浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期学业水平考试模拟三数学试题（含答案）

浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期学业水平考试模拟三数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）.
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（ ）
①，，则； ②，，，则；
③，，，则；④，，，则．
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
5．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．已知，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：）
A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年
11．如图，在等腰梯形中，．现将沿对角线所在的直线翻折成，记二面角大小为，则（ ）．
A．存在，使得平面 B．存在，使得
C．不存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面
12．已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
二、多选题
13．已知对数函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．四面体的体积等于 D．经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为
15．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（ ）
A．内切圆的半径为1 B．外接圆的半径为6
C． D．
三、填空题
16．已知事件与互斥，且，，则 .
17．已知，，且，则的最小值为 .
18．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，二面角为，则三棱锥外接球的半径为 ．
19．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
20．已知函数，.
(1)求的值及的单调递增区间；
(2)若在区间上最大值为2，求实数的取值范围.
21．2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
22．已知函数，.定义，设，，为常数.
(1)当时，判断函数的奇偶性；
(2)定义区间的长度为.若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D B B B D A C
题号 11 12 13 14 15
答案 B B AC ACD ABD
16．0.5/
17．
18．
19． 0
20．（1）；
．
由，
得．
所以的单调递增区间为；
（2），，
因为，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
21．（1）由图得，
解之可得；
（2）根据题意知，
，，
设第百分位数为，所以，
，解之可得，
故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为.
（3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，
且两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为.
22．（1）当时，.
当时，成立；
当时，成立；
则此时，
因为.且因此为偶函数.

（2）①因为函数的最小值为1，函数的最小值为2，
函数是函数和函数左右平移取小后得到，
所以函数的最小值为1.
若有解，首先应满足.
由于函数的最小值为2，则当时，
，即，解得，
则其解集为，
此时的区间长度为，解得，舍去.

②当，，
化简得
时，恒成立，
则两根为
当时，.
当时，的解集为，
，即，解得，
的解集为，
此时
此时的区间长度为，解得舍去)成立.

③当时，由于
恒成立.
此时，
此时的区间长度为，
解得或，全部舍去.

综上，.
答案第1页，共2页
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