8.2.2 函数的实际应用
1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系.当x＝36 kPa时，y＝108 g/m3，则y与x的函数解析式为（ ）
A.y＝3x（x≥0） B.y＝3x
C.y＝x（x≥0） D.y＝x
2.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律（ ）
A.y＝mx2＋n（m＞0）
B.y＝mx＋n（m＞0）
C.y＝max＋n（m＞0，a＞0，a≠1）
D.y＝mlogax＋n（m＞0，a＞0，a≠1）
3.某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A.a12－1 B.（1＋a）12－1
C.a D.a－1
4.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝ae－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为（ ）
A.125 B.100 C.75 D.50
5.（多选）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，当小数记录数据为0.1时，对应的五分记录数据记为4.0，现有两个函数模型供选择：①y＝5＋2lg x；②y＝5－lg.根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（参考数据：100.1≈1.25）（ ）
A.选择函数模型①
B.选择函数模型②
C.小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视力的小数记录数据为0.9
D.小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8
6.（多选）为预防秋冬季流感，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝0.3x－a（a为常数），则下列结论中正确的是（ ）
A.当0≤x≤0.2时，y＝5x
B.当x＞0.2时，y＝0.3x－0.2
C.x＝2时，教室内每立方米空气中的含药量高于0.09 mg
D.教室内每立方米空气中的含药量高于0.3 mg的持续时间超过90 min
7.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，且K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是 万元.
8.如图所示，由桶①向桶②倒水，开始时，桶①中有a L水，桶②中无水，t min后，桶①中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1＝ae－nt.假设经过5 min，桶①和桶②中的水一样多，则再过 min，桶①中的水只有 L.
9.某电商结合自己出售的商品，要购买3 000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研，此类包装盒按面积计价，每平方分米的价格y（单位：元）与订购数量x（单位：个）之间满足y＝则该电商购入3 000个包装盒至少需要 元.（说明：每个纸盒计费面积为六个面的面积之和）
10.医学上为研究某种传染病传播过程中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒细胞在体内的总数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物，将可杀死此时其体内该病毒细胞的98%.
天数/x 病毒细胞总数/N
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）
（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）（参考数据：lg 2≈0.301 0）
11.某公司职工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（ ）
A.A区 B.B区
C.C区 D.A，B两区之间
12.（多选）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…，k，b为常数）.若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（ ）
A.k＜0
B.储存温度越高保鲜时间越长
C.在10 ℃的保鲜时间是60小时
D.在30 ℃的保鲜时间是20小时
13.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1）.
14.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q（x）/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该小物品的日销售收入f（x）（单位：元）的最小值.
8.2.2 函数的实际应用
1.A 由题意设y＝kx（k≠0），将（36，108）代入解析式可得k＝3，故y＝3x，考虑到含氧量不可能为负，可知x≥0.
2.C 由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型.故选C.
3.B 不妨设第一年1月份的产值为b，则2月份的产值为b（1＋a），3月份的产值为b（1＋a）2，依此类推，第二年1月份产值是b（1＋a）12.由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝（1＋a）12－1.故选B.
4.C 由已知，得a＝ae－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a，∴＝（e－k＝，∴＝，t1＝75.故选C.
5.BD 当x＝0.1时，代入y＝5＋2lg x得y＝5－2＝3，代入y＝5－lg得y＝5－1＝4，故选择函数模型②，故A错误，B正确；当y＝5时，由y＝5－lg，解得x＝1，则小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误；当y＝4.9时，由y＝5－lg，解得x≈0.8，则小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确.故选B、D.
6.ABC 对于A，当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.2k，解得k＝5，即y＝5x，故A正确；对于B，当x＞0.2时，将（0.2，1）代入y＝0.3x－a，得1＝0.30.2－a，解得a＝0.2，即y＝0.3x－0.2，故B正确；对于C，当x＝2时，y＝0.32－0.2＝0.31.8＞0.32＝0.09 mg，故C正确；对于D，当0≤x≤0.2时，由5x＞0.3，得x＞＝0.06，当x＞0.2时，由0.3x－0.2＞0.3，得x－0.2＜1，即x＜1.2，故持续时间为1.2－0.06＝1.14（h）＝1.14×60＝68.4（min），故D错误.故选A、B、C.
7.2 500 解析：L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－（Q－300）2＋2 500，当Q＝300时，L（Q）取得最大值，最大值为2 500万元.
8.10 解析：由题意，可得ae－5n＝，得n＝ln 2.令a＝，得t＝15，从而再经过10 min，桶①中的水只有 L.
9.1 260 解析：设长方体包装盒的底面长为t（t＞0）分米，则宽为分米，故长方体包装盒的表面积S＝4t＋＋18（t＞0）.∵S＝4t＋＋18≥2＋18＝42，当且仅当4t＝，即t＝3时取等号，∴Smin＝42.当x＝3 000时，y＝0.01，∴总费用最少为42×3 000×0.01＝1 260（元）.
10.解：（1）由题意，病毒细胞总数y关于时间x的函数关系式为y＝2x－1（其中x∈N*）.
则将2x－1≤108两边取常用对数，得（x－1）lg 2≤8，
从而x≤＋1≈27.58.
故第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意，第一次最迟注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%.
再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x，
则226×2%×2x≤108.
两边取常用对数，得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤－27≈6.2.
故再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命.
11.A 由题意得，若停靠在A区，所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500（米）；若停靠在B区，所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在C区，所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠点在A区和B区之间，设距离A区为x米，所有员工的路程和为30x＋15×（100－x）＋10×（100＋200－x）＝5x＋4 500，当x＝0时取得最小值，故停靠点为A区.综上，若停靠点为A区，所有员工步行到停靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在A区.
12.AC 因为在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小时，所以易知y＝ekx＋b是减函数，结合复合函数的单调性可知k＜0，故A正确；储存温度越高保鲜时间越短，故B错误；120＝eb，30＝e20k＋b＝e20k·eb，则e20k＝，e10k＝，故e10k＋b＝e10k·eb＝×120＝60（小时），故C正确；e30k＋b＝e30k·eb＝（）3×120＝15（小时），故D错误.故选A、C.
13.2.3 解析：设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500，即0.8x＝0.6，所以lg 0.8x＝lg 0.6，即xlg 0.8＝lg 0.6，x＝＝＝≈≈2.3.
14.解：（1）依题意知第10天的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1.
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q（x）＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）.
（3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜
＝
所以f（x）＝P（x）·Q（x）
＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，所以当x＝30时，f（x）取得最小值，f（x）min＝124.
综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
3 / 38.2.2 函数的实际应用
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律 数学建模
果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%.
【问题】 采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是多少天后？
知识点 几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
反比例函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）
二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数型函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
对数型函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
分段函数模型 y＝
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.实际问题中两个变量之间不一定有确定的函数关系
B.函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义
C.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了
D.求实际应用问题的最值时，要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符
2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y的函数关系是 .
题型一 已知函数模型解决实际问题
【例1】 （链接教科书第241页例4）灌满开水的热水瓶盖上瓶盖放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃，那么t min后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－kt求得，这里k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.已知某种类型的热水瓶灌满开水，测得瓶内温度为100 ℃，过1 h后又测得瓶内温度为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲泡，现在用这种类型的热水瓶在早上6：00灌满100 ℃的开水，则在这一天的中午12：00 （填“能”或“不能”）用这瓶开水来冲泡上述奶粉.（假定该地白天室温为20 ℃）
通性通法
利用已知函数模型解决实际问题的方法
（1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
（2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
（3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
【跟踪训练】
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.
题型二 建立函数模型解决实际问题
【例2】 （链接教科书第240页例3）一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减.
（1）求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确到0.1）.
通性通法
建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（3）选择其中的几组数据求出函数模型；
（4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入下一步；
（5）用所得函数模型解决实际问题.
【跟踪训练】
某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
题型三 选择函数模型解决实际问题
【例3】 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况：f（x）＝20｜x－4｜（x≥1），g（x）＝（x－4）2（x≥1），h（x）＝30｜log2x－2｜（x≥1），其中x表示月数，f（x），g（x），h（x）分别表示污染度.
（1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60.
通性通法
选择函数模型解决实际问题的步骤
【跟踪训练】
某纪念章从2024年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x天 4 10 36
市场价y元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系用图象表示为图中的（ ）
2.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 .
3.已知强度为x的声音对应的等级为f（x） dB且f（x）＝10lg .喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音约为60 dB.则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍.
8.2.2 函数的实际应用
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.AD A中，两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系，故A正确；B中，函数模型中定义域还必须满足实际意义，故B错误；C中，拟合函数预测的结果近似地符合实际结果即可，故C错误；易知D正确.故选A、D.
2.y＝0.957 解析：由题意可知y＝（95.76%，即y＝0.957 .
【典型例题·精研析】
【例1】 能 解析：根据题意，有98＝20＋（100－20）e－60k.整理，得e－60k＝.从早上6：00至中午12：00，共6 h，即360 min.当t＝360时，θ＝20＋80e－360k＝20＋80×（）6.利用计算器，解得θ≈88.7.因为88.7＞85，所以在这一天的中午12：00能用这瓶开水来冲泡上述奶粉.
跟踪训练
e6－1 解析：当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6.所以＝e6－1.
【例2】 解：（1）最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500（1－10%）＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
（2）由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，
两边取以10为底的对数，得lg 0.9t＝lg 0.5，
即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
跟踪训练
解：（1）根据题意，得y＝90－3（x－50），
化简得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）.
（2）因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，所以w＝（－3x＋240）（x－40）＝－3x2＋360x－9 600（50≤x≤55，x∈N）.
（3）因为w＝－3x2＋360x－9 600＝－3（x－60）2＋1 200，
所以当x＜60时，w随x的增大而增大.
又50≤x≤55，x∈N，
所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润是1 125元.
【例3】 解：（1）选用h（x）模拟比较合理，理由如下：
计算各函数对应各月份污染度得下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f（x） 60 40 20 0 …
g（x） 60 26.7 6.7 0 …
h（x） 60 30 12.45 0 …
从上表可知，函数h（x）模拟比较合理，故选择h（x）作为模拟函数.
（2）令h（x）≤60，得｜log2x－2｜≤2，
得0≤log2x≤4，
解得1≤x≤16，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
跟踪训练
解：（1）选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：
因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，所以选取y＝ax2＋bx＋c.
（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y＝ax2＋bx＋c中，
得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
所以y＝x2－10x＋126＝（x－20）2＋26，
所以当x＝20时，y有最小值，ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元.
随堂检测
1.B 由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.
2.－1 解析：设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
3.108 解析：f（x）＝10lg ＝10（lg x＋12）.当f（x）＝140时，10（lg x＋12）＝140，所以x＝100.当f（x）＝60时，10（lg x＋12）＝60，所以x＝10－6.＝108，所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的108倍.
2 / 3(共60张PPT)
8.2.2
函数的实际应用
新课程标准解读 核心素养
理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的
重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的
函数模型刻画现实问题的变化规律 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度
h 与其采摘后时间 t （天）满足的函数关系式为 h ＝ m · at .若采摘后5
天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新
鲜度为10%.
【问题】 采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是多少天后？
知识点 几种常见函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0）
反比例函数模型
二次函数模型 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ， b ， c 为常数， a ≠0）
指数型函数模型 f （ x ）＝ bax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a
≠1）
对数型函数模型 f （ x ）＝ b log ax ＋ c （ a ， b ， c 为常数， b ≠0， a ＞0且 a ≠1）
函数模型 函数解析式
幂函数模型 f （ x ）＝ axn ＋ b （ a ， b 为常数， a ≠0）
分段函数模型
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 实际问题中两个变量之间不一定有确定的函数关系
B. 函数模型中，要求的定义域只需使函数式有意义
C. 用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无
存在意义了
D. 求实际应用问题的最值时，要注意取得最值时的自变量与实际意
义是否相符
解析： A中，两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的
函数关系，故A正确；B中，函数模型中定义域还必须满足实际意
义，故B错误；C中，拟合函数预测的结果近似地符合实际结果即
可，故C错误；易知D正确.故选A、D.
解析：由题意可知 y ＝（95.76% ，即 y ＝0.957 .
y ＝0.957
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知函数模型解决实际问题
【例1】 （链接教科书第241页例4）灌满开水的热水瓶盖上瓶盖放
在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃，那么
t min后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－ kt 求得，这里 k
是一个与热水瓶类型有关的正的常量.已知某种类型的热水瓶灌满开
水，测得瓶内温度为100 ℃，过1 h后又测得瓶内温度为98 ℃.已知某
种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲泡，现在用这种类型的热水瓶在早
上6：00灌满100 ℃的开水，则在这一天的中午12：00 （填“能”
或“不能”）用这瓶开水来冲泡上述奶粉.（假定该地白天室温为20
℃）
能
解析：根据题意，有98＝20＋（100－20）e－60 k .整理，得e－60 k ＝ .
从早上6：00至中午12：00，共6 h，即360 min.当 t ＝360时，θ＝20
＋80e－360 k ＝20＋80×（ ）6.利用计算器，解得θ≈88.7.因为88.7
＞85，所以在这一天的中午12：00能用这瓶开水来冲泡上述奶粉.
通性通法
利用已知函数模型解决实际问题的方法
（1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
（2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
（3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方
法，将指数运算转化为对数运算.
【跟踪训练】
在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （m/s）和燃料的质
量 M （kg）、火箭（除燃料外）的质量 m （kg）的函数关系式是 v ＝2
000·ln .当燃料质量是火箭质量的 倍时，火箭的最大速
度可达12千米/秒.
解析：当 v ＝12 000 m/s时，2 000·ln ＝12 000，所以ln
＝6.所以 ＝e6－1.
e6－1
题型二 建立函数模型解决实际问题
【例2】 （链接教科书第240页例3）一种放射性元素，最初的质量
为500 g，按每年10%衰减.
（1）求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式；
解：最初的质量为500 g.
经过1年， w ＝500（1－10%）＝500×0.9；
经过2年， w ＝500×0.92；
由此推知， t 年后， w ＝500×0.9 t .
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（结果精确
到0.1）.
解：由题意得500×0.9 t ＝250，即0.9 t ＝0.5，
两边取以10为底的对数，得lg 0.9 t ＝lg 0.5，
即 t lg 0.9＝lg 0.5，
∴ t ＝ ≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
通性通法
建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（3）选择其中的几组数据求出函数模型；
（4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合
实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入
下一步；
（5）用所得函数模型解决实际问题.
【跟踪训练】
某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元
且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每
天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量 y （箱）与销售单价 x （元）之间的函数解
析式；
解：根据题意，得 y ＝90－3（ x －50），
化简得 y ＝－3 x ＋240（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（2）求该批发商平均每天的销售利润 w （元）与销售单价 x （元）之
间的函数解析式；
解：因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×
每箱销售利润，所以 w ＝（－3 x ＋240）（ x －40）＝－3 x2＋
360 x －9 600（50≤ x ≤55， x ∈N）.
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大
利润是多少？
解：因为 w ＝－3 x2＋360 x －9 600＝－3（ x －60）2＋1 200，
所以当 x ＜60时， w 随 x 的增大而增大.
又50≤ x ≤55， x ∈N，
所以当 x ＝55时， w 有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最
大利润是1 125元.
题型三 选择函数模型解决实际问题
【例3】 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染
度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三
个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况： f （ x ）＝20｜ x
－4｜（ x ≥1）， g （ x ）＝ （ x －4）2（ x ≥1）， h （ x ）＝30｜
log2 x －2｜（ x ≥1），其中 x 表示月数， f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）
分别表示污染度.
（1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
解：选用 h （ x ）模拟比较合理，理由如下：
计算各函数对应各月份污染度得下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f （ x ） 60 40 20 0 …
g （ x ） 60 26.7 6.7 0 …
h （ x ） 60 30 12.45 0 …
从上表可知，函数 h （ x ）模拟比较合理，故选择 h （ x ）作为
模拟函数.
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不
超过60.
解：令 h （ x ）≤60，得｜log2 x －2｜≤2，
得0≤log2 x ≤4，
解得1≤ x ≤16，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
通性通法
选择函数模型解决实际问题的步骤
【跟踪训练】
某纪念章从2024年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每
1枚的市场价 y （单位：元）与上市时间 x （单位：天）的数据如下：
上市时间 x 天 4 10 36
市场价 y 元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念
章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：① y ＝ ax ＋
b ；② y ＝ ax2＋ bx ＋ c ；③ y ＝ a log bx ；
解：选取② y ＝ ax2＋ bx ＋ c .理由如下：
因为随着时间 x 的增加， y 的值先减后增，而所给的三个函数中
y ＝ ax ＋ b 和 y ＝ a log bx 显然都是单调函数，不满足题意，所以
选取 y ＝ ax2＋ bx ＋ c .
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最
低的价格.
解：把点（4，90），（10，51），（36，90）代入 y ＝ ax2＋ bx
＋ c 中，得
解得 a ＝ ， b ＝－10， c ＝126.
所以 y ＝ x2－10 x ＋126＝ （ x －20）2＋26，
所以当 x ＝20时， y 有最小值， ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价
为26元.
1. 一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度 h
（cm）与燃烧时间 t （h）的函数关系用图象表示为图中的
（ ）
解析： 由题意 h ＝20－5 t ，0≤ t ≤4.结合图象知应选B.
解析：设每月的产量增长率为 x ，1月份产量为 a ，则 a （1＋ x ）11
＝ ma ，所以1＋ x ＝ ，即 x ＝ －1.
－1
3. 已知强度为 x 的声音对应的等级为 f （ x ） dB且 f （ x ）＝10lg
.喷气式飞机起飞时，声音约为140 dB；一般说话时，声音
约为60 dB. 则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强
度的 倍.
解析： f （ x ）＝10lg ＝10（lg x ＋12）.当 f （ x ）＝140时，
10（lg x ＋12）＝140，所以 x ＝100.当 f （ x ）＝60时，10（lg x ＋
12）＝60，所以 x ＝10－6. ＝108，所以喷气式飞机起飞时的声
音强度是一般说话时声音强度的108倍.
108
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下
降，且含氧量 y （g/m3）与大气压强 x （kPa）成正比例函数关系.
当 x ＝36 kPa时， y ＝108 g/m3，则 y 与 x 的函数解析式为（ ）
A. y ＝3 x （ x ≥0） B. y ＝3 x
解析： 由题意设 y ＝ kx （ k ≠0），将（36，108）代入解析式
可得 k ＝3，故 y ＝3 x ，考虑到含氧量不可能为负，可知 x ≥0.
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2. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验
表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮
用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时
间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作
出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型
可以近似地刻画茶水温度 y 随时间 x 变化的规律（ ）
A. y ＝ mx2＋ n （ m ＞0）
B. y ＝ mx ＋ n （ m ＞0）
C. y ＝ max ＋ n （ m ＞0， a ＞0， a ≠1）
D. y ＝ m log ax ＋ n （ m ＞0， a ＞0， a ≠1）
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解析： 由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型.故
选C.
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3. 某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是 a ，则这两
年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A. a12－1 B. （1＋ a ）12－1
C. a D. a －1
解析： 不妨设第一年1月份的产值为 b ，则2月份的产值为 b （1
＋ a ），3月份的产值为 b （1＋ a ）2，依此类推，第二年1月份产
值是 b （1＋ a ）12.由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的
产值比第一年相应月产值的增长率为 ＝（1＋ a ）12－
1.故选B.
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4. 衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积
为 a ，经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为： V ＝ a e－ kt .已知新丸
经过50天后，体积变为 a .若一个新丸体积变为 a ，则需经过的
天数为（ ）
A. 125 B. 100 C. 75 D. 50
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解析： 由已知，得 a ＝ a e－50 k ，∴e－ k ＝ .设经过 t1天
后，一个新丸体积变为 a ，则 a ＝ a ，∴ ＝（e－ k
＝ ，∴ ＝ ， t1＝75.故选C.
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5. （多选）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分
记录和小数记录数据，把小数记录数据记为 x ，对应的五分记录数
据记为 y ，当小数记录数据为0.1时，对应的五分记录数据记为
4.0，现有两个函数模型供选择：① y ＝5＋2lg x ；② y ＝5－lg .根
据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（参考数
据：100.1≈1.25）（ ）
A. 选择函数模型①
B. 选择函数模型②
C. 小明去检查视力，医生告诉他视力为5.0，则小明视
力的小数记录数据为0.9
D. 小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视
力的小数记录数据为0.8
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解析： 当 x ＝0.1时，代入 y ＝5＋2lg x 得 y ＝5－2＝3，代入 y
＝5－lg 得 y ＝5－1＝4，故选择函数模型②，故A错误，B正确；
当 y ＝5时，由 y ＝5－lg ，解得 x ＝1，则小明视力的小数记录数
据为1.0，故C错误；当 y ＝4.9时，由 y ＝5－lg ，解得 x ≈0.8，则
小明视力的小数记录数据为0.8，故D正确.故选B、D.
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6. （多选）为预防秋冬季流感，学校每天定时对教室进行喷洒消毒.
教室内每立方米空气中的含药量 y （单位：mg）随时间 x （单位：
h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中， y 与 x 成正比；药物
释放完毕后， y 与 x 的函数关系式为 y ＝0.3 x－ a （ a 为常数），则下
列结论中正确的是（ ）
A. 当0≤ x ≤0.2时， y ＝5 x
B. 当 x ＞0.2时， y ＝0.3 x－0.2
C. x ＝2时，教室内每立方米空气中的含药量高于0.09
mg
D. 教室内每立方米空气中的含药量高于0.3 mg的持续
时间超过90 min
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解析： 对于A，当0≤ x ≤0.2时，设 y ＝ kx ，则1＝0.2 k ，解
得 k ＝5，即 y ＝5 x ，故A正确；对于B，当 x ＞0.2时，将（0.2，
1）代入 y ＝0.3 x－ a ，得1＝0.30.2－ a ，解得 a ＝0.2，即 y ＝0.3 x－
0.2，故B正确；对于C，当 x ＝2时， y ＝0.32－0.2＝0.31.8＞0.32＝
0.09 mg，故C正确；对于D，当0≤ x ≤0.2时，由5 x ＞0.3，得 x ＞
＝0.06，当 x ＞0.2时，由0.3 x－0.2＞0.3，得 x －0.2＜1，即 x ＜
1.2，故持续时间为1.2－0.06＝1.14（h）＝1.14×60＝68.4
（min），故D错误.故选A、B、C.
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7. 某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产
品，成本增加10万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，且 K
（ Q ）＝40 Q － Q2，则总利润 L （ Q ）的最大值是 万元.
解析： L （ Q ）＝40 Q － Q2－10 Q －2 000＝－ Q2＋30 Q －2
000＝－ （ Q －300）2＋2 500，当 Q ＝300时， L （ Q ）取得最大
值，最大值为2 500万元.
2 500
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8. 如图所示，由桶①向桶②倒水，开始时，桶①中有 a L水，桶②中
无水， t min后，桶①中剩余水为 y1 L，满足函数关系式 y1＝ a e－ nt .
假设经过5 min，桶①和桶②中的水一样多，则再过 min，桶①
中的水只有 L.
10
解析：由题意，可得 a e－5 n ＝ ，得 n ＝ ln 2.令 a ＝ ，得 t ＝15，从而再经过10 min，桶①中的水只有 L.
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9. 某电商结合自己出售的商品，要购买3 000个高为2分米，体积为18
立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研，此类包装盒按面积
计价，每平方分米的价格 y （单位：元）与订购数量 x （单位：
个）之间满足 y ＝则该电商购入3 000
个包装盒至少需要 元.（说明：每个纸盒计费面积为六个面
的面积之和）
1 260
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解析：设长方体包装盒的底面长为 t （ t ＞0）分米，则宽为 分
米，故长方体包装盒的表面积 S ＝4 t ＋ ＋18（ t ＞0）.∵ S ＝4 t
＋ ＋18≥2 ＋18＝42，当且仅当4 t ＝ ，即 t ＝3时取等
号，∴ Smin＝42.当 x ＝3 000时， y ＝0.01，∴总费用最少为42×
3 000×0.01＝1 260（元）.
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10. 医学上为研究某种传染病传播过程中病毒细胞的发展规律及其预
防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒细胞
在体内的总数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白
鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物，将
可杀死此时其体内该病毒细胞的98%.
天数/x 病毒细胞总数/N
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
… …
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（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注
射该种药物？（精确到天）
解： 由题意，病毒细胞总数 y 关于时间 x 的函数关系式
为 y ＝2 x－1（其中 x ∈N*）.
则将2 x－1≤108两边取常用对数，得（ x －1）lg 2≤8，
从而 x ≤ ＋1≈27.58.
故第一次最迟应在第27天注射该种药物.
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（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生
命？（精确到天）（参考数据：lg 2≈0.301 0）
解： 由题意，第一次最迟注入药物后小白鼠体内剩余
的病毒细胞个数为226×2%.
再经过 x 天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2 x ，
则226×2%×2 x ≤108.
两边取常用对数，得26lg 2＋lg 2－2＋ x lg 2≤8，解得 x ≤
－27≈6.2.
故再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射
该种药物，才能维持小白鼠的生命.
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11. 某公司职工分别住在 A ， B ， C 三个住宅区， A 区有30人， B 区有
15人， C 区有10人，三个区始终在同一直线上，位置如图所示，
公司接送车筹划在此间只设一个停靠点，要使所有职工步行到停
靠点路程总和最少，那么停靠点位置应在（ ）
A. A 区 B. B 区
C. C 区 D. A ， B 两区之间
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解析： 由题意得，若停靠在 A 区，所有员工路程和为15×100
＋10×300＝4 500（米）；若停靠在 B 区，所有员工的路程和为
30×100＋10×200＝5 000（米）；若停靠在 C 区，所有员工的路
程和为30×300＋15×200＝12 000（米）；若停靠点在 A 区和 B 区
之间，设距离 A 区为 x 米，所有员工的路程和为30 x ＋15×（100
－ x ）＋10×（100＋200－ x ）＝5 x ＋4 500，当 x ＝0时取得最小
值，故停靠点为 A 区.综上，若停靠点为 A 区，所有员工步行到停
靠点的路程和最小，那么停靠点位置应在 A 区.
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12. （多选）某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储存温度 x （单
位：℃）满足函数关系 y ＝e kx＋ b （e＝2.718…， k ， b 为常数）.
若该食品在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时间是30小
时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（ ）
A. k ＜0
B. 储存温度越高保鲜时间越长
C. 在10 ℃的保鲜时间是60小时
D. 在30 ℃的保鲜时间是20小时
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解析： 因为在0 ℃的保鲜时间是120小时，在20 ℃的保鲜时
间是30小时，所以易知 y ＝e kx＋ b 是减函数，结合复合函数的单调
性可知 k ＜0，故A正确；储存温度越高保鲜时间越短，故B错
误；120＝e b ，30＝e20 k＋ b ＝e20 k ·e b ，则e20 k ＝ ，e10 k ＝ ，故e10 k＋
b ＝e10 k ·e b ＝ ×120＝60（小时），故C正确；e30 k＋ b ＝e30 k ·e b ＝
（ ）3×120＝15（小时），故D错误.故选A、C.
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13. 一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效，现给某病人
注射了这种药2 500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰
减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时
向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg 2≈0.301 0，lg
3≈0.477 1，答案采取四舍五入精确到0.1）.
2.3
解析：设从现在起经过 x 小时向病人的血液补充这种药，才能保
持疗效.则2 500×0.8 x ＝1 500，即0.8 x ＝0.6，所以lg 0.8 x ＝lg
0.6，即 x lg 0.8＝lg 0.6， x ＝ ＝ ＝ ≈
≈2.3.
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14. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品
的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天
计）每件的销售价格 P （ x ）（单位：元）与时间 x （单位：
天）的函数关系近似满足 P （ x ）＝1＋ （ k 为正常数），日
销售量 Q （ x ）（单位：件）与时间 x （单位：天）的部分数
据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q （ x ）/件 110 120 125 120
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已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求 k 的值；
解： 依题意知第10天的日销售收入为 P （10）· Q
（10）＝ ×110＝121，解得 k ＝1.
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（2）给出以下四种函数模型：① Q （ x ）＝ ax ＋ b ；② Q （ x ）
＝ a ｜ x －25｜＋ b ；③ Q （ x ）＝ a · bx ；④ Q （ x ）＝ a ·log
bx .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种
函数来描述日销售量 Q （ x ）与时间 x 的变化关系，并求出
该函数的解析式；
解：由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减
并不单调，故只能选② Q （ x ）＝ a ｜ x －25｜＋ b .从表中
任意取两组值代入可求得 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜（1≤ x
≤30， x ∈N*）.
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（3）求该小物品的日销售收入 f （ x ）（单位：元）的最小值.
解：由（2）知 Q （ x ）＝125－｜ x －25｜
＝
所以 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）
＝
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当1≤ x ＜25时， y ＝ x ＋ 在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝121；
当25≤ x ≤30时， y ＝ － x 单调递减，所以当 x ＝30时， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝124.
综上所述，当 x ＝10时， f （ x ）取得最小值， f （ x ）min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
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