一、函数的零点
函数的零点主要考查零点个数及零点所在区间，主要利用转化思想把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
【例1】 （1）已知函数f（x）＝函数g（x）＝3－f（2－x），则函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
（2）已知函数f（x）＝－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，4） D.（4，＋∞）
反思感悟
转化是解决函数零点问题的基本思想，主要体现在函数的零点、方程的实数根、函数图象与x轴交点的横坐标、两函数图象交点的横坐标这四个问题间的相互转化，解决问题的过程中要注意等价转换.
二、二分法
二分法求函数的零点或方程的近似解是对函数零点存在定理的应用，用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，其次要及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.
【例2】 判断方程2x3－4x2－3x＋3＝0在（0，1）内是否有解，若有，则利用二分法求出该方程在（0，1）内的近似解.（精确到0.1）
反思感悟
用二分法求方程近似解的关注点
（1）理论依据：函数零点存在定理；
（2）方法：构造函数，通过求函数零点近似值解决；
（3）表示：借助表格或数轴表示，会使求解过程显得更清晰；
（4）注意：要随时检验有根区间（a，b）的端点值，在精确到同一数位下的近似值是否相等.
三、函数模型的应用
函数模型的应用一般分为两类
（1）已知函数模型解决实际问题；
（2）根据实际生活情境抽象构建出切合实际的函数模型，并应用模型解决实际问题.
【例3】 某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线.其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝kat （t≥1，a＞0，k，a是常数）的部分图象.
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗有效，若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3 h该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1 μg）
反思感悟
建立函数模型解决实际问题的步骤
章末复习与总结
【例1】 （1）A （2）C 解析：（1）函数y＝f（x）－g（x）的零点个数即f（x），g（x）图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中分别画出函数f（x）＝和函数g（x）＝3－f（2－x）＝的大致图象，如图所示，由图可知，函数f（x），g（x）的图象有2个交点，所以函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为2.
（2）因为f（x）在（0，＋∞）上为减函数，又f（1）＝6－log21＝6＞0，f（2）＝3－log22＝2＞0，f（4）＝－log24＝－＜0，所以由函数零点存在定理知函数f（x）在区间（2，4）内必存在零点.
【例2】 解：设f（x）＝2x3－4x2－3x＋3，
∵f（0）＝3＞0，f（1）＝－2＜0，且函数f（x）在区间[0，1]上的图象是不间断的，
∴原方程在（0，1）内有解.
设方程的零点为x0，
取（0，1）的中点0.5，且f（0.5）＝0.75＞0，
∴x0∈（0.5，1）.取（0.5，1）的中点0.75，
且f（0.75）≈－0.656＜0，∴x0∈（0.5，0.75）.
取（0.5，0.75）的中点0.625，
且f（0.625）≈0.05＞0，∴x0∈（0.625，0.75）.
取（0.625，0.75）的中点0.687 5，
且f（0.687 5）≈－0.3＜0.
∴x0∈（0.625，0.687 5），
同理x0∈（0.625，0.656 25），
x0∈（0.625，0.640 625）.
由于0.625与0.640 625精确到0.1的近似值都是0.6，∴原方程的近似解（精确到0.1）为0.6.
【例3】 解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；
当t≥1时，把A（1，8），B（7，1）代入y＝kat，得解得
故y＝
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则解得t＝5，
即第一次服药5 h后服第二次药，即上午11：00服药.
（3）第二次服药3 h后，每毫升血液中所包含的第一次服药后的剩余量为：y1＝8＝（μg），第二次服药量剩余为：y2＝8＝4（μg），
所以此时两次服药剩余的量为＋4≈4.7（μg），
故该病人每毫升血液中的含药量约为4.7 μg.
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章末复习与总结
一、函数的零点
函数的零点主要考查零点个数及零点所在区间，主要利用转化思
想把零点问题转化成函数与 x 轴的交点以及两函数图象的交点问题.
【例1】 （1）已知函数 f （ x ）＝函数 g
（ x ）＝3－ f （2－ x ），则函数 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）的零点个数为
（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
解析：函数 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）的零点个数即 f （ x ）， g （ x ）图象
的交点个数.在同一平面直角坐标系中分别画出函数 f （ x ）＝
和函数 g （ x ）＝3－ f （2－ x ）＝
的大致图象，如图所示，由图可知，函数 f
（ x ）， g （ x ）的图象有2个交点，所以函数 y ＝ f （ x ）－ g （ x ）的
零点个数为2.
（2）已知函数 f （ x ）＝ －log2 x ，在下列区间中，包含 f （ x ）零点
的区间是（ C ）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，4） D. （4，＋∞）
解析：因为 f （ x ）在（0，＋∞）上为减函数，又 f （1）＝6－
log21＝6＞0， f （2）＝3－log22＝2＞0， f （4）＝ －log24＝－
＜0，所以由函数零点存在定理知函数 f （ x ）在区间（2，4）
内必存在零点.
C
反思感悟
转化是解决函数零点问题的基本思想，主要体现在函数的零点、
方程的实数根、函数图象与 x 轴交点的横坐标、两函数图象交点的横
坐标这四个问题间的相互转化，解决问题的过程中要注意等价转换.
二、二分法
二分法求函数的零点或方程的近似解是对函数零点存在定理的应
用，用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，其次要
及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求，以决定是停止计算还
是继续计算.
【例2】 判断方程2 x3－4 x2－3 x ＋3＝0在（0，1）内是否有解，若
有，则利用二分法求出该方程在（0，1）内的近似解.（精确到0.1）
解：设 f （ x ）＝2 x3－4 x2－3 x ＋3，
∵ f （0）＝3＞0， f （1）＝－2＜0，且函数 f （ x ）在区间[0，1]上的
图象是不间断的，
∴原方程在（0，1）内有解.
设方程的零点为 x0，
取（0，1）的中点0.5，且 f （0.5）＝0.75＞0，
∴ x0∈（0.5，1）.取（0.5，1）的中点0.75，
且 f （0.75）≈－0.656＜0，∴ x0∈（0.5，0.75）.
取（0.5，0.75）的中点0.625，
且 f （0.625）≈0.05＞0，∴ x0∈（0.625，0.75）.
取（0.625，0.75）的中点0.687 5，
且 f （0.687 5）≈－0.3＜0.
∴ x0∈（0.625，0.687 5），
同理 x0∈（0.625，0.656 25），
x0∈（0.625，0.640 625）.
由于0.625与0.640 625精确到0.1的近似值都是0.6，∴原方程的近似
解（精确到0.1）为0.6.
反思感悟
用二分法求方程近似解的关注点
（1）理论依据：函数零点存在定理；
（2）方法：构造函数，通过求函数零点近似值解决；
（3）表示：借助表格或数轴表示，会使求解过程显得更清晰；
（4）注意：要随时检验有根区间（ a ， b ）的端点值，在精确到同一
数位下的近似值是否相等.
三、函数模型的应用
函数模型的应用一般分为两类
（1）已知函数模型解决实际问题；
（2）根据实际生活情境抽象构建出切合实际的函数模型，并应用模
型解决实际问题.
【例3】 某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的
剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量 y （μg）与服药后的时
间 t （h）之间近似满足如图所示的曲线.其中 OA 是线段，曲线段 AB
是函数 y ＝ kat （ t ≥1， a ＞0， k ， a 是常数）的部分图象.
（1）写出服药后每毫升血液中含药量 y 关于时间 t 的函数关系式；
解：当0≤ t ＜1时， y ＝8 t ；
当 t ≥1时，把 A （1，8）， B （7，1）代入 y ＝ kat ，得
解得故 y ＝
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗有效，若某病
人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当
天几点钟？
解：设第一次服药后最迟过 t 小时服第二次药，则
解得 t ＝5，
即第一次服药5 h后服第二次药，即上午11：00服药.
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3 h
该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1 μg）
解：第二次服药3 h后，每毫升血液中所包含的第一次服药后的
剩余量为： y1＝8 ＝ （μg），第二次服药量剩余
为： y2＝8 ＝4（μg），
所以此时两次服药剩余的量为 ＋4≈4.7（μg），
故该病人每毫升血液中的含药量约为4.7 μg.
反思感悟
建立函数模型解决实际问题的步骤
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