浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷（含答案）

浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷（1）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80
4．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
A．3 B．6 C．9 D．12
5．若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角的大小为，半平面内的圆在半平面上的投影是椭圆，在半平面上的投影是椭圆，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8．定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据28，13，15，31，16，18，20，24的中位数是19
B．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强
C．从小到大顺序排列的数据3，5，，8，9，10，其极差与平均数相等，则方差为6
D．数据的平均数为，数据的平均数为，则有
10．设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若函数的最大值为2，则
B．若对于任意的，都有成立，则
C．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是
11．已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ）
A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形
B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形
C．当，时，截面为梯形
D．当，，时，截面为梯形
三、填空题
12．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为 ．
13．设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是 ．
14．已知双曲线的左顶点为，右焦点为F，P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则 ．
四、解答题
15．在中，已知，，．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，求的面积.
16．如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
17．已知，两个盒子里分别有，个小球，另有足够多的小球备用.重复进行次如下操作：每次从，中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这次操作结果均相互独立.
(1)若，，求第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率；
(2)求完成一次操作后，，两个盒子里球的个数之和减少的概率；
(3)求重复进行次操作后，，两个盒子里球的个数之和为的概率.
18．已知动点到定点的距离是它到定直线的距离的倍，动点的轨迹与y轴的交点为M，的面积为．
(1)求动点P的轨迹方程C；
(2)直线l：与点P的轨迹方程C交于D，E两点，O为坐标原点．试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值．
19．对定义在数集上的可导函数，若数列满足，其中为的导函数，则称为在上的“牛顿列”．
(1)若为的“牛顿列”，，求的通项公式；
(2)若为的“牛顿列”，其中，，求证：，；
(3)若为的“牛顿列”，求证：且，，其中为的唯一零点．
试卷第1页，共3页
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《浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期模拟数学试卷（1）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B A D A C ABD ACD
题号 11
答案 AC
12．
13．
14．
15．（1），
在三角形中，，
，，，
在中，，
，
又，
，，
由正弦定理，得，
，或；
（2）因为为锐角三角形，所以，
，
点为三角形重心，
所以，
又，
所以，
所以的面积为.
16．（1）证明如图，取的中点，连接交于，连接，
因为，，所以，又
，所以
由于，，所以，从而有
又平面，平面，所以平面；
（2）设平行六面体各条棱长为6.因为平面平面，且，
所以平面，由于，
所以，，，
由余弦定理得，
，所以，
以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
由得，
从而
设平面的一个法向量为，
则，
可取，故.
17．（1）设第次操作后A，B两个盒子里球的个数分别为，
列举所有8种可能的情形：
，，，，，，，，
满足的有3种情形，所以第一次操作后，盒子里球的个数多于盒子里球的个数的概率.
（2）设，，在第次操作结果有8种等可能的情形，
①当，或，，或，或，时，；
②当，或，时，；
③当，或，时，；
仅有③中所述2种情形是减少的，
故一次操作后A，B两个盒子里球的个数之和减少的概率为.
（3）由（2）的讨论知，每一次操作，A，B两个盒子里球的个数之和有3种可能的变化：
增加1个、不变、减少1个，要满足本次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和为，
即比初始值增加个，则只可能是每一次操作均增加1个小球.
由（2）知，每次操作小球增加1个的概率为，
由于每一次操作结果均独立，本次操作均增加1个的概率为，
故A，B两个盒子里球的个数之和为的概率为.
18．（1）因为的面积为，，
所以，有，
又因为M到定直线的距离为，
由题意可知，，
又因为，
所以，则定直线为，
因为，所以，
化简，整理得，
所以动点P的轨迹方程为C：．
（2）设，，联立得，
则，即．
则有，，
．
当为定值时，即与无关，故，得，
此时
，
又因为点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1．
19．（1）由题意可知：，
则，可知为等差数列，公差为，
所以.
（2）由题意可知：，
则，可知，同号，
且，所以，，
又因为，则．
假设存在，，则，
这与矛盾，可知对，，
可得，
所以.
（3）由题意可知：，
则，且在上单调递增，
且，，则在上有唯一零点，且，
则
，
因为，
可得，
又因为，
所以．
答案第1页，共2页
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