第2课时 向量数量积的运算律及性质
1.（2024·江苏泰州中学期中）已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则（2e1－e2）·e2＝（ ）
A.－2 B.0
C.1 D.2
2.若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋b｜＝（ ）
A. B.
C.7 D.3
3.已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（ ）
A.a＝b B.｜a｜＝｜b｜
C.a⊥b D.a∥b
4.设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.5
5.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（－）·（＋－2）＝0，则△ABC的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.正三角形
D.等腰直角三角形
6.（多选）已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，下列结论正确的是（ ）
A.a是单位向量 B.∥b
C.a·b＝1 D.⊥（4a＋b）
7.设单位向量a，b的夹角的余弦值为－，则（2a－b）·（a＋b）＝ .
8.设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则a与b的夹角θ＝ .
9.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，则实数k的值为 .
10.（2024·南京六校联合体期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝2，a与b的夹角是60°.
（1）计算a·b，｜a＋b｜；
（2）求a＋b和a的夹角的余弦值.
11.已知向量a，b满足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，则｜a｜｜b｜的最大值是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
12.（多选）（2024·扬州红桥高中期中）已知向量｜a｜＝1，｜b｜＝2，它们的夹角为60°，则（ ）
A.a·b＝1 B.｜2a＋b｜＝2
C.｜2a－b｜＝2 D.向量a与向量a－b的夹角为90°
13.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则·＝ .
14.（2024·徐州丰县中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，且｜a＋b｜＝2.
（1）求a与b的夹角；
（2）求｜a－2b｜的值；
（3）若（2a－b）⊥（a＋kb），求实数k的值.
15.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含C，D点）.
（1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
（2）若AB＝2，当·＝1时，求cos∠EAF的值.
第2课时 向量数量积的运算律及性质
1.A （2e1－e2）·e2＝2e1·e2－＝2｜e1｜·｜e2｜cos 120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－）－12＝－2.故选A.
2.B ∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）＝｜a｜2－a·b＝1×1×＝，即a·b＝，可得｜b｜＝1，∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2×＋1＝3，即｜a＋b｜＝.故选B.
3.B ∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜ .故选B.
4.A ｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A.
5.A 因为（－）·（＋－2）＝0，即·（＋）＝0，又因为－＝，所以（－）·（＋）＝0，即｜｜＝｜｜，所以△ABC是等腰三角形.
6.ABD 对于A，因为｜｜＝2，＝2a，所以｜a｜＝＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为＝－＝2a＋b－2a＝b，所以∥b，故B正确；对于C，由＝2a＋b，得＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b＝－＝－1≠1，故C错误；对于D，因为＝b，·（4a＋b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以⊥（4a＋b）， 故D正确.故选A、B、D.
7. 解析：因为cos＜a，b＞＝－，所以a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞＝－，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－－1＝.
8.120° 解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜cos θ＝－｜a｜2，∴cos θ＝－.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
9.－5 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos ＝2×1×＝1.因为2a＋kb与a＋b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
10.解：（1）由题可得a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝2×2×＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋b｜＝2.
（2）∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
设a＋b和a的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝.
11.C ∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值为5.故选C.
12.ABD 对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜·cos 60°＝1×2×＝1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝＝＝2，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝＝＝2，故C错误；对于D，a·（a－b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选A、B、D.
13.13 解析：∵N是BC边的中点，可得＝（＋），∵M是△ABC的外接圆的圆心，∴·＝｜｜·｜｜cos∠BAM＝｜｜2＝×42＝8，同理可得·＝｜｜2＝18，∴·＝（＋）·＝·＋·＝×8＋×18＝13.
14.解：（1）由题意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以cos＜a，b＞＝＝＝－，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，即a与b的夹角为.
（2）由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2.
（3）由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k＝0，解得k＝.
15.解：（1）∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴＝＝，＝－＝－，
∴＝＋＝－＋，
又＝λ＋μ，
∴λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝.
（2）设＝m（0≤m≤1），
则＝＋＝－m，
又＝＋＝＋，·＝0，
∴·＝（＋）·（－m）＝－m＋＝－4m＋2＝1，
故m＝.
∴·＝（＋）·（＋）＝＋＝3＋2＝5，
易得｜｜＝，｜｜＝，
∴cos∠EAF＝＝＝.
2 / 2第2课时 向量数量积的运算律及性质
我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb.
【问题】 根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些运算律？
知识点 向量数量积的运算律
1.向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
（1）交换律：a·b＝ ；
（2）数乘结合律：（λa）·b＝a·（λb）＝ ＝λa·b；
（3）分配律：（a＋b）·c＝ .
提醒 （1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；
（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立.
2.平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝
（a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝ .
2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的夹角是 .
3.已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b夹角为60°，则｜a－4b｜＝ .
题型一 向量的数量积的运算律及性质
【例1】 （1）（多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是（ ）
A.a·c－b·c＝（a－b）·c
B.（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
（2）（2024·扬州月考）如图，在 ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝3，∠DAB＝60°，则·＝ .
通性通法
求含向量线性运算的数量积的一般方法
运用向量数量积的运算律及多项式乘法展开化简，使其转化为两个单一向量的数量积求解.对几何图形中向量的数量积的运算应先利用向量的线性运算及运算律将其转化为两向量数量积的和、差形式，再进行实数运算.
【跟踪训练】
1.（2024·江苏海门中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝，a与b的夹角为，则（a＋b）·（2a－b）＝（ ）
A.2 B.8 C. D.5＋
2.（2024·苏州盛泽中学月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝ .
题型二 向量的夹角与模
【例2】 已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61.
（1）求a与b的夹角θ；
（2）求｜a＋b｜.
通性通法
1.求向量模的一般思路及常用公式
2.求向量a，b的夹角θ的思路
（1）求向量的夹角的关键是计算a·b及｜a｜｜b｜，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值；
（2）在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值.
【跟踪训练】
1.（2024·江苏启动中学月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，若a与b的夹角为，则｜a＋b｜＝（ ）
A.1 B. C. D.
2.已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（ ）
A. B.
C. D.
题型三 与垂直有关的问题
【例3】 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的余弦值为，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（ ）
A.4 B.－4
C. D.－
通性通法
求解向量垂直问题的一般思路
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题.
【跟踪训练】
1.（2024·连云港赣榆期中）在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且（a－b）⊥c，则△ABC的形状是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
2.已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－b），则向量a与b夹角的大小为 .
1.已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（ ）
A.4 B.3 C.2 D.0
2.（2024·扬州邗江一中月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝，且｜a－b｜＝2，则a·b＝（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.（2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝3，｜a＋b｜＝，则｜b｜＝ .
4.已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－，则a与b夹角的大小为 .
第2课时 向量数量积的运算律及性质
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）b·a （2）λ（a·b） （3）a·c＋b·c 2.a2＋2a·b＋b2 a2－b2
自我诊断
1.－65 解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
2. 解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
3.2 解析：｜a－4b｜＝＝＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）ACD （2）－7
解析：（1）对于A，根据数量积的分配律知A正确；对于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，故B错误；对于C，∵a，b不共线，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正确；D正确.故选A、C、D.
（2）因为＝＋，＝－，所以·＝（＋）·（－）＝－＝9－16＝－7.
跟踪训练
1.B 因为a·b＝2×cos＝3，所以（a＋b）·（2a－b）＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋3－3＝8.故选B.
2.－1 解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2，所以AE＝BE＝2.因为＝－，所以·＝·（－）＝·－·＝2×5×cos 60°－2×2×cos 30°＝－1.
【例2】 解：（1）由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b－3｜b｜2＝61.
将｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
（2）因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2
＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13，
所以｜a＋b｜＝.
跟踪训练
1.D 因为｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，所以｜a＋b｜＝.故选D.
2.B 由题可得（a－2b）·a＝0，即a2＝2a·b，（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，｜a｜＝｜b｜. 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
【例3】 B 由题意知，＝＝，所以m·n＝｜n｜2＝n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.
跟踪训练
1.C c＝＝－＝－a－b，由（a－b）⊥c得，（a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化简得，｜a｜2－｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故选C.
2.60° 解析：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0，所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
随堂检测
1.B a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
2.C ｜a－b｜＝2得（a－b）2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，所以1－2a·b＋5＝4，所以a·b＝1.故选C.
3.1 解析：∵a，b的夹角为60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋2×（｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）.
4.30° 解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
3 / 3(共59张PPT)
第2课时
向量数量积的运算律及性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们已经知道，很多运算都满足一定的运算律.例如，向量的加
法满足交换律，数乘向量对加法满足分配律，即对任意向量a，b以
及实数λ，有a＋b＝b＋a，λ（a＋b）＝λa＋λb.
【问题】 根据向量数量积的定义，向量数量积的运算满足哪些
运算律？
知识点 向量数量积的运算律
1. 向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
（1）交换律：a·b＝ ；
（2）数乘结合律：（λa）·b＝a·（λb）＝ ＝
λa·b；
b·a
λ（a·b）
（3）分配律：（a＋b）·c＝ .
a·c＋b·c
提醒 （1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为
非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）
（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实
数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与
向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不
成立.
2. 平面向量数量积的运算性质
类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算
性质.
多项式乘法 向量数量积
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）2＝
（a－b）2＝a2－2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2a·b＋b2
（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b）·（a－b）＝
（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋
2ab＋2bc＋2ca （a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋
2a·b＋2b·c＋2c·a
a2＋2a·b＋b2
a2－
b2
1. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝
.
解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.
－
65
2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝ ，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的
夹角是 .
解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b
的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，
∴θ＝ .
解析：｜a－4b｜＝ ＝ ＝
＝2 .
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的数量积的运算律及性质
【例1】 （1）（多选）设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互
不共线，给出下列结论，正确的是（ ACD ）
A. a·c－b·c＝（a－b）·c
B. （b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直
C. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜
D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2
ACD
解析： 对于A，根据数量积的分配律知A正确；对于B，∵[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝（b·c）·（a·c）－（c·a）·（b·c）＝0，∴（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，故B错误；对于C，∵a，b不共线，∴｜a｜，｜b｜，｜a－b｜组成三角形，∴｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜成立，故C正确；D正确.故选A、C、D.
（2）（2024·扬州月考）如图，在 ABCD中，｜ ｜＝4，｜
｜＝3，∠DAB＝60°，则 · ＝ .
解析： 因为 ＝ ＋ ， ＝ －
，所以 · ＝（ ＋ ）·（ －
）＝ － ＝9－16＝－7.
－7
通性通法
求含向量线性运算的数量积的一般方法
运用向量数量积的运算律及多项式乘法展开化简，使其转化为两
个单一向量的数量积求解.对几何图形中向量的数量积的运算应先利
用向量的线性运算及运算律将其转化为两向量数量积的和、差形式，
再进行实数运算.
【跟踪训练】
1. （2024·江苏海门中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝ ，a与b
的夹角为 ，则（a＋b）·（2a－b）＝（ ）
A. 2 B. 8
解析： 因为a·b＝2× cos ＝3，所以（a＋b）·（2a－b）
＝2｜a｜2＋a·b－｜b｜2＝8＋3－3＝8.故选B.
√
2. （2024·苏州盛泽中学月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝
2 ，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且
AE＝BE，则 · ＝ .
解析：如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝
∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2 ，所以AE＝
BE＝2.因为 ＝ － ，所以 · ＝
·（ － ）＝ · － · ＝2×5× cos
60°－2×2 × cos 30°＝－1.
－1
题型二 向量的夹角与模
【例2】 已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝
61.
（1）求a与b的夹角θ；
解： 由（2a－3b）·（2a＋b）＝61，得4｜a｜2－4a·b
－3｜b｜2＝61.
将｜a｜＝4，｜b｜＝3代入上式，得a·b＝－6，
所以 cos θ＝ ＝ ＝－ .
又0≤θ≤π，所以θ＝ .
（2）求｜a＋b｜.
解： 因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2
＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝13，
所以｜a＋b｜＝ .
通性通法
1. 求向量模的一般思路及常用公式
2. 求向量a，b的夹角θ的思路
（1）求向量的夹角的关键是计算a·b及｜a｜｜b｜，在此基础上
结合数量积的定义或性质计算 cos θ＝ ，最后借助
θ∈[0，π]，求出θ值；
（2）在个别含有｜a｜，｜b｜与a·b的等量关系式中，常利用消
元思想计算 cos θ的值.
【跟踪训练】
1. （2024·江苏启动中学月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜
＝2，若a与b的夹角为 ，则｜a＋b｜＝（ ）
A. 1
解析： 因为｜a＋b｜2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2× ＝
7，所以｜a＋b｜＝ .故选D.
√
2. 已知a，b是非零向量，且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，
则a与b的夹角是（ ）
√
解析： 由题可得（a－2b）·a＝0，即a2＝2a·b，
（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，所以a2＝b2，｜a｜＝｜b｜.
设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ . 因为
θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为 .
题型三 与垂直有关的问题
【例3】 已知非零向量m，n满足4｜m｜＝3｜n｜，m与n夹角的
余弦值为 ，若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（ ）
A. 4 B. －4
√
解析： 由题意知， ＝ ＝ ，所以m·n＝ ｜n｜2
＝ n2，因为n·（tm＋n）＝0，所以tm·n＋n2＝0，即 tn2＋n2＝
0，所以t＝－4.
通性通法
求解向量垂直问题的一般思路
对于非零向量a，b，a⊥b a·b＝0是向量中非常重要的性
质，其作用主要有：（1）证明两向量垂直；（2）利用a·b＝0列方
程求未知数的值；（3）解决平面几何图形中有关垂直的问题.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港赣榆期中）在△ABC中，若 ＝a， ＝b，
＝c，且（a－b）⊥c，则△ABC的形状是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析： c＝ ＝ － ＝－a－b，由（a－b）⊥c得，
（a－b）·c＝0，即（a－b）·（－a－b）＝0，化简得，｜a｜2
－｜b｜2＝0，即｜a｜＝｜b｜，△ABC是等腰三角形.故选C.
√
2. 已知向量a，b，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，（a＋2b）⊥（3a－
b），则向量a与b夹角的大小为 .
解析：设a与b的夹角为θ，由已知得（a＋2b）·（3a－b）＝
3a2＋5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0，所以 cos θ＝ ，又
0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
60°
1. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝
（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 0
解析： a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2－（－1）＝3.
√
2. （2024·扬州邗江一中月考）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜
＝ ，且｜a－b｜＝2，则a·b＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： ｜a－b｜＝2得（a－b）2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，
所以1－2a·b＋5＝4，所以a·b＝1.故选C.
√
3. （2024·连云港惠泽高中月考）已知向量a，b的夹角为60°，且｜
a｜＝3，｜a＋b｜＝ ，则｜b｜＝ .
解析：∵a，b的夹角为60°，｜a｜＝3，∴a·b＝｜a｜｜b｜
cos 60°＝ ｜b｜，又｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝9＋
2×（ ｜b｜）＋｜b｜2＝13，即｜b｜2＋3｜b｜－4＝0，解
得｜b｜＝1或｜b｜＝－4（舍去）.
1
4. 已知a，b均为单位向量，（2a＋b）·（a－2b）＝－ ，则a
与b夹角的大小为 .
解析：∵（2a＋b）·（a－2b）＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－
3a·b＝－ ，∴a·b＝ .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝
＝ .又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
30°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·江苏泰州中学期中）已知单位向量e1，e2的夹角为120°，
则（2e1－e2）·e2＝（ ）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析： （2e1－e2）·e2＝2e1·e2－ ＝2｜e1｜·｜e2｜ cos
120°－｜e2｜2＝2×1×1×（－ ）－12＝－2.故选A.
√
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2. 若｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，则｜a＋
b｜＝（ ）
C. 7 D. 3
√
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解析： ∵｜a｜＝｜a－b｜＝1，且a与a－b的夹角为60°，
∴｜a｜2－2a·b＋｜b｜2＝1，即｜b｜2＝2a·b，a·（a－b）
＝｜a｜2－a·b＝1×1× ＝ ，即a·b＝ ，可得｜b｜＝1，
∴｜a＋b｜2＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝1＋2× ＋1＝3，即｜a
＋b｜＝ .故选B.
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3. 已知非零向量a，b满足（a＋b）⊥（a－b），则（ ）
A. a＝b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a⊥b D. a∥b
解析： ∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝
0，∴｜a｜2－｜b｜2＝0，∴｜a｜＝｜b｜.故选B.
√
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4. 设向量a，b满足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ ，则a·b＝
（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
解析： ｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝10，｜a－b｜2＝a2－
2a·b＋b2＝6，∴4a·b＝4，∴a·b＝1.故选A.
√
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5. 若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（ － ）·（ ＋
－2 ）＝0，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 因为（ － ）·（ ＋ －2 ）＝0，即
·（ ＋ ）＝0，又因为 － ＝ ，所以（ －
）·（ ＋ ）＝0，即｜ ｜＝｜ ｜，所以△ABC是等
腰三角形.
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6. （多选）已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足
＝2a， ＝2a＋b，下列结论正确的是（ ）
A. a是单位向量
C. a·b＝1
√
√
√
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解析： 对于A，因为｜ ｜＝2， ＝2a，所以｜a｜＝
＝1，即a是单位向量，故A正确；对于B，因为 ＝ －
＝2a＋b－2a＝b，所以 ∥b，故B正确；对于C，由 ＝
2a＋b，得 ＝4a2＋4a·b＋b2，即4＝4＋4a·b＋b2.所以a·b
＝－ ＝－1≠1，故C错误；对于D，因为 ＝b， ·（4a＋
b）＝b·（4a＋b）＝4a·b＋b2＝0，所以 ⊥（4a＋b）， 故D
正确.故选A、B、D.
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7. 设单位向量a，b的夹角的余弦值为－ ，则（2a－b）·（a＋b）
＝ .
解析：因为 cos ＜a，b＞＝－ ，所以a·b＝｜a｜｜b｜· cos ＜
a，b＞＝－ ，则（2a－b）·（a＋b）＝2a2＋a·b－b2＝2－
－1＝ .
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8. 设非零向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜，a＋b＝c，则
a与b的夹角θ＝ .
解析：由｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a＋b＝c，得｜a＋b｜＝｜
b｜，两边平方得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝｜b｜2，∴2a·b＝
－｜a｜2，则2｜a｜｜b｜ cos θ＝－｜a｜2，∴ cos θ＝－ .又
0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
120°
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9. 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，a与b的夹角为 ，若向量2a＋kb与a
＋b垂直，则实数k的值为 .
解析：a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝2×1× ＝1.因为2a＋kb与a＋
b垂直，所以（2a＋kb）·（a＋b）＝0.所以2a2＋2a·b＋ka·b
＋kb2＝0.所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
－5
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10. （2024·南京六校联合体期中）已知｜a｜＝2，｜b｜＝2，a与b
的夹角是60°.
（1）计算a·b，｜a＋b｜；
解： 由题可得a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝2×2× ＝2，
｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×2＋4＝12，∴｜a＋
b｜＝2 .
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（2）求a＋b和a的夹角的余弦值.
解： ∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝4＋2＝6，
设a＋b和a的夹角为θ，
∴ cos θ＝ ＝ ＝ .
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11. 已知向量a，b满足｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，则｜a｜｜
b｜的最大值是（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： ∵｜a＋b｜＝4，｜a－b｜＝2，∴｜a＋b｜2＋｜a
－b｜2＝2｜a｜2＋2｜b｜2＝20.∴｜a｜2＋｜b｜2＝10.∵（a
－b）2≥0，∴｜a｜2＋｜b｜2≥2｜a｜｜b｜.∴｜a｜｜b｜
≤5.∴｜a｜｜b｜的最大值为5.故选C.
√
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12. （多选）（2024·扬州红桥高中期中）已知向量｜a｜＝1，｜b｜
＝2，它们的夹角为60°，则（ ）
A. a·b＝1
D. 向量a与向量a－b的夹角为90°
√
√
√
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解析： 对于A，a·b＝｜a｜·｜b｜· cos 60°＝1×2× ＝
1，故A正确；对于B，｜2a＋b｜＝ ＝
＝2 ，故B正确；对于C，｜2a－b｜＝
＝ ＝2，故C错误；对于D，a·（a－
b）＝a2－a·b＝1－1＝0，所以a⊥（a－b），故D正确.故选
A、B、D.
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13. 如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的
中点，则 · ＝ .
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解析：∵N是BC边的中点，可得 ＝ （ ＋ ），∵M是
△ABC的外接圆的圆心，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos
∠BAM＝ ｜ ｜2＝ ×42＝8，同理可得 · ＝ ｜ ｜2
＝18，∴ · ＝ （ ＋ ）· ＝ · ＋ ·
＝ ×8＋ ×18＝13.
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14. （2024·徐州丰县中学月考）已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，且｜a
＋b｜＝2 .
（1）求a与b的夹角；
解： 由题意知，｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝12，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，所以a·b＝－4，
所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，
又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，即a与b的夹
角为 .
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（2）求｜a－2b｜的值；
解： 由（1）知a·b＝－4，所以｜a－2b｜2＝a2－
4a·b＋4b2＝84，故｜a－2b｜＝2 .
（3）若（2a－b）⊥（a＋kb），求实数k的值.
解： 由（2a－b）⊥（a＋kb），得（2a－b）·（a
＋kb）＝0，即2a2＋2ka·b－a·b－kb2＝0，
又｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，所以8－8k＋4－16k
＝0，解得k＝ .
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15. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动（含C，D点）.
（1）若点F是CD上靠近点C的三等分点，设 ＝λ ＋μ ，求λ＋μ的值；
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解： ∵E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
∴ ＝ ＝ ， ＝－ ＝－ ，
∴ ＝ ＋ ＝－ ＋ ，
又 ＝λ ＋μ ，
∴λ＝－ ，μ＝ ，故λ＋μ＝－ ＋ ＝ .
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（2）若AB＝2，当 · ＝1时，求 cos ∠EAF的值.
解： 设 ＝m （0≤m≤1），
则 ＝ ＋ ＝ －m ，
又 ＝ ＋ ＝ ＋ ， ·
＝0，
∴ · ＝（ ＋ ）·（ －
m ）＝－m ＋ ＝－4m＋2＝1，
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故m＝ .
∴ · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ＋
＝3＋2＝5，
易得｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ∠EAF＝ ＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！
