第2课时 向量的减法运算
1.化简-++=( )
A. B.
C. D.
2.(2024·南通月考)如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则=( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
3.(2024·苏州吴江中学月考)已知在四边形ABCD中,-=-,则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.边长为1的正三角形ABC中,|-|=( )
A.1 B.2
C. D.
5.(多选)如图,在五边形ABCDE中,下列运算结果为的是( )
A.+-
B.+
C.-
D.-
6.(多选)对于菱形ABCD,下列各式正确的是( )
A.=
B.||=||
C.|-|=|+|
D.|+|=|-|
7.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++= .
8.(2024·镇江月考)若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是 .
9.在矩形ABCD中,||=2,||=4,则|+-|= ,|++|= .
10.向量a,b,c,d,e如图所示,据图解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
11.在如图所示的四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则=( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
12.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|2>|-|2+|-|2
13.(2024·宿迁月考)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .
14.如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直?
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
15.如图,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.
第2课时 向量的减法运算
1.B 原式=(+)+(+)=+0=.
2.D 由题可得===-=b-c,故选D.
3.A 由-=-,得=,所以四边形ABCD一定是平行四边形.故选A.
4.D 如图延长AB到D.使AB=BD.∴=,∴|-|=|-|=||,∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC=60°,∴∠D=∠BCD=30°,∴△ACD为直角三角形,∴||= = =,∴|-|=.故选D.
5.AB +-=+=,故A正确;+=,故B正确;-=+=,故C错误;-=+≠,故D错误.故选A、B.
6.BCD 向量与的方向不同,但它们的模相等,所以B正确,A错误;因为|-|=|+|=2||,|+|=2||,且||=||,所以|-|=|+|,所以C正确;因为|+|=|+|=||,|-|=||,所以D正确.故选B、C、D.
7. 解析:--++=+++=.
8.30° 解析:设=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示,则a+b=,a-b=.∵|a|=|b|=|a-b|,∴||=||=||,∴△OAB是等边三角形,四边形OACB是菱形,∴∠BOA=60°.在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,∴a与a+b所在直线的夹角为30°.
9.4 8 解析:∵+-=+-=-+=+=2,∴|+-|=|2|=2=4.∵++=+=2,∴|++|=2||=8.
10.解:由图知,=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=++=a+d+e.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=a+b+e.
(4)=-=-(+)=-c-d.
11.A =-++=-b+a+c=a-b+c.故选A.
12.ABC 由条件可知||=||,以,为邻边的四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|,故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确;|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;|-|2=||2,|-|2=||2,|-|2=||2,由条件可知||2=||2+||2,即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误.故选A、B、C.
13.4 解析:如图,设=a,=b,则||=|a-b|.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|,由于(+1)2+(-1)2=42,因此||2+||2=||2,因此△OAB是直角三角形,从而OA⊥OB,所以四边形OACB是矩形,所以||=||=4,即|a+b|=4.
14.解:(1)=+=a+b,=-=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为 ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
15.证明:如图,连接AH,HC,延长BO交圆O于点D,连接DA,DC,则OB=OD,DA⊥AB,DC⊥BC.
又AH⊥BC,CH⊥AB,
所以CH∥DA,AH∥DC,
所以四边形AHCD是平行四边形,
所以=.
又=-=+,
所以=+=+=++.
3 / 3第2课时 向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解向量加法与减法的关系 逻辑推理
2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义 直观想象
在实数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是:减去一个数等于加上这个数的相反数.如图,向量是向量与向量x的和.
【问题】 (1)类比实数的运算,向量的减法与加法有什么关系?
(2)图中,结合向量加法的几何表示,你能作出向量x吗?
知识点 向量的减法
1.定义:平面上任意两个向量a,b,如果向量x满足 ,则向量x叫作a与b的差,记为 .求两个向量差的运算,叫作向量的减法.
2.作法:如图,在平面内任取一点O,作 , ,则向量a-b= .
3.法则:当向量 时,向量a,b,a-b正好能构成一个三角形,因此求两 的作图方法也常称为向量作差的 .
4.几何意义:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
提醒 对向量减法的三点说明:①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法,即a-b=a+(-b);②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点;③在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.
5.|a+b|与|a-b|的几何意义
若a,b是不共线的向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是:
如图所示,设=a,=b,则=a+b,=a-b.因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=||,|a-b|=||,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
1.在△ABC中,若=a,=b,则=( )
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.下列计算正确的是( )
A.-= B.-=
C.-= D.+=
3.(2024·苏州汾湖高中月考)化简:-+= .
题型一 向量减法及其几何意义
【例1】 (链接教科书第13页例3)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可;
(2)用向量减法的三角形法则,即通过平移使两个向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
【跟踪训练】
如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作:
(1)向量b+c-a;
(2)向量a-b-c.
题型二 向量的减法运算
【例2】 (链接教科书第15页练习4题)(1)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为( )
A.0 B.
C. D.
(2)化简:①+--;
②(++)-(--).
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
化简:(1)--++;
(2)(-)-(-).
题型三 向量加、减法法则的综合应用
【例3】 (链接教科书第14页例4)如图,点O是 ABCD的两条对角线的交点,=a,=b.
(1)试用向量a,b表示向量,;
(2)若=c,求证:c-b-a=.
【母题探究】
(变设问)本例条件不变,当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键:一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形中,可以通过平移其中的一个向量来达到此目的;
(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【跟踪训练】
如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,.
题型四 向量减法几何意义的应用
【例4】 (链接教科书第16页习题14题)已知||=6,||=9,求:
(1)|-|的取值范围;
(2)|+|的取值范围.
通性通法
向量加减法几何意义的应用
(1)由题意作出相应的几何图形,构造有关向量,一般作图思路为①首尾相连对应和;②起点相同对应差;
(2)利用三角形法则或平行四边形法则,对向量进行加减运算;
(3)弄懂a+b,a-b的几何意义,正确理解|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的几何含义及等号成立的条件.
【跟踪训练】
(2024·无锡月考)若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则( )
A.|2a|>|2a-b| B.|2a|<|2a-b|
C.|2b|>|a-2b| D.|2b|≤|a-2b|
1.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,则可以表示为( )
A.a+b B.a-b
C.b-a D.-a-b
2.(多选)下列四个等式中正确的是( )
A.a-b=b-a B.-(-a)=a
C.++=0 D.a+(-a)=0
3.(2024·徐州月考)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与b的夹角为 .
4.已知|a|=8,|b|=6,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
第2课时 向量的减法运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.b+x=a a-b
2.=a =b
3.a,b不共线 向量差 三角形法则
自我诊断
1.D =-=a-b.故选D.
2.B ∵-=,∴B正确,A错误;∵-=+=,∴C错误,D错误.故选B.
3.0 解析:由向量的加减法运算知,-+=++=+=0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:法一 如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二 如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
跟踪训练
解:(1)以,为邻边作 OBDC,
如图,连接OD,AD,
则=+=b+c,
=-=b+c-a.
(2)由a-b-c=a-(b+c),如图,
作 OBEC,连接OE,则=+=b+c,连接AE,则=a-(b+c)=a-b-c.
【例2】 (1)A +--=-+-=+=0,故选A.
(2)解:①+--=(-)+(-)=+=.
②(++)-(--)=+-+=+++=0.
跟踪训练
解:(1)--++=++++=+=-=.
(2)法一 (-)-(-)=--+=+++=+++=0.
法二 (-)-(-)=--+=(-)-+=-+=+=0.
法三 设O是平面内任意一点,则(-)-(-)=--+=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0.
【例3】 解:(1)由向量加法的平行四边形法则,得=a+b;
同样,由向量减法的三角形法则,知=-=a-b.
(2)证明:c-b-a=--=+-=+-=-==.
母题探究
解:|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线长度相等,这样的平行四边形为矩形,故a,b应互相垂直.
跟踪训练
解:由平行四边形的性质可知==c,
由向量的减法可知=-=b-a,
由向量的加法可知=+=b-a+c.
【例4】 解:(1)∵|||-|||≤|-|≤||+||,且||=9,||=6,
∴3≤|-|≤15,
当与同向时,|-|=3;当与反向时,|-|=15.
∴|-|的取值范围为[3,15].
(2)由|||-|||≤|+|≤||+||,且||=6,||=9,
∴3≤|+|≤15.
当与同向时,|+|=15;当与反向时,|+|=3.
∴|+|的取值范围为[3,15].
跟踪训练
C ∵|a-b|=|b|,∴|a-2b|=|a-b-b|≤|a-b|+|b|=|2b|.若|a-2b|=|2b|,由|a-b|=|b|,则a必为零向量,∴这与a,b非零向量矛盾,即|a-2b|≠|2b|,∴|2b|>|a-2b|.同理知无法判断|2a|,|2a-b|之间的大小关系.故选C.
随堂检测
1.D 在平行四边形ABCD中,依题意,=-=-a,而=b,所以=-=-a-b.故选D.
2.BC A中,a-b=-(b-a),故A错误;D中,a+(-a)=0,故D错误;B、C正确.故选B、C.
3.60° 解析:由题意可知a,b,a-b所在有向线段可构成等边三角形,故a,b的夹角为60°.
4.解:设=a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,如图所示,
则=a+b,=a-b,因为|a+b|=|a-b|,所以||=||.
又因为四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形,故AD⊥AB.
在Rt△DAB中,||=|a|=8,||=|b|=6,
由勾股定理,得||===10,所以|a-b|=10.
4 / 4(共57张PPT)
第2课时
向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解向量加法与减法的关系 逻辑推理
2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在实数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是:减
去一个数等于加上这个数的相反数.如图,向量 是向量 与向
量x的和.
【问题】 (1)类比实数的运算,向量的减法与加法有什么关系?
(2)图中,结合向量加法的几何表示,你能作出向量x吗?
知识点 向量的减法
1. 定义:平面上任意两个向量a,b,如果向量x满足
,则向量x叫作a与b的差,记为 .求两个向量差的运
算,叫作向量的减法.
2. 作法:如图,在平面内任取一点O,作 ,
,则向量a-b= .
b+x=
a
a-b
=a
=
b
3. 法则:当向量 时,向量a,b,a-b正好能构成
一个三角形,因此求两 的作图方法也常称为向量作差
的 .
4. 几何意义:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差
是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
a,b不共线
向量差
三角形法则
提醒 对向量减法的三点说明:①向量减法的实质是向量加法的逆
运算.利用相反向量的定义,- = ,就可以把减法转化为加
法,即a-b=a+(-b);②两个向量作差的前提是将两个向量
移到共同的起点;③在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起
点,连终点,指向被减”.
5. |a+b|与|a-b|的几何意义
若a,b是不共线的向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义分
别是:
如图所示,设 =a, =b,则 =a+b, =a-b.因
为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=| |,|a-
b|=| |,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对
角线的长.
1. 在△ABC中,若 =a, =b,则 =( )
A. a B. a+b C. b-a D. a-b
解析: = - =a-b.故选D.
2. 下列计算正确的是( )
A. - = B. - =
C. - = D. + =
解析: ∵ - = ,∴B正确,A错误;∵ - =
+ = ,∴C错误,D错误.故选B.
√
√
3. (2024·苏州汾湖高中月考)化简: - + = .
解析:由向量的加减法运算知, - + = + +
= + =0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量减法及其几何意义
【例1】 (链接教科书第13页例3)如图,已知向量a,b,c不共
线,求作向量a+b-c.
解:法一 如图①所示,在平面内任取一点O,作 =a, =
b,则 =a+b,再作 =c,则 =a+b-c.
法二 如图②所示,在平面内任取
一点O,作 =a, =b,则
=a+b,再作 =c,连接
OC,则 =a+b-c.
通性通法
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a
+(-b)即可;
(2)用向量减法的三角形法则,即通过平移使两个向量的起点重
合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的
向量.
【跟踪训练】
如图所示,O为△ABC内一点, =a, =b, =c,求作:
(1)向量b+c-a;
解: 以 , 为邻边作 OBDC,
如图,连接OD,AD,
则 = + =b+c,
= - =b+c-a.
(2)向量a-b-c.
解: 由a-b-c=a-(b+c),如图,作 OBEC,连接OE,则 = + =b+c,连接AE,则 =a-(b+c)=a-b-c.
题型二 向量的减法运算
【例2】 (链接教科书第15页练习4题)(1)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且 = ,则化简 + - - 的结果为( )
A. 0 B.
C. D.
√
解析: + - - = - + - =
+ =0,故选A.
(2)化简:① + - - ;
②( + + )-( - - ).
解:① + - - =( - )+( -
)= + = .
②( + + )-( - - )= + -
+ = + + + =0.
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
化简:(1) - - + + ;
解: - - + + = + + + +
= + = - = .
(2)( - )-( - ).
解: 法一 ( - )-( - )= - -
+ = + + + = + + + =0.
法二 ( - )-( - )= - - + =(
- )- + = - + = + =0.
法三 设O是平面内任意一点,则( - )-( - )=
- - + =( - )-( - )-( -
)+( - )= - - + - + + -
=0.
题型三 向量加、减法法则的综合应用
【例3】 (链接教科书第14页例4)如图,点O是 ABCD的两条对
角线的交点, =a, =b.
(1)试用向量a,b表示向量 , ;
解: 由向量加法的平行四边形法则,得 =a+b;
同样,由向量减法的三角形法则,知 = - =a-b.
(2)若 =c,求证:c-b-a= .
解:证明:c-b-a= - - = + - = + - = - = = .
【母题探究】
(变设问)本例条件不变,当a,b满足什么条件时,|a+b|
=|a-b|.
解:|a+b|=|a-b|表示平行四边形的两条对角线长度相等,
这样的平行四边形为矩形,故a,b应互相垂直.
通性通法
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键:一定要将两个向量之间的运算放在同一个三角形
中,可以通过平移其中的一个向量来达到此目的;
(2)三点注意:①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三
角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意
义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【跟踪训练】
如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,
且 =a, =b, =c,试用向量a,b,c表示向量 ,
, .
解:由平行四边形的性质可知 = =c,
由向量的减法可知 = - =b-a,
由向量的加法可知 = + =b-a+c.
题型四 向量减法几何意义的应用
【例4】 (链接教科书第16页习题14题)已知| |=6,| |
=9,求:
(1)| - |的取值范围;
解: ∵|| |-| ||≤| - |≤| |
+| |,且| |=9,| |=6,
∴3≤| - |≤15,
当 与 同向时,| - |=3;当 与 反向
时,| - |=15.
∴| - |的取值范围为[3,15].
(2)| + |的取值范围.
解: 由|| |-| ||≤| + |≤| |
+| |,且| |=6,| |=9,
∴3≤| + |≤15.
当 与 同向时,| + |=15;当 与 反向
时,| + |=3.
∴| + |的取值范围为[3,15].
通性通法
向量加减法几何意义的应用
(1)由题意作出相应的几何图形,构造有关向量,一般作图思路为
①首尾相连对应和;②起点相同对应差;
(2)利用三角形法则或平行四边形法则,对向量进行加减运算;
(3)弄懂a+b,a-b的几何意义,正确理解|a|-|b|≤|
a±b|≤|a|+|b|的几何含义及等号成立的条件.
【跟踪训练】
(2024·无锡月考)若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则
( )
A. |2a|>|2a-b|
B. |2a|<|2a-b|
C. |2b|>|a-2b|
D. |2b|≤|a-2b|
√
解析: ∵|a-b|=|b|,∴|a-2b|=|a-b-b|≤|
a-b|+|b|=|2b|.若|a-2b|=|2b|,由|a-b|
=|b|,则a必为零向量,∴这与a,b非零向量矛盾,即|a-
2b|≠|2b|,∴|2b|>|a-2b|.同理知无法判断|
2a|,|2a-b|之间的大小关系.故选C.
1. 如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且
=a, =b,则 可以表示为( )
A. a+b B. a-b
C. b-a D. -a-b
解析: 在平行四边形ABCD中,依题意, =- =-a,
而 =b,所以 = - =-a-b.故选D.
√
2. (多选)下列四个等式中正确的是( )
A. a-b=b-a B. -(-a)=a
C. + + =0 D. a+(-a)=0
解析: A中,a-b=-(b-a),故A错误;D中,a+
(-a)=0,故D错误;B、C正确.故选B、C.
√
√
3. (2024·徐州月考)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a
-b|,则a与b的夹角为 .
解析:由题意可知a,b,a-b所在有向线段可构成等边三角形,
故a,b的夹角为60°.
60°
4. 已知|a|=8,|b|=6,且|a+b|=|a-b|,求|a-
b|.
解:设 =a, =b,以AB,AD为邻边作平
行四边形ABCD,如图所示,
则 =a+b, =a-b,因为|a+b|=
|a-b|,所以| |=| |.
又因为四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形,故AD⊥AB.
在Rt△DAB中,| |=|a|=8,| |=|b|=6,
由勾股定理,得| |= = =10,所以|a-b|=10.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 - + + =( )
A. B.
C. D.
解析: 原式=( + )+( + )= +0= .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. (2024·南通月考)如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的
中心,其中 =a, =b, =c,则 =( )
A. a+b
B. b-a
C. c-b
D. b-c
解析: 由题可得 = = = - =b-c,故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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3. (2024·苏州吴江中学月考)已知在四边形ABCD中, - =
- ,则四边形ABCD一定是( )
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
解析: 由 - = - ,得 = ,所以四边形
ABCD一定是平行四边形.故选A.
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4. 边长为1的正三角形ABC中,| - |=( )
A. 1 B. 2
C. D.
√
解析: 如图延长AB到D. 使AB=BD. ∴ = ,∴| - |=| - |=| |,∵△ABC是边长为1的正三角形.∴∠ABC=60°,∴∠D=∠BCD=30°,∴△ACD为直角三角形,∴| |= = = ,
∴| - |= .故选D.
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5. (多选)如图,在五边形ABCDE中,下列运算结果为 的是
( )
A. + -
B. +
C. -
D. -
解析: + - = + = ,故A正确; +
= ,故B正确; - = + = ,故C错误;
- = + ≠ ,故D错误.故选A、B.
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6. (多选)对于菱形ABCD,下列各式正确的是( )
A. =
B. | |=| |
C. | - |=| + |
D. | + |=| - |
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解析: 向量 与 的方向不同,但它们的模相等,所以B
正确,A错误;因为| - |=| + |=2|
|,| + |=2| |,且| |=| |,所以|
- |=| + |,所以C正确;因为| + |
=| + |=| |,| - |=| |,所以D正
确.故选B、C、D.
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7. 如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则
- - + + = .
解析: - - + + = + + + = .
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8. (2024·镇江月考)若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-
b|,则a与a+b所在直线的夹角是 .
解析:设 =a, =b,以OA,OB为邻边
作平行四边形OACB,如图所示,则a+b=
,a-b= .∵|a|=|b|=|a-
b|,∴| |=| |=| |,∴△OAB是等边三角形,四边形OACB是菱形,∴∠BOA=60°.在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,∴a与a+b所在直线的夹角为30°.
30°
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9. 在矩形ABCD中,| |=2,| |=4,则| + -
|= ,| + + |= .
解析:∵ + - = + - = - + =
+ =2 ,∴| + - |=|2 |=2 =
4 .∵ + + = + =2 ,∴| + + |
=2| |=8.
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10. 向量a,b,c,d,e如图所示,据图解答下列各题:
(1)用a,d,e表示 ;
(1) = + + =a+d+e.
解:由图知, =a, =b, =c, =d, =e.
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(2)用b,c表示 ;
解析: = - =- - =-b-c.
(3)用a,b,e表示 ;
解析: = + + =a+b+e.
(4)用d,c表示 .
解析: =- =-( + )=-c-d.
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11. 在如图所示的四边形ABCD中,设 =a, =b, =c,
则 =( )
A. a-b+c
B. b-(a+c)
C. a+b+c
D. b-a+c
解析: =- + + =-b+a+c=a-b+c.故
选A.
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12. (多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有
( )
A. | + |=| - |
B. | - |=| - |
C. | - |=| - |
D. | - |2>| - |2+| - |2
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解析: 由条件可知| |=| |,以 , 为邻边
的四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|
+ |=| - |,故A正确;| - |=|
|,| - |=| |,所以| - |=| -
|,故B正确;| - |=| + |=| |,|
- |=| + |=| |,所以| - |=|
- |,故C正确;| - |2=| |2,| - |2=| |2,| - |2=| |2,由条件可知| |2=| |2+| |2,即| - |2=| - |2+| - |2,故D错误.故选A、B、C.
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13. (2024·宿迁月考)已知非零向量a,b满足|a|= +1,|
b|= -1,且|a-b|=4,则|a+b|= .
解析:如图,设 =a, =b,则| |=
|a-b|.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则| |=|a+b|,由于( +1)2+(
-1)2=42,因此| |2+| |2=| |2,因此△OAB是直角三角形,从而OA⊥OB,所以四边形OACB是矩形,所以
| |=| |=4,即|a+b|=4.
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14. 如图,在 ABCD中, =a, =b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂
直?
解: = + =a+b, =
- =a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
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(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
解: 不可能.因为 ABCD的两对角线
不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共
线向量,更不可能为相等向量.
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15. 如图,O为△ABC的外心,H为垂心,求证: = + + .
证明:如图,连接AH,HC,延长BO交圆O于点
D,连接DA,DC,则OB=OD,DA⊥AB,
DC⊥BC.
又AH⊥BC,CH⊥AB,所以CH∥DA,AH∥DC,所以四边形AHCD是平行四边形,
所以 = .
又 = - = + ,
所以 = + = + = + + .
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