的近似解.（精确到0.1）
1.设f（x）＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（ ）
A.（2，2.25） B.（2.25，2.5）
C.（2.5，2.75） D.（2.75，3）
2.某同学求函数f（x）＝ln x＋2x－5的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f（2）≈－0.307 f（3）≈2.099 f（2.5）≈0.916
f（2.25）≈0.311 f（2.125）≈0.004 f（2.062 5）≈－0.151
则方程ln x＋2x－5＝0的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A.2.5 B.2.3
C.2.1 D.2.2
3.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 .
8.1.2 用二分法求方程的近似解
【基础知识·重落实】
知识点
2.零点
自我诊断
1.C 只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图象连续不断，可以利用二分法求解.
2.AB A中，要用二分法，必须先确定零点所在区间，故A正确；B中，对于函数f（x）＝｜x｜，不存在区间（a，b），使f（a）f（b）＜0，所以不能用二分法求其零点，故B正确；C中，当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点，故C错误；D中，二分法求出的解也有精确解，如f（x）＝x－1在（0，2）上用二分法求解时，中点为x＝1，而f（1）＝0，故D错误.故选A、B.
3.（0，0.5） f（0.25） 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由f（0）＜0，f（0.5）＞0知x0∈（0，0.5）.再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）ACD 解析：（1）图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
（2）f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，f（1）＝0，当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选A、C、D.
跟踪训练
解析：令f（x）＝ln x－2＋x，∵f（1）＝－1＜0，f（2）＝ln 2＞0，f＝ln －＜0，∴下一个含根的区间是.
【例2】 解：（1）证明：∵f（x）＝2x3－x2－3x＋1，
∴f（1）＝－1＜0，f（2）＝7＞0，∴f（1）·f（2）＝－7＜0，且f（x）＝2x3－x2－3x＋1在（1，2）内连续，
∴f（x）在区间（1，2）上存在零点.
（2）由（1）知，f（x）＝2x3－x2－3x＋1在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）＝－1，f（1.5）＝1，
∴f（1）f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上.
∵f（1.25）＜0，∴f（1.25）f（1.5）＜0，
∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上.
∵f（1.375）＞0，
∴f（1.25）f（1.375）＜0，
∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上.
∵f（1.312 5）＜0，∴f（1.312 5）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.312 5，1.375）上.
∵f（1.343 75）＞0，∴f（1.312 5）·f（1.343 75）＜0，∴f（x）的零点在（1.312 5，1.343 75）上.
∵1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3，
∴f（x）＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
跟踪训练
解：易知f（1）＝－1＜0，f（2）＝4＞0，函数f（x）在[1，2]上单调递增，所以函数f（x）在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈（1，2）.然后用二分法求解，如下表所示.
（a，b） （a，b）的中点 f（a）的符号 f（b）的符号 f（）的符号
（1，2） 1.5 f（1）＜0 f（2）＞0 f（1.5）＞0
（1，1.5） 1.25 f（1）＜0 f（1.5）＞0 f（1.25）＞0
（1，1.25） 1.125 f（1）＜0 f（1.25）＞0 f（1.125）＜0
（1.125，1.25） 1.187 5 f（1.125）＜0 f（1.25）＞0 f（1.187 5）＜0
（1.187 5，1.25） 1.218 75 f（1.875）＜0 f（1.25）＞0 f（1.218 75）＜0
（1.218 75，1.25） 1.234 375 f（1.218 75）＜0 f（1.25）＞0 f（1.234 375）＞0
∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都是1.2，∴f（x）＝0的一个精确到0.1的近似解是1.2.
【例3】 解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝4－x的图象，如图所示.
方程2x＝4－x的解就是两函数图象交点的横坐标.
由图象可得，方程2x＝4－x有唯一解，记为x0，并且这个解在区间（1，2）上.
设f（x）＝2x＋x－4，则f（1）＝2＋1－4＜0，f（2）＝22＋2－4＞0.
区间 区间中点值xn f（xn）的值及符号
（1，2） x1＝1.5 f（x1）＝0.33＞0
（1，1.5） x2＝1.25 f（x2）＝－0.37＜0
（1.25，1.5） x3＝1.375 f（x3）＝－0.035＜0
（1.375，1.5） x4＝1.437 5 f（x4）＝0.147 5＞0
∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，
∴方程2x＝4－x的近似解为1.4.
跟踪训练
解：如图所示，
由函数y＝lg x和y＝（）x－1的图象可知，方程lg x＝（）x－1有唯一实数解，且在区间（0，1）内.
设f（x）＝lg x－（）x＋1，则f（1）＝＞0，用计算器计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值（近似值）
（0，1） 0.5 －0.008 1
（0.5，1） 0.75 0.280 5
（0.5，0.75） 0.625 0.147 5
（0.5，0.625） 0.562 5 0.073 0
（0.5，0.562 5） 0.531 25 0.033 3
∵0.5与0.531 25精确到0.1的近似值都是0.5，∴方程的近似解为0.5.
随堂检测
1.C 因为f（2.5）＜0，f（2.75）＞0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C.
2.C 由表格可知，因为2.125和2.062 5精确到0.1的近似值都是2.1，所以方程的近似解为2.1.
3.a2＝4b 解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b图象与x轴相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
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8.1.2
用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框
图 数学抽象
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解 数学运算
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学运算、逻
辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某电视娱乐节目中，有一种有趣的“猜数”游戏：竞猜者如在规
定的时间内猜出某种商品的价格（或重量），就可获得该件商品.现
有一商品，价格在0～4 000元之间.
【问题】 采取怎样的策略才能在较短的时间内说出正确的答案呢？
知识点 二分法
1. 二分法的概念
条
件 （1）函数 y ＝ f （ x ）的图象在区间[ a ， b ]上连续不断；
（2）在区间端点的函数值满足 f （ a ） f （ b ）＜0
方
法 不断地把函数 y ＝ f （ x ）的零点所在的区间一分为二，使区间的
两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
提醒 用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号
相反，比如 y ＝ x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
2. 用二分法求方程的一个近似解的操作流程
在以上操作过程中，如果存在 c ，使得 f （ c ）＝0，那么 c 就是方
程 f （ x ）＝0的一个精确解.
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
1. 下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是
（ ）
解析： 只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图
象连续不断，可以利用二分法求解.
2. （多选）下列说法中，正确的是（ ）
A. 要用二分法，必须先确定零点所在区间
B. 函数 f （ x ）＝｜ x ｜不能用二分法求其零点
C. 二分法可求所有函数的近似零点
D. 二分法所求出的方程的解都是近似解
解析： A中，要用二分法，必须先确定零点所在区间，故A正
确；B中，对于函数 f （ x ）＝｜ x ｜，不存在区间（ a ， b ），使 f
（ a ） f （ b ）＜0，所以不能用二分法求其零点，故B正确；C中，
当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零
点，故C错误；D中，二分法求出的解也有精确解，如 f （ x ）＝ x
－1在（0，2）上用二分法求解时，中点为 x ＝1，而 f （1）＝0，
故D错误.故选A、B.
3. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得
f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈ ，
第二次应计算 .
解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由 f （0）＜0， f
（0.5）＞0知 x0∈（0，0.5）.再计算0与0.5的中点0.25的函数
值，以判断 x0的更准确位置.
（0，0.5）
f （0.25）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二分法概念的理解
【例1】 （1）已知函数 f （ x ）的图象如图所示，其中零点的个
数与可以用二分法求解的个数分别为（ D ）
A. 4，4 B. 3，4
C. 5，4 D. 4，3
D
解析：图象与 x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异
号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
（2）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有
（ ACD ）
A. f （ x ）＝3 x －1 B. f （ x ）＝ x2－2 x ＋1
C. f （ x ）＝4 x D. f （ x ）＝e x －2
解析： f （ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2， f （1）＝0，当 x
＜1时， f （ x ）＞0；当 x ＞1时， f （ x ）＞0，在零点两侧函
数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两
侧的函数值异号.故选A、C、D.
ACD
通性通法
运用二分法求函数零点的适用条件
（1）函数图象在零点附近连续不断；
（2）零点为变号零点，即在该零点左右函数值异号.
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.
【跟踪训练】
用二分法求方程ln x －2＋ x ＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区
间中点 c ＝ ，则下一个含根的区间是 .
解析：令 f （ x ）＝ln x －2＋ x ，∵ f （1）＝－1＜0， f （2）＝ln 2＞
0， f ＝ln － ＜0，∴下一个含根的区间是 .
题型二 用二分法求函数的零点
【例2】 已知函数 f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1.
（1）求证： f （ x ）在区间（1，2）上存在零点；
解：证明：∵ f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1，
∴ f （1）＝－1＜0， f （2）＝7＞0，∴ f （1） f （2）＝－7＜
0，且 f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1在（1，2）内连续，
∴ f （ x ）在区间（1，2）上存在零点.
（2）若 f （ x ）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请利
用二分法计算 f （ x ）＝0的一个近似解（精确到0.1）.
f （1）＝－1 f （1.5）＝1 f （1.25）＝－0.406
25
f （1.375）≈0.183 59 f （1.312 5）≈－
0.138 18 f （1.343 75）≈0.015
81
解：由（1）知， f （ x ）＝2 x3－ x2－3 x ＋1在（1，2）内存
在零点，
由表知， f （1）＝－1， f （1.5）＝1，
∴ f （1） f （1.5）＜0，∴ f （ x ）的零点在（1，1.5）上.
∵ f （1.25）＜0，∴ f （1.25） f （1.5）＜0，
∴ f （ x ）的零点在（1.25，1.5）上.
∵ f （1.375）＞0，∴ f （1.25） f （1.375）＜0，
∴ f （ x ）的零点在（1.25，1.375）上.
∵ f （1.312 5）＜0，∴ f （1.312 5） f （1.375）＜0，∴ f
（ x ）的零点在（1.312 5，1.375）上.
∵ f （1.343 75）＞0，∴ f （1.312 5） f （1.343 75）＜0，
∴ f （ x ）的零点在（1.312 5，1.343 75）上.
∵1.312 5与1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3，
∴ f （ x ）＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3.
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[ m ， n ]（一般采用估计值
的方法完成）；
（2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ）
还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端
点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
证明函数 f （ x ）＝2 x ＋3 x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这
个零点（精确到0.1，参考数据：21.5≈2.83，21.25≈2.38，
21.125≈2.18，21.187 5≈2.28，21.218 75≈2.33，21.234 375≈2.35）.
解：易知 f （1）＝－1＜0， f （2）＝4＞0，函数 f （ x ）在[1，2]上单
调递增，所以函数 f （ x ）在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为 x0，
则 x0∈（1，2）.然后用二分法求解，如下表所示.
（ a ， b ） （ a ， b ）的
中点 f （ a ）的符号 f （ b ）的符号
（1，2） 1.5 f （1）＜0 f （2）＞0 f （1.5）＞0
（1，1.5） 1.25 f （1）＜0 f （1.5）＞0 f （1.25）＞0
（1，1.25） 1.125 f （1）＜0 f （1.25）＞
0 f （1.125）
＜0
（1.125，
1.25） 1.187 5 f （1.125）
＜0 f （1.25）＞
0 f （1.187
5）＜0
（1.187 5，
1.25） 1.218 75 f （1.875）
＜0 f （1.25）＞
0 f （1.218
75）＜0
（1.218
75，1.25） 1.234 375 f （1.218
75）＜0 f （1.25）＞
0 f （1.234
375）＞0
∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都是1.2，∴ f （ x ）＝0的
一个精确到0.1的近似解是1.2.
题型三 用二分法求方程的近似解
【例3】 用二分法求方程2 x ＝4－ x 的近似解（精确到0.1）.
附参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.437 5
2 x 2.18 2.38 2.59 2.71
x 1.5 1.625 1.75 1.875
2 x 2.83 3.08 3.36 3.67
解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y ＝2
x ， y ＝4－ x 的图象，如图所示.
方程2 x ＝4－ x 的解就是两函数图象交点的横坐
标.
由图象可得，方程2 x ＝4－ x 有唯一解，记为 x0，
并且这个解在区间（1，2）上.
设 f （ x ）＝2 x ＋ x －4，则 f （1）＝2＋1－4＜
0， f （2）＝22＋2－4＞0.
区间 区间中点值 xn f （ xn ）的值及符号
（1，2） x1＝1.5 f （ x1）＝0.33＞0
（1，1.5） x2＝1.25 f （ x2）＝－0.37＜0
（1.25，1.5） x3＝1.375 f （ x3）＝－0.035＜0
（1.375，1.5） x4＝1.437 5 f （ x4）＝0.147 5＞0
∵1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，
∴方程2 x ＝4－ x 的近似解为1.4.
通性通法
用二分法求方程的近似解应明确两点
（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求方程的近似解与求
相应函数的零点是等价的.求方程 f （ x ）＝0的近似解，即按照
用二分法求函数零点近似值的步骤求解；
（2）对于求形如 f （ x ）＝ g （ x ）的方程的近似解，可以通过移项转
化成求形如 F （ x ）＝ f （ x ）－ g （ x ）＝0的方程的近似解，然
后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.
【跟踪训练】
求方程lg x ＝（ ） x －1的近似解.（精确到0.1）
解：如图所示，
由函数 y ＝lg x 和 y ＝（ ） x －1的图象可知，方程lg x ＝（ ） x －1有
唯一实数解，且在区间（0，1）内.
设 f （ x ）＝lg x －（ ） x ＋1，则 f （1）＝ ＞0，用计算器计算，列
表如下：
区间 中点的值 中点函数值（近似值）
（0，1） 0.5 －0.008 1
（0.5，1） 0.75 0.280 5
（0.5，0.75） 0.625 0.147 5
（0.5，0.625） 0.562 5 0.073 0
（0.5，0.562 5） 0.531 25 0.033 3
∵0.5与0.531 25精确到0.1的近似值都是0.5，∴方程的近似解为0.5.
1. 设 f （ x ）＝lg x ＋ x －3，用二分法求方程lg x ＋ x －3＝0在（2，
3）内近似解的过程中得 f （2.25）＜0， f （2.75）＞0， f （2.5）
＜0， f （3）＞0，则方程的根落在区间（ ）
A. （2，2.25） B. （2.25，2.5）
C. （2.5，2.75） D. （2.75，3）
解析： 因为 f （2.5）＜0， f （2.75）＞0，由函数零点存在定
理知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C.
2. 某同学求函数 f （ x ）＝ln x ＋2 x －5的零点时，用计算器算得部分
函数值如表所示：
f （2）≈－0.307 f （3）≈2.099 f （2.5）≈0.916
f （2.25）≈0.311 f （2.125）≈0.004 f （2.062 5）≈－
0.151
则方程ln x ＋2 x －5＝0的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A. 2.5 B. 2.3
C. 2.1 D. 2.2
解析： 由表格可知，因为2.125和2.062 5精确到0.1的近似值都
是2.1，所以方程的近似解为2.1.
3. 函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法求出，则 a ， b
的关系是 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法，
∴函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 图象与 x 轴相切.∴Δ＝ a2－4 b ＝0.∴ a2
＝4 b .
a2＝4 b
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
解析： 根据函数零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，
函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
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2. 用二分法求函数 f （ x ）＝ x3＋5的零点可以取的初始区间是
（ ）
A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析： f （－2） f （－1）＝－12＜0，所以可以取的初始区间
是（－2，－1）.故选A.
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3. 用二分法求函数 f （ x ）在（ a ， b ）内的唯一零点时，若精确到
0.01，则下列有根区间正确的是（ ）
A. （0.835，0.846） B. （1.478，1.501）
C. （3.487 5，3.490 3） D. （10.325，10.436）
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解析： A选项，0.835精确到0.01的近似值为0.84，0.846精确
到0.01的近似值为0.85，故A错误；B选项，1.478精确到0.01的近
似值为1.48，1.501精确到0.01的近似值为1.50，故B错误；C选
项，3.487 5精确到0.01的近似值为3.49，3.490 3精确到0.01的近
似值为3.49，故C正确；D选项，10.325精确到0.01的近似值为
10.33，10.436精确到0.01的近似值为10.44，故D错误.故选C.
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4. [ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知
x0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，则[ x0]＝（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析： 令 f （ x ）＝ln x ＋3 x －15.当 x ＝4时， f （4）＝ln 4＋
3×4－15＜0，当 x ＝5时， f （5）＝ln 5＋3×5－15＞0，即 f （4）
f （5）＜0，∴ f （ x ）在（4，5）上有零点即方程ln x ＋3 x －15＝0
有根.∴[ x0]＝4.故选C.
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5. （多选）在用二分法求函数 f （ x ）零点近似值时，第一次取的区
间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A. [1，4] B. [－2，1]
C. [1，2.5] D. [－0.5，1]
解析：CD 因第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的
区间可能是[－2，1]，[1，4]；第三次所取的区间可能为[－2，－
0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]，故选C、D.
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6. （多选）函数 f （ x ）＝lo x ＋ x －4的零点所在的区间可以为
（ ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，4） D. （4，8）
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解析： 设 y1＝lo x ， y2＝4－ x ，则 f
（ x ）的零点个数即 y1与 y2的交点个数，作
出两函数图象，如图，由图知， y1与 y2在区
间（0，1）内有一个交点，又当 x ＝4时， f
（4）＝－2＜0，当 x ＝8时， f （8）＝1＞0，所以在（4，8）内两曲线又有一个交点.故函数 f （ x ）的两零点所在的区间为（0，1），（4，8）.
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7. 用二分法求方程 x3－2 x －5＝0在区间（2，4）上的实数根时，取
中点 x1＝3，则下一个有根区间是 .
解析：设函数 f （ x ）＝ x3－2 x －5，∵ f （2）＝－1＜0， f （3）＝
16＞0， f （4）＝51＞0，∴下一个有根区间是（2，3）.
（2，3）
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8. 求函数 f （ x ）＝ x3－ x －1在区间（1，1.5）内的一个零点（精确
到0.1），用“二分法”逐次计算列表如下：
端（中）点的值 中点函数值符号 零点所在区间
（1，1.5）
1.25 f （1.25）＜0 （1.25，1.5）
1.375 f （1.375）＞0 （1.25，1.375）
1.312 5 f （1.312 5）＜0 （1.312 5，1.375）
1.343 75 f （1.343 75）＞0 （1.312 5，1.34375）
则函数零点的近似值为 .
解析：由表可知，1.312 5和1.343 75精确到0.1的近似值都是1.3，
∴函数零点的近似值为1.3.
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9. 在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小
一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次
就可以发现假币.
解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚
硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里
面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚
即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最
多称3次就可以发现这枚假币.
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10. 已知函数 f （ x ）＝3 x ＋ 在（－1，＋∞）上单调递增，用二分
法求方程 f （ x ）＝0的正根（精确到0.1）.
解：由于函数 f （ x ）＝3 x ＋ 在（－1，＋∞）上单调递增，故
在（0，＋∞）上也单调递增，
因此 f （ x ）＝0的正根最多有一个.
因为 f （0）＝－1＜0， f （1）＝ ＞0，
所以方程的正根在（0，1）内，取（0，1）为初始区间，用二分
法逐次计算，列出下表：
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区间 中点值 中点函数近似值
（0，1） 0.5 0.732
（0，0.5） 0.25 －0.084
（0.25，0.5） 0.375 0.328
（0.25，0.375） 0.312
5 0.124
（0.25，0.312 5）
∵0.25与0.312 5精确到0.1的近似值都为0.3，∴ f （ x ）＝0的正
根约为0.3.
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11. 若函数 f （ x ）的零点与函数 g （ x ）＝4 x ＋2 x －2的零点之差的绝
对值不超过0.25，则 f （ x ）＝（ ）
A. 4 x －1 B. log3（2－ x ）
C. 3 x －1 D. 2 x －3
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解析： 对A， f （ x ）＝4 x －1的零点为 ；对B， f （ x ）＝log3
（2－ x ）的零点为1；对C， f （ x ）＝3 x －1的零点为0；对D， f
（ x ）＝2 x －3的零点为 ； g （0）＝40－2＝－1＜0， g （ ）＝
＋2× －2＝1＞0， g （0） g （ ）＜0，故 g （ x ）零点在
（0， ）之间，再用二分法，取 x ＝ ， g （ ）＝ ＋2× －2
＝ － ＜0， g （ ） g （ ）＜0，故 g （ x ）的零点 x ∈（ ，
），由题 f （ x ）， g （ x ）的零点之差的绝对值不超过0.25，则
只有 f （ x ）＝4 x －1的零点符合.故选A.
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12. 已知定义在区间[ a ， b ]上的增函数 f （ x ），在用二分法寻找零
点的过程中，依次确定了零点所在区间为[ a ， b ]，［ a ，
］，［ a ＋ ， ］，又 f （ ）＝0，则函数 f （ x ）的
零点为（ ）
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解析： 由题意得， f （ a ）＜0， f （ b ）＞0，又 a ＋ ＞ a 恒成
立，则解得∵ f （ ）＝0，
∴ f （ x ）的零点为 ＝－ .故选C.
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13. 已知 y ＝ x （ x －1）（ x ＋1）的图象如图所示，今考虑 f （ x ）＝
x （ x －1）（ x ＋1）＋0.01，则方程 f （ x ）＝0：
①有三个实根；
②当 x ＜－1时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；
③当－1＜ x ＜0时，恰有一实根；
④当0＜ x ＜1时，恰有一实根；
⑤当 x ＞1时，恰有一实根.
正确的有 .（填序号）
①②
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解析：由 y ＝ x （ x －1）（ x ＋1）的图象可知， f （ x ）＝ x （ x －
1）（ x ＋1）＋0.01与 x 轴有三个交点，对应 f （ x ）＝0有三个实
根，①正确；∵ f （－2）＝（－2）×（－3）×（－1）＋0.01＝
－5.99＜0， f （－1）＝0.01＞0，即 f （－2） f （－1）＜0，
∴在（－2，－1）内有一个实根，结合图象（图略）可知，方程
在（－∞，－1）上恰有一个实根，②正确；又∵ f （0）＝0.01＞
0，结合图象可知 f （ x ）＝0在（－1，0）上没有实数根，③不正
确；又∵ f （0.5）＝0.5×（－0.5）×1.5＋0.01＝－0.365＜0， f （1）＝0.01＞0，即 f （0.5） f （1）＜0，∴ f （ x ）＝0在（0.5，1）上必有一实根，且 f （0） f （0.5）＜0，∴ f （ x ）＝0在（0，0.5）上也有一个实根.∴ f （ x ）＝0在（0，1）上有两个实根，④不正确；由 f （1）＞0结合图象知， f （ x ）＝0在（1，＋∞）上没有实根，⑤不正确.
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14. 已知函数 f （ x ）＝3 ax2＋2 bx ＋ c ， a ＋ b ＋ c ＝0， f （0）＞0， f
（1）＞0，证明 a ＞0，并利用二分法证明方程 f （ x ）＝0在区间
[0，1]内有两个实根.
证明：∵ f （1）＞0，∴ f （1）＝3 a ＋2 b ＋ c ＞0，
即3（ a ＋ b ＋ c ）－ b －2 c ＞0.
∵ a ＋ b ＋ c ＝0，∴ a ＝－ b － c ，－ b －2 c ＞0，
∴－ b － c ＞ c ，即 a ＞ c .
∵ f （0）＞0，∴ f （0）＝ c ＞0，∴ a ＞0.
取区间[0，1]的中点 ，
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则 f （ ）＝ a ＋ b ＋ c ＝ a ＋（－ a ）＝－ a ＜0.
∵ f （0）＞0， f （1）＞0，
∴函数 f （ x ）在区间 和 上各有一个零点.
又 f （ x ）为二次函数，最多有两个零点，
∴ f （ x ）＝0在[0，1]内有两个实根.
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15. 判断方程2 x3－6 x2＋3＝0是否有解？如果有解，有几个解，且全
部解的和为多少（精确到0.01）？
解：设函数 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3.
∵ f （－1）＝－5＜0， f （0）＝3＞0， f （1）＝－1＜0， f （2）
＝－5＜0， f （3）＝3＞0，且函数 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3的图象
是一条连续的曲线，
∴函数 f （ x ）＝2 x3－6 x2＋3在区间（－1，0），（0，1），
（2，3）上分别有一个零点，
∴方程2 x3－6 x2＋3＝0有3个实数解.
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∵ f （－1） f （0）＜0，∴函数 f （ x ）在区间（－1，0）内有一
个零点 x0.
取区间（－1，0）的中点 x1＝－0.5，用计算器计算得 f （－0.5）
＝1.25＞0.
∵ f （－1） f （－0.5）＜0，∴ x0∈（－1，－0.5）.
再取（－1，－0.5）的中点 x2＝－0.75，用计算器计算得 f （－
0.75）＝－1.218 75＜0，
∵ f （－0.75） f （－0.5）＜0，
∴ x0∈（－0.75，－0.5）.
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同理可得， x0∈（－0.75，－0.625），
x0∈（－0.687 5，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.625），
x0∈（－0.656 25，－0.640 625），
x0∈（－0.648 437 5，－0.640 625），
x0∈（－0.644 531 25，－0.640 625）.
∵－0.644 531 25和－0.640 625精确到0.01的近似值都是－
0.64，
∴方程2 x3－6 x2＋3＝0在区间（－1，0）内的近似解为－0.64.
同理，可求得方程2 x3－6 x2＋3＝0在区间（0，1）和（2，3）内
的近似解分别为0.83，2.81.
∴方程2 x3－6 x2＋3＝0的3个解的和为－0.64＋0.83＋2.81＝3.
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