章末检测（八） 函数应用
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝ln（x＋1）－的零点所在的大致区间是（ ）
A.（1，2） B.（0，1）
C.（2，e） D.（3，4）
2.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到如图的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个函数中最适宜作为发芽率y和温度x的函数的是（ ）
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx2
C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x
3.以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是（ ）
A.S＝Rx B.S＝2Rx（x＞0）
C.S＝Rx（0＜x≤R） D.S＝πR2
4.用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值时，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f（x） 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
5.随着智能手机的普及，短视频APP迅速蹿红.针对这种现状，某文化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司2019年投入短视频制作的资金为5 000万元人民币，在此基础上，若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频制作的资金开始超过6 900万元人民币的年份是（参考数据：lg 1.08≈0.03，lg 5≈0.70，lg 6.9≈0.84）（ ）
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
6.已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（1，＋∞）
C.（0，1] D.（－∞，1）
7.国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制.通过市场调查，得到猪肉价格在近四个月的市场平均价f（x）（单位：元/斤）与时间x（单位：月）的数据如下：
x 8 9 10 11
f（x） 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型：f（x）＝bx＋a，f（x）＝ax2＋bx＋c，f（x）＝（）x＋a，找出你认为最适合的函数模型，并估计12月份的猪肉市场平均价（单位：元/斤）为（ ）
A.28 B.25
C.23 D.21
8.若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log3｜x｜的零点个数是（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A.y＝x3＋x B.y＝log2x
C.y＝2x2－3 D.y＝x｜x｜
10.已知狄利克雷函数f（x）满足：当x取有理数时，f（x）＝1；当x取无理数时，f（x）＝0.则下列选项成立的是（ ）
A.f（x）≥0
B.f（x）≤1
C.f（x）－x3＝0有1个实数根
D.f（x）－x3＝0有2个实数根
11.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A.f（x）＝2x＋x B.f（x）＝x2－x－3
C.f（x）＝ D.f（x）＝－x
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若函数f（x）＝（a＋2）x2＋2ax＋1有零点，但不能用二分法求其零点，则实数a的值为 .
13.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在（0，＋∞）上单调递增，则该函数有 个零点，这几个零点的和等于 .
14.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.
（1）y与x的关系式为 ；
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险.则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过 小时.（精确到0.1，参考数据：0.87.2≈0.2）
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）设函数f（x）＝求函数g（x）＝f（x）－的零点.
16.（本小题满分15分）某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x（万元）在8万元以下，没有奖金；②年销售额x（万元），x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x（万元）超过64万元，按年销售额的10%发奖金.
（1）求奖金y关于x的函数解析式；
（2）某营销人员争取获得年奖金y∈[4，10]（万元），求年销售额x在什么范围内.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ax2＋x＋1＋a.
（1）若函数y＝f（x）＋x有唯一的零点，求实数a的值；
（2）设a＞0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围.
18.（本小题满分17分）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x天的指导价为每件P（x）（元），且满足P（x）＝（x∈N），第x天的日交易量Q（x）（万件）的部分数据如下表：
第x天 1 2 5 10
Q（x）（万件） 14.01 12 10.8 10.38
（1）给出以下两种函数模型：①Q（x）＝a＋2x＋b，②Q（x）＝a＋，其中a，b为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量Q（x）（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出Q（x）的函数关系式；
（2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第x天的日交易额f（x）的函数关系式，并确定f（x）取得最小值时对应的x.
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝ax－3x2（a＞0，a≠1）的图象过点（－1，－），g（x）＝ln x.若函数F（x）在定义域内存在实数t，使得F（t＋1）＝F（t）＋F（1）成立，则称函数F（x）具有性质M.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数g（x）是否具有性质M？并说明理由；
（3）证明：函数f（x）具有性质M.
章末检测（八） 函数应用
1.A f（1）＝ln 2－2＝ln＜ln 1＝0，f（2）＝ln 3－1＝ln＞ln 1＝0，所以函数f（x）＝ln（x＋1）－的零点所在的大致区间是（1，2）.
2.D 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近.故选D.
3.C S△PAB＝·AB·PD＝Rx，又0＜PD≤R，∴S＝Rx（0＜x≤R）.
4.B ∵f（1.25）f（1.375）＜0，故根据二分法思想，函数f（x）的零点在区间（1.25，1.375）内，由于1.25与1.375精确到0.1的近似值不同，需要再取其中点1.312 5，可估算f（1.312 5）＜0，∴f（x）的零点在区间（1.25，1.312 5）内，其精确到0.1的近似值为1.3.
5.B 依题意，年份为n时短视频制作的资金为5 000×（1＋8%）n－2 019万元，n∈N*，n≥2 019.由5 000×（1＋8%）n－2 019＞6 900，整理得（n－2 019）lg 1.08＞lg 6.9－lg 5，解得n＞＋2 019≈4.7＋2 019＝2 023.7，从而得n＝2 024，所以资金投入开始超过6 900万元的年份是2024年.故选B.
6.C 作出函数f（x）的图象，由图象知，当0＜k≤1时，y＝k与y＝f（x）的图象有两个交点，此时方程f（x）＝k有两个不等实根，所以0＜k≤1，故选C.
7.A 第二组数据近似为（9，34），第四组数据近似为（11，34），根据四组数据（8，28），（9，34），（10，36），（11，34），可得f（x）先增后减，而f（x）＝bx＋a和f（x）＝（）x＋a都是单调函数，故不符合要求，所以选f（x）＝
ax2＋bx＋c.由第二组数据（9，34）和第四组数据（11，34），可得f（x）的图象关于x＝10对称，故x＝12时，f（12）＝f（8）＝28.故选A.
8.B ∵偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），∴函数的周期为2.当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈[－1，0]时，f（x）＝－x.函数y＝f（x）－log3｜x｜的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3｜x｜的图象的交点个数.在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3｜x｜的图象，如图所示.显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3｜x｜的图象有4个交点，故选B.
9.AD A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x｜x｜是奇函数，且存在零点0，与题意相符.故选A、D.
10.ABC 因为f（x）的值域为，故A、B成立；当x取有理数时，f（x）－x3＝1－x3＝0只有一个根1，当x取无理数时，可得f（x）－x3＝0－x3＝0，解得x＝0（舍去），故C成立、D不成立.故选A、B、C.
11.BCD 根据定义可知，若f（x）有不动点，则f（x）＝x有解.A中，令2x＋x＝x，得2x＝0，此时无解，故f（x）不是“不动点”函数，故A错误；B中，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f（x）是“不动点”函数，故B正确；C中，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－或x＝1，所以f（x）是“不动点”函数，故C正确；D中，令－x＝x，所以x＝±，所以f（x）是“不动点”函数，故D正确.故选B、C、D.
12.2或－1 解析：由题意，知（a＋2）x2＋2ax＋1＝0有两个相等实根，所以Δ＝4a2－4（a＋2）＝0，解得a＝2或a＝－1.
13.3 0 解析：因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，又因为f（x）在（0，＋∞）上单调递增，由奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0）上也是单调递增的，由f（2）＝－f（－2）＝0.因此在（0，＋∞），（－∞，0）上都只有一个零点，综上，函数f（x）在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
14.（1）y＝2 500×0.8x （2）7.2 解析：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×（1－20%）x＝2 500×0.8x（mg），即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x.
（2）当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是减函数，∴x≤7.2，∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.
15.解：求函数g（x）＝f（x）－的零点，即求方程f（x）－＝0的根.
当x≥1时，2x－2－＝0，得x＝；
当x＜1时，x2－2x－＝0，得x＝或x＝；
因为x＜1，所以x＝（舍去），
所以x＝.
故函数g（x）＝f（x）－的零点是和.
16.解：（1）依题意知y＝logax在x∈[8，64]上单调递增，由题意得解得a＝2，
所以y＝
（2）易知x≥8.当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，
则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024，
所以16≤x≤64；
当x＞64时，要使y∈[4，10]，则x∈[4，10]，
即40≤x≤100，所以64＜x≤100.
综上，当年销售额x在[16，100]（万元）内时，年奖金y∈[4，10]（万元）.
17.解：（1）函数y＝f（x）＋x有唯一的零点，等价于ax2＋2x＋a＋1＝0有唯一实根.
若a＝0，则方程为2x＋1＝0，方程根为x＝－，满足题意；
若a≠0，则Δ＝22－4a（a＋1）＝－4a2－4a＋4＝0，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
（2）设a＞0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f（x）恒成立等价于ax2－x＋a＋1≥0恒成立，
设g（x）＝ax2－x＋a＋1，
若≤1，即a≥，则g（x）在[1，2]上递增，
所以g（x）min＝g（1）＝2a≥0，所以a≥；
若1＜＜2，即＜a＜，则g（x）在［1，］上递减，在［，2］上递增，
所以g（x）min＝g（）≥0，所以＜a＜；
若≥2，即a≤，则g（x）在[1，2]上递减，
所以g（x）min＝g（2）＝5a－1≥0，
所以≤a≤.
综上所述，a≥，
即a的取值范围为［，＋∞）.
18.解：（1）由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，
又函数模型①是递增的指数型函数，模型②为递减的反比型函数，故选择模型②.
观察表格中的4组数据（1，14.01），（2，12），（5，10.8），（10，10.38），
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即解得
可以检验Q（1）＝14，Q（10）＝10.4相对合理，
从而Q（x）＝10＋.
（2）由（1）可得f（x）＝P（x）·Q（x）
＝
当1≤x≤20时，由基本不等式得f（x）＝10（x＋）＋404≥20＋404＝484，
当且仅当x＝4时取到最小值；
当20＜x≤30时，f（x）＝796－10x＋，
可得f（x）在（20，30]上单调递减，
故在x＝30时，f（x）有最小值，最小值为万元，
又484＜，所以当x＝4时，f（x）取得最小值.
19.解：（1）由题意，函数f（x）＝ax－3x2（a＞0，a≠1）的图象过点（－1，－），所以f（－1）＝a－1－3（－1）2＝－，解得a＝2.
（2）函数g（x）不具有性质M.证明如下：
函数g（x）＝ln x的定义域为（0，＋∞），
方程g（t＋1）＝g（t）＋g（1） ln（t＋1）＝ln t＋ln 1 ln（t＋1）＝ln t t＋1＝t，
而方程t＋1＝t无解，所以不存在实数t∈（0，＋∞），使得g（t＋1）＝g（t）＋g（1）成立，所以函数g（x）不具有性质M.
（3）证明：由（1）知f（x）＝2x－3x2，定义域为R，方程f（t＋1）＝f（t）＋f（1） 2t＋1－3（t＋1）2＝2t－3t2＋2－3 2t－6t－2＝0.
设G（t）＝2t－6t－2，则G（0）＝20－2＝－1＜0，G（－1）＝2－1－6×（－1）－2＞0，即G（－1）G（0）＜0，
又函数G（t）的图象连续，
所以函数G（t）在区间（－1，0）存在零点，
所以存在实数t使得f（t＋1）＝f（t）＋f（1）成立，
所以函数f（x）具有性质M.
2 / 3(共42张PPT)
章末检测（八） 函数应用
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 f （ x ）＝ln（ x ＋1）－ 的零点所在的大致区间是（ ）
A. （1，2） B. （0，1）
C. （2，e） D. （3，4）
解析： f （1）＝ln 2－2＝ln ＜ln 1＝0， f （2）＝ln 3－1＝ln
＞ln 1＝0，所以函数 f （ x ）＝ln（ x ＋1）－ 的零点所在的大致区
间是（1，2）.
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2. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单
位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由
实验数据（ xi ， yi ）（ i ＝1，2，…，20）得到如图的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个函数中最适宜作为发
芽率 y 和温度 x 的函数的是（ ）
A. y ＝ a ＋ bx B. y ＝ a ＋ bx2
C. y ＝ a ＋ b e x D. y ＝ a ＋ b ln x
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解析： 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附
近.故选D.
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3. 以半径为 R 的半圆上任意一点 P 为顶点，直径 AB 为底边的△ PAB 的
面积 S 与高 PD ＝ x 的函数关系式是（ ）
A. S ＝ Rx B. S ＝2 Rx （ x ＞0）
C. S ＝ Rx （0＜ x ≤ R ） D. S ＝π R2
解析： S△ PAB ＝ · AB · PD ＝ Rx ，又0＜ PD ≤ R ，∴ S ＝ Rx （0
＜ x ≤ R ）.
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4. 用二分法求方程ln（2 x ＋6）＋2＝3 x 的根的近似值时，令 f （ x ）
＝ln（2 x ＋6）＋2－3 x ，并用计算器得到下表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f （ x ） 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln（2 x ＋6）＋2＝3 x 的一个近似解（精
确到0.1）为（ ）
A. 1.2 B. 1.3
C. 1.4 D. 1.5
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解析： ∵ f （1.25） f （1.375）＜0，故根据二分法思想，函数
f （ x ）的零点在区间（1.25，1.375）内，由于1.25与1.375精确
到0.1的近似值不同，需要再取其中点1.312 5，可估算 f （1.312
5）＜0，∴ f （ x ）的零点在区间（1.25，1.312 5）内，其精确到
0.1的近似值为1.3.
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5. 随着智能手机的普及，短视频APP迅速蹿红.针对这种现状，某文
化传媒有限公司决定逐年加大短视频制作的资金投入，若该公司
2019年投入短视频制作的资金为5 000万元人民币，在此基础上，
若以后每年的资金投入均比上一年增长8%，则该公司投入短视频
制作的资金开始超过6 900万元人民币的年份是（参考数据：lg
1.08≈0.03，lg 5≈0.70，lg 6.9≈0.84）（ ）
A. 2023年 B. 2024年
C. 2025年 D. 2026年
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解析： 依题意，年份为 n 时短视频制作的资金为5 000×（1＋
8%） n－2 019万元， n ∈N*， n ≥2 019.由5 000×（1＋8%） n－2 019＞
6 900，整理得（ n －2 019）lg 1.08＞lg 6.9－lg 5，解得 n ＞
＋2 019≈4.7＋2 019＝2 023.7，从而得 n ＝2 024，所以资
金投入开始超过6 900万元的年份是2024年.故选B.
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6. 已知函数 f （ x ）＝若关于 x 的方程 f （ x ）＝ k 有
两个不等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）
A. （0，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （0，1] D. （－∞，1）
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解析： 作出函数 f （ x ）的图象，由图象知，当0＜ k ≤1时， y
＝ k 与 y ＝ f （ x ）的图象有两个交点，此时方程 f （ x ）＝ k 有两个
不等实根，所以0＜ k ≤1，故选C.
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7. 国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制.通过市场
调查，得到猪肉价格在近四个月的市场平均价 f （ x ）（单位：元/
斤）与时间 x （单位：月）的数据如下：
x 8 9 10 11
f （ x ） 28.00 33.99 36.00 34.02
现有三种函数模型： f （ x ）＝ bx ＋ a ， f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋ c ， f
（ x ）＝（ ） x ＋ a ，找出你认为最适合的函数模型，并估计12月
份的猪肉市场平均价（单位：元/斤）为（ ）
A. 28 B. 25
C. 23 D. 21
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解析： 第二组数据近似为（9，34），第四组数据近似为
（11，34），根据四组数据（8，28），（9，34），（10，36），
（11，34），可得 f （ x ）先增后减，而 f （ x ）＝ bx ＋ a 和 f （ x ）
＝（ ） x ＋ a 都是单调函数，故不符合要求，所以选 f （ x ）＝ ax2
＋ bx ＋ c .由第二组数据（9，34）和第四组数据（11，34），可得
f （ x ）的图象关于 x ＝10对称，故 x ＝12时， f （12）＝ f （8）＝
28.故选A.
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8. 若定义在R上的偶函数 f （ x ）满足 f （ x ＋2）＝ f （ x ），且当 x
∈[0，1]时， f （ x ）＝ x ，则函数 y ＝ f （ x ）－log3｜ x ｜的零点
个数是（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
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解析： ∵偶函数 f （ x ）满足 f （ x ＋2）＝ f （ x ），∴函数的周期为2.当 x ∈[0，1]时， f （ x ）＝ x ，故当 x ∈[－1，0]时， f （ x ）＝－ x .函数 y ＝ f （ x ）－log3｜ x ｜的零点的个数等于函数 y ＝ f （ x ）的图象与函数 y ＝log3｜ x ｜的图象的交点个数.在同一个坐标系中画出函数 y ＝ f （ x ）的图象与函数 y ＝log3｜ x ｜的图象，如图所示.显然函数 y ＝ f （ x ）的图象与函数 y ＝log3｜ x ｜的图象有4个交点，故选B.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A. y ＝ x3＋ x B. y ＝log2 x
C. y ＝2 x2－3 D. y ＝ x ｜ x ｜
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解析： A中， y ＝ x3＋ x 为奇函数，且存在零点0，与题意相
符；B中， y ＝log2 x 为非奇非偶函数，与题意不符；C中， y ＝2 x2
－3为偶函数，与题意不符；D中， y ＝ x ｜ x ｜是奇函数，且存在
零点0，与题意相符.故选A、D.
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10. 已知狄利克雷函数 f （ x ）满足：当 x 取有理数时， f （ x ）＝1；
当 x 取无理数时， f （ x ）＝0.则下列选项成立的是（ ）
A. f （ x ）≥0
B. f （ x ）≤1
C. f （ x ）－ x3＝0有1个实数根
D. f （ x ）－ x3＝0有2个实数根
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解析： 因为 f （ x ）的值域为 ，故A、B成立；当 x 取
有理数时， f （ x ）－ x3＝1－ x3＝0只有一个根1，当 x 取无理数
时，可得 f （ x ）－ x3＝0－ x3＝0，解得 x ＝0（舍去），故C成
立、D不成立.故选A、B、C.
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11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动
点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E.
J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的
函数 f （ x ），存在一个点 x0，使得 f （ x0）＝ x0，那么我们称该函
数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
A. f （ x ）＝2 x ＋ x B. f （ x ）＝ x2－ x －3
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解析： 根据定义可知，若 f （ x ）有不动点，则 f （ x ）＝ x
有解.A中，令2 x ＋ x ＝ x ，得2 x ＝0，此时无解，故 f （ x ）不是
“不动点”函数，故A错误；B中，令 x2－ x －3＝ x ，得 x ＝3或 x
＝－1，所以 f （ x ）是“不动点”函数，故B正确；C中，当 x ≤1
时，令2 x2－1＝ x ，得 x ＝－ 或 x ＝1，所以 f （ x ）是“不动点”
函数，故C正确；D中，令 － x ＝ x ，所以 x ＝± ，所以 f （ x ）
是“不动点”函数，故D正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 若函数 f （ x ）＝（ a ＋2） x2＋2 ax ＋1有零点，但不能用二分法
求其零点，则实数 a 的值为 .
解析：由题意，知（ a ＋2） x2＋2 ax ＋1＝0有两个相等实根，所
以Δ＝4 a2－4（ a ＋2）＝0，解得 a ＝2或 a ＝－1.
2或－1
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13. 已知函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且
在（0，＋∞）上单调递增，则该函数有 个零点，这几个零
点的和等于 .
解析：因为 f （ x ）是R上的奇函数，所以 f （0）＝0，又因为 f
（ x ）在（0，＋∞）上单调递增，由奇函数的对称性可知， f
（ x ）在（－∞，0）上也是单调递增的，由 f （2）＝－ f （－2）
＝0.因此在（0，＋∞），（－∞，0）上都只有一个零点，综
上，函数 f （ x ）在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
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14. 已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减.现给某病人静脉
注射了该药物2 500 mg，设经过 x 个小时后，药物在病人血液中的
量为 y mg.
（1） y 与 x 的关系式为 ；
解析： 由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的
比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过 x 个小时
后，药物在病人血液中的量为 y ＝2 500×（1－20%） x ＝2
500×0.8 x （mg），即 y 与 x 的关系式为 y ＝2 500×0.8 x .
y ＝2 500×0.8 x
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（2）当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗
效；而低于500 mg时，病人就有危险.则要使病人没有危
险，再次注射该药物的时间不能超过 小时.（精确到
0.1，参考数据：0.87.2≈0.2）
解析： 当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以
上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，∴令
2 500×0.8 x ≥500，即0.8 x ≥0.2.∵0.87.2≈0.2， y ＝0.8 x 是
减函数，∴ x ≤7.2，∴要使病人没有危险，再次注射该药
物的时间不能超过7.2小时.
7.2
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）设函数 f （ x ）＝求函
数 g （ x ）＝ f （ x ）－ 的零点.
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解：求函数 g （ x ）＝ f （ x ）－ 的零点，即求方程 f （ x ）－ ＝
0的根.
当 x ≥1时，2 x －2－ ＝0，得 x ＝ ；
当 x ＜1时， x2－2 x － ＝0，得 x ＝ 或 x ＝ ；
因为 x ＜1，所以 x ＝ （舍去），
所以 x ＝ .
故函数 g （ x ）＝ f （ x ）－ 的零点是 和 .
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16. （本小题满分15分）某公司对营销人员有如下规定：①年销售额
x （万元）在8万元以下，没有奖金；②年销售额 x （万元）， x
∈[8，64]时，奖金为 y 万元，且 y ＝log ax ， y ∈[3，6]，且年销
售额越大，奖金越多；③年销售额 x （万元）超过64万元，按年
销售额的10%发奖金.
（1）求奖金 y 关于 x 的函数解析式；
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解： 依题意知 y ＝log ax 在 x ∈[8，64]上单调递增，由
题意得解得 a ＝2，
所以 y ＝
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（2）某营销人员争取获得年奖金 y ∈[4，10]（万元），求年销
售额 x 在什么范围内.
解： 易知 x ≥8.当8≤ x ≤64时，要使 y ∈[4，10]，
则4≤log2 x ≤10，所以16≤ x ≤1 024，
所以16≤ x ≤64；
当 x ＞64时，要使 y ∈[4，10]，则 x ∈[4，10]，
即40≤ x ≤100，所以64＜ x ≤100.
综上，当年销售额 x 在[16，100]（万元）内时，年奖金 y
∈[4，10]（万元）.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ ax2＋ x ＋1＋ a .
（1）若函数 y ＝ f （ x ）＋ x 有唯一的零点，求实数 a 的值；
解： 函数 y ＝ f （ x ）＋ x 有唯一的零点，等价于
ax2＋2 x ＋ a ＋1＝0有唯一实根.
若 a ＝0，则方程为2 x ＋1＝0，方程根为 x ＝－ ，满足
题意；
若 a ≠0，则Δ＝22－4 a （ a ＋1）＝－4 a2－4 a ＋4＝0，
得 a ＝ .
综上， a ＝0或 a ＝ .
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（2）设 a ＞0，若对任意的 x ∈[1，2]，不等式2 x ≤ f （ x ）恒成
立，求实数 a 的取值范围.
解： 设 a ＞0，若对任意的 x ∈[1，2]，不等式2 x ≤ f
（ x ）恒成立等价于 ax2－ x ＋ a ＋1≥0恒成立，
设 g （ x ）＝ ax2－ x ＋ a ＋1，
若 ≤1，即 a ≥ ，
则 g （ x ）在[1，2]上递增，
所以 g （ x ）min＝ g （1）＝2 a ≥0，所以 a ≥ ；
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若1＜ ＜2，即 ＜ a ＜ ，则 g （ x ）在［1， ］上递
减，在［ ，2］上递增，
所以 g （ x ）min＝ g （ ）≥0，所以 ＜ a ＜ ；
若 ≥2，即 a ≤ ，则 g （ x ）在[1，2]上递减，
所以 g （ x ）min＝ g （2）＝5 a －1≥0，所以 ≤ a ≤ .
综上所述， a ≥ ，
即 a 的取值范围为［ ，＋∞）.
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18. （本小题满分17分）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内
（共计30天，包括第30天），其主营产品在第 x 天的指导价为每
件 P （ x ）（元），且满足 P （ x ）＝（ x
∈N），第 x 天的日交易量 Q （ x ）（万件）的部分数据如下表：
第 x 天 1 2 5 10
Q （ x ）
（万件） 14.01 12 10.8 10.38
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（1）给出以下两种函数模型：① Q （ x ）＝ a ＋2 x＋ b ，② Q
（ x ）＝ a ＋ ，其中 a ， b 为常数.请你根据上表中的数
据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产
品日交易量 Q （ x ）（万件）的函数关系；并且从四组数据
中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运
算，求出 Q （ x ）的函数关系式；
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解： 由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，又函数模型①是递增的指数型函数，模型②为递减的反比型函数，故选择模型②.
观察表格中的4组数据（1，14.01），（2，12），（5，10.8），（10，10.38），
从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，
即解得
可以检验 Q （1）＝14， Q （10）＝10.4相对合理，
从而 Q （ x ）＝10＋ .
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（2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经
营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该
企业在未来一个月内第 x 天的日交易额 f （ x ）的函数关系
式，并确定 f （ x ）取得最小值时对应的 x .
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解： 由（1）可得 f （ x ）＝ P （ x ）· Q （ x ）＝
当1≤ x ≤20时，由基本不等式得 f （ x ）＝10（ x ＋ ）＋
404≥20 ＋404＝484，当且仅当 x ＝4时取到最小值；
当20＜ x ≤30时， f （ x ）＝796－10 x ＋ ，
可得 f （ x ）在（20，30]上单调递减，
故在 x ＝30时， f （ x ）有最小值，最小值为 万元，
又484＜ ，所以当 x ＝4时， f （ x ）取得最小值.
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19. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ ax －3 x2（ a ＞0， a ≠1）
的图象过点（－1，－ ）， g （ x ）＝ln x .若函数 F （ x ）在定义
域内存在实数 t ，使得 F （ t ＋1）＝ F （ t ）＋ F （1）成立，则称
函数 F （ x ）具有性质 M .
（1）求实数 a 的值；
解： 由题意，函数 f （ x ）＝ ax －3 x2（ a ＞0， a ≠1）
的图象过点（－1，－ ），
所以 f （－1）＝ a－1－3（－1）2＝－ ，解得 a ＝2.
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（2）判断函数 g （ x ）是否具有性质 M ？并说明理由；
解：函数 g （ x ）不具有性质 M . 证明如下：
函数 g （ x ）＝ln x 的定义域为（0，＋∞），
方程 g （ t ＋1）＝ g （ t ）＋ g （1） ln（ t ＋1）＝ln t ＋ln
1 ln（ t ＋1）＝ln t t ＋1＝ t ，
而方程 t ＋1＝ t 无解，所以不存在实数 t ∈（0，＋∞），使
得 g （ t ＋1）＝ g （ t ）＋ g （1）成立，
所以函数 g （ x ）不具有性质 M .
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（3）证明：函数 f （ x ）具有性质 M .
解：证明：由（1）知 f （ x ）＝2 x －3 x2，定义域为R，方程 f （ t ＋1）＝ f （ t ）＋ f （1） 2 t＋1－3（ t ＋1）2＝2 t －3 t2＋2－3 2 t －6 t －2＝0.
设 G （ t ）＝2 t －6 t －2，则 G （0）＝20－2＝－1＜0， G （－1）＝2－1－6×（－1）－2＞0，即 G （－1） G （0）＜0，
又函数 G （ t ）的图象连续，
所以函数 G （ t ）在区间（－1，0）存在零点，
所以存在实数 t 使得 f （ t ＋1）＝ f （ t ）＋ f （1）成立，
所以函数 f （ x ）具有性质 M .
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