培优课 函数零点的综合问题
1.已知2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（ ）
A.－3 B.－4 C.4 D.3
2.若函数f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m的取值范围为（ ）
A.0＜m＜1 B.m＞1 C.m＜0 D.m＜1
3.二次函数f（x）＝x2＋（m－3）x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜2＜x2，如图所示，则m的取值范围是（ ）
A.m＞0 B.m＞
C.m＞5 D.0＜m＜
4.已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－m2有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A.（0，1） B.{－1，0，1} C.[0，1] D.{0，1}
5.已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）＝2 024－（x－a）（x－b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（ ）
A.a＞c＞b＞d B.a＞b＞c＞d C.c＞d＞a＞b D.c＞a＞b＞d
6.（多选）已知函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），则下列说法中正确的是（ ）
A.当a＞1时，f（x）有1个零点 B.当a＞1时，f（x）有2个零点
C.当0＜a＜1时，f（x）没有零点 D.当0＜a＜1时，f（x）有1个零点
7.（多选）已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（ ）
A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0
C.f（2）＜0 D.f（3）＜0
8.试写出一个实数a＝ ，使得函数f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点.
9.若函数f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是 .
10.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k有三个零点，则k的取值范围是 .
11.已知函数f（x）＝x2－bx＋3.
（1）若f（0）＝f（4），求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.
12.已知函数f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1].
（1）当m＝－2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
13.若在定义域内存在实数x0使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，则称函数有“漂移点”x0.
（1）请判断函数f（x）＝是否有漂移点？并说明理由；
（2）求证：函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点；
（3）若函数f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数a的取值范围.
培优课 函数零点的综合问题
1.C 因为2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，所以2n＝8，得n＝3，所以f（x）＝x3－8，因为f（m）＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C.
2.D 当m＝0时，则f（x）＝1，此时f（x）无零点，符合题意；当m≠0时，令f（x）＝0，则x＝，故x＝＜0或x＝＞1，解得0＜m＜1或m＜0，综上可知f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m＜1，故选D.
3.D 由题意可得即解得0＜m＜.故选D.
4.B 由y＝f（x）－m2有两个不同的零点，即方程f（x）＝m2有两个不同的解，即函数y＝f（x）与y＝m2的图象有两个不同的交点，画出函数y＝f（x）的图象，如图所示，结合图象可得m2＝1或m2＝0，解m＝±1或m＝0，即m∈{－1，0，1}.故选B.
5.D 由题意设g（x）＝（x－a）（x－b），则f（x）＝2 024－g（x），且g（x）＝0的两个根是a，b.由题意知f（x）＝0的两根是c，d，也就是g（x）＝2 024的两根，画出g（x）（开口向上）及y＝2 024的大致图象（图略），则y＝2 024与g（x）的图象交点的横坐标就是c，d，g（x）的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又a＞b，c＞d，由图得c＞a＞b＞d.
6.BD 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图①，y＝ax与y＝x＋a有2个交点，则f（x）有2个零点；当0＜a＜1时，如图②，y＝ax与y＝x＋a有1个交点，则f（x）有1个零点.
7.CD 函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B错误；由图可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1＜2，x2＝6＞3，此时－＝，所以此时2＜－＜3不成立.故A错误.故选C、D.
8.1（答案不唯一） 解析：不妨取a＝1，则f（x）＝x2＋4x－1，则f（1）＝4，f（－1）＝－4，即得f（1）f（－1）＜0，又f（x）＝x2＋4x－1图象的对称轴为x＝－2，则f（x）在（－1，1）上单调递增，故f（x）＝x2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点.
9.（－12，0） 解析：∵f（x）＝3x2－5x＋a的一个零点在区间（－2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴即解得－12＜a＜0，故a的取值范围为（－12，0）.
10.（－1，1） 解析：令g（x）＝f（x）－k＝0，可得f（x）＝k，作出y＝f（x）的图象，如图.由图可知，当y＝k与y＝f（x）的图象有三个不同的交点时，－1＜k＜1，所以k的取值范围是（－1，1）.
11.解：（1）由f（0）＝f（4）得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f（x）＝x2－4x＋3，令f（x）＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f（x）的零点是1和3.
（2）因为f（x）的零点一个大于1，另一个小于1，如图.
需f（1）＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为（4，＋∞）.
12.解：（1）当m＝－2时，f（x）＝2x－4x＋2，令2x－4x＋2＝0，得2x＝2或2x＝－1舍去，解得x＝1.
∴函数的零点为1.
（2）f（x）＝2x－4x－m＝0 2x－4x＝m，
令g（x）＝2x－4x，
函数f（x）有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g（x）的值域内，
设t＝2x，∵x∈[－1，1]，∴t∈［，2］，
则y＝t－t2＝－（t－）2＋，当t＝时，ymax＝，当t＝2时，ymin＝－2.
∴g（x）的值域为［－2，］.
∴m的取值范围为［－2，］.
13.解：（1）假设函数f（x）＝有“漂移点”x0，则＝＋2，
即＋x0＋1＝0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f（x）＝没有漂移点.
（2）证明：令h（x）＝f（x＋1）－f（x）－f（1）＝（x＋1）2＋3x＋1－（x2＋3x）－4＝2×3x＋2x－3，
所以h（0）＝－1，h（1）＝5.所以h（0）h（1）＜0，
又h（x）在（0，1）上连续，所以h（x）＝0在（0，1）上至少有一个实根x0，
即函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点.
（3）若f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点x0，所以lg ＝lg ＋lg a成立，即＝·a，a＞0，
整理得a＝＝（）2，
由x0＞0，得0＜＜1，则0＜a＜1.
则实数a的取值范围是（0，1）.
1 / 2培优课 函数零点的综合问题
题型一 根据零点情况求参数范围
【例1】 若f（x）＝2x（x－a）－1在（0，＋∞）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，＋∞） B.（－2，＋∞）
C.（0，＋∞） D.（－1，＋∞）
通性通法
已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
【跟踪训练】
1.若关于x的方程lox＝在区间（0，1）内有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（－∞，1）∪（2，＋∞）
D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
2.若函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点，则实数b的取值范围为 .
题型二 一元二次方程的根的分布问题
【例2】 已知关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0.
（1）若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数m的取值范围；
（3）若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围.
通性通法
一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根与系数的关系进行限制.
【跟踪训练】
已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两个实数根，其中一个根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围.
题型三 分段函数的零点问题
【例3】 已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.[－1，0） B.[0，＋∞）
C.[－1，＋∞） D.[1，＋∞）
通性通法
求分段函数的零点的常用方法
（1）对于较简单的分段函数，直接分不同区间解方程，求出零点，并且检验是否满足区间范围；
（2）对于一般的分段函数，首先作出函数图象，然后分析函数在各个区间上的零点情况，利用数形结合思想及分类讨论思想判断零点所在区间，求解零点的个数或参数范围.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝的零点个数为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
2.函数f（x）＝x2－2｜x｜＋a－1有四个不同的零点，则实数a的取值范围为 .
1.函数f（x）＝的所有零点构成的集合为（ ）
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0，1}
2.函数f（x）＝3x－－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－2，7） B.（－1，6）
C.（－1，7） D.（－2，6）
3.（2024·徐州期中）已知函数f（x）＝ax2－2x＋1（x∈R）有两个零点，一个大于1另一个小于1，求实数a的取值范围.
培优课 函数零点的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 D 令2x（x－a）－1＝0，∴a＝x－（）x（x＞0）.令g（x）＝x－（）x，则该函数在（0，＋∞）上为增函数.令h（x）＝a，则g（x）与h（x）在（0，＋∞）上的图象有交点.如图所示，作出简图，结合图象易知a＞－1.故选D.
跟踪训练
1.A ∵函数y＝lox在区间（0，1）上的值域为（0，＋∞），∴＞0，即＜0，解得0＜m＜1.∴实数m的取值范围是（0，1）.故选A.
2.（0，2） 解析：由f（x）＝｜2x－2｜－b＝0，得｜2x－2｜＝b.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝｜2x－2｜与y＝b的图象，如图所示.则当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）＝｜2x－2｜－b有两个零点.
【例2】 解：设f（x）＝x2＋2（m－1）x＋2m＋6.
（1）f（x）的大致图象如图（ⅰ）所示，
∴f（2）＜0，即4＋4（m－1）＋2m＋6＜0，得m＜－1，
∴实数m的取值范围为（－∞，－1）.
（2）f（x）的大致图象如图（ⅱ）所示，
∴
解得－＜m＜－，∴实数m的取值范围为（－，－）.
（3）方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，
①有两个正根，此时如图（ⅲ）所示，
可得
即
∴－3＜m≤－1.
②有一个正根，一个负根，此时如图（ⅳ）所示，可得f（0）＜0，得m＜－3.
③有一个正根，另一根为0，此时如图（ⅴ）所示，可得∴m＝－3.
综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为（－∞，－1].
跟踪训练
解：令f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1.依题意作出f（x）的草图如图，
则
即
解得－＜m＜－.∴实数m的取值范围为（－，－）.
【例3】 C 函数g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f（x）＝－x－a有2个不同的实根，即函数f（x）的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f（x）的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.
跟踪训练
1.B 当x≤0时，令f（x）＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1（舍去）.当x＞0时，令f（x）＝0，即x－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐标系中作出两函数y＝ln x与y＝－x＋2（x＞0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个交点.综上可知，函数f（x）的零点个数为2.
2.（1，2） 解析：由f（x）＝0得a－1＝2｜x｜－x2，因为函数f（x）＝x2－2｜x｜＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2｜x｜－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2｜x｜－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2，所以实数a的取值范围是（1，2）.
随堂检测
1.C 当x≤0时，f（x）＝x＋1＝0 x＝－1；当x＞0时，f（x）＝log2x＝0 x＝1，所以函数f（x）的所有零点构成的集合为{－1，1}.
2.C 由题意可得f（1）f（2）＝（3－4－a）·（9－2－a）＜0，即（a＋1）（a－7）＜0，解得－1＜a＜7，故实数a的取值范围是（－1，7）.故选C.
3.解：由题意得f（0）＝1＞0，且a≠0，函数f（x）的示意图如图，
所以或
解得0＜a＜1，所以实数a的取值范围为（0，1）.
2 / 2(共48张PPT)
培优课
函数零点的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 根据零点情况求参数范围
【例1】 若 f （ x ）＝2 x （ x － a ）－1在（0，＋∞）内有零点，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，＋∞） B. （－2，＋∞）
C. （0，＋∞） D. （－1，＋∞）
解析： 令2 x （ x － a ）－1＝0，∴ a ＝ x －（ ） x
（ x ＞0）.令 g （ x ）＝ x －（ ） x ，则该函数在（0，
＋∞）上为增函数.令 h （ x ）＝ a ，则 g （ x ）与 h
（ x ）在（0，＋∞）上的图象有交点.如图所示，作
出简图，结合图象易知 a ＞－1.故选D.
通性通法
已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参
数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以
解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在
同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方
法求解.
【跟踪训练】
1. 若关于 x 的方程lo x ＝ 在区间（0，1）内有解，则实数 m 的
取值范围是（ ）
A. （0，1）
B. （1，2）
C. （－∞，1）∪（2，＋∞）
D. （－∞，0）∪（1，＋∞）
解析： ∵函数 y ＝lo x 在区间（0，1）上的值域为（0，＋
∞），∴ ＞0，即 ＜0，解得0＜ m ＜1.∴实数 m 的取值范
围是（0，1）.故选A.
2. 若函数 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有两个零点，则实数 b 的取值范围
为 .
解析：由 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b ＝0，得｜2 x
－2｜＝ b .在同一平面直角坐标系中分别画出
y ＝｜2 x －2｜与 y ＝ b 的图象，如图所示.则当
0＜ b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函
数 f （ x ）＝｜2 x －2｜－ b 有两个零点.
（0，2）
题型二 一元二次方程的根的分布问题
【例2】 已知关于 x 的方程 x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6＝0.
（1）若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数 m 的取
值范围；
解：设 f （ x ）＝ x2＋2（ m －1） x ＋2 m ＋6.
f （ x ）的大致图象如图（ⅰ）所示，
∴ f （2）＜0，即4＋4（ m －1）＋2 m ＋6＜0，得 m
＜－1，
∴实数 m 的取值范围为（－∞，－1）.
（2）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数 m
的取值范围；
解： f （ x ）的大致图象如图（ⅱ）所示，
∴
解得－ ＜ m ＜－ ，∴实数 m 的取值范围为（－ ，－ ）.
①有两个正根，此时如图（ⅲ）所示，
可得即
∴－3＜ m ≤－1.
（3）若方程至少有一个正根，求实数 m 的取值范围.
解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，
③有一个正根，另一根为0，此时如图（ⅴ）所示，可得
∴ m ＝－3.
综上所述，当方程至少有一个正根时，实数 m 的取值范围为
（－∞，－1].
②有一个正根，一个负根，此时如图（ⅳ）所示，可得 f （0）＜
0，得 m ＜－3.
通性通法
一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与 x 轴交点
的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再
左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根
与系数的关系进行限制.
【跟踪训练】
已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋2 m ＋1＝0，若方程有两个实数
根，其中一个根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求
实数 m 的取值范围.
解：令 f （ x ）＝ x2＋2 mx ＋2 m ＋1.依题意作出 f （ x ）的草图如图，
则即
解得－ ＜ m ＜－ .∴实数 m 的取值范围为（－ ，－ ）.
题型三 分段函数的零点问题
【例3】 已知函数 f （ x ）＝ g （ x ）＝ f （ x ）＋ x ＋
a .若 g （ x ）存在2个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. [－1，0） B. [0，＋∞）
C. [－1，＋∞） D. [1，＋∞）
解析： 函数 g （ x ）＝ f （ x ）＋ x ＋ a 存在2个零点，即关于 x 的方
程 f （ x ）＝－ x － a 有2个不同的实根，即函数 f （ x ）的图象与直线 y
＝－ x － a 有2个交点，作出直线 y ＝－ x － a 与函数 f （ x ）的图象，
如图所示，由图可知，－ a ≤1，解得 a ≥－1.故选C.
通性通法
求分段函数的零点的常用方法
（1）对于较简单的分段函数，直接分不同区间解方程，求出零点，
并且检验是否满足区间范围；
（2）对于一般的分段函数，首先作出函数图象，然后分析函数在各
个区间上的零点情况，利用数形结合思想及分类讨论思想判断
零点所在区间，求解零点的个数或参数范围.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝的零点个数为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 当 x ≤0时，令 f （ x ）＝0，即 x2＋2 x －3
＝0，解得 x1＝－3， x2＝1（舍去）.当 x ＞0时，令 f
（ x ）＝0，即 x －2＋ln x ＝0，即ln x ＝－ x ＋2.在
同一直角坐标系中作出两函数 y ＝ln x 与 y ＝－ x ＋2
（ x ＞0）的图象，如图，由图可知两图象只有一个
交点.综上可知，函数 f （ x ）的零点个数为2.
2. 函数 f （ x ）＝ x2－2｜ x ｜＋ a －1有四个不同的零点，则实数 a 的
取值范围为 .
解析：由 f （ x ）＝0得 a －1＝2｜ x ｜－ x2，因为函数 f （ x ）＝ x2
－2｜ x ｜＋ a －1有四个不同的零点，所以函数 y ＝ a －1与 y ＝2｜
x ｜－ x2的图象有四个交点，画出函数 y ＝2｜ x ｜－ x2的图象，如
图所示，
（1，2）
观察图象可知，0＜ a －1＜1，即1＜ a ＜2，所以实数 a 的取值范围是（1，2）.
1. 函数 f （ x ）＝的所有零点构成的集合为（ ）
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
解析： 当 x ≤0时， f （ x ）＝ x ＋1＝0 x ＝－1；当 x ＞0时， f
（ x ）＝log2 x ＝0 x ＝1，所以函数 f （ x ）的所有零点构成的集合
为{－1，1}.
2. 函数 f （ x ）＝3 x － － a 的一个零点在区间（1，2）内，则实数 a
的取值范围是（ ）
A. （－2，7） B. （－1，6）
C. （－1，7） D. （－2，6）
解析： 由题意可得 f （1） f （2）＝（3－4－ a ）（9－2－ a ）
＜0，即（ a ＋1）（ a －7）＜0，解得－1＜ a ＜7，故实数 a 的取值
范围是（－1，7）.故选C.
3. （2024·徐州期中）已知函数 f （ x ）＝ ax2－2 x ＋1（ x ∈R）有两
个零点，一个大于1另一个小于1，求实数 a 的取值范围.
解：由题意得 f （0）＝1＞0，且 a ≠0，函数 f （ x ）的示意图
如图，
所以或解得0＜
a ＜1，所以实数 a 的取值范围为（0，1）.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知2是函数 f （ x ）＝ xn －8（ n 为常数）的零点，且 f （ m ）＝
56，则 m 的值为（ ）
A. －3 B. －4 C. 4 D. 3
解析： 因为2是函数 f （ x ）＝ xn －8（ n 为常数）的零点，所以
2 n ＝8，得 n ＝3，所以 f （ x ）＝ x3－8，因为 f （ m ）＝56，所以
m3－8＝56，得 m ＝4，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 若函数 f （ x ）＝ mx － m ＋1在区间[0，1]上无零点，则 m 的取值
范围为（ ）
A. 0＜ m ＜1 B. m ＞1
C. m ＜0 D. m ＜1
解析： 当 m ＝0时，则 f （ x ）＝1，此时 f （ x ）无零点，符合
题意；当 m ≠0时，令 f （ x ）＝0，则 x ＝ ，故 x ＝ ＜0或 x
＝ ＞1，解得0＜ m ＜1或 m ＜0，综上可知 f （ x ）＝ mx － m ＋1
在区间[0，1]上无零点，则 m ＜1，故选D.
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3. 二次函数 f （ x ）＝ x2＋（ m －3） x ＋2 m 的图象与 x 轴的两个交点
的横坐标分别为 x1， x2，且0＜ x1＜2＜ x2，如图所示，则 m 的取值
范围是（ ）
A. m ＞0
C. m ＞5
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解析： 由题意可得即
解得0＜ m ＜ .故选D.
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4. 已知函数 f （ x ）＝若函数 y ＝ f （ x ）－ m2有两
个不同的零点，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. （0，1） B. {－1，0，1}
C. [0，1] D. {0，1}
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解析： 由 y ＝ f （ x ）－ m2有两个不同的零
点，即方程 f （ x ）＝ m2有两个不同的解，即函数
y ＝ f （ x ）与 y ＝ m2的图象有两个不同的交点，
画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，如图所示，结合图
象可得 m2＝1或 m2＝0，解 m ＝±1或 m ＝0，即 m
∈{－1，0，1}.故选B.
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5. 已知 a ， b ， c ， d 都是常数， a ＞ b ， c ＞ d ，若 f （ x ）＝2 024－
（ x － a ）（ x － b ）的零点为 c ， d ，则下列不等式正确的是
（ ）
A. a ＞ c ＞ b ＞ d B. a ＞ b ＞ c ＞ d
C. c ＞ d ＞ a ＞ b D. c ＞ a ＞ b ＞ d
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解析： 由题意设 g （ x ）＝（ x － a ）（ x － b ），则 f （ x ）＝2
024－ g （ x ），且 g （ x ）＝0的两个根是 a ， b .由题意知 f （ x ）
＝0的两根是 c ， d ，也就是 g （ x ）＝2 024的两根，画出 g （ x ）
（开口向上）及 y ＝2 024的大致图象（图略），则 y ＝2 024与 g
（ x ）的图象交点的横坐标就是 c ， d ， g （ x ）的图象与 x 轴的交
点的横坐标就是 a ， b ，则 c ， d 在 a ， b 外，又 a ＞ b ， c ＞ d ，由
图得 c ＞ a ＞ b ＞ d .
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝ ax － x － a （ a ＞0， a ≠1），则下列
说法中正确的是（ ）
A. 当 a ＞1时， f （ x ）有1个零点
B. 当 a ＞1时， f （ x ）有2个零点
C. 当0＜ a ＜1时， f （ x ）没有零点
D. 当0＜ a ＜1时， f （ x ）有1个零点
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解析： 在同一平面直角坐标系中作出函数 y ＝ ax 与 y ＝ x ＋ a
的图象，当 a ＞1时，如图①， y ＝ ax 与 y ＝ x ＋ a 有2个交点，则 f
（ x ）有2个零点；当0＜ a ＜1时，如图②， y ＝ ax 与 y ＝ x ＋ a
有1个交点，则 f （ x ）有1个零点.
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7. （多选）已知 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ＞0），分析该函数图象的
特征，若方程 f （ x ）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一
定成立的是（ ）
B. 4 ac － b2≤0
C. f （2）＜0 D. f （3）＜0
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解析： 函数 f （ x ）的大致图象如图所示，方
程 f （ x ）＝0一定有两实数根，故Δ＝ b2－4 ac ＞
0，所以4 ac － b2＜0，故B错误；由图可知，必有
f （2）＜0， f （3）＜0，所以C、D一定成立；若
f （ x ）＝ x2－7 x ＋6，方程 f （ x ）＝0的根为 x1＝1＜2， x2＝6＞3，此时－ ＝ ，所以此时2＜－ ＜3不成立.故A错误.故选C、D.
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8. 试写出一个实数 a ＝ ，使得函数 f （ x ）＝ ax2＋
4 x －1在（－1，1）上恰有一个零点.
解析：不妨取 a ＝1，则 f （ x ）＝ x2＋4 x －1，则 f （1）＝4， f
（－1）＝－4，即得 f （1） f （－1）＜0，又 f （ x ）＝ x2＋4 x －1
图象的对称轴为 x ＝－2，则 f （ x ）在（－1，1）上单调递增，故 f
（ x ）＝ x2＋4 x －1在（－1，1）上恰有一个零点.
1（答案不唯一）
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解析：∵ f （ x ）＝3 x2－5 x ＋ a 的一个零点在区间（－2，0）内，
另一个零点在区间（1，3）内，∴即
解得－12＜ a ＜0，故 a 的取值范围为（－12，0）.
9. 若函数 f （ x ）＝3 x2－5 x ＋ a 的一个零点在区间（－2，0）内，另
一个零点在区间（1，3）内，则实数 a 的取值范围是 .
（－12， 0）
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10. 已知函数 f （ x ）＝若函数 g （ x ）＝ f
（ x ）－ k 有三个零点，则 k 的取值范围是 .
解析：令 g （ x ）＝ f （ x ）－ k ＝0，可得
f （ x ）＝ k ，作出 y ＝ f （ x ）的图象，如
图.由图可知，当 y ＝ k 与 y ＝ f （ x ）的图
象有三个不同的交点时，－1＜ k ＜1，所
以 k 的取值范围是（－1，1）.
（－1，1）
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11. 已知函数 f （ x ）＝ x2－ bx ＋3.
（1）若 f （0）＝ f （4），求函数 f （ x ）的零点；
解： 由 f （0）＝ f （4）得3＝16－4 b ＋3，即 b ＝4，
所以 f （ x ）＝ x2－4 x ＋3，令 f （ x ）＝0即 x2－4 x ＋3＝0得
x1＝3， x2＝1.
所以 f （ x ）的零点是1和3.
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（2）若函数 f （ x ）一个零点大于1，另一个零点小于1，求 b 的取
值范围.
解： 因为 f （ x ）的零点一个大于1，
另一个小于1，如图.
需 f （1）＜0，即1－ b ＋3＜0，所以 b ＞4.
故 b 的取值范围为（4，＋∞）.
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12. 已知函数 f （ x ）＝2 x －4 x － m ， x ∈[－1，1].
（1）当 m ＝－2时，求函数 f （ x ）的零点；
解： 当 m ＝－2时， f （ x ）＝2 x －4 x ＋2，令2 x －4 x ＋2
＝0，得2 x ＝2或2 x ＝－1舍去，解得 x ＝1.
∴函数的零点为1.
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（2）若函数 f （ x ）在[－1，1]上有零点，求实数 m 的取值范围.
解： f （ x ）＝2 x －4 x － m ＝0 2 x －4 x ＝ m ，
令 g （ x ）＝2 x －4 x ，
函数 f （ x ）有零点等价于方程2 x －4 x ＝ m 有解，等价于 m
在 g （ x ）的值域内，
设 t ＝2 x ，∵ x ∈[－1，1]，∴ t ∈［ ，2］，
则 y ＝ t － t2＝－（ t － ）2＋ ，当 t ＝ 时， ymax＝ ，当 t
＝2时， ymin＝－2.
∴ g （ x ）的值域为［－2， ］.
∴ m 的取值范围为［－2， ］.
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13. 若在定义域内存在实数 x0使 f （ x0＋1）＝ f （ x0）＋ f （1）成立，
则称函数有“漂移点” x0.
（1）请判断函数 f （ x ）＝ 是否有漂移点？并说明理由；
解： 假设函数 f （ x ）＝ 有“漂移点” x0，则 ＝
＋2，
即 ＋ x0＋1＝0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函
数 f （ x ）＝ 没有漂移点.
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（2）求证：函数 f （ x ）＝ x2＋3 x 在（0，1）上存在漂移点；
解： 证明：令 h （ x ）＝ f （ x ＋1）－ f （ x ）－ f （1）
＝（ x ＋1）2＋3 x＋1－（ x2＋3 x ）－4＝2×3 x ＋2 x －3，
所以 h （0）＝－1， h （1）＝5.所以 h （0） h （1）＜0，
又 h （ x ）在（0，1）上连续，所以 h （ x ）＝0在（0，1）
上至少有一个实根 x0，
即函数 f （ x ）＝ x2＋3 x 在（0，1）上存在漂移点.
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（3）若函数 f （ x ）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数 a
的取值范围.
解： 若 f （ x ）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点
x0，所以lg ＝lg ＋lg a 成立，即 ＝
· a ， a ＞0，整理得 a ＝ ＝（ ）2，
由 x0＞0，得0＜ ＜1，则0＜ a ＜1.
则实数 a 的取值范围是（0，1）.
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