第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
1.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
2.已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，则向量a在b方向上的投影向量的模为（ ）
A. B.3
C.4 D.5
4.（2024·徐州月考）在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
5.如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜｜＝4，则·＝（ ）
A.4 B.8
C.8 D.16
6.（多选）若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是（ ）
A.0 B.
C.2 D.3
7.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD的形状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”）.
8.（2024·苏州月考）已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为 .
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·＝ .
10.在△ABC中，AC＝3，向量在上的投影向量为－2，S△ABC＝3，求BC的长度.
11.（2024·泰州月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜＝（ ）
A.8 B.－8
C.8或－8 D.6
12.（多选）已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确的是（ ）
A.cos θ＞0 e1·e2＞0
B.若e1∥e2，则e1·e2＝1
C.若e1∥e2，则e1·e2＝－1
D.｜e1·e2｜≤1
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝ .
14.（2024·无锡月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
（1）若＝，求x，y的值；
（2）若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
15.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量；
（2）求·的取值范围.
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
1.B 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）.
2.B 易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜cos＜m，n＞＞0，故cos＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n＞＝0或＜m，n＞∈（0，），反之，若＜m，n＞∈（0，），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的必要不充分条件，故选B.
3.A 设向量a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上投影向量的模为｜a｜cos θ＝＝.故选A.
4.A a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
5.B 法一 依题意，｜｜cos＜，＞＝｜｜，则·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝｜｜×｜｜＝4×2＝8.
法二 结合圆的性质易得在上的投影向量为，所以·＝＝×42＝8.
6.ABC 由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知A、B、C正确.故选A、B、C.
7.矩形 解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC AD，所以四边形ABCD是矩形.
8. 解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜·cos θ＝b，∴｜a｜·cos θ＝，∴｜a｜·cos θ＝，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×＝.
9.－1 解析：法一 ·＝｜｜·｜｜cos（180°－∠B）＝－｜｜｜｜·cos B＝－｜｜｜｜·＝－｜｜2＝－1.
法二 ｜｜＝1，即为单位向量，·＝－·＝－｜｜·｜｜cos B，而｜｜·cos B＝｜｜，所以·＝－｜｜2＝－1.
10.解：因为向量在上的投影向量为－2，故∠BAC为钝角，
如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，
而向量在上的投影向量为＝｜｜×cos∠BAC×＝－｜｜×，故｜｜＝2.
又S△ABC＝3，所以×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝＝＝.
11.A cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.故选A.
12.AD ∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos θ＝cos θ，∴若cos θ＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有cos θ＞0，故A正确；e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，故D正确.故选A、D.
13.18 解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点，·＝·＝2·，因为在上的投影向量为，则·＝·.所以·＝2·＝2｜｜2＝2×32＝18.
14.解：（1）若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
（2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2.
又因为＝3，所以｜｜＝.
所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝.
设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3.
15.解：（1）由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形（图略），则＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝；
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则·＝cos 60°＝，
所以·的取值范围为.
2 / 29.2.3 向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象、数学运算
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 数学抽象
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cos θ，其中θ是F与s的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念.
【问题】 两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？
知识点一 向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量 叫作向量a和b的数量积，记作 ，即a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ .
提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
2.两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝ 求得.
3.平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
（1）a·e＝e·a＝｜a｜cos θ；
（2）a⊥b a·b＝0；
（3）当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝；
（4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.
【想一想】
已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？
知识点二 投影向量
1.定义：设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的 称为向量a向向量b投影，向量 称为向量a在向量b上的投影向量.
2.对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为 .
3.向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的 与向量b的数量积.
提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量.
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.对任意向量a，都有a2＝｜a｜2
B.若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c
C.若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b
D.若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜
2.已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为时，a·b＝（ ）
A.4 B.4
C.8 D.8
3.（2024·扬州红桥高中期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为135°，则b在a方向上的投影向量为 .
题型一 平面向量数量积的有关概念
【例1】 （多选）下列叙述正确的是（ ）
A.a·0＝0
B.a·0＝0
C.若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0
D.若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
通性通法
两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，所以最后的值由｜a｜，｜b｜及cos＜a，b＞所决定.即有以下结论：设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
（1）当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜；
（2）当θ为锐角时，cos θ＞0，a·b＞0；
（3）当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；
（4）当θ为钝角时，cos θ＜0，a·b＜0；
（5）当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜.
【跟踪训练】
（多选）已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是（ ）
A.a·b＝±｜a｜｜b｜ a∥b
B.a与b同向 a·b＝｜a｜｜b｜
C.｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
D.若a·b＝0，则＜a，b＞＝
题型二 向量数量积的运算
【例2】 （链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；
（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·.
通性通法
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
【跟踪训练】
1.设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
A. B. C. D.π
2.（2024·南通月考）已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（ ）
A.－7 B.7 C.25 D.－25
题型三 投影向量
【例3】 （链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
（2）b在a上的投影向量的模.
通性通法
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜｜cos θ｜为a在b上投影向量的模.
【跟踪训练】
1.（2024·扬州月考）若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a在向量b上的投影向量为（ ）
A.－b B.－b
C.b D.－b
2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影向量的模为（ ）
A.1 B.
C. D.
1.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（ ）
A.3 B.－3
C.－3 D.3
2.（多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C.若a⊥b，则a·b＝0
D.｜a｜＝
3.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝ .
4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量.
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
【基础知识·重落实】
知识点一
1.｜a｜｜b｜cos θ a·b ｜a｜｜b｜cos θ 0 2.
想一想
提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
知识点二
1.变换 2.（｜a｜cos θ）
3.投影向量
自我诊断
1.AC
2.B 根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝4×2×cos ＝4.
3.－a 解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜cos＜a，b＞·＝×（－）a＝－a.
【典型例题·精研析】
【例1】 BD A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C中，设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当cos θ＝0时，a·b＝0，故C错误，D正确.故选B、D.
跟踪训练
ABD a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜b｜且a，b为非零向量可得cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，反之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正确；当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0且a，b为非零向量，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0，即cos＜a，b＞＝0，又因为＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故D正确.
【例2】 解：（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12.
（2）①∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜ cos 60°＝1×1×＝.
②∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜·｜｜ cos 120°＝1×1×（－）＝－.
③∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜·cos 60°＝1×1×＝.
跟踪训练
1.B 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
2.D 由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D.
【例3】 解：（1）∵｜b｜＝1，∴b为单位向量.
∴a在b上的投影向量为｜a｜cos 120°·b＝3×b＝－b.
（2）由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模为｜b｜｜cos 120°｜＝.
跟踪训练
1.D 因为a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，所以cos θ＝＝＝－，则a在b上的投影向量是｜a｜cos θ＝2×（－）×＝－b.故选D.
2.D 由题意，a在b上的投影向量的模为｜a｜cos＝1×＝.故选D.
随堂检测
1.B 由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3.故选B.
2.CD 对于A，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；对于B，根据向量加法的三角形法则，知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜，只有当a，b同向或a，b中至少有一个为0时取“＝”，所以B错误；对于C，由数量积的性质知，C正确；对于D，因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确.故选C、D.
3.2 解析：·＝｜｜｜｜·cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
4.解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 45°·e＝6×e＝3e；
当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 90°·e＝6×0×e＝0；
当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜cos 135°·e＝6×（－）e＝－3e.
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9.2.3 向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数
量积的概念及其物理意义，会计算平面向
量的数量积 数学抽象、数学运算
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念
以及投影向量的意义 数学抽象
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关
系 逻辑推理
第1课时
向量数量积的概念、运算及投影向量
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产
生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜ cos θ，其中θ是F与
s的夹角.
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启
示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我
们引入向量“数量积”的概念.
【问题】 两个向量的数量积与这两个向量的哪些量有关？
知识点一 向量的数量积
1. 定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，把数量
叫作向量a和b的数量积，记作 ，即
a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ .
提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省
略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可
正、可负、可为0.
｜a｜｜b｜ cos θ
a·b
｜a｜｜b｜ cos θ
0
2. 两个非零向量a和b的夹角θ，可以由 cos θ＝ 求得.
3. 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的
单位向量.则
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b a·b＝0；
（3）当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ；
（4）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜.
【想一想】
已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角
对吗？
提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
知识点二 投影向量
1. 定义：设a，b是两个非零向量，如图， 表示向量a， 表示
向量b，过点A作 所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述
由向量a得到向量 的 称为向量a向向量b投影，向
量 称为向量a在向量b上的投影向量.
变换
2. 对于向量a，b，向量a在向量b上的投影向量为
.
3. 向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积就是向量a在向量b上
的 与向量b的数量积.
提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；
（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于
a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a
在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个
向量.
（｜a｜ cos
θ）
投影向量
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 对任意向量a，都有a2＝｜a｜2
B. 若a≠0，且a·b＝a·c，则b＝c
C. 若a·b＝｜a｜｜b｜，则a∥b
D. 若a∥b，则a·b＝｜a｜｜b｜
√
√
2. 已知｜a｜＝4，｜b｜＝2，当它们之间的夹角为 时，a·b＝
（ ）
A. 4 B. 4
C. 8 D. 8
解析： 根据向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，
b＞＝4×2× cos ＝4.
√
3. （2024·扬州红桥高中期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的
夹角为135°，则b在a方向上的投影向量为 .
解析：b在a方向上的投影向量为｜b｜ cos ＜a，b＞· ＝
×（－ ）a＝－ a.
－ a
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量数量积的有关概念
【例1】 （多选）下列叙述正确的是（ ）
A. a·0＝0
B. a·0＝0
C. 若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0
D. 若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
√
√
解析： A中，a·0＝0，故A错误；B中，a·0＝0，故B正确；C
中，设a与b的夹角为θ，a与b均为非零向量，当 cos θ＝0时，a·b
＝0，故C错误，D正确.故选B、D.
通性通法
两个平面向量的数量积是一个全新的运算，最后的结果是一个实
数，它是由两个向量的模与两个向量夹角的余弦值相乘所得的结果，
所以最后的值由｜a｜，｜b｜及 cos ＜a，b＞所决定.即有以下结
论：设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
（1）当θ＝0时， cos θ＝1，a·b＝｜a｜｜b｜；
（2）当θ为锐角时， cos θ＞0，a·b＞0；
（3）当θ为直角时， cos θ＝0，a·b＝0；
（4）当θ为钝角时， cos θ＜0，a·b＜0；
（5）当θ＝π时， cos θ＝－1，a·b＝－｜a｜｜b｜.
【跟踪训练】
（多选）已知a，b，c是三个非零向量，则下列选项中正确的是
（ ）
A. a·b＝±｜a｜｜b｜ a∥b
B. a与b同向 a·b＝｜a｜｜b｜
C. ｜a｜＝｜b｜ ｜a·c｜＝｜b·c｜
D. 若a·b＝0，则＜a，b＞＝
√
√
√
解析： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以由a·b＝±｜a｜｜
b｜且a，b为非零向量可得 cos θ＝±1，所以θ＝0或θ＝π，所以
a∥b，反之也成立，故A正确；若a，b同向，则a，b的夹角为0，
所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 0＝｜a｜｜b｜，反之也成立，故B正
确；当｜a｜＝｜b｜，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就
有｜a·c｜≠｜b·c｜，反之由｜a·c｜＝｜b·c｜也推不出｜a｜
＝｜b｜，故C错误；若a·b＝0且a，b为非零向量，所以a·b＝｜
a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝0，即 cos ＜a，b＞＝0，又因为＜a，b
＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故D正确.
题型二 向量数量积的运算
【例2】 （链接教科书第22页例1）（1）已知向量a与b的夹角为
120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－
2b·b；
解： ①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos
120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）
－2×4＝12.
（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③
· .
解： ①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜
｜ cos 60°＝1×1× ＝ .
②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜
cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ .
③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
60°＝1×1× ＝ .
通性通法
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，
条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合
以上条件.
【跟踪训练】
1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D. π
解析： 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
√
2. （2024·南通月考）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝
3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝
（ ）
A. －7 B. 7 C. 25 D. －25
解析： 由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝
90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°
－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－
25.故选D.
√
题型三 投影向量
【例3】 （链接教科书第24页练习5题）已知｜a｜＝3，｜b｜＝
1，向量a与向量b的夹角为120°，求：
（1）a在b上的投影向量；
解： ∵｜b｜＝1，∴b为单位向量.
∴a在b上的投影向量为｜a｜ cos 120°·b＝3× b＝－b.
（2）b在a上的投影向量的模.
解： 由投影向量的定义知，向量b在a上的投影向量的模
为｜b｜｜ cos 120°｜＝ .
通性通法
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos
θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜
a｜｜ cos θ｜为a在b上投影向量的模.
【跟踪训练】
1. （2024·扬州月考）若｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a
在向量b上的投影向量为（ ）
A. － b B. － b
C. b D. － b
解析： 因为a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，所以 cos θ＝
＝ ＝－ ，则a在b上的投影向量是｜a｜ cos θ ＝2×
（－ ）× ＝－ b.故选D.
√
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，其中a，b的夹角为 ，则a在b上的
投影向量的模为（ ）
A. 1 B. C. D.
解析： 由题意，a在b上的投影向量的模为｜a｜ cos ＝1×
＝ .故选D.
√
1. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝
（ ）
A. 3 B. －3
C. －3 D. 3
解析： 由平面向量数量积的定义得a·b＝｜a｜｜b｜ cos
120°＝ ×2 ×（－ ）＝－3.故选B.
√
2. （多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
C. 若a⊥b，则a·b＝0
D. ｜a｜＝
√
√
解析： 对于A，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；
对于B，根据向量加法的三角形法则，知｜a＋b｜≤｜a｜＋｜
b｜，只有当a，b同向或a，b中至少有一个为0时取“＝”，所
以B错误；对于C，由数量积的性质知，C正确；对于D，因为a·a
＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正确.故
选C、D.
3. 在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝ ，则 ·
＝ .
解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2× × cos 45°
＝2.
2
4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角θ分别等于
45°，90°，135°时，求向量a在向量e上的投影向量.
解：当θ＝45°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 45°·e＝
6× e＝3 e；
当θ＝90°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 90°·e＝6×0×e
＝0；
当θ＝135°时，a在e上的投影向量为｜a｜ cos 135°·e＝6×
（－ ）e＝－3 e.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水
平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A. 100 J B. 50 J
C. 50 J D. 200 J
解析： 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W
＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）.
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2. 已知m，n为非零向量，则“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”
的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 易知，若m·n＞0，则｜m｜｜n｜ cos ＜m，n＞＞
0，故 cos ＜m，n＞＞0，结合＜m，n＞∈[0，π]，得＜m，n
＞＝0或＜m，n＞∈（0， ），反之，若＜m，n＞∈（0，
），则必有m·n＞0，故“m·n＞0”是“＜m，n＞为锐角”的
必要不充分条件，故选B.
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3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，则向量a在b方向上的投影
向量的模为（ ）
A. B. 3
C. 4 D. 5
解析： 设向量a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上投影向量
的模为｜a｜ cos θ＝ ＝ .故选A.
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4. （2024·徐州月考）在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝
b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos
60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－
.
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5. 如图所示的是一个圆形，圆心为O，A，B是圆O上的两点，若｜
｜＝4，则 · ＝（ ）
A. 4 B. 8
C. 8 D. 16
解析： 法一 依题意，｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝ ｜
｜，则 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝｜ ｜
× ｜ ｜＝4×2＝8.
√
法二 结合圆的性质易得 在 上的投影向量为 ，所以
· ＝ ＝ ×42＝8.
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6. （多选）若｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a·b｜的值可能是
（ ）
A. 0 B.
C. 2 D. 3
解析： 由向量的数量积性质｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，可知
A、B、C正确.故选A、B、C.
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7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形
状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方
形”）.
解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC AD，
所以四边形ABCD是矩形.
矩形
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8. （2024·苏州月考）已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量为 b，则
a·b的值为 .
解析：设a与b的夹角为θ，∵｜a｜· cos θ ＝ b，∴｜
a｜· cos θ ＝ ，∴｜a｜· cos θ＝ ，∴a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ＝3× ＝ .
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9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则 · ＝ .
解析：法一 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－∠B）＝
－｜ ｜｜ ｜· cos B＝－｜ ｜｜ ｜· ＝－｜
｜2＝－1.
－1
法二 ｜ ｜＝1，即 为单位向量， · ＝－ · ＝－｜
｜·｜ ｜ cos B，而｜ ｜· cos B＝｜ ｜，所以 · ＝
－｜ ｜2＝－1.
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10. 在△ABC中，AC＝3，向量 在 上的投影向量为－2 ，S△ABC＝3，求BC的长度.
解：因为向量 在 上的投影向量为－
2 ，故∠BAC为钝角，
如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，
而向量 在 上的投影向量为 ＝｜ ｜× cos BAC× ＝－｜ ｜× ，故｜ ｜＝2.
又S△ABC＝3，所以 ×BE×3＝3，故BE＝2，故BC＝ ＝ ＝ .
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11. （2024·泰州月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中
θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，
则｜a×b｜＝（ ）
A. 8 B. －8
C. 8或－8 D. 6
解析： cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin
θ＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.故选A.
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12. （多选）已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列说法正确
的是（ ）
A. cos θ＞0 e1·e2＞0
B. 若e1∥e2，则e1·e2＝1
C. 若e1∥e2，则e1·e2＝－1
D. ｜e1·e2｜≤1
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解析： ∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜ cos θ＝ cos θ，∴若 cos θ
＞0，则e1·e2＞0；若e1·e2＞0，则必有 cos θ＞0，故A正确；
e1∥e2，需分两种情况，当e1，e2同向时，e1·e2＝1；当e1，e2反
向时，e1·e2＝－1，故B、C错误；｜e1·e2｜≤｜e1｜｜e2｜＝1，
故D正确.故选A、D.
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13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP
＝3，则 · ＝ .
解析：设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点， · ＝
· ＝2 · ，因为 在 上的投影向量为 ，则
· ＝ · .所以 · ＝2 · ＝2｜ ｜2＝2×32＝
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14. （2024·无锡月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且
＝x ＋y .
（1）若 ＝ ，求x，y的值；
解： 若 ＝ ，则 ＝ ＋ ，
故x＝y＝ .
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（2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹
角为60°，求 · 的值.
解：因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 .
又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ .
所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ .
设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值
为－ .
所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3.
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15. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB
上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用 ， 表示
向量 ；
解： 由已知可得 ＝ ， ＝ － ，易得OAMB是菱形（图略），则 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ＝ －（ ＋
）＝－ － .
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（2）求 · 的取值范围.
解： 易知∠DMC＝60°，且｜ ｜＝｜ ｜，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ，
则 · ＝ × × cos 60°＝ ；
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则 · ＝ cos 60°＝ ，
所以 · 的取值范围为 .
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谢 谢 观 看！
