9.4 向量应用
1.已知两个力F1＝（1，2），F2＝（－2，3）作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力F3，则F3＝（ ）
A.（1，－5） B.（－1，5）
C.（5，－1） D.（－5，1）
2.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
3.（2024·徐州月考）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为（ ）
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
4.（2024·淮安月考）正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是（ ）
A.｜｜2＝·
B.｜｜2＝·
C.｜｜2＝·
D.｜｜2＝
6.（多选）在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中是真命题的有（ ）
A.若a·b＜0且b·c＜0，则△ABC为锐角三角形
B.若a·b＞0，则△ABC为钝角三角形
C.若a·b＝c·b，则△ABC为等边三角形
D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形
7.如图所示，在倾斜角为37°，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为 J，重力对物体m所做的功为 J（g＝9.8 m/s2，sin 37°＝0.6）.
8.（2024·苏州月考）已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为 .
9.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·（＋）的最小值为 .
10.如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM.求证：NT∥BM.
11.某江南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度的大小｜v2｜＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cos θ＝（ ）
A. B.－ C. D.－
12.（多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（ ）
A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N
B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0
C.当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N
D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
13.如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，点A，B分别在直线m，n上，且｜＋｜＝5，则·的最大值为 .
14.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注：cos（θ－45°）＝）
15.（2024·常州月考）我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设e＝（A，B）是直线l的一个方向向量，那么n＝（－B，A）就是直线l的一个法向量（如图①）.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.
已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么在法向量n上的投影向量为（｜｜cos θ）（θ为向量n与 的夹角），其模就是点P到直线l的距离d，即d＝（如图②）.据此，请解决下面的问题：已知点A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），求点A到直线BC的距离.
9.4 向量应用
1.A 根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝（－1，5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则F1＋F2＋F3＝0，则F3＝（1，－5）.故选A.
2.D 由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形.
3.C 如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知｜｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜｜＝｜v2｜＝＝.故选C.
4.D 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意知，＝（1，），＝（，1），故cos∠DOE＝＝＝.
5.ABD 由·＝｜｜｜｜cos A＝｜｜·｜｜，由射影定理可知A正确；由·＝｜｜｜｜·cos B＝｜｜｜｜，由射影定理可知B正确；由·＝｜｜｜｜cos（π－∠ACD）＜0，又｜｜2＞0，即C错误；由题意可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜｜｜｜＝｜｜·｜｜，又由A、B可得｜｜2＝，即D正确.故选A、B、D.
6.BD 对于A，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＜0，则cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝·＝－｜｜·｜｜cos C＞0，则cos C＜0，则角C为钝角，故B正确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（－）·＝（＋）·＝0，即（＋）·（－）＝－＝0，故｜｜＝｜｜，故△ABC为等腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜｜2＝（＋）2，即（－）2＝（＋）2，化简得·＝0，故A＝，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、D.
7.0 98 解析：物体m的位移大小为｜s｜＝＝（m），则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 90°＝0（J）；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜cos 53°＝5×9.8××0.6＝98（J）.
8.1 解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，｜｜＝｜｜.由⊥得（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，由｜｜＝｜｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜｜＝｜｜＝，所以S△OAB＝××＝1.
9.－2 解析：因为M为BC的中点，所以＋＝2，则·（＋）＝2·＝2｜｜·｜｜·cos 180°＝－2｜｜｜｜.设OA＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x（2－x）（0≤x≤2），则ymax＝1，所以·（＋）的最小值为－2.
10.证明：记＝a，＝b，
则＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋.而＝a＋b，＝＋＝a＋b，
所以＝－（a＋b）＋（a＋b）＝－a＋b，
所以＝4，所以NT∥BM.
11.D 如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cos θ＝－cos（π－θ）＝－＝－＝－.故选D.
12.ACD 对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1＋G｜＝＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为＝2（N），选项B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝4N，选项C正确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
13.4 解析：由题意，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离分别为1，2，可得平行线m，n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示，则由题意可得点P（0，1），直线n的方程为y＝3.设点A（a，0），点B（b，3），则＝（a，－1），＝（b，2），所以＋＝（a＋b，1）.因为｜＋｜＝5，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2或a＋b＝－2（舍去）.当a＋b＝2时，·＝ab－2＝a（2－a）－2＝－a2＋2a－2＝－（a－）2＋4.所以当a＝时，·取得最大值，最大值为4.
14.解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴＝（＋）2＝＋＋2·.
∴＝＋－2｜｜｜｜cos（θ－45°）＝3002＋（20t）2－2×300×20t×＝100（4t2－96t＋900）.
依题意得≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
15.解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝＝（－3，4），
则n＝（－4，－3）为BC的一个法向量，
又＝（6，－1），
∴点A到直线BC的距离d＝＝＝.
3 / 39.4 向量应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 逻辑推理、直观想象
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学建模
在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
【问题】 你能从数学的角度解释上述现象吗？
知识点 向量的应用
1.用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 转化为向量问题；
（2）通过 ，研究几何元素之间的关系；
（3）把 “翻译”成几何关系.
2.平面向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；
（2）向量的加减运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中；
（3）动量mv是向量的数乘运算；
（4）功是力F与所产生的位移s的数量积.
1.（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A.若点B是线段AC的中点，则有＋＝2
B.若∥，则直线AB与CD平行
C.若∥，则A，B，C三点共线
D.物理学中的功是一个向量
2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（ ）
A.v1－v2 B.v1＋v2
C.｜v1｜－｜v2｜ D.｜｜
3.在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则BC边的中线AD的长为 .
题型一 向量在物理中的应用
【例1】 （链接教科书第41页例1）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某体重为m（单位：kg）的学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，求该学生的体重.（参考数据：重力加速度g＝10 m/s2，≈1.732.结果保留一位小数）
通性通法
用向量方法解决物理问题的四个步骤
【跟踪训练】
一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功.
题型二 向量在平面几何问题中的应用
角度1 利用向量证明平面几何问题
【例2】 （链接教科书第41页例2）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
通性通法
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）利用向量基底法求解：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）利用向量坐标法求解：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
角度2 利用向量求线段的长度问题
【例3】 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
通性通法
利用向量法求长度的策略
（1）根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜2＝a2求解；
（2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式，若a＝（x，y），则｜a｜＝.
【跟踪训练】
1.（2024·宿迁质检）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则｜｜＝（ ）
A. B.2 C.3 D.2
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
1.当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，则θ＝（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
2.河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 m/s.
3.（2024·南通月考）在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋（＋），则｜｜＝ .
4.已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°.
9.4 向量应用
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）平面几何问题 （2）向量运算 （3）运算结果
自我诊断
1.AC
2.B 由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2.故选B.
3. 解析：BC的中点为D（，6），＝（－，5），∴｜｜＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：如图所示，该学生所受到的重力为G＝mg.
由题意得，｜G｜＝｜F'｜，F'＝F1＋F2.
所以｜F'｜2＝｜F1＋F2｜2＝＋＋2F1·F2＝4002＋4002＋2×400×400×cos 60°＝3×4002，
所以｜F'｜＝400.所以｜G｜＝400，
即该学生的体重为m＝≈69.3（kg）.
故该学生的体重约为69.3 kg.
跟踪训练
解：如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1，），F2＝（2，2），F3＝（－3，3），
∴F＝F1＋F2＋F3＝（2－2，2＋4）.
又位移s＝（4，4），
∴合力F所做的功W＝F·s＝（2－2）×4＋（2＋4）×4＝4×6＝24（J）.
∴合力F所做的功为24 J.
【例2】 证明：法一 设＝a，＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，
所以·＝·（ －a＋）＝－a2－a·b＋＝－｜a｜2＋｜b｜2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）.
因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
【例3】 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴｜｜＝，即AC＝.
跟踪训练
1.B 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设｜｜＝a（a＞0），则A（0，0），C（4，a），D（0，a），E（2，0），所以＝（2，－a），＝（4，a）.因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝（2，－2），所以｜｜＝ ＝2.
2.证明：以直角顶点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设CA＝1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），D.
∴＝.
又AE＝2EB，∴E，∴＝，
∴·＝（－1）×＋×＝0，
∴⊥，∴AD⊥CE.
随堂检测
1.D 作＝F1，＝F2，＝－G（图略），则＝＋，当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC，△OBC均为正三角形，所以∠AOC＝∠BOC＝60°. 从而∠AOB＝120°.故选D.
2.2 解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，作出示意图如图.∴｜v｜＝＝＝2（m/s）.
3.1 解析：∵＝＋（＋），∴－＝（＋），＝（＋），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴｜｜＝1.
4.解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，0），D（2，3），
设P（0，b）（0≤b≤3），
则＝（1，3），＝（－1，b），
∴cos∠PED＝
＝＝.
整理得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2，b＝－（舍去），
∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°.
3 / 3(共59张PPT)
9.4 向量应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问
题以及其他实际问题 逻辑推理、直观
想象
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂
夹角越小越省力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力.
【问题】 你能从数学的角度解释上述现象吗？
知识点 向量的应用
1. 用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
元素，将 转化为向量问题；
（2）通过 ，研究几何元素之间的关系；
（3）把 “翻译”成几何关系.
平面几何问题
向量运算
运算结果
2. 平面向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等；
（2）向量的加减运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分
解中；
（3）动量mv是向量的数乘运算；
（4）功是力F与所产生的位移s的数量积.
1. （多选）下列说法中，正确的是（ ）
D. 物理学中的功是一个向量
√
√
2. 人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（ ）
A. v1－v2 B. v1＋v2
C. ｜v1｜－｜v2｜
解析： 由向量的加法法则可知逆风行驶的速度为v1＋v2.故
选B.
√
解析：BC的中点为D（ ，6）， ＝（－ ，5），∴｜ ｜
＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量在物理中的应用
【例1】 （链接教科书第41页例1）加强体育锻炼是
青少年生活学习中非常重要的组成部分.某体重为m
（单位：kg）的学生做引体向上运动，处于如图所示
的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊
的拉力大小均为400 N，求该学生的体重.（参考数据：
重力加速度g＝10 m/s2， ≈1.732.结果保留一位小数）
解：如图所示，该学生所受到的重力为G＝mg.
由题意得，｜G｜＝｜F'｜，F'＝F1＋F2.
所以｜F'｜2＝｜F1＋F2｜2＝ ＋ ＋2F1·F2＝4002＋
4002＋2×400×400× cos 60°＝3×4002，
所以｜F'｜＝400 .所以｜G｜＝400 ，
即该学生的体重为m＝ ≈69.3（kg）.
故该学生的体重约为69.3 kg.
通性通法
用向量方法解决物理问题的四个步骤
【跟踪训练】
一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东
45°的方向移动了8 m，其中｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°；｜
F2｜＝4 N，方向为北偏东60°；｜F3｜＝6 N，方向为北偏西30°.
求这三个力的合力F所做的功.
解：如图，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的
正方向建立平面直角坐标系，则F1＝（1， ），F2
＝（2 ，2），F3＝（－3，3 ），
∴F＝F1＋F2＋F3＝（2 －2，2＋4 ）.
又位移s＝（4 ，4 ），
∴合力F所做的功W＝F·s＝（2 －2）×4 ＋（2
＋4 ）×4 ＝4 ×6 ＝24 （J）.
∴合力F所做的功为24 J.
题型二 向量在平面几何问题中的应用
角度1 利用向量证明平面几何问题
【例2】 （链接教科书第41页例2）如图所示，在正方形ABCD中，
E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一 设 ＝a， ＝b，则｜a｜＝｜b｜，a·b＝0，
又 ＝ ＋ ＝－a＋ ， ＝ ＋ ＝b＋ ，
所以 · ＝ · ＝－ a2－ a·b＋ ＝－ ｜a｜2＋
｜b｜2＝0.
故 ⊥ ，即AF⊥DE.
法二 建立如图
所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D
（0，2），E（1，0），F（2，1）， ＝（2，1）， ＝（1，
－2）.
因为 · ＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以 ⊥ ，即
AF⊥DE.
通性通法
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）利用向量基底法求解：①选取基底；②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得
结果转化为几何问题.
（2）利用向量坐标法求解：①建立适当的平面直角坐标系；②把相
关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用
向量关系回答几何问题.
角度2 利用向量求线段的长度问题
【例3】 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝
2，求对角线AC的长.
解：设 ＝a， ＝b，则 ＝a－b， ＝a＋b，
而｜ ｜＝｜a－b｜＝ ＝ ＝
＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ ，
又｜ ｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴｜ ｜＝ ，即AC＝ .
通性通法
利用向量法求长度的策略
（1）根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式｜a｜
2＝a2求解；
（2）建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式，若a＝（x，
y），则｜a｜＝ .
【跟踪训练】
1. （2024·宿迁质检）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为
AB的中点，且 ⊥ ，则｜ ｜＝（ ）
C. 3
√
解析： 以A为坐标原点，AB所在直线为x
轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角
坐标系.设｜ ｜＝a（a＞0），则A（0，
0），C（4，a），D（0，a），E（2，
0），所以 ＝（2，－a）， ＝（4，a）.因为 ⊥ ，所以 · ＝0，所以2×4＋（－a）·a＝0，即a2＝8.所以a＝2 ，所以 ＝（2，－2 ），所以｜ ｜＝ ＝2 .
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，
E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明：以直角顶点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直
线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设CA＝1，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），D .
∴ ＝ .
又AE＝2EB，∴E ，
∴ ＝ ，
∴ · ＝（－1）× ＋ × ＝0，
∴ ⊥ ，∴AD⊥CE.
1. 当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都
为｜F｜，若｜F｜＝｜G｜，则θ＝（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
解析： 作 ＝F1， ＝F2， ＝－G（图略），则 ＝
＋ ，当｜F1｜＝｜F2｜＝｜G｜时，△OAC，△OBC均为
正三角形，所以∠AOC＝∠BOC＝60°. 从而∠AOB＝120°.故
选D.
√
解析：由题意知｜v水｜＝2 m/s，｜v船｜＝10 m/s，
作出示意图如图.∴｜v｜＝ ＝ ＝
2 （m/s）.
2
3. （2024·南通月考）在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面
ABC内一点，点P满足 ＝ ＋ （ ＋ ），则｜ ｜
＝ .
解析：∵ ＝ ＋ （ ＋ ），∴ － ＝ （ ＋
）， ＝ （ ＋ ），∴AP为Rt△ABC斜边BC的中
线.∴｜ ｜＝1.
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4. 已知长方形AOCD中，OA＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO
上一点，利用向量知识判断当点P在什么位置时，∠PED＝45°.
解：如图，建立平面直角坐标系，则E（1，
0），D（2，3），
设P（0，b）（0≤b≤3），
则 ＝（1，3）， ＝（－1，b），
∴ cos ∠PED＝
＝ ＝ .
整理得2b2－3b－2＝0，
解得b＝2，b＝－ （舍去），
∴当点P为OA上靠近点A的三等分点时，∠PED＝45°.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 已知两个力F1＝（1，2），F2＝（－2，3）作用于平面内某静止
物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上
再加上一个力F3，则F3＝（ ）
A. （1，－5） B. （－1，5）
C. （5，－1） D. （－5，1）
解析： 根据力的合成可知F1＋F2＝（1，2）＋（－2，3）＝
（－1，5），因为物体保持静止，所以作用于物体的合力为0，则
F1＋F2＋F3＝0，则F3＝（1，－5）.故选A.
√
2. 在四边形ABCD中，若 ＋ ＝0， · ＝0，则四边形
ABCD为（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 菱形
解析： 由 ＋ ＝0，得 ＝－ ＝ ，∴四边形ABCD
为平行四边形.由 · ＝0知，平行四边形ABCD对角线互相垂
直，故四边形ABCD为菱形.
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3. （2024·徐州月考）一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞
行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子冲向猎
物的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为（ ）
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解析： 如图，设鹰在地面上的影子冲向猎物的
速度 ＝v1，鹰的飞行速度 ＝v2，由题可
知｜ ｜＝｜v1｜＝40，且∠CAB＝30°，则｜ ｜＝｜v2｜＝ ＝ .故选C.
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4. （2024·淮安月考）正方形OABC的边长为1，点D，E分别为
AB，BC的中点，则 cos ∠DOE＝（ ）
解析： 以O为原点，以OA，OC所在直线为x
轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.由题意
知， ＝（1， ）， ＝（ ，1），故 cos
∠DOE＝ ＝ ＝ .
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5. （多选）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等
式成立的是（ ）
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解析： 由 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos A＝｜ ｜·｜
｜，由射影定理可知A正确；由 · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
B＝｜ ｜｜ ｜，由射影定理可知B正确；由 · ＝｜
｜｜ ｜ cos （π－∠ACD）＜0，又｜ ｜2＞0，即C错
误；由题意可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以｜ ｜｜ ｜＝｜
｜·｜ ｜，又由A、B可得｜ ｜2＝ ，
即D正确.故选A、B、D.
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6. （多选）在△ABC中， ＝c， ＝a， ＝b，则下列命题中
是真命题的有（ ）
A. 若a·b＜0且b·c＜0，则△ABC为锐角三角形
B. 若a·b＞0，则△ABC为钝角三角形
C. 若a·b＝c·b，则△ABC为等边三角形
D. 若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，则△ABC为直角三角形
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解析： 对于A，a·b＝ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos C＜
0，则 cos C＞0，则角C为锐角，同理，由b·c＜0可知角A为锐
角，但角B不一定是锐角，故A错误；对于B，a·b＝ · ＝
－｜ ｜·｜ ｜ cos C＞0，则 cos C＜0，则角C为钝角，故B正
确；对于C，由a·b＝c·b，得（a－c）·b＝0，即（ －
）· ＝（ ＋ ）· ＝0，即（ ＋ ）·（ －
）＝ － ＝0，故｜ ｜＝｜ ｜，故△ABC为等
腰三角形，故C错误；对于D，（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，即a2＝（b－c）2，即｜ ｜2＝（ ＋ ）2，即（ － ）2＝（ ＋ ）2，化简得 · ＝0，故A＝ ，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、D.
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7. 如图所示，在倾斜角为37°，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物
体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，
则斜面对物体m的支持力所做的功为 J，重力对物体m所做的
功为 J（g＝9.8 m/s2， sin 37°＝0.6）.
0
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解析：物体m的位移大小为｜s｜＝ ＝ （m），则支持力
对物体m所做的功为W1＝F·s＝｜F｜｜s｜ cos 90°＝0（J）；
重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝｜G｜｜s｜ cos 53°＝
5×9.8× ×0.6＝98（J）.
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8. （2024·苏州月考）已知向量a＝ ， ＝a－b， ＝
a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB
的面积为 .
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解析：由题意，得｜a｜＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰
直角三角形，所以 ⊥ ，｜ ｜＝｜ ｜.由 ⊥ 得
（a－b）·（a＋b）＝｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜
b｜，由｜ ｜＝｜ ｜得｜a－b｜＝｜a＋b｜，所以a·b＝
0，所以｜a＋b｜2＝｜a－b｜2＝｜a｜2＋｜b｜2＝2，所以｜
｜＝｜ ｜＝ ，所以S△OAB＝ × × ＝1.
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9. 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则
·（ ＋ ）的最小值为 .
解析：因为M为BC的中点，所以 ＋ ＝2 ，则 ·（
＋ ）＝2 · ＝2｜ ｜·｜ ｜· cos 180°＝－2｜
｜｜ ｜.设OA＝x（0≤x≤2），则OM＝2－x.令y＝x
（2－x）（0≤x≤2），则ymax＝1，所以 ·（ ＋ ）的最
小值为－2.
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10. 如图，在平行四边形ABCD中，M为线段DC的中点，N为线段
AC的中点，点T在线段AM上，且AT＝3TM. 求证：NT∥BM.
证明：记 ＝a， ＝b，
则 ＝ ＋ ＝－ a＋b，
＝ ＋ ＝－ ＋ .
而 ＝a＋b， ＝ ＋ ＝ a＋b，
所以 ＝－ （a＋b）＋ （ a＋b）＝－ a＋ b，
所以 ＝4 ，所以NT∥BM.
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11. 某江南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假
设游船在静水中的航行速度的大小｜v1｜＝8 km/h，水流的速度
的大小｜v2｜＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜
180°），北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，
cos θ＝（ ）
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解析： 如图，设船的实际速度为v.由题知北岸的
点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，
∴ cos θ＝－ cos （π－θ）＝－ ＝－ ＝－ .
故选D.
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12. （多选）一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水
平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（ ）
A. 当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N
B. 当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为0
C. 当物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N
D. 当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N
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解析： 对于A，当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝｜F1
＋G｜＝ ＝5（N），选项A正确；对于B，当F2与F1方
向相反，且｜F2｜＝5 N时，物体所受合力大小为
＝2 （N），选项B错误；对于C，当物体所
受合力为F1时，G与F2的合力为0，所以｜F2｜＝4N，选项C正
确；对于D，当｜F2｜＝2 N时，因为F1与G的合力大小为｜F1
＋G｜＝5 N，所以3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N，选项D正确.
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13. 如图，平面内点P在两条平行直线m，n之间，且到m，n的距离
分别为1，2，点A，B分别在直线m，n上，且｜ ＋ ｜＝
5，则 · 的最大值为 .
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解析：由题意，平面内点P在两条平行直线m，n之
间，且到m，n的距离分别为1，2，可得平行线
m，n间的距离为3，以直线m为x轴，以过点P且与
直线m垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示，则由题意可得点P（0，1），直线n的方程为y＝3.设点A（a，0），点B（b，3），则 ＝（a，－1）， ＝（b，2），所以 ＋ ＝（a＋b，1）.因为｜ ＋ ｜＝5，所以（a＋b）2＋1＝25，所以a＋b＝2 或a＋b＝－2 （舍去）.当a＋b＝2 时， · ＝ab－2＝a（2 －a）－2＝－a2＋2 a－2＝－（a－ ）2＋4.所以当a＝ 时， · 取得最大值，最大值为4.
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14. 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（θ∈（0°，90°））方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风
侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？（注： cos （θ－45°）＝ ）
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解：设t h后，台风中心移动到Q处，
此时城市开始受到台风的侵袭，
∠OPQ＝θ－45°.
∵ ＝ ＋ ，
∴ ＝（ ＋ ）2＝ ＋ ＋2 · .
∴ ＝ ＋ －2｜ ｜｜ ｜ cos （θ－45°）＝3002
＋（20t）2－2×300×20t× ＝100（4t2－96t＋900）.
依题意得 ≤（60＋10t）2，
解得12≤t≤24.
从而12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
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15. （2024·常州月考）我们把与直线l垂直的向量称为直线l的法向
量.设e＝（A，B）是直线l的一个方向向量，那么n＝（－B，
A）就是直线l的一个法向量（如图①）.借助直线的法向量，我
们可以方便地计算点到直线的距离.
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已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取
一点Q，那么 在法向量n上的投影向量为（｜ ｜ cos θ）
（θ为向量n与 的夹角），其模就是点P到直线l的距离
d，即d＝ （如图②）.据此，请解决下面的问题：已知
点A（－4，0），B（2，－1），C（－1，3），求点A到直线
BC的距离.
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解：由题意，得直线BC的一个方向向量e＝ ＝（－3，4），
则n＝（－4，－3）为BC的一个法向量，
又 ＝（6，－1），
∴点A到直线BC的距离d＝ ＝ ＝ .
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谢 谢 观 看！
