8.2.1 几个函数模型的比较
1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据，它最可能的函数模型是（ ）
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B.幂函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图.则下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是（ ）
A.y＝2t B.y＝2t2
C.y＝t3 D.y＝log2t
3.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（单位：万公顷）关于年数x（单位：年）的函数关系较近似于（ ）
A.y＝0.2x B.y＝（x2＋2x）
C.y＝ D.y＝0.2＋log16x
4.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A.y1＞y2＞y3 B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y3＞y2 D.y2＞y3＞y1
5.下列说法中正确的是（ ）
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x＞0，xn＞logax
C.对任意的x＞0，ax＞logax
D.不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
6.（多选）下面对函数f（x）＝lox与g（x）＝在区间（0，＋∞）上的衰减情况的说法中正确的有（ ）
A.f（x）的衰减速度越来越慢
B.f（x）的衰减速度越来越快
C.g（x）的衰减速度越来越慢
D.g（x）的衰减速度越来越快
7.现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用 作为函数模型.
8.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的是 .
9.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝（）x＋1.74.
请从中选择一个函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选 .（填序号）
10.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
（1）求函数P1＝f（t）的解析式；
（2）求函数P2＝g（t）的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.
11.安徽怀远石榴自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润的目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参考数据：1.015100≈4.432，113＝1 331）（ ）
A.y＝0.04x B.y＝1.015x－1
C.y＝tan（－1） D.y＝log11（3x－10）
12.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1），以下说法正确的是（ ）
A.当x＞1时，乙走在最前面
B.当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面
C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
13.如图，与函数y＝2x，y＝5x，y＝，y＝log0.5x，y＝log0.3x相对应的图象依次为 .（只填序号）
14.某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N*）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N*），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
8.2.1 几个函数模型的比较
1.A 根据已知数据可知自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
2.D 由图知该函数可能是y＝log2t.故选D.
3.C 将x＝1，y＝0.2，x＝2，y＝0.4，x＝3，y＝0.76分别代入上述四个选项解析式比较，发现只有y＝近似度最高.故选C.
4.B 由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3.
5.D 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较，故A错误；对于B、C，当0＜a＜1时，显然不成立，故B、C错误；对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立，故D正确.
6.AC 在平面直角坐标系中画出y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示.由图象可知，f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度也越来越慢.故选A、C.
7.甲 解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲拟合较好.
8.y＝x2 解析：在区间（1，＋∞）上，当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比xln x增长的要快.
9.④ 解析：画出散点图如图所示，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律.
10.解：（1）设f（t）＝kt＋b（k≠0），
则
∴P1＝f（t）＝2t＋20.
（2）设g（t）＝mat（a＞0，且a≠1），
则
∴P2＝g（t）＝20×（）t＝20×.
（3）表格中的数据如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 20 40 40 80
图象如图.
由图象可以看出，在前10年，按P1增长的价格始终高于按P2增长的价格，但10年后，P2价格增长速度很快，远远超出P1的价格并且时间越长，差别越大.
11.D 对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4＞3，不符合题意；对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432＞3，不符合题意；对于函数y＝tan（－1），不满足单调递增，不符合题意；对于函数y＝log11（3x－10），满足当x∈（6，100]时，函数单调递增，且y≤log11（3×100－10）＝log11290＜log111 331＝3，符合题意.
12.BCD f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1）相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型.当x＝5时，f1（5）＝31，f2（5）＝25，f1（5）＞f2（5），A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确.
13.（2）（1）（3）（5）（4） 解析：（1）（2）分别为y＝5x和y＝2x的图象；（3）为y＝的图象；（4）（5）分别为y＝log0.3x和y＝log0.5x的图象.
14.解：根据题意可列方程组
解得
所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70. ①
同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140. ②
再将x＝4分别代入①式与②式得f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t），g（4）＝－80×0.54＋140＝135（t）.
与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模拟函数较好.
3 / 38.2.1 几个函数模型的比较
新课程标准解读 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、幂函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 数学抽象、数学建模
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报60元；
方案二：第一天回报20元，以后每天的回报比前一天多10元；
方案三：第一天回报2元，以后每天的回报是前一天的两倍.
【问题】 若投资的时间为5天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？10天呢？
知识点 四种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y＝ax （a＞1） y＝logax （a＞1） y＝xα （α＞0） y＝kx （k＞0）
在（0，＋∞） 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x的增大逐渐变 随x的增大逐渐趋于 随α值的不同而不同 增长速度
增长速度 ax的增长 xα的增长，xα的增长 kx的增长，kx的增长 logax的增长
增长结果 当x足够大时，有ax＞xα＞kx＞logax（a＞1，α＞0）
1.下列函数中，在（0，＋∞）上增长速度最快的是（ ）
A.y＝x2 B.y＝log2x
C.y＝2x D.y＝2x
2.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是（ ）
A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x1.5
C.y＝30＋lg（x－1） D.y＝50
3.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.增长速度不变的函数模型是一次函数模型
B.函数y＝100x比y＝2x增长的速度更快些
C.对于任意x∈R恒有ax＞x2（a＞1）
D.函数y＝lox衰减的速度越来越慢
题型一 几类函数模型增长的差异
【例1】 （1）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A.y＝2 024x B.y＝x2 024
C.y＝log2 024x D.y＝2 024x
（2）三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（ ）
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
通性通法
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：一次函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
（4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
【跟踪训练】
下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
题型二 几类函数模型的比较
【例2】 函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.
（1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）结合函数图象示意图，判断f（6），g（6），f（2 024），g（2 024）的大小.
通性通法
根据图象判断指数函数、对数函数、幂函数和一次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图象增长介于指数函数和对数函数之间的是幂函数，图象呈直线上升的函数是一次函数.
【跟踪训练】
函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示：
（1）指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）.
题型三 函数模型的选取
【例3】 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
月产量（千件） 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b（a，b为常数，a＞0且a≠1）来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由.
通性通法
对于函数模型的选取问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变化规律.
【跟踪训练】
某技能培训机构为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该机构的要求？
1.下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝log2x＋1
C.y＝x2＋1 D.y＝2x＋1
2.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的函数模型是（ ）
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
3.已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为 .
8.2.1 几个函数模型的比较
【基础知识·重落实】
知识点
陡 稳定 不变 快于 快于 快于
自我诊断
1.D
2.A 由于给出的指数型函数的底数大于1，且系数为正数，则其增长速度随着时间的推移越来越快，所以y＝10×1.05x是更有前途的生意.故选A.
3.AD A中，一次函数模型增长特点是直线上升，增长速度不变，故A正确；B中，函数y＝2x比y＝100x增长的速度更快些，故B错误；C中，当a＝x＝2时不成立，故C错误；D中，函数y＝lox衰减的速度越来越慢，故D正确.故选A、D.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）C 解析：（1）比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.
（2）由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数型函数，y3是对数型函数，故选C.
跟踪训练
B D中一次函数的增长速度不变；A、C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
【例2】 解：（1）C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x.
（2）因为f（1）＞g（1），f（2）＜g（2），f（9）＜g（9），f（10）＞g（10），
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 024＞x2，
从图象上可以看出当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），
所以f（6）＜g（6）；
当x＞x2时，f（x）＞g（x），所以f（2 024）＞g（2 024）；
又因为g（2 024）＞g（6），
所以f（2 024）＞g（2 024）＞g（6）＞f（6）.
跟踪训练
解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x.
（2）当x∈（0，x1）时，g（x）＞f（x）；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜f（x）；
当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞f（x）.
【例3】 解：将（1，50），（2，52）分别代入两解析式得
（a＞0且a≠1）
解得（两方程组的解相同）.
所以两函数分别为y＝2x＋48，y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，所以选函数y＝ax＋b模拟较好.
跟踪训练
解：作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.
观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合该机构的要求.
随堂检测
1.B D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
2.D 将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C.故选D.
3.f（x）＞g（x）
解析：在同一直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图象，如图所示，由于函数f（x）＝3x的图象在函数g（x）＝2x图象的上方，则f（x）＞g（x）.
2 / 3(共56张PPT)
8.2.1
几个函数模型的比较
新课程标准解读 核心素养
结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对
数函数、一元一次函数、幂函数、指数函数增长速度
的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆
炸”等术语的现实含义 数学抽象、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三
种方案的回报如下：
方案一：每天回报60元；
方案二：第一天回报20元，以后每天的回报比前一天多10元；
方案三：第一天回报2元，以后每天的回报是前一天的两倍.
【问题】 若投资的时间为5天，为使投资的回报最多，你会选择哪
种方案投资？10天呢？
知识点 四种常见函数模型的增长差异
函数 性质 y ＝ ax （ a ＞1） y ＝log ax （ a ＞1） y ＝ xα （α＞0） y ＝ kx
（ k ＞0）
在（0，＋
∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增
图象的 变化 随 x 的增大逐
渐变 随 x 的增大
逐渐趋
于 随α值的不
同而不同 增长速度
增长速度 ax 的增长 xα的增长， xα的增长 kx 的
增长， kx 的增长 log ax 的增长 增长结果 当 x 足够大时，有 ax ＞ xα＞ kx ＞log ax （ a ＞1，α＞0） 陡
稳定
不
变
快于
快于
快于
1. 下列函数中，在（0，＋∞）上增长速度最快的是（ ）
A. y ＝ x2 B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x D. y ＝2 x
2. 下列选项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数，从足够长远
的角度看，更有前途的生意是（ ）
A. y ＝10×1.05 x B. y ＝20＋ x1.5
C. y ＝30＋lg（ x －1） D. y ＝50
解析： 由于给出的指数型函数的底数大于1，且系数为正数，
则其增长速度随着时间的推移越来越快，所以 y ＝10×1.05 x 是更
有前途的生意.故选A.
3. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 增长速度不变的函数模型是一次函数模型
B. 函数 y ＝100 x 比 y ＝2 x 增长的速度更快些
C. 对于任意 x ∈R恒有 ax ＞ x2（ a ＞1）
解析： A中，一次函数模型增长特点是直线上升，增长速度
不变，故A正确；B中，函数 y ＝2 x 比 y ＝100 x 增长的速度更快些，
故B错误；C中，当 a ＝ x ＝2时不成立，故C错误；D中，函数 y ＝
lo x 衰减的速度越来越慢，故D正确.故选A、D.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 几类函数模型增长的差异
【例1】 （1）下列函数中，增长速度最快的是（ A ）
A. y ＝2 024 x B. y ＝ x2 024
C. y ＝log2 024 x D. y ＝2 024 x
解析：比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数
增长速度最快.
A
（2）三个变量 y1， y2， y3随着变量 x 的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与 x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依
次是（ C ）
C
A. y1， y2， y3 B. y2， y1， y3
C. y3， y2， y1 D. y3， y1， y2
解析：由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数
函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知， y1是幂
函数型函数， y2是指数型函数， y3是对数型函数，故选C.
通性通法
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：一次函数模型 y ＝ kx ＋ b （ k ＞0）的增长特点是
直线上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型 y ＝ ax （ a ＞1）的增长特点是随
着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急
剧，形象地称为“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型 y ＝log ax （ a ＞1）的增长特点是
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度
平缓；
（4）幂函数模型：幂函数 y ＝ xn （ n ＞0）的增长速度介于指数增长
和对数增长之间.
【跟踪训练】
下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A. y ＝6 x B. y ＝log6 x
C. y ＝ x2 D. y ＝6 x
解析： D中一次函数的增长速度不变；A、C中函数的增长速度越
来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
题型二 几类函数模型的比较
【例2】 函数 f （ x ）＝2 x 和 g （ x ）＝ x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），且 x1＜ x2.
（1）请指出示意图中曲线 C1， C2分别对应哪
一个函数；
解： C1对应的函数为 g （ x ）＝ x3， C2对应的函数为 f （ x ）＝2x .
（2）结合函数图象示意图，判断 f （6）， g （6）， f （2 024）， g
（2 024）的大小.
解：因为 f （1）＞ g （1）， f （2）＜ g （2）， f （9）＜ g
（9）， f （10）＞ g （10），
所以1＜ x1＜2，9＜ x2＜10，所以 x1＜6＜ x2，2 024＞ x2，
从图象上可以看出当 x1＜ x ＜ x2时， f （ x ）＜ g （ x ），
所以 f （6）＜ g （6）；
当 x ＞ x2时， f （ x ）＞ g （ x ），所以 f （2 024）＞ g （2 024）；
又因为 g （2 024）＞ g （6），
所以 f （2 024）＞ g （2 024）＞ g （6）＞ f （6）.
通性通法
根据图象判断指数函数、对数函数、幂函数和一次函数时，
通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最
“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数，图
象增长介于指数函数和对数函数之间的是幂函数，图象呈直线上
升的函数是一次函数.
【跟踪训练】
函数 f （ x ）＝lg x ， g （ x ）＝0.3 x －1的图象如图所示：
（1）指出曲线 C1， C2分别对应题中哪一个函数；
解： C1对应的函数为 g （ x ）＝0.3 x －1， C2对应的函数为 f
（ x ）＝lg x .
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对 f （ x ），
g （ x ）的大小进行比较）.
解：当 x ∈（0， x1）时， g （ x ）＞ f （ x ）；
当 x ∈（ x1， x2）时， g （ x ）＜ f （ x ）；
当 x ∈（ x2，＋∞）时， g （ x ）＞ f （ x ）.
题型三 函数模型的选取
【例3】 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
月产量（千件） 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函
数 y ＝ ax ＋ b 或 y ＝ ax ＋ b （ a ， b 为常数， a ＞0且 a ≠1）来模拟这种
电脑元件的月产量 y 千件与月份 x 的关系.请问：用以上哪个模拟函数
较好？说明理由.
解：将（1，50），（2，52）分别代入两解析式得
（ a ＞0且 a ≠1）
解得（两方程组的解相同）.
所以两函数分别为 y ＝2 x ＋48， y ＝2 x ＋48.
当 x ＝3时，对于 y ＝2 x ＋48有 y ＝54；
对于 y ＝2 x ＋48有 y ＝56.
由于56与53.9的误差较大，所以选函数 y ＝ ax ＋ b 模拟较好.
通性通法
对于函数模型的选取问题，熟悉各种函数模型的增长特点是关
键.一次函数模型的增长是匀速的，二次函数模型是对称的，一侧
增，一侧减；指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律；对
数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律；幂型函数模型
介于指数型函数模型和对数型函数模型之间，适合描述不快不慢的变
化规律.
【跟踪训练】
某技能培训机构为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励
招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖
励，且奖金
y （单位：万元）随生源利润 x （单位：万元）的增加而增加，但
奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖
励模型： y ＝0.2 x ， y ＝log5 x ， y ＝1.02 x ，其中哪个模型符合
该机构的要求？
解：作出函数 y ＝3， y ＝0.2 x ， y ＝log5
x ， y ＝1.02 x 的图象（如图所示）.观察
图象可知，在区间[5，60]上， y ＝0.2
x ， y ＝1.02 x 的图象都有一部分在直线 y
＝3的上方，只有 y ＝log5 x 的图象始终在y ＝3和 y ＝0.2 x 的下方，这说明只有按模型 y ＝log5 x 进行奖励才符合该机构的要求.
1. 下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A. y ＝2 x ＋1 B. y ＝log2 x ＋1
C. y ＝ x2＋1 D. y ＝2 x ＋1
解析： D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度
越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
2. 在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对 x ， y 最适合的函数模型是（ ）
A. y ＝2 x B. y ＝ x2－1
C. y ＝2 x －2 D. y ＝log2 x
解析： 将 x ＝0.50代入计算，可以排除A；将 x ＝2.01代入计
算，可以排除B、C. 故选D.
3. 已知函数 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x ，当 x ∈R时， f （ x ）与 g
（ x ）的大小关系为 .
解析：在同一直角坐标系中画出函数 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x 的
图象，如图所示，由于函数 f （ x ）＝3 x 的图象在函数 g （ x ）＝2 x
图象的上方，则 f （ x ）＞ g （ x ）.
f （ x ）＞ g （ x ）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下表是函数值 y 随自变量 x 变化而变化的一组数据，它最可能的函
数模型是（ ）
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A. 一次函数模型 B. 幂函数模型
C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
解析： 根据已知数据可知自变量每增加1，函数值增加2，因此
函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.
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2. 某研究小组在一项实验中获得一组关于 y ， t 的数据，将其整理得
到如图所示的散点图.则下列函数中最能近似刻画 y 与 t 之间关系的
是（ ）
A. y ＝2 t B. y ＝2 t2
C. y ＝ t3 D. y ＝log2 t
解析： 由图知该函数可能是 y ＝log2 t .故选D.
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3. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加
值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数 y
（单位：万公顷）关于年数 x （单位：年）的函数关系较近似于
（ ）
A. y ＝0.2 x
D. y ＝0.2＋log16 x
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解析： 将 x ＝1， y ＝0.2， x ＝2， y ＝0.4， x ＝3， y ＝0.76分
别代入上述四个选项解析式比较，发现只有 y ＝ 近似度最高.故
选C.
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4. y1＝2 x ， y2＝ x2， y3＝log2 x ，当2＜ x ＜4时，有（ ）
A. y1＞ y2＞ y3 B. y2＞ y1＞ y3
C. y1＞ y3＞ y2 D. y2＞ y3＞ y1
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解析： 由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增
的，所以4＜ y1＜16，4＜ y2＜16，1＜ y3＜2，所以 y3最小，由函数
y1， y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数 y2的图象恒在函数 y1
的图象上方，所以 y2＞ y1＞ y3.
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5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的 x ＞0， xn ＞log ax
C. 对任意的 x ＞0， ax ＞log ax
D. 不一定存在 x0，当 x ＞ x0时，总有 ax ＞ xn ＞log ax
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解析： 对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次
项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较，
故A错误；对于B、C，当0＜ a ＜1时，显然不成立，故B、C错
误；对于D，当 a ＞1， n ＞0时，一定存在 x0，使得当 x ＞ x0时，总
有 ax ＞ xn ＞log ax ，但若去掉限制条件“ a ＞1， n ＞0”，则结论不
成立，故D正确.
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6. （多选）下面对函数 f （ x ）＝lo x 与 g （ x ）＝ 在区间（0，
＋∞）上的衰减情况的说法中正确的有（ ）
A. f （ x ）的衰减速度越来越慢
B. f （ x ）的衰减速度越来越快
C. g （ x ）的衰减速度越来越慢
D. g （ x ）的衰减速度越来越快
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解析： 在平面直角坐标系中画出 y ＝ f
（ x ）与 y ＝ g （ x ）的图象如图所示.由图象可
知， f （ x ）的衰减速度越来越慢， g （ x ）的
衰减速度也越来越慢.故选A、C.
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7. 现测得（ x ， y ）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有
两个待选模型，甲： y ＝ x2＋1，乙： y ＝3 x －1，若又测得（ x ，
y ）的一组对应值为（3，10.2），则应选用 作为函数模型.
解析：把 x ＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现
模型甲拟合较好.
甲
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8. 函数 y ＝ x2与函数 y ＝ x ln x 在区间（1，＋∞）上增长较快的是
.
解析：在区间（1，＋∞）上，当 x 变大时， x 比ln x 增长要快，
∴ x2比 x ln x 增长的要快.
y ＝
x2
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9. 某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验
数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下5个函数：
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① y ＝0.58 x －0.16；② y ＝2 x －3.02；③ y ＝ x2－5.5 x ＋8；④ y ＝
log2 x ；⑤ y ＝（ ） x ＋1.74.
请从中选择一个函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应
选 .（填序号）
解析：画出散点图如图所示，故选择 y ＝log2 x
可以近似地反映这些数据的规律.
④
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10. 假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元.
下表给出了两种价格增长方式，其中 P1是按直线上升的房价， P2
是按指数增长的房价， t 是2013年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 40
P2/万元 20 40
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（1）求函数 P1＝ f （ t ）的解析式；
解： 设 f （ t ）＝ kt ＋ b （ k ≠0），
则
∴ P1＝ f （ t ）＝2 t ＋20.
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（2）求函数 P2＝ g （ t ）的解析式；
解： 设 g （ t ）＝ mat （ a ＞0，且 a ≠1），
则
∴ P2＝ g （ t ）＝20×（ ） t ＝20× .
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（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函
数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异.
解： 表格中的数据如下表所示：
t 0 5 10 15 20
P1/万元 20 30 40 50 60
P2/万元 20 40 80
图象如图.
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由图象可以看出，在前10年，按 P1增长的价格始终高于按
P2增长的价格，但10年后， P2价格增长速度很快，远远超出
P1的价格并且时间越长，差别越大.
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11. 安徽怀远石榴自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今
年又喜获丰收.某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴
合作社为了实现100万元利润的目标，准备制定激励销售人员的奖
励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金
y （单位：万元）随销售利润 x （单位：万元）的增加而增加，但
奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利
用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（参
考数据：1.015100≈4.432，113＝1 331）（ ）
A. y ＝0.04 x B. y ＝1.015 x －1
D. y ＝log11（3 x －10）
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解析： 对于函数 y ＝0.04 x ，当 x ＝100时， y ＝4＞3，不符合
题意；对于函数 y ＝1.015 x －1，当 x ＝100时， y ＝3.432＞3，不
符合题意；对于函数 y ＝tan（ －1），不满足单调递增，不符合
题意；对于函数 y ＝log11（3 x －10），满足当 x ∈（6，100]时，
函数单调递增，且 y ≤log11（3×100－10）＝log11290＜log111 331
＝3，符合题意.
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12. （多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方
向运动，其路程 fi （ x ）（ i ＝1，2，3，4）关于时间 x （ x ≥0）
的函数关系式分别为 f1（ x ）＝2 x －1， f2（ x ）＝ x2， f3（ x ）＝
x ， f4（ x ）＝log2（ x ＋1），以下说法正确的是（ ）
A. 当 x ＞1时，乙走在最前面
B. 当0＜ x ＜1时，丁走在最前面，当 x ＞1时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
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解析： f1（ x ）＝2 x －1， f2（ x ）＝ x2， f3（ x ）＝ x ， f4
（ x ）＝log2（ x ＋1）相应的函数模型分别是指数型函数，二次函
数，一次函数和对数型函数模型.当 x ＝5时， f1（5）＝31， f2
（5）＝25， f1（5）＞ f2（5），A不正确；根据四种函数的变化
特点，对数型函数的变化是先快后慢，当 x ＝1时甲、乙、丙、丁
四个物体又重合，从而可知当0＜ x ＜1时，丁走在最前面，当 x ＞
1时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动
的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即
一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情
况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确.
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13. 如图，与函数 y ＝2 x ， y ＝5 x ， y ＝ ， y ＝log0.5 x ， y ＝
log0.3 x 相对应的图象依次为 .
（只填序号）
（2）（1）（3）（5）（4）
解析： （2）分别为 y ＝5 x 和 y ＝2 x 的图象；（3）为 y ＝ 的图象；（4）（5）分别为 y ＝log0.3 x 和 y ＝log0.5 x 的图象.
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14. 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为
100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三
个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y 与月序数 x 之间
的关系.对此模拟函数可选用二次函数 y ＝ f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ， b ， c 均为待定系数， x ∈N*）或函数 y ＝ g （ x ）＝ pqx ＋ r
（ p ， q ， r 均为待定系数， x ∈N*），现在已知该厂这种新产品
在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为
模拟函数较好？
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解：根据题意可列方程组
解得
所以 y ＝ f （ x ）＝－5 x2＋35 x ＋70. ①
同理 y ＝ g （ x ）＝－80×0.5 x ＋140. ②
再将 x ＝4分别代入①式与②式得 f （4）＝－5×42＋35×4＋70＝
130（t）， g （4）＝－80×0.54＋140＝135（t）.
与 f （4）相比， g （4）在数值上更为接近第四个月的实际月产
量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数 y ＝ g （ x ）
＝ pqx ＋ r 作为模拟函数较好.
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谢 谢 观 看！
