习题课四 电磁感应中的动力学、能量问题
题组一 电磁感应中的动力学问题
1.如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d（d＞L）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列v -t图像中，能正确描述上述过程的是（ ）
2.在图中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图甲中的电容器C原来不带电。设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度v0，在图甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（ ）
A.三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B.图甲、丙中，ab棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中，ab棒最终静止
C.图甲、丙中，ab棒最终将以相同的速度做匀速运动；图乙中，ab棒最终静止
D.三种情形下导体棒ab最终均静止
3.（多选）如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm（不计轨道和金属杆的电阻），则（ ）
A.如果B变大，vm将变大
B.如果α变大，vm将变大
C.如果R变大，vm将变大
D.如果m变小，vm将变大
题组二 电磁感应中的能量问题
4.如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（ ）
A.Q1＞Q2，q1＝q2 B.Q1＞Q2，q1＞q2
C.Q1＝Q2，q1＝q2 D.Q1＝Q2，q1＞q2
5.如图甲所示，两根电阻忽略不计的导轨平行放置，导轨左端接电阻R1，右端接小灯泡L，导体棒AB垂直于导轨放置，电阻R1、导体棒AB和小灯泡L的电阻均为R（不计灯泡电阻随温度的变化），虚线MN右侧有垂直于导轨平面的磁场，当导体棒AB从MN左侧某处匀速向右运动时开始计时，磁感应强度随时间变化的关系如图乙所示，若导体棒AB从开始运动到穿越磁场的过程中，灯泡的亮度始终不变，则导体棒AB在穿越磁场前后电阻R1上消耗的功率之比是（ ）
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
6.如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为l，左端连接一阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导体棒ab置于导轨上，其电阻为r，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。不计导轨的电阻、导体棒与导轨间的摩擦。在大小为F的水平拉力作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度大小为v。在导体棒向右匀速移动x的过程中（ ）
A.导体棒中感应电流的方向为a→b
B.导体棒两端的电势差大小为Blv
C.电阻R消耗的电能为
D.拉力对导体棒做功的功率为
7.如图所示，水平方向的磁场垂直于光滑曲面，闭合小金属环从高h的曲面上端无初速度滑下，又沿曲面的另一侧上升，则（ ）
A.若是匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
B.若是匀强磁场，环在左侧上升的高度大于h
C.若是非匀强磁场，环在左侧上升高度等于h
D.若是非匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
8.（多选）在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B，方向相反的水平匀强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线框，以速度v垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中时，速度为，则下列说法正确的是（ ）
A.此过程中通过线框截面的电荷量为
B.此时线框的加速度为
C.此过程中回路产生的电能为mv2
D.此时线框中的电功率为
9.如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角θ＝30°，两导轨间距L＝1.0 m，底端N、Q两点连接R＝1.0 Ω的电阻，匀强磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B＝0.6 T，质量为m＝0.2 kg、阻值为r＝0.5 Ω的导体棒垂直于导轨放置，在平行于平面向上的拉力F作用下沿导轨向上做匀速直线运动，速度v＝10 m/s。撤去拉力F后，导体棒沿导轨继续运动l＝2.0 m后速度减为零。运动过程中导体棒与导轨始终垂直并接触良好，取g＝10 m/s2，导轨电阻不计。求：
（1）拉力F的大小；
（2）撤去拉力F后导体棒继续沿导轨上滑的过程中电阻R产生的焦耳Q和通过电阻R的电荷量q。
习题课四 电磁感应中的动力学、能量问题
1.D 导线框进入磁场的过程中，受到向左的安培力作用，根据E＝BLv、I＝、F安＝BIL得F安＝，随着v的减小，安培力F安减小，根据F安＝ma知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动。整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，受到向左的安培力，根据F安＝＝ma可知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，故选项D正确。
2.B 题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，从而使电容器充电，当电容器C两极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向右做匀速运动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用做减速运动，速度减为零后再在安培力作用向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动，所以B项正确。
3.BC 金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得mgsin α－＝ma，当a＝0时，v＝vm，解得vm＝，故选项B、C正确，A、D错误。
4.A 根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因为q＝t＝t＝，所以q1＝q2，故A正确。
5.D 设通过灯泡的电流为I，根据题意，导体棒AB从开始运动到越过磁场的过程中灯泡的亮度始终不变，说明此过程中通过灯泡的电流不变，当AB在MN左侧运动时，通过灯泡的电流等于通过R1电流的2倍，即通过R1电流为I；当AB在MN右侧运动时，MN相当电源，通过灯泡的电流I等于通过R1的电流，根据P＝I2R，可知导体棒AB在越过磁场前后电阻R1上消耗的功率之比是1∶4。故D正确，A、B、C错误。
6.C 导体棒沿导轨向右匀速运动时，由右手定则可知导体棒切割磁感线产生的感应电动势由b指向a，则导体棒中的电流方向由b指向a，故A错误；导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blv，对应的感应电流为I＝，故导体棒两端的电势差大小为U＝IR＝，故B错误；电阻R消耗的电能为W＝I2Rt ，而导体棒运动的时间为t＝，又因为导体棒受力平衡，故F＝BIl＝，解得W＝，故C正确；拉力对导体棒做功的功率为P＝Fv，结合前述式子可解得，P＝，故D错误。
7.D 若是匀强磁场，穿过小环的磁通量不变，没有感应电流产生，其机械能守恒，高度不变，则环在左侧上升的高度等于h，故A、B错误；若是非匀强磁场，穿过小环的磁通量变化，小环中产生感应电流，转化为内能，机械能减小，高度将减小，则环在左侧上升的高度小于h，故C错误，D正确。
8.CD 线圈磁通量的变化ΔΦ＝Ba2，则由E＝，I＝，q＝IΔt可得q＝＝，选项A错误；此时线框产生的电流I＝＝，由牛顿第二定律和安培力公式可得加速度a1＝＝，选项B错误；对此过程，由能量守恒定律可得，回路产生的电能E＝mv2－m＝mv2，选项C正确；由电功率定义可得P＝I2R＝，选项D正确。
9.（1）3.4 N （2） J 0.8 C
解析：（1）导体棒匀速运动产生的感应电动势为
E＝BLv＝6 V
感应电流为I＝＝4 A
由导体棒受力平衡可得
F＝F安＋mgsin θ＝BIL＋mgsin θ＝3.4 N。
（2）撤去拉力后，由动能定理可得
－mglsin θ－W克安＝0－mv2
得导体棒克服安培力所做的功W克安＝8 J
则电阻R产生的焦耳热
Q＝W克安＝ J
通过电阻R的电荷量
q＝Δt＝＝＝0.8 C。
2 / 3习题课四 电磁感应中的动力学、能量问题
要点一 电磁感应中的动力学问题
1.解答导体的平衡与加、减速问题的方法
（1）导体静止或做匀速直线运动：利用平衡条件解答。
（2）导体做匀变速直线运动：利用牛顿第二定律解答。
2.电学对象和力学对象的相互关系
【典例1】 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的定值电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。（重力加速度为g）
（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中的受力示意图；
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流大小及其加速度的大小；
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
尝试解答
规律总结
“先电后力四步法”分析电磁感应动力学问题
1.如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则（ ）
A.ef将减速向右运动，但不是匀减速
B.ef将匀减速向右运动，最后停止
C.ef将匀速向右运动
D.ef将往返运动
2.如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像不可能的是（ ）
要点二 电磁感应中的能量问题
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的。电磁感应现象中，外力克服安培力做功，其他形式的能（通常为机械能）转化为电能。
2.求解焦耳热Q的方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
【典例2】 如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为gsin θ时，电阻R上的电功率；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功。
思路点拨 第一步：抓关键点
关键点 获取信息
光滑金属轨道与水平面成θ角固定 金属杆不受摩擦力，且金属杆受到的重力沿轨道向下的分力为mgsin θ
P、M间所接电阻阻值为R；金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r；轨道足够长且电阻不计 金属杆与轨道、电阻R所组成的闭合回路的内电阻为r，外电阻为R
金属杆ab沿轨道下滑距离x时，达到最大速度 金属杆高度降低了xsin θ，此后受力平衡以最大速度继续下滑
第二步：找突破口
（1）根据受力平衡列方程，安培力F＝mgsin θ；
（2）根据牛顿第二定律，求解加速度为gsin θ时的安培力；
（3）根据动能定理，求解此过程中克服安培力所做的功。
尝试解答
1.如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。虚线框a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d'c'边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的d'c' 边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为（ ）
A.m＋μmgl B.m－μmgl
C.m＋2μmgl D.m－2μmgl
2.如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接。右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、接入电路的电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则金属棒穿过磁场区域的过程中（ ）
A.流过金属棒的最大电流为
B.通过金属棒的电荷量为
C.克服安培力所做的功为mgh
D.金属棒产生的焦耳热为mg（h－μd）
1.如图所示，质量为m的金属环用细线悬挂起来，金属环有一半处于水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下列说法中正确的是（ ）
A.大于环的重力mg，并逐渐减小
B.始终等于环的重力mg
C.小于环的重力mg，并保持恒定
D.大于环的重力mg，并保持恒定
2.如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B。正方形金属框abcd的边长为L，总电阻为R，可绕光滑轴OO'转动，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，重力加速度大小为g，则这一过程中，在金属框内产生热量大小等于（ ）
A. B.
C.mgL－ D.mgL＋
3.如图所示，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平。在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上、下边的距离很短，下边水平。线圈从水平面a开始下落。已知磁场上、下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离。若线圈下边通过水平面b、c（位于磁场中）和d时，线圈所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc和Fd，则（ ）
A.Fd＞Fc＞Fb B.Fc＜Fd＜Fb
C.Fc＞Fb＞Fd D.Fc＜Fb＜Fd
4.如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两根水平放置且足够长的平行金属导轨AB、CD，在导轨的A、C端连接一阻值为R的电阻。一根质量为m、长度为L的金属棒ab垂直导轨放置，导轨和金属棒的电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ。若用恒力F沿水平方向向右拉金属棒使其运动，求金属棒的最大速度。
习题课四 电磁感应中的动力学、能量问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 （1）见解析图 （2） gsin θ－ （3）
解析：（1）如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨向上。
（2）当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv
则此时电路中的电流I＝＝
ab杆受到的安培力F安＝BIL＝
根据牛顿第二定律，有
mgsin θ－F安＝ma
联立各式得a＝gsin θ－。
（3）当a＝0时，ab杆达到最大速度vm，
即有gsin θ＝，解得vm＝。
素养训练
1.A ef向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确。
2.B S闭合时，若金属杆受到的安培力＞mg，ab杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，ab杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，ab杆先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，mg－＝ma中a不恒定，故B项不可能。
要点二
知识精研
【典例2】 （1） （2）
（3）mgxsin θ－
解析： （1）当杆达到最大速度时安培力F＝mgsin θ
安培力F＝BId
感应电流I＝，感应电动势E＝Bdvmax
解得最大速度vmax＝。
（2）当金属杆ab运动的加速度为gsin θ时
根据牛顿第二定律，有mgsin θ－BI'd＝m·gsin θ
电阻R上的电功率P＝I'2R，解得P＝。
（3）根据动能定理mgx·sin θ－WF＝m－0
解得WF＝mgxsin θ－。
素养训练
1.D 依题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为Q＝m－2μmgl，故选项D正确。
2.D 金属棒沿弯曲部分下滑过程中，由机械能守恒定律得mgh＝mv2，金属棒到达平直部分时的速度v＝，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，则最大感应电动势E＝BLv，最大感应电流为I＝＝，故A错误；通过金属棒的电荷量为q＝Δt＝＝，故B错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理有mgh－W安－μmgd＝0－0，则克服安培力做功W安＝mgh－μmgd，故C错误；克服安培力做的功等于整个回路中产生的焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热Q'＝Q＝W安＝mg（h－μd），故D正确。
【教学效果·勤检测】
1.A 根据楞次定律知金属环中感应电流方向为顺时针，再由左手定则判断可知金属环所受安培力竖直向下，对金属环受力分析，根据共点力的平衡条件有FT＝mg＋F，得FT＞mg，又F＝IlB，根据法拉第电磁感应定律I＝＝＝S可知I为恒定电流，联立以上两式可知B减小时，F减小，则由FT＝mg＋F知FT减小，选项A正确。
2.C 金属框绕光滑轴转动的过程中机械能有损失，但总能量守恒，损失的机械能转变成热量，故产生的热量为mgL－，故C正确。
3.D 线圈在a处自由下落，到b点速度vb＝，受安培力Fb＝，线圈全部进入磁场，无感应电流，则线圈不受安培力作用，Fc＝0，线圈继续加速，由于线圈上下边界很短，故vd＝＞vb，d点处所受安培力为Fd＝，故Fd＞Fb＞Fc，选项D正确。
4.
解析：金属棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，由右手定则知，金属棒中有从a到b方向的电流；由左手定则知，安培力方向向左，金属棒向右运动的过程中受到的合力逐渐减小，故金属棒向右做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力与摩擦力的合力增大到大小等于拉力F时，金属棒的加速度减小到零，速度达到最大，此后金属棒做匀速运动。
由平衡条件得F＝BImaxL＋μmg
由闭合电路欧姆定律有Imax＝
金属棒ab切割磁感线产生的感应电动势为Emax＝BLvmax
联立以上各式解得金属棒的最大速度为
vmax＝。
4 / 5(共63张PPT)
习题课四 电磁感应中的动力学、能量问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 电磁感应中的动力学问题
1. 解答导体的平衡与加、减速问题的方法
（1）导体静止或做匀速直线运动：利用平衡条件解答。
（2）导体做匀变速直线运动：利用牛顿第二定律解答。
2. 电学对象和力学对象的相互关系
【典例1】 如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放
置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值
为R的定值电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并
与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向
垂直于导轨平面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由
静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。（重
力加速度为g）
（1）由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑
过程中的受力示意图；
答案：见解析图
解析：如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨向上。
解析：当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv
则此时电路中的电流I＝＝
ab杆受到的安培力F安＝BIL＝
根据牛顿第二定律，有
mgsin θ－F安＝ma
联立各式得a＝gsin θ－。
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的
电流大小及其加速度的大小；
答案： gsin θ－
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
答案：
解析：当a＝0时，ab杆达到最大速度vm，
即有gsin θ＝，解得vm＝。
规律总结
“先电后力四步法”分析电磁感应动力学问题
1. 如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面
内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体
杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则（ ）
A. ef将减速向右运动，但不是匀减速
B. ef将匀减速向右运动，最后停止
C. ef将匀速向右运动
D. ef将往返运动
解析： ef向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电
流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀
减速，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运
动，故A正确。
2. 如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已
知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接
触良好的金属杆，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由
下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆
ab的速度v随时间t变化的图像不可能的是（ ）
解析： S闭合时，若金属杆受到的安培力＞mg，ab杆先减
速再匀速，D项有可能；若＝mg，ab杆匀速运动，A项有可
能；若＜mg，ab杆先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，
mg－＝ma中a不恒定，故B项不可能。
要点二 电磁感应中的能量问题
1. 能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通
过安培力做功实现的。电磁感应现象中，外力克服安培力做功，其
他形式的能（通常为机械能）转化为电能。
2. 求解焦耳热Q的方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
【典例2】 如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平
面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于
轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量
为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释
放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且
电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为gsin θ时，电阻R上的电功率；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做
的功。
关键点 获取信息
光滑金属轨道与水平面成θ角固定 金属杆不受摩擦力，且金属杆受到的重力沿轨道向下的分力为mgsin θ
P、M间所接电阻阻值为R；金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r；轨道足够长且电阻不计 金属杆与轨道、电阻R所组成的闭合回路的内电阻为r，外电阻为R
金属杆ab沿轨道下滑距离x时，达到最大速度 金属杆高度降低了xsin θ，此后受力平衡以最大速度继续下滑
思路点拨 第一步：抓关键点
第二步：找突破口
（1）根据受力平衡列方程，安培力F＝mgsin θ；
（2）根据牛顿第二定律，求解加速度为gsin θ时的安培力；
（3）根据动能定理，求解此过程中克服安培力所做的功。
答案：（1） （2）
（3）mgxsin θ－
解析： （1）当杆达到最大速度时安培力F＝mgsin θ
安培力F＝BId
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvmax
解得最大速度vmax＝。
（2）当金属杆ab运动的加速度为gsin θ时
根据牛顿第二定律，有mgsin θ－BI'd＝m·gsin θ
电阻R上的电功率P＝I'2R
解得P＝。
（3）根据动能定理mgx·sin θ－WF＝m－0
解得WF＝mgxsin θ－。
1. 如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd，其边长
为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。虚线框
a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab
边与磁场的d'c'边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁
场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的
d'c' 边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为（ ）
解析： 依题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克
服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳
热为Q＝m－2μmgl，故选项D正确。
2. 如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导
轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接。右端接一个阻值
为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向
上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、接入电路的电阻
也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好
停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与
导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则金属棒穿过磁场区域的
过程中（ ）
C. 克服安培力所做的功为mgh
解析： 金属棒沿弯曲部分下滑过程中，由机械能守恒定律得
mgh＝mv2，金属棒到达平直部分时的速度v＝，金属棒到达
平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，则最大感
应电动势E＝BLv，最大感应电流为I＝＝，故A错误；
通过金属棒的电荷量为q＝Δt＝＝，故B错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理有mgh－W安－μmgd＝0－0，则克服安培力做功W安＝mgh－μmgd，故C错误；克服安培力做的功等于整个回路中产生的焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热Q'＝Q＝W安＝mg（h－μd），故D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，质量为m的金属环用细线悬挂起来，金属环有一半处于
水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀
减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下
列说法中正确的是（ ）
A. 大于环的重力mg，并逐渐减小
B. 始终等于环的重力mg
C. 小于环的重力mg，并保持恒定
D. 大于环的重力mg，并保持恒定
解析： 根据楞次定律知金属环中感应电流方向为顺时针，再由
左手定则判断可知金属环所受安培力竖直向下，对金属环受力分
析，根据共点力的平衡条件有FT＝mg＋F，得FT＞mg，又F＝IlB，
根据法拉第电磁感应定律I＝＝＝S可知I为恒定电流，联立
以上两式可知B减小时，F减小，则由FT＝mg＋F知FT减小，选项A
正确。
2. 如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B。正方形金属
框abcd的边长为L，总电阻为R，可绕光滑轴OO'转动，ab边质量为
m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，
经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，重力加速度大小
为g，则这一过程中，在金属框内产生热量大小等于（ ）
解析： 金属框绕光滑轴转动的过程中机械能有损失，但总能量
守恒，损失的机械能转变成热量，故产生的热量为mgL－，故C
正确。
3. 如图所示，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且
垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平。在竖直面内有一矩
形金属线圈，线圈上、下边的距离很短，下边水平。线圈从水平面
a开始下落。已知磁场上、下边界之间的距离大于水平面a、b之间
的距离。若线圈下边通过水平面b、c（位于磁场中）和d时，线圈
所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc和Fd，则（ ）
A. Fd＞Fc＞Fb B. Fc＜Fd＜Fb
C. Fc＞Fb＞Fd D. Fc＜Fb＜Fd
解析： 线圈在a处自由下落，到b点速度vb＝，受安培力
Fb＝，线圈全部进入磁场，无感应电流，则线圈不受安培力
作用，Fc＝0，线圈继续加速，由于线圈上下边界很短，故vd＝
＞vb，d点处所受安培力为Fd＝，故Fd＞Fb＞
Fc，选项D正确。
4. 如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两根水
平放置且足够长的平行金属导轨AB、CD，在导轨的A、C端连接一
阻值为R的电阻。一根质量为m、长度为L的金属棒ab垂直导轨放
置，导轨和金属棒的电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为
μ。若用恒力F沿水平方向向右拉金属棒使其运动，求金属棒的最
大速度。
答案：
解析：金属棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，由右手定则
知，金属棒中有从a到b方向的电流；由左手定则知，安培力方向向
左，金属棒向右运动的过程中受到的合力逐渐减小，故金属棒向右
做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力与摩擦力的合力增大到大
小等于拉力F时，金属棒的加速度减小到零，速度达到最大，此后
金属棒做匀速运动。
由平衡条件得F＝BImaxL＋μmg
由闭合电路欧姆定律有Imax＝
金属棒ab切割磁感线产生的感应电动势为
Emax＝BLvmax
联立以上各式解得金属棒的最大速度为
vmax＝。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一 电磁感应中的动力学问题
1. 如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导
线框；在导线框右侧有一宽度为d（d＞L）的条形匀强磁场区域，
磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某
一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，
随后导线框进入并通过磁场区域。下列v -t图像中，
能正确描述上述过程的是（ ）
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解析： 导线框进入磁场的过程中，受到向左的安培力作用，根
据E＝BLv、I＝、F安＝BIL得F安＝，随着v的减小，安培力F安
减小，根据F安＝ma知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动。整
个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线
框离开磁场的过程中，受到向左的安培力，根据F安＝＝ma可
知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，故选项D正确。
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2. 在图中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图甲中的电容
器C原来不带电。设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导
体棒和导轨间的摩擦也不计。图中装置均在水平面内，且都处于方
向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。现给导
体棒ab一个向右的初速度v0，在图甲、乙、丙三种情形下导体棒ab
的最终运动状态是（ ）
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A. 三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B. 图甲、丙中，ab棒最终将以不同的速度做匀速运动；图乙中，ab
棒最终静止
C. 图甲、丙中，ab棒最终将以相同的速度做匀速运动；图乙中，ab
棒最终静止
D. 三种情形下导体棒ab最终均静止
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解析： 题图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电
流，从而使电容器充电，当电容器C两极板间电压与导体棒产
生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向右做匀速运
动；题图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通
过电阻R转化为内能，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒
静止；题图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用做减速运
动，速度减为零后再在安培力作用向左做加速运动，当导体棒
产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，
ab棒向左做匀速运动，所以B项正确。
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3. （多选）如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨
道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的
匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静
止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速
度vm（不计轨道和金属杆的电阻），则（ ）
A. 如果B变大，vm将变大
B. 如果α变大，vm将变大
C. 如果R变大，vm将变大
D. 如果m变小，vm将变大
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解析： 金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应
电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此
金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力
外还受安培力F作用，F＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得mgsin α－＝ma，当a＝0时，v＝vm，解得vm＝，故选项B、C正确，A、D错误。
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题组二 电磁感应中的能量问题
4. 如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边
长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速
地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次
ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横
截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生
的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（ ）
A. Q1＞Q2，q1＝q2 B. Q1＞Q2，q1＞q2
C. Q1＝Q2，q1＝q2 D. Q1＝Q2，q1＞q2
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解析： 根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做
的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又
lab＞lbc，故Q1＞Q2；因为q＝t＝t＝，所以q1＝q2，故A正确。
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5. 如图甲所示，两根电阻忽略不计的导轨平行放置，导轨左端接电阻
R1，右端接小灯泡L，导体棒AB垂直于导轨放置，电阻R1、导体棒
AB和小灯泡L的电阻均为R（不计灯泡电阻随温度的变化），虚线
MN右侧有垂直于导轨平面的磁场，当导体棒AB从MN左侧某处匀
速向右运动时开始计时，磁感应强度随时间变化的关系如图乙所
示，若导体棒AB从开始运动到穿越磁场的过程中，灯泡的亮度始
终不变，则导体棒AB在穿越磁场前后电阻R1上消耗的功率之比是
（ ）
A. 1∶1 B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
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解析： 设通过灯泡的电流为I，根据题意，导体棒AB从开始运
动到越过磁场的过程中灯泡的亮度始终不变，说明此过程中通过灯
泡的电流不变，当AB在MN左侧运动时，通过灯泡的电流等于通过
R1电流的2倍，即通过R1电流为I；当AB在MN右侧运动时，MN相
当电源，通过灯泡的电流I等于通过R1的电流，根据P＝I2R，可知
导体棒AB在越过磁场前后电阻R1上消耗的功率之比是1∶4。故D正
确，A、B、C错误。
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6. 如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为l，左端连接
一阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感
应强度为B。导体棒ab置于导轨上，其电阻为r，长度恰好等于导轨
间距，与导轨接触良好。不计导轨的电阻、导体棒与导轨间的摩
擦。在大小为F的水平拉力作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，
速度大小为v。在导体棒向右匀速移动x的过程中（ ）
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A. 导体棒中感应电流的方向为a→b
B. 导体棒两端的电势差大小为Blv
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解析： 导体棒沿导轨向右匀速运动时，由右手定则可知导体棒
切割磁感线产生的感应电动势由b指向a，则导体棒中的电流方向由
b指向a，故A错误；导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为E
＝Blv，对应的感应电流为I＝，故导体棒两端的电势差大小为
U＝IR＝，故B错误；电阻R消耗的电能为W＝I2Rt ，而导体棒
运动的时间为t＝，又因为导体棒受力平衡，故F＝BIl＝，解
得W＝，故C正确；拉力对导体棒做功的功率为P＝Fv，结合
前述式子可解得，P＝，故D错误。
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7. 如图所示，水平方向的磁场垂直于光滑曲面，闭合小金属环从高h
的曲面上端无初速度滑下，又沿曲面的另一侧上升，则（ ）
A. 若是匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
B. 若是匀强磁场，环在左侧上升的高度大于h
C. 若是非匀强磁场，环在左侧上升高度等于h
D. 若是非匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
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解析： 若是匀强磁场，穿过小环的磁通量不变，没有感应电流
产生，其机械能守恒，高度不变，则环在左侧上升的高度等于h，
故A、B错误；若是非匀强磁场，穿过小环的磁通量变化，小环中
产生感应电流，转化为内能，机械能减小，高度将减小，则环在左
侧上升的高度小于h，故C错误，D正确。
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8. （多选）在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B，方
向相反的水平匀强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场
范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线
框，以速度v垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框
运动到分别有一半面积在两个磁场中时，速度为，则下列说法正
确的是（ ）
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解析： 线圈磁通量的变化ΔΦ＝Ba2，则由E＝，I＝，q＝
IΔt可得q＝＝，选项A错误；此时线框产生的电流I＝＝
，由牛顿第二定律和安培力公式可得加速度a1＝＝，
选项B错误；对此过程，由能量守恒定律可得，回路产生的电能E＝mv2－m＝mv2，选项C正确；由电功率定义可得P＝I2R＝，选项D正确。
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9. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，导轨平
面与水平面的夹角θ＝30°，两导轨间距L＝1.0 m，底端N、Q两点
连接R＝1.0 Ω的电阻，匀强磁场方向垂直于导轨所在平面向上，
磁感应强度的大小为B＝0.6 T，质量为m＝0.2 kg、阻值为r＝0.5
Ω的导体棒垂直于导轨放置，在平行于平面向上的拉力F作用下沿
导轨向上做匀速直线运动，速度v＝10 m/s。撤去拉力F后，导体棒
沿导轨继续运动l＝2.0 m后速度减为零。运动过程中
导体棒与导轨始终垂直并接触良好，取g＝10 m/s2，
导轨电阻不计。求：
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答案：3.4 N
（1）拉力F的大小；
解析：导体棒匀速运动产生的感应电动势为E＝BLv＝6 V
感应电流为I＝＝4 A
由导体棒受力平衡可得
F＝F安＋mgsin θ＝BIL＋mgsin θ＝3.4 N。
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（2）撤去拉力F后导体棒继续沿导轨上滑的过程中电阻R产生的焦
耳Q和通过电阻R的电荷量q。
答案： J 0.8 C
解析：撤去拉力后，由动能定理可得
－mglsin θ－W克安＝0－mv2
得导体棒克服安培力所做的功W克安＝8 J
则电阻R产生的焦耳热Q＝W克安＝ J
通过电阻R的电荷量q＝Δt＝＝＝0.8 C。
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谢谢观看!
