9.2.1 第1课时 向量的加法运算(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第二册

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名称 9.2.1 第1课时 向量的加法运算(课件 学案 练习)高中数学苏教版(2019)必修 第二册
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资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-07 06:43:02

文档简介

第1课时 向量的加法运算
1.(2024·扬州邗江一中月考)下列向量关系式中,正确的是(  )
A.=    B.+=
C.+= D.++=
2.在四边形ABCD中,+=,则四边形ABCD是(  )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
3.(2024·淮安月考)若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(  )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+)km
4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是(  )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
5.(多选)在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,下列等式成立的是(  )
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
6.(多选)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为(  )
A.4 B.8
C.10 D.12
7.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.则
(1)++=    ;
(2)++=    .
8.(2024·盐城月考)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,则|+|=    .
9.在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么+=    ,+=    .
10.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).
11.(2024·南京月考)P为四边形ABCD所在平面上一点,+++=+,则P为(  )
A.四边形ABCD对角线的交点
B.AC的中点
C.BD的中点
D.CD边上一点
12.(多选)设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的是(  )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|=|a|+|b|
13.(2024·镇江月考)如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,则|a+b+c|=    .
14.如图,点D,E,F分别为△ABC的三边AB,BC,CA的中点.求证:
(1)+=+;
(2)++=0.
15.如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d;
(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
第1课时 向量的加法运算
1.D 对于A,=-,故A错误;对于B,由+==-≠,故B错误;对于C,+=+=,故C错误;对于D,由向量加法的运算法则,有++=,故D正确.故选D.
2.D 由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.故选D.
3.B 如图,易知tan α=,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.又|a+b|=2 km,故选B.
4.D 由+=,根据平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外,故D正确.
5.ABD 如图,由向量加法的平行四边形法则知A、D正确;由三角形法则知B正确,C错误.故选A、B、D.
6.AD 由a∥b可知,a,b共线.由|a|=2|b|=8可得,|a|=8,|b|=4.当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|=12,当a,b方向相反时,|a+b|=|a|-|b|=4.故选A、D.
7.(1) (2)0 解析:(1)++=+=.
(2)++=++=+=0.
8.2 解析:如图所示,设菱形ABCD的对角线的交点为O.+=+=.∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形.又∵AB=2,∴OB=1.在Rt△AOB中,AO==,∴||=2||=2,即|+|=2.
9.  解析:因为DE∥BC,AB∥CF,所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知+=+=,+=+=.
10.解:设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,
则飞机飞行的路程指的是||+||;两次位移的和指的是+=.
依题意,有||+||=800+600=1 400,∠ABC=35°+55°=90°.
在Rt△ABC中,||===1 000,
所以sin∠BAC=0.6,所以∠BAC=37°,即两次位移的和的方向为北偏东35°+37°=72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次位移的和的大小为1 000 km,方向为北偏东72°.
11.B 因为=+,=+,+++=+,所以+=+,所以+=0.所以P为线段AC的中点,故选B.
12.ACD 因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0.所以A、C、D正确.故选A、C、D.
13.8 解析:a+b+c=++=+.如图,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE.∵==,∴四边形ACED是平行四边形,∴=,∴+=+=,∴|a+b+c|=||=2||=2||=8.
14.证明:(1)由向量加法的三角形法则,
∵+=,+=,
∴+=+.
(2)由向量加法的平行四边形法则,
∵=+,=+,=+,
∴++=+++++=(+)+(+)+(+)=0+0+0=0.
15.解:(1)在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d.如图所示.
(2)在平面内任取一点O,
作=a,=e,
则a+e=+=,
因为e为单位向量,
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1处时,O,A,B1三点共线,此时||即|a+e|取得最大值,最大值是3.
2 / 2第1课时 向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算,理解其几何意义 数学抽象
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能利用两个法则进行向量的加法运算 直观想象
如图,一个人先从景点O到景点A,再从景点A到景点B和这个人直接由景点O到景点B的结果是相同的,即都从景点O到达景点B.利用向量表示就是:从景点O到景点A的位移为,从景点A到景点B的位移为,由景点O到景点B的位移是.
【问题】 向量,,三者之间有何关系?
                                            
                                            
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1.定义:求两个向量和的运算.
2.向量求和的运算法则
三角形 法则 已知向量a和b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量叫作a与b的和,记作    ,即a+b=      =
平行四边 形法则 对于任意两个     的非零向量a,b,分别作=a,=b,以OA,OC为邻边作    ,则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和
提醒 (1)运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,再首尾相连”;(2)运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同.
知识点二 向量加法的运算律
交换律 结合律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
提醒 |a+b|与|a|,|b|之间的关系:一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立.
1.在△ABC中,=a,=b,则a+b=(  )
A.       B.
C. D.
2.(多选)下列说法正确的是(  )
A.a+0=a B.|a+b|=|a|+|b|
C.a+b=b+a D.=++
3.在正方形ABCD中,若||=1,则+|=    .
题型一 向量加法的运算法则
【例1】 (链接教科书第11页例1)(1)如图①所示,求作向量a+b;
(2)如图②所示,求作向量a+b+c.
通性通法
求作和向量的方法
(1)利用三角形法则:在平面内任取一点,以该点为始点,将两向量平移到首尾相接,从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接;
(2)利用平行四边形法则:在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
【跟踪训练】
1.(2024·连云港月考)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=(  )
A.       B.
C. D.
2.已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,||=1,则|+|=    .
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】 (链接教科书第13页练习第4题)化简下列各式:
(1)++;
(2)(+)+(+);
(3)++++.
通性通法
1.当两个向量共线时,向量加法的交换律和结合律也成立.
2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行,如(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e).
3.向量求和的多边形法则:+++…+=.特别地,当An和A1重合时,+++…+=0.
【跟踪训练】
1.在平行四边形ABCD中,++=(  )
A. B.
C. D.
2.如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.
则:①+=    ;
②++=    ;
③++=    .
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 (链接教科书第12页例2)如图,在长江南岸某渡口处,江水以10 km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为20 km/h.
(1)用向量表示水流速度,渡船的静水速度,以及渡船的实际速度;
(2)若渡船从南岸出发垂直地渡过长江,则渡船的航向应如何确定?
【母题探究】
1.(变设问)若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多少km?
2.(变设问)若本例条件不变,本例(2)中改为“若渡船沿垂直于水流的方向航行,求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值”.
通性通法
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【跟踪训练】
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4 m/s,现在有风,风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时速度的大小和方向.
1.(多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为的是(  )
A.++ B.++
C.++ D.++
2.(2024·南通月考)a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则(  )
A.a,b同向
B.a,b反向
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
3.如图,在矩形ABCD中,++=    .
4.某人在静水中游泳,速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸,水流的流速为4 km/h,则此人实际沿    的方向前进,速度为    .
第1课时 向量的加法运算
【基础知识·重落实】
知识点一
2.a+b + 不共线  OABC 自我诊断
1.D +=.故选D.
2.ACD A中,a+0=a,故A正确;B中,|a+b|=|a|+|b|不一定成立,例如,a=-b时,该式不成立,故B错误;C、D正确.故选A、C、D.
3. 解析:根据向量加法的平行四边形法则知,+=,则|+|=||=.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图③所示.
(2)法一(三角形法则)
如图④所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则得向量=a+b,然后作向量=c,则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求.
法二(平行四边形法则)
如图⑤所示,
首先在平面内任取一点O,作向量=a,=b,=c,
以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,
则=+=a+b.
再以OD,OC为邻边作 ODEC,连接OE,
则=+=a+b+c即为所求.
跟踪训练
1.C 以OP,OQ为邻边作平行四边形,如图所示,则+=,由和的模相等,方向相同,得=,即+=.
2.1 解析:因为在菱形ABCD中,∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形,所以|+|=||=||=1.
【例2】 解:(1)++=(+)+=+=.
(2)法一 (+)+(+)=(+)+(+)=+=.
法二 (+)+(+)=+(++)=+0=.
(3)++++=(+)+(++)=+=0.
跟踪训练
1.D 原式=++=.故选D.
2.①或 ② ③  
解析:①+=+=+=或+=+=.
②++=+=+=.
③++=++=++=.
【例3】 解:(1) 作出图形,如图.
设表示水流的速度,表示渡船的静水速度,表示渡船的实际速度.
(2)船速v船与正北方向成α角,
由图可知,v水+v船=v实际,即+=.
∴四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10 km/h,||=|v船|=20 km/h,
∴sin α===,∴α=30°,从而渡船行进的方向与正北方向成30°的角.
故渡船行进的方向应为北偏西30°.
母题探究
1.解:由图可知||=cos α||=||=×20=10(km/h),
则经过3小时,该船的实际航程是3×10=30(km).
2.解:如图所示,||=||=|v船|=20 km/h,||=|v水|=10 km/h,
渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC,则tan∠BAC==2.
即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2.
跟踪训练
 解:如图,用表示无风时雨滴下落的速度,表示风使雨滴水平向东的速度.以,为邻边作平行四边形OACB,则就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中,||=4,||=||=,
所以||===,
所以tan∠AOC===,
所以∠AOC=30°.
故雨滴着地时速度的大小是 m/s,方向为与竖直向下方向成30°角.
随堂检测
1.ABD 在A中,++=+=;在B中,++=+=;在C中,++=+=;在D中,++=+=+=.故选A、B、D.
2.A 当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;向量a与b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+b|=|a|+|b|;向量a与b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a的方向相反),且|a+b|=|b|-|a|.故选A.
3. 解析:++=+=.
4.与水流方向成60° 8 km/h
解析:如图所示,∵OB=4,OA=4,∴OC=8,∠COA=60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进,速度为8 km/h.
4 / 4(共58张PPT)
第1课时 
向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量
加法运算,理解其几何意义 数学抽象
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,
并能利用两个法则进行向量的加法运算 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图,一个人先从景点O到景点A,再从景点A到景点B和这个人直
接由景点O到景点B的结果是相同的,即都从景点O到达景点B. 利
用向量表示就是:从景点O到景点A的位移为 ,从景点A到景点B
的位移为 ,由景点O到景点B的位移是 .
【问题】 向量 , , 三者之间有何关系?
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
1. 定义:求两个向量和的运算.
2. 向量求和的运算法则
三角形 法则 已知向量a和b,在平面内任取一点O,作 =a, =
b,则向量 叫作a与b的和,记作 ,即a+b
= =
a+b 
+  
平行四
边 形法则 对于任意两个 的非零向量a,b,分别作 =
a, =b,以OA,OC为邻边作 ,则以O
为起点的对角线表示的向量 就是向量a与b的和
提醒 (1)运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,再
首尾相连”;(2)运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强
调两个向量起点相同.
不共线 
OABC 
知识点二 向量加法的运算律
交换律 结合律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
提醒 |a+b|与|a|,|b|之间的关系:一般地,我们有|a
+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是
方向相同的非零向量时,等号成立.
1. 在△ABC中, =a, =b,则a+b=(  )
A. B. C. D.
解析:   + = .故选D.

2. (多选)下列说法正确的是(  )
A. a+0=a
B. |a+b|=|a|+|b|
C. a+b=b+a
D. = + +
解析:  A中,a+0=a,故A正确;B中,|a+b|=|
a|+|b|不一定成立,例如,a=-b时,该式不成立,故B错
误;C、D正确.故选A、C、D.



3. 在正方形ABCD中,若| |=1,则 + |= .
解析:根据向量加法的平行四边形法则知, + = ,则|
+ |=| |= .
 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量加法的运算法则
【例1】 (链接教科书第11页例1)(1)如图①所示,求作向量a
+b;
解: 首先作向量 =a,
然后作向量 =b,
则向量 =a+b.如图③所示.
(2)如图②所示,求作向量a+b+c.
解: 法一(三角形法则) 如图④所示,
首先在平面内任取一点O,作向量 =a,再
作向量 =b,则得向量 =a+b,然后作
向量 =c,则向量 =(a+b)+c=a+
b+c即为所求.
法二(平行四边形法则) 如图⑤所示,
首先在平面内任取一点O,作向量 =a,
=b, =c,
以OA,OB为邻边作 OADB,连接OD,
则 = + =a+b.
再以OD,OC为邻边作 ODEC,
连接OE,
则 = + =a+b+c即为所求.
通性通法
求作和向量的方法
(1)利用三角形法则:在平面内任取一点,以该点为始点,将两向
量平移到首尾相接,从该始点到另外一个终点的向量就是这两
个向量的和.一定要注意首尾相接;
(2)利用平行四边形法则:在平面内任取一点,从此点出发分别作
两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行
四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个
向量的和.
【跟踪训练】
1. (2024·连云港月考)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则 + =( )
A. B.
C. D.

解析:  以OP,OQ为邻边作平行四边形,
如图所示,则 + = ,由 和 的
模相等,方向相同,得 = ,即 +
= .
2. 已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,| |=1,则| +
|= .
解析:因为在菱形ABCD中,∠BAD=60°,所以△ABD为等边
三角形,所以| + |=| |=| |=1.
1 
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】 (链接教科书第13页练习第4题)化简下列各式:
(1) + + ;
解: + + =( + )+ = + = .
法二 ( + )+( + )= +( + + )=
+0= .
解: + + + + =( + )+( + +
)= + =0.
(2)( + )+( + );
解:法一 ( + )+( + )=( + )+
( + )= + = .
(3) + + + + .
通性通法
1. 当两个向量共线时,向量加法的交换律和结合律也成立.
2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行,如
(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+
e=[d+(a+c)]+(b+e).
3. 向量求和的多边形法则: + + +…+ =
.特别地,当An和A1重合时, + + +…+
=0.
【跟踪训练】
1. 在平行四边形ABCD中, + + =(  )
A. B.
C. D.
解析:  原式= + + = .故选D.

2. 如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.
则:① + = ;
或  
② + + = ;
③ + + = .
 
 
解析:① + = + = + = 或 + =
+ = .
② + + = + = + = .
③ + + = + + = + + = .
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 (链接教科书第12页例2)如图,在长江南
岸某渡口处,江水以10 km/h的速度向东流,渡船在静
水中的速度为20 km/h.
(1)用向量表示水流速度,渡船的静水速度,以及渡船的实际速度;
解: 作出图形,如图.
设 表示水流的速度, 表示渡船的静水
速度, 表示渡船的实际速度.
(2)若渡船从南岸出发垂直地渡过长江,则渡船的航向应如何确
定?
解: 船速v船与正北方向成α角,由图可知,v水+v船=v实际,即 + = .
∴四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中,| |=| |=|v水|
=10 km/h,| |=|v船|=20 km/h,
∴ sin α= = = ,∴α=30°,从而渡船行进的方向
与正北方向成30°的角.
故渡船行进的方向应为北偏西30°.
【母题探究】
1. (变设问)若本例条件不变,则经过3小时,该船的实际航程是多
少km?
解:由图可知| |= cos α| |= | |= ×20=
10 (km/h),
则经过3小时,该船的实际航程是3×10 =30 (km).
2. (变设问)若本例条件不变,本例(2)中改为“若渡船沿垂直于
水流的方向航行,求渡船实际行进的方向与河岸的夹角的正切
值”.
解:如图所示,| |=| |=|v船|=20
km/h,| |=|v水|=10 km/h,
渡船实际行进的方向与河岸的夹角为∠BAC,则
tan∠BAC= =2.
即船实际行进的方向与河岸的夹角的正切值为2.
通性通法
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
【跟踪训练】
雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4
m/s,现在有风,风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动,求雨滴着
地时速度的大小和方向.
解:如图,用 表示无风时雨滴下落的速度, 表示风
使雨滴水平向东的速度.以 , 为邻边作平行四边形
OACB,则 就是雨滴下落的实际速度.
在Rt△OAC中,| |=4,| |=| |= ,
所以| |= = = ,
所以tan∠AOC= = = ,所以∠AOC=30°.
故雨滴着地时速度的大小是 m/s,方向为与竖直向下方
向成30°角.
1. (多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式子能化简为 的是
(  )
A. + + B. + +
C. + + D. + +
解析:  在A中, + + = + = ;在B
中, + + = + = ;在C中, + + =
+ = ;在D中, + + = + = +
= .故选A、B、D.



2. (2024·南通月考)a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|
b|,则(  )
A. a,b同向
B. a,b反向
C. a=-b
D. a,b无论什么关系均可

解析:  当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b
的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;向量a与b同向
时,a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+b|=|a|
+|b|;向量a与b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的
方向相同(与a的方向相反),且|a+b|=|b|-|a|.故
选A.
3. 如图,在矩形ABCD中, + + = .
解析: + + = + = .

4. 某人在静水中游泳,速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方
向游向河对岸,水流的流速为4 km/h,则此人实际沿
的方向前进,速度为 .
解析:如图所示,∵OB=4 ,OA=4,∴OC=
8,∠COA=60°.即他实际沿与水流方向成60°的方
向前进,速度为8 km/h.
与水流方向
成60° 
8 km/h 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. (2024·扬州邗江一中月考)下列向量关系式中,正确的是
(  )
A. =
B. + =
C. + =
D. + + =

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解析:  对于A, =- ,故A错误;对于B,由 +
= =- ≠ ,故B错误;对于C, + = + =
,故C错误;对于D,由向量加法的运算法则,有 + +
= ,故D正确.故选D.
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2. 在四边形ABCD中, + = ,则四边形ABCD是(  )
A. 梯形 B. 矩形
C. 正方形 D. 平行四边形
解析:  由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为
邻边的平行四边形.故选D.

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3. (2024·淮安月考)若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示
“向北航行 km”,则向量a+b表示(  )
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
D. 向东北方向航行(1+ )km
解析:  如图,易知tan α= ,所以α=30°.
故a+b的方向是北偏东30°.又|a+b|=2
km,故选B.

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4. 已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 + =
,则下列结论中正确的是(  )
A. P在△ABC的内部
B. P在△ABC的边AB上
C. P在AB边所在的直线上
D. P在△ABC的外部
解析:  由 + = ,根据平行四边形法
则,如图,则点P在△ABC外,故D正确.

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5. (多选)在 ABCD中,设 =a, =b, =c, =
d,下列等式成立的是(  )
A. a+b=c B. a+d=b
C. b+d=a D. |a+b|=|c|
解析:  如图,由向量加法的平行四边形法则
知A、D正确;由三角形法则知B正确,C错误.故选
A、B、D.



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6. (多选)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能
为(  )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
解析:  由a∥b可知,a,b共线.由|a|=2|b|=8可
得,|a|=8,|b|=4.当a,b方向相同时,|a+b|=|
a|+|b|=12,当a,b方向相反时,|a+b|=|a|-|
b|=4.故选A、D.


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7. 如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.则
(1) + + = ;
解析: + + = + = .
(2) + + = .
解析: + + = + + = + =0.
 
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8. (2024·盐城月考)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,| |=
2,则| + |= .
解析:如图所示,设菱形ABCD的对角线的交点为
O. + = + = .∵∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形.又∵AB=2,∴OB=1.在
Rt△AOB中,AO= = ,∴| |=2| |=2 ,即| + |=2 .
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9. 在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线
上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么 +
= , + = .
解析:因为DE∥BC,AB∥CF,所以四边形DFCB为平行四边
形.由向量加法的运算法则可知 + = + = , +
= + = .
 
 
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10. 如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达
B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求
这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据: sin 37°=
0.6).
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解:设 , 分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,
则飞机飞行的路程指的是| |+| |;两次位移的和指的
是 + = .
依题意,有| |+| |=800+600=1 400,∠ABC=35°
+55°=90°.
在Rt△ABC中,| |= =
=1 000,
所以 sin ∠BAC=0.6,所以∠BAC=37°,即两次位移的和的方
向为北偏东35°+37°=72°.
从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次位移的和的大小为1 000
km,方向为北偏东72°.
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11. (2024·南京月考)P为四边形ABCD所在平面上一点, +
+ + = + ,则P为(  )
A. 四边形ABCD对角线的交点 B. AC的中点
C. BD的中点 D. CD边上一点
解析:  因为 = + , = + , + +
+ = + ,所以 + = + ,所以 + =
0.所以P为线段AC的中点,故选B.

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12. (多选)设a=( + )+( + ),b是任一非零向
量,则在下列结论中,正确的是(  )
A. a∥b B. a+b=a
C. a+b=b D. |a+b|=|a|+|b|
解析:  因为a=( + )+( + )=( +
)+( + )= + =0.所以A、C、D正确.故选
A、C、D.



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13. (2024·镇江月考)如图所示,已知在矩形ABCD中,| |=
4 ,设 =a, =b, =c,则|a+b+c|
= .
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解析:a+b+c= + + =
+ .如图,延长BC至点E,使CE=
BC,连接DE. ∵ = = ,∴四
边形ACED是平行四边形,∴ = ,∴ + = + = ,∴|a+b+c|=| |=2| |=2| |
=8 .
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14. 如图,点D,E,F分别为△ABC的三边AB,BC,CA的中点.
求证:
(1) + = + ;
证明: 由向量加法的三角形法则,
∵ + = , + = ,
∴ + = + .
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(2) + + =0.
证明: 由向量加法的平行四边形法则,∵ = + , = + , = + ,
∴ + + = + + + + + =( + )+( + )+( + )=0+0+0=0.
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15. 如图,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d;
解: 在平面内任取一点O,作 =
a, =b, =c, =d,则 =a
+b+c+d.如图所示.
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(2)设|a|=2,e为单位向量,求|a+e|的最大值.
解: 在平面内任取一点O,
作 =a, =e,
则a+e= + = ,
因为e为单位向量,
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1处时,O,A,B1三点共线,此时| |即|a+e|取得最大值,最大值是3.
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谢 谢 观 看!