习题课五 电磁感应中的动量问题
1.如图所示，空间存在有水平边界、垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场边界上方l处有一个质量为m、电阻为R、边长为l的正方形线框，将线框由静止释放，从线框下边框进入磁场经过时间Δt后线框上边框进入磁场，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）线框下边框进入磁场时的速度大小；
（2）线框上边框进入磁场时的速度大小。
2.两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面垂直放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，cd棒静止，ab棒有指向cd的速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。求：
（1）在运动中产生的最大焦耳热；
（2）当ab棒的速度变为v0时，cd棒的加速度。
3.如图所示，MN、PQ是固定在水平桌面上，相距l＝1.0 m的光滑平行金属导轨，M、P两点间接有R＝0.6 Ω的定值电阻，导轨电阻不计。质量均为m＝0.1 kg，阻值均为r＝0.3 Ω的两导体棒a、b垂直于导轨放置，并与导轨良好接触。开始时两棒被约束在导轨上处于静止，相距x0＝2 m，a棒用绝缘细丝线通过光滑滑轮与质量为m0＝0.2 kg的重物c相连，重物c距地面高度也为x0＝2 m。整个桌面处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝1.0 T。a棒解除约束后，在重物c的拉动下开始运动（运动过程中丝线始终与b棒没有作用），当a棒即将到达b棒位置前一瞬间，b棒的约束被解除，此时a棒已经匀速运动，试求：
（1）a棒匀速运动时棒中的电流大小；
（2）已知a、b两棒相碰后即粘合成一根“更粗的棒”，假设导轨足够长，试求该“粗棒”能运动的距离；
（3）a棒解除约束后整个过程中装置产生的总焦耳热。
4.如图所示，平行金属导轨MN、M'N'和平行金属导轨PQR、P'Q'R'固定在高度差为h（数值未知）的两水平台面上。导轨MN、M'N'左端接有电源，MN与M'N'的间距为L＝0.10 m，其导轨空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B1＝0.20 T；平行导轨PQR与P'Q'R'的间距也为L＝0.10 m，其中PQ与P'Q'是圆心角为60°、半径为r＝0.50 m的圆弧形导轨，QR与Q'R'是水平长直导轨，QQ'右侧有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B2＝0.40 T。导体棒a的质量m1＝0.02 kg，接在电路中的电阻R1＝2.0 Ω，放置在导轨MN、M'N'右侧N'N边缘处；导体棒b的质量m2＝0.04 kg，接在电路中的电阻R2＝4.0 Ω，放置在水平导轨某处。闭合开关K后，导体棒a从NN'水平抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v1＝2 m/s滑入平行导轨，且始终没有与棒b相碰。重力加速度取g＝10 m/s2，不计一切摩擦及空气阻力。求：
（1）导体棒b的最大加速度；
（2）导体棒a在QQ'右侧磁场中产生的焦耳热；
（3）闭合开关K后，通过电源的电荷量q。
习题课五 电磁感应中的动量问题
1.（1） （2）＋gΔt－
解析：（1）线框下边框进入磁场前自由下落，则
－0＝2gl
解得线框下边框进入磁场时的速度大小v1＝。
（2）线框进入磁场的过程，平均感应电动势
＝＝
平均感应电流＝＝
电荷量q＝Δt＝
线框进入磁场的过程，由动量定理有
mgΔt－BlΔt＝mv2－mv1
联立解得v2＝＋gΔt－。
2.（1）m （2），方向水平向右
解析：（1）从初始到两棒速度相等的过程中，两棒总动量守恒，则有mv0＝2mv
解得v＝
由能量守恒定律得
Q＝m－×2mv2＝m。
（2）当ab棒的速度变为v0时，设此时cd棒的速度为v'，由动量守恒定律可知mv0＝m×v0＋mv'
解得v'＝v0
此时回路中的电动势为
E＝Blv0－Blv0＝Blv0
此时回路中的电流为I＝＝
此时cd棒所受的安培力为F＝BIl＝
由牛顿第二定律可得，cd棒的加速度a＝＝
方向水平向右。
3.（1）2 A （2）0.075 m （3）3.875 J
解析：（1）由题意知m0g＝BlIa
可得Ia＝2 A。
（2）设碰撞前a棒的速度为v，则
Ia＝，R总＝ Ω＋0.3 Ω＝0.5 Ω
v＝1 m/s
a、b碰撞过程，有mv＝2mv'，v'＝0.5 m/s
a、b碰撞后的整体运动过程，由动量定理得
－lBt＝0－2mv'，q＝t＝
解得x＝0.075 m。
（3）发生碰撞前，有m0gx0－Q1＝（m0＋m）v2
解得Q1＝3.85 J
发生碰撞后Q2＝×2mv'2＝0.025 J
所以整个运动过程Q＝Q1＋Q2＝3.875 J。
4.（1）0.02 m/s2 （2）0.02 J （3）1 C
解析：（1）设a棒滑到水平导轨上时的速度大小为v2，则从PP'处到QQ'处，由动能定理得
m1g（r－rcos 60°）＝m1－m1
解得v2＝3 m/s
因为a棒刚进磁场时，a、b棒中的电流最大，所以此时b棒受力最大，加速度最大，此时
E＝B2Lv2＝0.12 V
I＝＝0.02 A
由牛顿第二定律有B2IL＝m2amax
解得导体棒b的最大加速度amax＝0.02 m/s2。
（2）两个导体棒在运动过程中，动量守恒且能量守恒，当两棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，两棒不再产生焦耳热。
所以由动量守恒定律有m1v2＝（m1＋m2）v3
设a棒在此过程中产生的焦耳热为Qa，b棒产生的焦耳热为Qb。由能量守恒定律有
m1＝（m1＋m2）＋Qa＋Qb
由于a、b棒串联在一起，所以有＝
联立解得Qa＝0.02 J。
（3）设闭合开关后，a棒以速度v0水平抛出，
则有v0＝v1cos 60°＝1 m/s
对a棒冲出过程，由动量定理得B1LΔt＝m1v0
即B1Lq＝m1v0，解得q＝1 C。
2 / 2习题课五 电磁感应中的动量问题
要点一 动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为I安＝BLΔt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
【典例1】 某研学小组设计了一个辅助列车进站时快速刹车的方案。如图所示，在站台轨道下方埋一励磁线圈，通电后形成竖直方向的磁场（可视为匀强磁场）。在车身下方固定一矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力辅助列车快速刹车。已知列车的总质量为m，车身长为s，线框的短边ab和cd分别安装在车头和车尾，长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），整个线框的电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，车头进入磁场瞬间的速度为v0，假设列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。已知磁场的磁感应强度的大小为B，车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。求：
（1）列车车头刚进入磁场瞬间，线框中的电流大小I和列车的加速度大小a；
（2）列车从车头进入磁场到停止所用的时间t。
尝试解答
如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10 m/s时，再释放a，经过1 s后，a的速度达到12 m/s，则
（1）此时b的速度大小是多少？
（2）若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。
要点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析：
（1）力学观点：通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动。
（2）动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属杆的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
（3）能量观点：其中一个金属杆动能的减少量等于另一个金属杆动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
【典例2】 足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径为R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的电阻不计。平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图所示，若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求：
（1）c棒的最大速度；
（2）c棒达到最大速度时，此棒产生的焦耳热；
（3）若c棒达到最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高点时对轨道的压力的大小。
尝试解答
1.如图所示，两根光滑的导轨平行放置。导轨的水平部分放在绝缘水平面上，水平部分所在空间有竖直向上的磁场，磁感应强度为B。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全相同的金属棒ab和cd质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，现将ab由静止释放，求：
（1）cd棒最终的速度大小；
（2）整个过程中产生的焦耳热Q。
2.如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长平行金属导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行且相距D，构成一矩形回路。导轨间距为L，两导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0，求：
（1）当cd棒速度减为0.6v0时，ab棒的速度v及加速度a的大小；
（2）ab、cd棒间的距离从D增大到最大的过程中，通过回路的电荷量q及两棒间的最大距离x。
1.如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd。设两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，导轨光滑且电阻不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。开始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，初速度大小分别为v0和2v0，求：
（1）从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热；
（2）当ab棒向右运动，速度大小变为时，回路中消耗的电功率的值。
2.如图所示，水平面上固定有形状为“”的光滑金属导轨abcd和efgh，ab、ef平行，间距为2L；cd、gh平行，间距为L，且右端足够长；垂直ab和ef放置一质量为m的粗细均匀金属棒MN，导轨cd、gh的最左端垂直放置另一质量也为m的金属棒PQ，两金属棒均与导轨接触良好，MN、PQ棒接入电路的电阻分别为2R和R，导轨电阻不计，导轨平面内有垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现先将PQ棒固定，给MN棒一个水平向右、大小为2v0的初速度，当MN棒速度减为v0时释放PQ棒。当MN棒运动到导轨ab、ef的最右端时，回路中电流恰好为零，求：
（1）MN棒开始运动的瞬间，PQ棒所受安培力的大小；
（2）当MN棒运动到导轨最右端时，两棒各自的速度。
习题课五 电磁感应中的动量问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 （1） （2）
解析：（1）车头进入磁场时，线框ab边切割磁感线产生感应电动势，有E＝BLv0，线框中的电流为I＝，联立以上两式可得I＝，又线框所受的安培力为F安＝BIL，由牛顿第二定律可得F安＋f＝ma，联立解得a＝。
（2）以列车前进速度方向为正方向，由动量定理可得
－·t－ft＝0－mv0
其中＝，又·t＝s，联立解得t＝。
素养训练
（1）18 m/s （2）两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动
解析：（1）当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放a棒后，经过时间t，分别以a和b为研究对象，根据动量定理，有（mg＋F）t＝mva
（mg－F）t＝mvb－mv0
代入数据可解得vb＝18 m/s。
（2）在a、b棒向下运动的过程中，a棒运动的加速度
a1＝g＋
b棒运动的加速度a2＝g－
当a棒的速度与b棒接近时，感应电流逐渐减小，则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动。
要点二
知识精研
【典例2】 （1）5 m/s （2）1.25 J （3）1.25 N
解析：（1）在安培力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当两棒速度相等时，c棒达到最大速度。取两棒组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律有mbv0＝（mb＋mc）v
解得c棒的最大速度为
v＝v0＝v0＝5 m/s。
（2）从b棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总焦耳热为Q＝mb－（mb＋mc）v2＝2.5 J。
因为Rb＝Rc，所以c棒达到最大速度时，此棒产生的焦耳热为Qc＝＝1.25 J。
（3）设c棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v'，从半圆轨道最低点上升到最高点的过程，由机械能守恒定律可得mcv2－mcv'2＝mcg·2R
解得v'＝3 m/s
在最高点，设轨道对c棒的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg＋F＝mc
解得F＝1.25 N
由牛顿第三定律得，在最高点c棒对轨道的压力大小为1.25 N，方向竖直向上。
素养训练
1.（1） （2）mgh
解析：（1）设ab下滑到倾斜轨道时速度为v1，
ab下滑过程，有mgh＝m，
得v1＝
ab和cd在水平导轨上运动时，根据动量守恒定律，
有mv1＝2mv2，得v2＝。
（2）整个过程中产生的焦耳热
Q＝m－×2m＝mgh。
2.（1）0.4v0 （2） D＋
解析：（1）两棒组成的系统所受合外力为零，因此满足动量守恒定律，有mv0＝0.6mv0＋mv
解得v＝0.4v0
回路感应电动势E＝0.6BLv0－0.4BLv0
此时回路电流I＝
因此ab棒的加速度a＝，整理得a＝。
（2）ab、cd棒速度相等时有最大距离，根据动量守恒定律可得mv0＝2mv共
对ab棒，根据动量定理有BLΔt＝mv共
而q＝Δt，解得q＝
在这段时间内，平均感应电动势＝BLΔ
回路平均电流＝
因此流过某截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝，解得最大距离x＝D＋。
【教学效果·勤检测】
1.（1）m （2）
解析：（1）选水平向右为正方向，从开始到最终稳定的过程中，两棒总动量守恒，则有2mv0－mv0＝2mv，解得v＝，由能量守恒定律可得从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热为Q＝m＋m（2v0）2－×2mv2＝m。
（2）当ab棒向右运动，速度大小变为时，设cd棒的速度是v2，根据动量守恒定律得2mv0－mv0＝mv2＋m，解得v2＝，此时回路中的总电动势E＝BL＝BLv0，则消耗的电功率为P＝＝。
2.（1） （2）v0 v0
解析：（1）当MN棒开始运动时，产生的感应电动势大小E0＝B·2L·2v0
由闭合电路欧姆定律可知电流I0＝
PQ棒所受安培力大小F＝BI0L＝。
（2）回路中电流为零时，有B·2L·vMN＝B·L·vPQ，得vPQ＝2vMN
由于MN棒和PQ棒中电流大小始终相等，两棒所受安培力比值＝＝
对MN棒运用动量定理有－FMN·Δt＝m·ΔvMN
对PQ棒运用动量定理有FPQ·Δt＝m·ΔvPQ
联立得＝＝，
解得vMN＝v0，vPQ＝v0。
3 / 3(共54张PPT)
习题课五 电磁感应中的动量问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速
直线运动时，安培力的冲量为I安＝BLΔt＝BLq，通过导体棒或金
属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝
BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－
mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用
动量定理求解更方便。
【典例1】 某研学小组设计了一个辅助列车进站时快速刹车的方
案。如图所示，在站台轨道下方埋一励磁线圈，通电后形成竖直方向
的磁场（可视为匀强磁场）。在车身下方固定一矩形线框，利用线框
进入磁场时所受的安培力辅助列车快速刹车。已知列车的总质量为
m，车身长为s，线框的短边ab和cd分别安装在车头和车尾，长度均为
L（L小于匀强磁场的宽度），整个线框的电阻为R。站台轨道上匀强
磁场区域足够长，车头进入磁场瞬间的速度为v0，假设列车停止前所
受铁轨及空气阻力的合力恒为f。已知磁场的磁感应强度的大小为B，
车尾进入磁场瞬间，列车恰好停止。求：
（1）列车车头刚进入磁场瞬间，线框中的电流大小I和列车的加速度
大小a；
答案：
解析：车头进入磁场时，线框ab边切割磁感线产生感应电动
势，有E＝BLv0，线框中的电流为I＝，联立以上两式可得I＝
，又线框所受的安培力为F安＝BIL，由牛顿第二定律可得F安
＋f＝ma，联立解得a＝。
（2）列车从车头进入磁场到停止所用的时间t。
答案：
解析：以列车前进速度方向为正方向，由动量定理可得－·t－
ft＝0－mv0
其中＝，又·t＝s
联立解得t＝。
如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向
里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可
自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10 m/s时，再释放a，经
过1 s后，a的速度达到12 m/s，则
（1）此时b的速度大小是多少？
答案：18 m/s
解析：当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路
中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的
安培力，且二者大小相等。释放a棒后，经过时间t，分别以a和b
为研究对象，根据动量定理，有（mg＋F）t＝mva
（mg－F）t＝mvb－mv0
代入数据可解得vb＝18 m/s。
（2）若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。
答案：两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀加速运动
解析：在a、b棒向下运动的过程中，a棒运动的加速度
a1＝g＋
b棒运动的加速度a2＝g－
当a棒的速度与b棒接近时，感应电流逐渐减小，则安培力也
逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g的匀
加速运动。
要点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，
安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合
力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这
类问题可以从以下三个观点来分析：
（1）力学观点：通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运
动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金
属杆以共同的速度匀速运动。
（2）动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属杆的安培力大
小相等，通常情况下系统的动量守恒。
（3）能量观点：其中一个金属杆动能的减少量等于另一个金属杆动
能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
【典例2】 足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放
置；M、N左端与半径为R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道
始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属
棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的
电阻不计。平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁
场中，磁场方向垂直于轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，
如图所示，若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运
动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求：
（1）c棒的最大速度；
答案： 5 m/s
解析：在安培力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当
两棒速度相等时，c棒达到最大速度。取两棒组成的系统为研究
对象，根据动量守恒定律有mbv0＝（mb＋mc）v
解得c棒的最大速度为
v＝v0＝v0＝5 m/s。
（2）c棒达到最大速度时，此棒产生的焦耳热；
答案： 1.25 J
解析：从b棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动
能转化为电能，两棒中产生的总焦耳热为Q＝mb－（mb＋
mc）v2＝2.5 J。
因为Rb＝Rc，所以c棒达到最大速度时，此棒产生的焦耳热为Qc
＝＝1.25 J。
（3）若c棒达到最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高
点时对轨道的压力的大小.
答案： 1.25 N
解析：设c棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v'，从半圆轨道
最低点上升到最高点的过程，由机械能守恒定律可得mcv2－
mcv'2＝mcg·2R
解得v'＝3 m/s
在最高点，设轨道对c棒的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg＋F
＝mc，解得F＝1.25 N
由牛顿第三定律得，在最高点c棒对轨道的压力大小为1.25 N，
方向竖直向上。
1. 如图所示，两根光滑的导轨平行放置。导轨的水平部分放在绝
缘水平面上，水平部分所在空间有竖直向上的磁场，磁感应强
度为B。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全
相同的金属棒ab和cd质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd
置于导轨的水平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部
分与导轨垂直放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，
现将ab由静止释放，求：
（1）cd棒最终的速度大小；
答案：
解析：设ab下滑到倾斜轨道时速度为v1，
ab下滑过程，有mgh＝m，
得v1＝
ab和cd在水平导轨上运动时，根据动量守恒定律，有mv1＝
2mv2，得v2＝。
解析：整个过程中产生的焦耳热Q＝m－×2m＝mgh。
（2）整个过程中产生的焦耳热Q。
答案：mgh
2. 如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方
向的水平面中有两根固定的足够长平行金属导轨，在导轨上面平放
着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行且相距D，构成一矩形回路。
导轨间距为L，两导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽
略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，
给cd棒一个向右的初速度v0，求：
（1）当cd棒速度减为0.6v0时，ab棒的速度v及
加速度a的大小；
答案：0.4v0
解析：两棒组成的系统所受合外力为零，因此满足动量
守恒定律，有mv0＝0.6mv0＋mv
解得v＝0.4v0
回路感应电动势E＝0.6BLv0－0.4BLv0
此时回路电流I＝
因此ab棒的加速度a＝，整理得a＝。
（2）ab、cd棒间的距离从D增大到最大的过程中，通过回路的电
荷量q及两棒间的最大距离x。
答案： D＋
解析： ab、cd棒速度相等时有最大距离，根据动量守恒定律可得mv0＝2mv共
对ab棒，根据动量定理有BLΔt＝mv共
而q＝Δt，解得q＝
在这段时间内，平均感应电动势＝BLΔ
回路平均电流＝
因此流过某截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝，解得
最大距离x＝D＋。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面
内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd。设两
根导体棒的质量均为m、电阻均为R，导轨光滑且电阻不计，在
整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。开
始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，初速度大小分
别为v0和2v0，求：
（1）从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热；
答案：m
解析：选水平向右为正方向，从开始到最终稳定的过程
中，两棒总动量守恒，则有2mv0－mv0＝2mv，解得v＝，由
能量守恒定律可得从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热为
Q＝m＋m（2v0）2－×2mv2＝m。
（2）当ab棒向右运动，速度大小变为时，回路中消耗的电功率
的值。
答案：
解析：当ab棒向右运动，速度大小变为时，设cd棒的速
度是v2，根据动量守恒定律得2mv0－mv0＝mv2＋m，解得v2
＝，此时回路中的总电动势E＝BL＝BLv0，则消
耗的电功率为P＝＝。
2. 如图所示，水平面上固定有形状为“ ”的光滑金属导轨abcd和
efgh，ab、ef平行，间距为2L；cd、gh平行，间距为L，且右端足够
长；垂直ab和ef放置一质量为m的粗细均匀金属棒MN，导轨cd、gh
的最左端垂直放置另一质量也为m的金属棒PQ，两金属棒均与导
轨接触良好，MN、PQ棒接入电路的电阻分别为2R和R，导轨电阻
不计，导轨平面内有垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
为B。现先将PQ棒固定，给MN棒一个水平
向右、大小为2v0的初速度，当MN棒速度减
为v0时释放PQ棒。当MN棒运动到导轨ab、
ef的最右端时，回路中电流恰好为零，求：
（1）MN棒开始运动的瞬间，PQ棒所受安培力的大小；
答案：
解析：当MN棒开始运动时，产生的感应电动势大小E0＝B·2L·2v0
由闭合电路欧姆定律可知电流I0＝
PQ棒所受安培力大小F＝BI0L＝。
（2）当MN棒运动到导轨最右端时，两棒各自的速度。
答案：v0 v0
解析： 回路中电流为零时，有B·2L·vMN＝B·L·vPQ，得vPQ＝2vMN
由于MN棒和PQ棒中电流大小始终相等，两棒所受安培力比
值＝＝
对MN棒运用动量定理有－FMN·Δt＝m·ΔvMN
对PQ棒运用动量定理有FPQ·Δt＝m·ΔvPQ
联立得＝＝，
解得vMN＝v0，vPQ＝v0。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 如图所示，空间存在有水平边界、垂直于纸面向里的匀强磁场，磁
感应强度为B，磁场边界上方l处有一个质量为m、电阻为R、边长
为l的正方形线框，将线框由静止释放，从线框下边框进入磁场经
过时间Δt后线框上边框进入磁场，不计空气阻力，重力加速度为
g，求：
（1）线框下边框进入磁场时的速度大小；
答案：
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解析：线框下边框进入磁场前自由下落，则
－0＝2gl
解得线框下边框进入磁场时的速度大小v1＝。
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（2）线框上边框进入磁场时的速度大小。
答案：＋gΔt－
解析：线框进入磁场的过程，平均感应电动势
＝＝
平均感应电流＝＝，电荷量q＝Δt＝
线框进入磁场的过程，由动量定理有mgΔt－BlΔt＝mv2－mv1
联立解得v2＝＋gΔt－。
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2. 两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距
离为l，导轨上面垂直放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如
图所示。两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分
的电阻不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应
强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，cd棒静
止，ab棒有指向cd的速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。求：
（1）在运动中产生的最大焦耳热；
答案：m
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解析：从初始到两棒速度相等的过程中，两棒总动量守
恒，则有mv0＝2mv
解得v＝
由能量守恒定律得Q＝m－×2mv2＝m。
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（2）当ab棒的速度变为v0时，cd棒的加速度。
答案：，方向水平向右
解析：当ab棒的速度变为v0时，设此时cd棒的速度为v'，由动
量守恒定律可知mv0＝m×v0＋mv'
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解得v'＝v0
此时回路中的电动势为
E＝Blv0－Blv0＝Blv0
此时回路中的电流为I＝＝
此时cd棒所受的安培力为F＝BIl＝
由牛顿第二定律可得，cd棒的加速度a＝＝
方向水平向右。
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3. 如图所示，MN、PQ是固定在水平桌面上，相距l＝1.0 m的光滑平
行金属导轨，M、P两点间接有R＝0.6 Ω的定值电阻，导轨电阻不
计。质量均为m＝0.1 kg，阻值均为r＝0.3 Ω的两导体棒a、b垂直
于导轨放置，并与导轨良好接触。开始时两棒被约束在导轨上处于
静止，相距x0＝2 m，a棒用绝缘细丝线通过光滑滑轮与质量为m0＝
0.2 kg的重物c相连，重物c距地面高度也为x0＝2 m。整个桌面处于
竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝1.0 T。
a棒解除约束后，在重物c的拉动下开始运动（运
动过程中丝线始终与b棒没有作用），当a棒即将
到达b棒位置前一瞬间，b棒的约束被解除，此时
a棒已经匀速运动，试求：
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（1）a棒匀速运动时棒中的电流大小；
答案：2 A
解析：由题意知m0g＝BlIa
可得Ia＝2 A。
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（2）已知a、b两棒相碰后即粘合成一根“更粗的棒”，假设导轨
足够长，试求该“粗棒”能运动的距离；
答案：0.075 m
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解析：设碰撞前a棒的速度为v，则
Ia＝，R总＝ Ω＋0.3 Ω＝0.5 Ω
v＝1 m/s
a、b碰撞过程，有mv＝2mv'，v'＝0.5 m/s
a、b碰撞后的整体运动过程，由动量定理得
－lBt＝0－2mv'，q＝t＝
解得x＝0.075 m。
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（3）a棒解除约束后整个过程中装置产生的总焦耳热。
答案：3.875 J
解析：发生碰撞前，有m0gx0－Q1＝（m0＋m）v2
解得Q1＝3.85 J
发生碰撞后Q2＝×2mv'2＝0.025 J
所以整个运动过程Q＝Q1＋Q2＝3.875 J。
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4. 如图所示，平行金属导轨MN、M'N'和平行金属导轨PQR、P'Q'R'固
定在高度差为h（数值未知）的两水平台面上。导轨MN、M'N'左端
接有电源，MN与M'N'的间距为L＝0.10 m，其导轨空间存在竖直向
上的匀强磁场，磁感应强度为B1＝0.20 T；平行导轨PQR与P'Q'R'
的间距也为L＝0.10 m，其中PQ与P'Q'是圆心角为60°、半径为r
＝0.50 m的圆弧形导轨，QR与Q'R'是水平长直导轨，QQ'右侧有方
向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B2＝0.40 T。导体棒a的质
量m1＝0.02 kg，接在电路中的电阻R1＝2.0 Ω，放置在导轨MN、
M'N'右侧N'N边缘处；
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导体棒b的质量m2＝0.04 kg，接在电路中的电阻R2＝4.0 Ω，放置在水平导轨某处。闭合开关K后，导体棒a从NN'水平抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v1＝2 m/s滑入平行导轨，且始终没有与棒b相碰。重力加速度取g＝10 m/s2，不计一切摩擦及空气阻力。求：
（1）导体棒b的最大加速度；
答案：0.02 m/s2
解析：设a棒滑到水平导轨上时的速度大小为v2，则从
PP'处到QQ'处，由动能定理得
m1g（r－rcos 60°）＝m1－m1
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解得v2＝3 m/s
因为a棒刚进磁场时，a、b棒中的电流最大，所以此时b棒受
力最大，加速度最大，此时
E＝B2Lv2＝0.12 V，I＝＝0.02 A
由牛顿第二定律有B2IL＝m2amax
解得导体棒b的最大加速度amax＝0.02 m/s2。
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（2）导体棒a在QQ'右侧磁场中产生的焦耳热；
答案：0.02 J
解析：两个导体棒在运动过程中，动量守恒且能量守恒，当两
棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，
两棒不再产生焦耳热。
所以由动量守恒定律有m1v2＝（m1＋m2）v3
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设a棒在此过程中产生的焦耳热为Qa，b棒产生的焦耳热为
Qb。由能量守恒定律有
m1＝（m1＋m2）＋Qa＋Qb
由于a、b棒串联在一起，所以有＝
联立解得Qa＝0.02 J。
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（3）闭合开关K后，通过电源的电荷量q。
答案：1 C
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解析：设闭合开关后，a棒以速度v0水平抛出，则有v0＝v1cos
60°＝1 m/s
对a棒冲出过程，由动量定理得B1LΔt＝m1v0
即B1Lq＝m1v0，解得q＝1 C。
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谢谢观看!
