模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“ x＞0，ln x≥1－”的否定是（ ）
A. x≤0，ln x≥1－ B. x≤0，ln x＜1－
C. x＞0，ln x≥1－ D. x＞0，ln x＜1－
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＜2}，则A∪（ RB）＝（ ）
A.{x｜x＞1} B.{x｜x≥1}
C.{x｜x＜1} D.{x｜1＜x≤2}
3.已知p：x＋y＞3，q：x＞1且y＞2，则q是p的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数y＝sin x＋的图象大致是（ ）
5.已知a＝log23，b＝，c＝20.4，则下列结论正确的是（ ）
A.c＞b＞a B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
6.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f＋f（9）＝（ ）
A.－2 B.2
C.4 D.6
7.已知函数f（x）＝有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（ ）
A.［，） B.［，）
C.［，） D.［，］
8.已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝f（x－1），则关于x的不等式g（x－3）＋g（2x－7）＞0的解集为（ ）
A.（4，＋∞） B.（－∞，4）
C.（4，5） D.（4，3）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若函数f（x）同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f（x）＋f（－x）＝0，②f（x）在定义域上是减函数，则称函数f（x）为“理想函数”.则下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A.f（x）＝－x
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
10.下列命题为真命题的是（ ）
A.函数y＝tan x的图象关于点，k∈Z对称
B.函数f（x）＝sin ｜x｜是最小正周期为π的周期函数
C.设θ为第二象限角，则tan＞cos，且sin＞cos
D.函数y＝cos2x＋sin x的最小值为－1
11.已知函数f（x）＝方程｜f（x）－1｜＝2－m（m∈R），则下列判断正确的是（ ）
A.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
B.函数f（x）在区间（3，＋∞）上单调递增
C.当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数解
D.当m∈（－1，0）时，方程有3个不同的实数解
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（2 024）＝－2 023，则f（－2 024）＝ .
13.一批救灾物资由51辆汽车从某市以v km/h的速度匀速送达灾区，已知两地公路线长400 km，为了安全，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要 h.
14.设ω＞0，若函数f（x）＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围是 ；若函数f（x）＝2sin ωx在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知tan α＝log23·log34－＋（0.125.
（1）若α是第一象限角，求sin α的值；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝是定义在（－2，2）上的奇函数，且f（1）＝.
（1）求实数a和b的值；
（2）判断函数f（x）在（－2，2）上的单调性，并证明你的结论.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（其中ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期为π，且 .
①点（，1）在函数y＝f（x）的图象上；②函数f（x）的一个零点为－；③f（x）的一个增区间为（－，）.请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解下列问题：
（1）求f（x）的解析式；
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）一个周期内的图象.
18.（本小题满分17分）如图①，有一块半径为2（单位：cm）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上.为了求出等腰梯形ABCD的周长y（单位：cm）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：
（1）小明的方案：设梯形的腰长为x（单位：cm），请你帮他求y与x之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；
（2）小亮的方案：如图②，连接AC，设∠BAC＝θ，请你帮他求y与θ之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值.
19.（本小题满分17分）设函数f（x）的定义域为D，对于区间I＝[a，b]（a＜b，I D），若满足以下两条性质之一，则称I为f（x）的一个“Ω区间”.
性质1：对任意x∈I，有f（x）∈I；
性质2：对任意x∈I，有f（x） I.
（1）分别判断区间[1，2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；
①y＝3－x；②y＝；
（2）已知定义在R上，且图象连续不断的函数f（x）单调递减，且满足：对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，有＜－1.求证：f（x）存在“Ω区间”；
（3）若[0，m]（m＞0）是函数f（x）＝－x2＋2x的“Ω区间”，求m的取值范围.
模块综合检测
1.D 依题意可得“ x＞0，ln x≥1－”是一个全称量词命题，则它的否定是存在量词命题，即“ x＞0，ln x＜1－”.故选D.
2.A 因为集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＜2}，则 RB＝{x｜x≥2}，因此A∪（ RB）＝{x｜x＞1}.故选A.
3.A 若x＞1且y＞2，则x＋y＞3，反之则不然，比如x＝0，y＝4，故q是p的充分不必要条件.故选A.
4.A 因为y＝sin x＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且令f（x）＝sin x＋，则f（－x）＝sin（－x）＋＝－（sin x＋）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除B、D；又f（1）＝sin 1＋＞1，所以排除C.故选A.
5.C 因为y＝log2x在（0，＋∞）上为增函数，且＜＜4，所以log2＜log2＜log24，即log2＜log23＜log222，所以＜log23＜2，即＜a＜2，b＝＝log310，因为y＝log3x在（0，＋∞）上为增函数，且10＞9，所以log310＞log39＝2，即b＞2，因为y＝2x在R上为增函数，且0＜0.4＜，所以20＜20.4＜＝＜1.5，即1＜c＜1.5，所以b＞a＞c.故选C.
6.A 因为f（x）的周期为2，所以f＝f且f（9）＝f（1），又f（x）为奇函数，所以f＝－f＝－2，f（－1）＝－f（1），但f（－1）＝f（1），故f（－1）＝f（1）＝0，故f＋f（9）＝－2，故选A.
7.B 对于y＝－x2＋ax＋1，易知Δ＝a2＋4＞0，且抛物线开口向下，则0＝－x2＋ax＋1必有一个负根，所以y＝sin（ax＋），0≤x≤π有且只有两个零点，易知ax＋∈［，aπ＋］（a＞0），则aπ＋∈[2π，3π） a∈［，）.故选B.
8.A 由已知可得g（x－3）＝f（x－4），g（2x－7）＝f（2x－8），由g（x－3）＋g（2x－7）＞0可得，f（x－4）＋f（2x－8）＞0，因为奇函数f（x）在R上是增函数，则f（2x－8）＞－f（x－4）＝f（4－x），所以2x－8＞4－x，解得x＞4.故选A.
9.AD 根据f（x）＋f（－x）＝0得f（x）为奇函数，且在定义域上是减函数.f（x）＝－x是奇函数且是减函数，故A正确；f（x）＝是幂函数且为偶函数，故B错误；f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，但在整个定义域上不是减函数，故C错误；由f（x）＝的大致图象（如图）可知D选项正确 .
10.AD A中，，k∈Z是正切函数图象的对称中心，故A正确；B中，f（x）＝sin ｜x｜不是周期函数，故B错误；C中，∈（ ＋kπ，＋kπ），k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sin＜cos，故C错误；D中，∵y＝1－sin2x＋sin x＝－（ sin x－）2＋，∴当sin x＝－1时，ymin＝－1，故D正确.故选A、D.
11.BC 对于选项A，f（4）＝4，f（－1）＝1－e，显然函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，错误；对于选项B，f（x）＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝，所以函数f（x）在区间（3，＋∞）上单调递增，正确；对于选项C，作出函数y＝｜f（x）－1｜的图象，如图，当m∈（1，2）时，2－m∈（0，1），结合图象可知方程｜f（x）－1｜＝2－m（m∈R）有2个不同的实数根，正确；对于选项D，当m∈（－1，0）时，2－m∈（2，3），结合图象可知方程｜f（x）－1｜＝2－m（m∈R）有4个不同的实数解，错误.故选B、C.
12.2 025 解析：函数f（x）＝x3cos x＋1的定义域为R，令g（x）＝x3cos x，x∈R，则g（－x）＝（－x）3cos（－x）＝－x3cos x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，又f（2 024）＝g（2 024）＋1＝－2 023，所以g（2 024）＝－2 024，所以f（－2 024）＝g（－2 024）＋1＝－g（2 024）＋1＝2 025.
13.10 解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了＝ h，最后一辆汽车走完全程共需要 h，所以一共需要h，结合基本不等式计算最值，可得＋≥2 ＝10（当且仅当＝，即v＝80时，等号成立），故最少需要10 h.
14. 解析：令－≤ωx≤，得－≤x≤，则是函数f（x）＝2sin ωx（ω＞0）关于原点对称的递增区间中范围最大的，∴ ，则解得ω≤，∴ω的取值范围是.要使函数f（x）＝2sin ωx（ω＞0）在区间上的最小值是－2，则≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6，∴ω的最小值为.
15.解：（1）因为tan α＝log23·log34－＋（0.125＝log24－4＋4＝2，
所以＝2，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
因为α是第一象限角，所以sin α＝.
（2）＝＝＝＝－.
16.解：（1）由函数f（x）＝是定义在（－2，2）上的奇函数，
所以f（0）＝＝0得b＝0，
又因为f（1）＝＝，所以a＝2，
经检验，当a＝2，b＝0时，f（－x）＝＝－＝－f（x），f（x）是奇函数，
所以a＝2，b＝0.
（2）由（1）可知f（x）＝，设－2＜x1＜x2＜2，
所以f（x1）－f（x2）＝－
＝
＝2·
＝2·，
因为－2＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，4－＞0，4－＞0，x1x2＋4＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（－2，2）上单调递增.
17.解：（1）由题意最小正周期为T＝＝π，ω＞0，
解得ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），
若选①，则f（）＝sin（2×＋φ）＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又0＜φ＜，所以k＝0，φ＝，
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x＋）.
若选②，则f（－）＝sin（－＋φ）＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，
又0＜φ＜，所以k＝0，φ＝，
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x＋）.
若选③，即f（x）的一个增区间为（－，），
当x∈（－，）时，2x＋φ∈（－＋φ，＋φ），
又0＜φ＜，由复合函数单调性可知，只能（－＋φ，＋φ）＝（－，），
则φ＝，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x＋）.
（2）列表如下：
x －
2x＋ 0 π 2π
f（x）＝sin（2x＋） 0 1 0 －1 0
描点、连线（光滑曲线）画出函数f（x）一个周期内的图象如图所示：
18.解：（1）因为AD＝BC＝x，作DE⊥AB，垂足为E，连接BD，
则∠ADB＝，故AD2＝AE×AB，即AE＝，所以CD＝AB－2AE＝4－，则y＝4＋2x＋4－＝－＋2x＋8，
依题意得，0＜x＜2，故y＝－＋2x＋8，0＜x＜2，
其对称轴为x＝2∈（0，2），则x＝2时，ymax＝10 cm.
（2）过点C作CF垂直于AB于点F，因为∠ACB＝，AB＝4，
所以BC＝ABsin θ＝4sin θ，
又∠BCF＝∠BAC＝θ，所以BF＝BCsin θ＝4sin2θ，
所以CD＝AB－2BF＝4－8sin2θ，
则梯形的周长y＝AB＋CD＋2BC＝4＋4－8sin2θ＋8sin θ＝－8sin2θ＋8sin θ＋8，且0＜θ＜，
设t＝sin θ∈（0，），则y＝－8t2＋8t＋8，对称轴为t＝∈（0，），
所以t＝，即θ＝时，ymax＝10.
19.解：（1）对①， x∈[1，2]，y＝3－x∈[1，2]，满足性质1，[1，2]是函数的“Ω区间”.
对②，当x＝1时，y＝3 [1，2]，当x＝2时，y＝∈[1，2]，故不满足性质1，2，
[1，2]不是函数的“Ω区间”.
（2）证明：对于任意区间I＝[a，b]（a＜b），记S＝{f（x）｜x∈I}，
由题意知f（x）在I上单调递减，则S＝[f（b），f（a）].
因为＜－1，所以f（a）－f（b）＞b－a，
即S的长度大于I的长度，故不满足性质1.
因此，如果I为f（x）的“Ω区间”，只能满足性质2，则S∩I＝ ，
即只需存在a∈R使得f（a）＜a，或存在b∈R使得f（b）＞b.
因为f（x）＝x不恒成立，所以上述条件满足，所以f（x）一定存在“Ω区间”.
（3）记I＝[0，m]（m＞0），S＝{f（x）｜x∈I}，注意到f（0）＝0∈[0，m]，
因此，若I为函数f（x）的“Ω区间”，则其不满足性质2，必满足性质1，即S I.
f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1.
当0＜m＜1时，f（x）在I上单调递增，且f（m）－m＝－m（m－1）＞0，
所以S＝[0，f（m）]不包含于I＝[0，m]，不合题意；
当1≤m≤2时，S＝[f（0），f（1）]＝[0，1] [0，m]＝I，符合题意；
当m＞2时，f（m）＜f（2）＝f（0）＝0，所以f（m） I，不合题意.
综上，m∈[1，2].
3 / 3(共46张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“ x ＞0，ln x ≥1－ ”的否定是（ ）
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解析： 依题意可得“ x ＞0，ln x ≥1－ ”是一个全称量
词命题，则它的否定是存在量词命题，即“ x ＞0，ln x ＜1－
”.故选D.
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2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，则 A ∪（ R B ）＝
（ ）
A. { x ｜ x ＞1} B. { x ｜ x ≥1}
C. { x ｜ x ＜1} D. { x ｜1＜ x ≤2}
解析： 因为集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，则 R B ＝
{ x ｜ x ≥2}，因此 A ∪（ R B ）＝{ x ｜ x ＞1}.故选A.
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3. 已知 p ： x ＋ y ＞3， q ： x ＞1且 y ＞2，则 q 是 p 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 若 x ＞1且 y ＞2，则 x ＋ y ＞3，反之则不然，比如 x ＝
0， y ＝4，故 q 是 p 的充分不必要条件.故选A.
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4. 函数 y ＝ sin x ＋ 的图象大致是（ ）
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解析： 因为 y ＝ sin x ＋ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋
∞），关于原点对称，且令 f （ x ）＝ sin x ＋ ，则 f （－ x ）＝ sin
（－ x ）＋ ＝－（ sin x ＋ ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函
数，排除B、D；又 f （1）＝ sin 1＋ ＞1，所以排除C. 故选A.
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5. 已知 a ＝log23， b ＝ ， c ＝20.4，则下列结论正确的是（ ）
A. c ＞ b ＞ a B. b ＞ c ＞ a
C. b ＞ a ＞ c D. a ＞ b ＞ c
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解析： 因为 y ＝log2 x 在（0，＋∞）上为增函数，且 ＜
＜4，所以log2 ＜log2 ＜log24，即log2 ＜log23＜log222，所
以 ＜log23＜2，即 ＜ a ＜2， b ＝ ＝log310，因为 y ＝log3 x 在
（0，＋∞）上为增函数，且10＞9，所以log310＞log39＝2，即 b ＞
2，因为 y ＝2 x 在R上为增函数，且0＜0.4＜ ，所以20＜20.4＜
＝ ＜1.5，即1＜ c ＜1.5，所以 b ＞ a ＞ c .故选C.
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6. 设函数 f （ x ）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜ x ＜1时， f
（ x ）＝4 x ，则 f ＋ f （9）＝（ ）
A. －2 B. 2
C. 4 D. 6
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解析： 因为 f （ x ）的周期为2，所以 f ＝ f 且 f （9）
＝ f （1），又 f （ x ）为奇函数，所以 f ＝－ f ＝－2， f
（－1）＝－ f （1），但 f （－1）＝ f （1），故 f （－1）＝ f （1）
＝0，故 f ＋ f （9）＝－2，故选A.
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7. 已知函数 f （ x ）＝有且仅有3个零点，
则正数 a 的取值范围是（ ）
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解析： 对于 y ＝－ x2＋ ax ＋1，易知Δ＝ a2＋4＞0，且抛物线开
口向下，则0＝－ x2＋ ax ＋1必有一个负根，所以 y ＝ sin （ ax ＋
），0≤ x ≤π有且只有两个零点，易知 ax ＋ ∈［ ， a π＋ ］
（ a ＞0），则 a π＋ ∈[2π，3π） a ∈［ ， ）.故选B.
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8. 已知奇函数 f （ x ）在R上是增函数， g （ x ）＝ f （ x －1），则关
于 x 的不等式 g （ x －3）＋ g （2 x －7）＞0的解集为（ ）
A. （4，＋∞） B. （－∞，4）
C. （4，5）
解析： 由已知可得 g （ x －3）＝ f （ x －4）， g （2 x －7）＝ f
（2 x －8），由 g （ x －3）＋ g （2 x －7）＞0可得， f （ x －4）＋ f
（2 x －8）＞0，因为奇函数 f （ x ）在R上是增函数，则 f （2 x －
8）＞－ f （ x －4）＝ f （4－ x ），所以2 x －8＞4－ x ，解得 x ＞4.
故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若函数 f （ x ）同时满足①对于定义域上的任意 x ，恒有 f （ x ）＋ f
（－ x ）＝0，② f （ x ）在定义域上是减函数，则称函数 f （ x ）为
“理想函数”.则下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A. f （ x ）＝－ x
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解析： 根据 f （ x ）＋ f （－ x ）＝0得 f （ x ）为
奇函数，且在定义域上是减函数. f （ x ）＝－ x 是奇
函数且是减函数，故A正确； f （ x ）＝ 是幂函数
且为偶函数，故B错误； f （ x ）＝ ，在区间（－
∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，但在整个定义
域上不是减函数，故C错误；由 f （ x ）＝
的大致图象（如图）可知D选项
正确 .
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10. 下列命题为真命题的是（ ）
B. 函数 f （ x ）＝ sin ｜ x ｜是最小正周期为π的周期函数
D. 函数 y ＝ cos 2 x ＋ sin x 的最小值为－1
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解析： A中， ， k ∈Z是正切函数图象的对称中
心，故A正确；B中， f （ x ）＝ sin ｜ x ｜不是周期函数，故B错
误；C中， ∈（ ＋ k π， ＋ k π）， k ∈Z，当 k ＝2 n ＋1， n ∈Z
时， sin ＜ cos ，故C错误；D中，∵ y ＝1－ sin 2 x ＋ sin x ＝－
（ sin x － ）2＋ ，∴当 sin x ＝－1时， ymin＝－1，故D正确.故
选A、D.
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11. 已知函数 f （ x ）＝方程｜ f （ x ）－1｜＝2－
m （ m ∈R），则下列判断正确的是（ ）
B. 函数 f （ x ）在区间（3，＋∞）上单调递增
C. 当 m ∈（1，2）时，方程有2个不同的实数解
D. 当 m ∈（－1，0）时，方程有3个不同的实数解
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解析： 对于选项A， f （4）＝4， f （－1）
＝1－e，显然函数 f （ x ）的图象不关于直线 x
＝ 对称，错误；对于选项B， f （ x ）＝ x2－3 x
的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x ＝ ，
所以函数 f （ x ）在区间（3，＋∞）上单调递增，正确；对于选项C，作出函数 y ＝｜ f （ x ）－1｜的图象，如图，当 m ∈（1，2）时，2－ m ∈（0，1），结合图象可知方程｜ f （ x ）－1｜＝2－ m （ m ∈R）有2个不同的实数根，正确；对于选项D，当 m ∈（－1，0）时，2－ m ∈（2，3），结合图象可知方程｜ f （ x ）－1｜＝2－ m （ m ∈R）有4个不同的实数解，错误.故选B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 设函数 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1，若 f （2 024）＝－2 023，则 f （－2
024）＝ .
解析：函数 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1的定义域为R，令 g （ x ）＝ x3
cos x ， x ∈R，则 g （－ x ）＝（－ x ）3 cos （－ x ）＝－ x3 cos x
＝－ g （ x ），所以 g （ x ）为奇函数，又 f （2 024）＝ g （2
024）＋1＝－2 023，所以 g （2 024）＝－2 024，所以 f （－2
024）＝ g （－2 024）＋1＝－ g （2 024）＋1＝2 025.
2 025
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13. 一批救灾物资由51辆汽车从某市以 v km/h的速度匀速送达灾区，
已知两地公路线长400 km，为了安全，两辆汽车的间距不得小于
km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要 h.
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解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了 ＝ h，最
后一辆汽车走完全程共需要 h，所以一共需要 h，结
合基本不等式计算最值，可得 ＋ ≥2 ＝10（当且仅
当 ＝ ，即 v ＝80时，等号成立），故最少需要10 h.
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14. 设ω＞0，若函数 f （ x ）＝2 sin ω x 在 上单调递增，则ω
的取值范围是 ；若函数 f （ x ）＝2 sin ω x 在区间
上的最小值是－2，则ω的最小值为 .
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解析：令－ ≤ω x ≤ ，得－ ≤ x ≤ ，则 是函数
f （ x ）＝2 sin ω x （ω＞0）关于原点对称的递增区间中范围最大
的，∴ ，则解得ω≤ ，∴ω
的取值范围是 .要使函数 f （ x ）＝2 sin ω x （ω＞0）在区
间 上的最小值是－2，则 ≤ 或 T ≤ ，即 ≤ 或
≤π，解得ω≥ 或ω≥6，∴ω的最小值为 .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知tan α＝log23·log34－ ＋（0.125 .
（1）若α是第一象限角，求 sin α的值；
解： 因为tan α＝log23·log34－ ＋（0.125 ＝
log24－4＋4＝2，
所以 ＝2，又 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 sin 2α＝ ，
因为α是第一象限角，所以 sin α＝ .
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（2）求 的值.
解： ＝ ＝
＝ ＝－ .
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解： 由函数 f （ x ）＝ 是定义在（－2，2）上的
奇函数，
所以 f （0）＝ ＝0得 b ＝0，
又因为 f （1）＝ ＝ ，所以 a ＝2，
经检验，当 a ＝2， b ＝0时， f （－ x ）＝ ＝－
＝－ f （ x ）， f （ x ）是奇函数，
所以 a ＝2， b ＝0.
16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ 是定义在（－2，
2）上的奇函数，且 f （1）＝ .
（1）求实数 a 和 b 的值；
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（2）判断函数 f （ x ）在（－2，2）上的单调性，并证明你的
结论.
解：由（1）可知 f （ x ）＝ ，设－2＜ x1＜ x2＜2，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＝ －
＝
＝2·
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＝2· ，
因为－2＜ x1＜ x2＜2，所以 x1－ x2＜0，4－ ＞0，4－
＞0， x1 x2＋4＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在（－2，2）上单调递增.
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17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（其中ω＞
0，0＜φ＜ ）的最小正周期为π，且 .
①点（ ，1）在函数 y ＝ f （ x ）的图象上；②函数 f （ x ）的一
个零点为－ ；③ f （ x ）的一个增区间为（－ ， ）.请你从
以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给
分），补充完整题目，并求解下列问题：
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（1）求 f （ x ）的解析式；
解： 由题意最小正周期为 T ＝ ＝π，ω＞0，
解得ω＝2，所以 f （ x ）＝ sin （2 x ＋φ），
若选①，则 f （ ）＝ sin （2× ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝
＋2 k π， k ∈Z，
又0＜φ＜ ，所以 k ＝0，φ＝ ，
所以函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）.
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若选②，则 f （－ ）＝ sin （－ ＋φ）＝0，所以－ ＋φ＝
k π， k ∈Z，
又0＜φ＜ ，所以 k ＝0，φ＝ ，
所以函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ）.
若选③，即 f （ x ）的一个增区间为（－ ， ），
当 x ∈（－ ， ）时，2 x ＋φ∈（－ ＋φ， ＋φ），
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又0＜φ＜ ，由复合函数单调性可知，只能（－ ＋φ，
＋φ）＝（－ ， ），
则φ＝ ，所以函数 f （ x ）的解析式为 f （ x ）＝ sin （2 x ＋
）.
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（2）用“五点作图法”画出函数 f （ x ）一个周期内的图象.
解： 列表如下：
x
0 π 2π
0 1 0 －1 0
描点、连线（光滑曲线）画出函数 f
（ x ）一个周期内的图象如图所示：
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18. （本小题满分17分）如图①，有一块半径为2（单位：cm）的半
圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形 ABCD 的形状，它的下底 AB 是半
圆的直径，上底 CD 的端点在圆周上.为了求出等腰梯形 ABCD 的
周长 y （单位：cm）的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了
如下两种方案：
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（1）小明的方案：设梯形的腰长为 x （单位：cm），请你帮他求
y 与 x 之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值；
解： 因为 AD ＝ BC ＝ x ，作 DE ⊥
AB ，垂足为 E ，连接 BD ，
则∠ ADB ＝ ，故 AD2＝ AE × AB ，即 AE
＝ ，所以 CD ＝ AB －2 AE ＝4－ ，则 y ＝4＋2 x ＋4－ ＝－ ＋2 x ＋8，依题意得，0＜ x ＜2 ，故 y ＝－ ＋2 x
＋8，0＜ x ＜2 ，其对称轴为 x ＝2∈（0，2 ），则 x ＝2
时， ymax＝10 cm.
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（2）小亮的方案：如图②，连接 AC ，设∠ BAC ＝θ，请你帮他
求 y 与θ之间的函数关系式，并求出梯形周长的最大值.
解： 过点 C 作 CF 垂直于 AB 于点
F ，因为∠ ACB ＝ ， AB ＝4，
所以 BC ＝ AB sin θ＝4 sin θ，
又∠ BCF ＝∠ BAC ＝θ，所以 BF ＝ BC sin θ＝4 sin 2θ，
所以 CD ＝ AB －2 BF ＝4－8 sin 2θ，则梯形的周长 y ＝ AB ＋ CD ＋2 BC ＝4＋4－8 sin 2θ＋8 sin θ＝－8 sin 2θ＋8 sin
θ＋8，
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且0＜θ＜ ，
设 t ＝ sin θ∈（0， ），则 y ＝－8 t2＋
8 t ＋8，对称轴为 t ＝ ∈（0， ），所
以 t ＝ ，即θ＝ 时， ymax＝10.
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19. （本小题满分17分）设函数 f （ x ）的定义域为 D ，对于区间 I ＝
[ a ， b ]（ a ＜ b ， I D ），若满足以下两条性质之一，则称 I 为 f
（ x ）的一个“Ω区间”.
性质1：对任意 x ∈ I ，有 f （ x ）∈ I ；
性质2：对任意 x ∈ I ，有 f （ x ） I .
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（1）分别判断区间[1，2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接
写出结论）；
① y ＝3－ x ；② y ＝ ；
解： 对①， x ∈[1，2]， y ＝3－ x ∈[1，2]，满足性
质1，[1，2]是函数的“Ω区间”.
对②，当 x ＝1时， y ＝3 [1，2]，当 x ＝2时， y ＝ ∈[1，
2]，故不满足性质1，2，
[1，2]不是函数的“Ω区间”.
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（2）已知定义在R上，且图象连续不断的函数 f （ x ）单调递减，
且满足：对任意 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，有 ＜
－1.求证： f （ x ）存在“Ω区间”；
解： 证明：对于任意区间 I ＝[ a ， b ]（ a ＜ b ），记 S
＝{ f （ x ）｜ x ∈ I }，
由题意知 f （ x ）在 I 上单调递减，则 S ＝[ f （ b ）， f （ a ）].
因为 ＜－1，所以 f （ a ）－ f （ b ）＞ b － a ，
即 S 的长度大于 I 的长度，故不满足性质1.
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因此，如果 I 为 f （ x ）的“Ω区间”，只能满足性质2，则 S
∩ I ＝ ，
即只需存在 a ∈R使得 f （ a ）＜ a ，或存在 b ∈R使得 f
（ b ）＞ b .
因为 f （ x ）＝ x 不恒成立，所以上述条件满足，所以 f
（ x ）一定存在“Ω区间”.
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（3）若[0， m ]（ m ＞0）是函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x 的“Ω区
间”，求 m 的取值范围.
解： 记 I ＝[0， m ]（ m ＞0）， S ＝{ f （ x ）｜ x ∈
I }，注意到 f （0）＝0∈[0， m ]，
因此，若 I 为函数 f （ x ）的“Ω区间”，则其不满足性质2，
必满足性质1，即 S I .
f （ x ）＝－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1.
当0＜ m ＜1时， f （ x ）在 I 上单调递增，且 f （ m ）－ m ＝
－ m （ m －1）＞0，
所以 S ＝[0， f （ m ）]不包含于 I ＝[0， m ]，不合题意；
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当1≤ m ≤2时， S ＝[ f （0）， f （1）]＝[0，1] [0， m ]
＝ I ，符合题意；
当 m ＞2时， f （ m ）＜ f （2）＝ f （0）＝0，所以 f （ m ）
I ，不合题意.
综上， m ∈[1，2].
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谢 谢 观 看！
