第1课时 两角和与差的正弦公式
1.化简sin＋sin＝（ ）
A.－sin x B.sin x
C.－cos x D.cos x
2.（2024·南通月考）在△ABC中，已知sin C＝2sin（B＋C）cos B，则△ABC一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
3.已知cos（α－β）＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
4.已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，则β＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ不能取得的值是（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）下列计算正确的是（ ）
A.sin 15°－cos 15°＝
B.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
C.sin－cos＝
D.sin 105°＝
7.（2024·宿迁如东中学期中）＝ .
8.（2024·泗阳实验高中月考）化简3sin x－3cos x＝ .
9.已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，则cos（α＋β）＝ ，sin（α＋β）＝ .
10.化简下列各式：
（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）；
（2）sin＋2sin－cos.
11.（2024·淮安月考）已知sin θ＋sin＝1，则sin＝（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）已知α，β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.sin（α＋β）＞sin α＋sin β
B.sin（α＋β）＜sin α＋sin β
C.cos（α＋β）＞cos α＋cos β
D.cos（α＋β）＜cos α＋cos β
13.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝ .
14.已知α，β∈（0，），cos α＝，cos（α＋β）＝.
（1）求sin β的值；
（2）求2α＋β的值.
15.（2024·扬州月考）已知函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心.
第1课时 两角和与差的正弦公式
1.B sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
2.B 由sin C＝2sin（B＋C）cos B得sin（A＋B）＝2sin Acos B，所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin（A－B）＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B.
3.A ∵α∈，β∈，∴cos β＝，∴0＜α－β＜π，∴sin（α－β）＝，∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝×＋×＝＝.故选A.
4.C ∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，由cos α＝得sin α＝，由cos（α－β）＝得sin（α－β）＝，∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝＝，∴β＝.故选C.
5.BCD sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）＝sin.∵0＜θ＜，∴＜θ＋＜，∴＜sin≤1，∴1＜sin≤.故选B、C、D.
6.BD 对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin（15°－60°）＝sin（－45°）＝－，故A错误；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin（20°＋10°）＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin－cos＝2（sincos－sincos）＝2sin＝2sin＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝，故D正确.故选B、D.
7. 解析：
＝
＝
＝＝.
8.6sin（x－） 解析：3sin x－3cos x＝6·（sin x－cos x）＝6sin（x－）.
9. 解析：∵sin α＝－，α∈，∴cos α＝－＝－，∵cos β＝－，β∈，∴sin β＝，∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝＋＝，sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＝.
10.解：（1）sin（α－30°）＋sin（α＋30°）＝sin αcos 30°－cos αsin 30°＋sin αcos 30°＋cos αsin 30°＝2sin αcos 30°＝sin α.
（2）法一 原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin xcos－2cos xsin－coscos x－sinsin x＝sin x＋（sin－2sin－cos）·cos x＝（＋1－×）sin x＋［－2×－×］cos x＝0.
法二 原式＝sin＋cos（x＋）＋2sin＝2［sin（x＋）·＋cos（x＋）·］＋2sin＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin（x－）＝2sin＋2sin＝0.
11.B ∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin（θ＋）＝，故选B.
12.BD 对于A，当α＝β＝时，sin（α＋β）＜sin α＋sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以sin α，cos α，sin β，cos β的范围均为（0，1），所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋sin βcos α＜sin α＋sin β，故B正确；对于C，当α＝β＝时，cos（α＋β）＜cos α＋cos β，故C错误；对于D，cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，故D正确.故选B、D.
13. 解析：由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.
14.解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），
又cos α＝，cos（α＋β）＝，
则sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝，
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝.
（2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）＝×－×＝0.
由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，），
∴2α＋β＝.
15.解：（1）函数f（x）＝sin 2x＋cos 2x＋＝2（sin 2x·＋cos 2x·）＋＝2sin（2x＋）＋，
故它的最小正周期为＝π.
（2）令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
故函数f（x）的对称轴为x＝＋，k∈Z.
令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为，k∈Z.
2 / 210.1.2 两角和与差的正弦
新课程标准解读 核心素养
1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系 逻辑推理
2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征 逻辑推理
3.能够运用两角和与差的正弦公式解决有关求值、化简等问题 数学运算
第1课时 两角和与差的正弦公式
观察下面两组公式：
（1）cos（－α＋）＝sin α，sin （－α＋）＝cos α；
（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C（α＋β）），cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β））.
前面一节课我们学习了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱导公式可以实现正弦与余弦的互化.
【问题】 你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin（α＋β），sin（α－β）的公式吗？
知识点一 两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正弦公式 sin（α＋β）＝ S（α＋β） α，β∈R
两角差的正弦公式 sin（α－β）＝ S（α－β）
提醒 两角和与差的正、余弦公式的联系：
知识点二 辅助角公式
1.构造含特殊角的三角函数式
sin x±cos x＝ sin（x± ）；
sin x± cos x＝ sin（x± ）；
sin x±cos x＝ sin（x± ）.
2.构造含辅助角的三角函数式
f（x）＝asin x＋bcos x＝sin（x＋φ）（其中tan φ＝ ）＝cos（x－φ）（其中tan φ＝ ）.
提醒 通过特殊角或辅助角三角函数构造和差角正弦、余弦公式形式，把三角函数的和差化成和差角的一个三角函数，有利于研究三角函数的图象和性质.
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的
B. α，β∈R，使得sin（α－β）＝sin α－sin β成立
C.sin（α－β）＝sin βcos α－sin αcos β
D.sin（α＋β）＝sin α＋sin β 一定不成立
2.sin 15°＝（ ）
A.B.C.D.
3.在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝ .
题型一 给角求值
【例1】 （1）（链接教科书第59页练习2题）sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
（2）－＝（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
通性通法
解决给角化简与求值问题的策略
（1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦；
（2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：①将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin（60°－45°）；②逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin（13°＋17°）＝sin 30°；③进行拆角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β.
【跟踪训练】
1.（2024·泗阳实验高中月考）计算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
2.化简：－2cos（α＋β）.
题型二 给值求值
【例2】 （链接教科书第57页例1）（1）已知sin α＝，α∈（，π），cos β＝－，β∈（π，），求sin（α－β）的值；
（2）（2024·镇江中学月考）若cos（α＋）＝－，α∈（0，），求sin α的值.
通性通法
解给值求值问题的思路及常用变换
（1）解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定符号；
（2）解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算及函数名的差异，常见角的变换有：
①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；
②＝－，＝（ α＋）－；
③＋＝＋（α＋β），＋＝＋（α－β）.
另外，还要特别注意题干中的隐含条件.
【跟踪训练】
已知α，β都是锐角，且sin α＝，sin（α－β）＝，求sin β的值.
题型三 给值求角
【例3】 已知sin（α＋β）＝，cos α＝，α，β均为锐角，求角β的值.
通性通法
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是（0，π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是或（－，）时，选取求正弦值.
【跟踪训练】
已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值.
题型四 辅助角公式及应用
【例4】 （链接教科书第58页例3）已知f（x）＝sin x－cos x.
（1）将f（x）化成y＝Asin（x＋φ）的形式；
（2）求f（x）的最小正周期及最大值.
【母题探究】
（变条件）若本例条件改为：已知f（x）＝sin x－cos x，如何求解？
通性通法
将asin x＋bcos x化为Asin（ωx＋φ）的方法技巧
（1）对形如sin x±cos x，sin x±cos x的三角函数式均可利用特殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三角函数式的形式，即y＝Asin（x＋φ）的形式；
（2）对于不能构造含特殊角的三角函数式也可通过辅助角公式进行化简.
【跟踪训练】
求函数y＝cos x＋cos（x＋）的最大值.
1.（2024·徐州月考）sin 7°cos 37°－sin 83°·sin 37°＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.设α∈，若sin α＝，则2sin（α＋）＝ .
3.（2024·常州月考）函数f（x）＝sin x－cos（x＋）的值域为 .
第1课时 两角和与差的正弦公式
【基础知识·重落实】
知识点一
sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
知识点二
1. 2 2 2.
自我诊断
1.AB 对于A，两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的，故A正确；对于B，当α＝β＝0时，sin（α－β）＝sin α－sin β成立，故B正确；对于C，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，故C错误；对于D，当α＝β＝0时，sin（α＋β）＝sin α＋sin β成立，故D错误.故选A、B.
2.B sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝.故选B.
3. 解析：sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A，由A＝，得sin A＝，cos A＝，由B为△ABC内角，cos B＝，则sin B＝.则sin C＝ ×＋×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）B 解析：（1）sin 18°cos 12°＋cos 18°sin 12°＝sin（18°＋12°）＝sin 30°＝.
（2）－＝－＝＝＝＝＝4.
跟踪训练
1.B sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin（50°＋10°）＝sin 60°＝.故选B.
2.解：原式＝
＝
＝＝.
【例2】 解：（1）由sin α＝，α∈（，π），得cos α＝－＝－＝－.
又由cos β＝－，β∈（π，），得sin β＝－＝－＝－.
∴sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×（－）＝－.
（2）∵α∈（0，），∴＜α＋＜，sin（α＋）＝＝＝，则sin α＝sin（α＋－）＝sin（α＋）cos－cos（α＋）sin＝×－（－）×＝.
跟踪训练
解：∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝＝，
∵α，β都是锐角，∴－＜α－β＜，
又sin（α－β）＝，∴cos（α－β）＝＝，
∴sin β＝sin[α－（α－β）]＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）＝×－×＝.
【例3】 解：因为α为锐角，则0＜α＜，又cos α＝，所以sin α＝.
又因为β为锐角，则0＜β＜，所以0＜α＋β＜π.
因为sin（α＋β）＝＜sin α，所以cos（α＋β）＝－，
所以sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α＝×－（－）×＝.
又因为0＜β＜，所以β＝.
跟踪训练
解：因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝.
所以sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.
又因为α，β均为锐角，所以－＜α－β＜.
故α－β＝－.
【例4】 解：（1）f（x）＝sin xcos－cos xsin＝sin（x－）.
（2）由（1）知T＝＝＝2π，
当x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值1.
母题探究
解：（1）f（x）＝（sin x－cos x）＝（cossin x－sincos x）＝sin（x－）.
（2）由（1）知T＝＝＝2π，
当x－＝＋2kπ（k∈Z），即x＝＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值.
跟踪训练
解：y＝cos x＋cos x－sin x
＝cos x－sin x
＝（cos x－sin x）
＝（sincos x－cossin x）
＝sin（－x）＝－sin（x－），
故当x－＝－＋2kπ（k∈Z），即x＝－＋2kπ（k∈Z）时，函数y取得最大值.
随堂检测
1.B 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin（7°－37°）＝sin（－30°）＝－.故选B.
2. 解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝，∴原式＝2（sin αcos＋cos αsin）＝2×（×＋×）＝.
3.[－，] 解析：f（x）＝sin x－cos x＋sin x＝·sin x－cos x＝（sin x－cos x）＝sin（x－），所以f（x）的值域为[－，].
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10.1.2
两角和与差的正弦
新课程标准解读 核心素养
1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余
弦间的关系 逻辑推理
2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式
的特征 逻辑推理
3.能够运用两角和与差的正弦公式解决有关
求值、化简等问题 数学运算
第1课时
两角和与差的正弦公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下面两组公式：
（1） cos （－α＋ ）＝ sin α， sin （－α＋ ）＝ cos α；
（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β（C（α＋
β））， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β（C（α－β））.
前面一节课我们学习了两角和与差的余弦公式，我们知道，用诱
导公式可以实现正弦与余弦的互化.
【问题】 你能根据两角和与差的余弦公式及诱导公式，推导出用任
意角α，β的正弦、余弦表示 sin （α＋β）， sin （α－β）的公
式吗？
知识点一 两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的 正弦公式 sin （α＋β）＝
S（α＋β） α，
β∈R
两角差的 正弦公式 sin （α－β）＝
S（α－β） sin α cos
β＋ cos α sin β
sin α cos
β－ cos α sin β
提醒 两角和与差的正、余弦公式的联系：
知识点二 辅助角公式
1. 构造含特殊角的三角函数式
sin x± cos x＝ sin （x± ）；
sin x± cos x＝ sin （x± ）；
sin x± cos x＝ sin （x± ）.
2
2
2. 构造含辅助角的三角函数式
f（x）＝a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ）（其中tan φ
＝ ）＝ cos （x－φ）（其中tan φ＝ ）.
提醒 通过特殊角或辅助角三角函数构造和差角正弦、余弦公式形
式，把三角函数的和差化成和差角的一个三角函数，有利于研究三
角函数的图象和性质.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的
B. α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立
C. sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β
D. sin （α＋β）＝ sin α＋ sin β 一定不成立
√
√
解析： 对于A，两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β
是任意的，故A正确；对于B，当α＝β＝0时， sin （α－β）＝
sin α－ sin β成立，故B正确；对于C， sin （α－β）＝ sin α
cos β－ cos α sin β，故C错误；对于D，当α＝β＝0时， sin
（α＋β）＝ sin α＋ sin β成立，故D错误.故选A、B.
2. sin 15°＝（ ）
解析： sin 15°＝ sin （45°－30°）＝ sin 45° cos 30°－
cos 45° sin 30°＝ × － × ＝ .故选B.
√
3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，则 sin C＝ .
解析： sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A，由A＝
，得 sin A＝ ， cos A＝ ，由B为△ABC内角， cos B＝ ，
则 sin B＝ .则 sin C＝ × ＋ × ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值
【例1】 （1）（链接教科书第59页练习2题） sin 18° cos 12°＋
cos 18° sin 12°＝（ D ）
D
解析： sin 18° cos 12°＋ cos 18° sin 12°＝ sin （18°
＋12°）＝ sin 30°＝ .
（2） － ＝（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
解析： － ＝ － ＝
＝ ＝ ＝
＝4.
通性通法
解决给角化简与求值问题的策略
（1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充
分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待
求角；②观察函数特点，向同名转化，弦切互化，通常是切
化弦；
（2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几
种形式：①将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如 sin 15°＝
sin （45°－30°）＝ sin （60°－45°）；②逆用公式凑成特
殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin （13°
＋17°）＝ sin 30°；③进行拆角、拼角，整体代换求值，这一
点与两角和与差的余弦公式的应用基本一致，如α＝（α＋
β）－β＝（α－β）＋β.
【跟踪训练】
1. （2024·泗阳实验高中月考）计算 sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin
10°＝（ ）
解析： sin 50° cos 10°＋ sin 40° sin 10°＝ sin 50° cos 10°
＋ cos 50° sin 10°＝ sin （50°＋10°）＝ sin 60°＝ .故选B.
√
2. 化简： －2 cos （α＋β）.
解：原式＝
＝
＝ ＝ .
题型二 给值求值
【例2】 （链接教科书第57页例1）（1）已知 sin α＝ ，α∈
（ ，π）， cos β＝－ ，β∈（π， ），求 sin （α－β）的
值；
解： 由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得 cos α＝－
＝－ ＝－ .
又由 cos β＝－ ，β∈（π， ），得 sin β＝－
＝－ ＝－ .
∴ sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）
－（－ ）×（－ ）＝－ .
（2）（2024·镇江中学月考）若 cos （α＋ ）＝－ ，α∈（0，
），求 sin α的值.
解： ∵α∈（0， ），∴ ＜α＋ ＜ ， sin （α＋ ）
＝ ＝ ＝ ，则 sin α＝
sin （α＋ － ）＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin
＝ × －（－ ）× ＝ .
通性通法
解给值求值问题的思路及常用变换
（1）解决给值求值型问题的一般思路：观察公式中的量，确定哪
些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角
函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限
确定符号；
② ＝ － ， ＝（ α＋ ）－ ；
③ ＋ ＝ ＋（α＋β）， ＋ ＝
＋（α－β）.
另外，还要特别注意题干中的隐含条件.
（2）解决给值求值型问题的关键是找已知式与待求式之间角、运算
及函数名的差异，常见角的变换有：
①2α＋β＝（α＋β）＋α，2α－β＝（α－β）＋α；
【跟踪训练】
已知α，β都是锐角，且 sin α＝ ， sin （α－β）＝ ，求
sin β的值.
解：∵α为锐角，且 sin α＝ ，∴ cos α＝ ＝ ，
∵α，β都是锐角，∴－ ＜α－β＜ ，
又 sin （α－β）＝ ，∴ cos （α－β）＝ ＝
，
∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin
（α－β）＝ × － × ＝ .
题型三 给值求角
【例3】 已知 sin （α＋β）＝ ， cos α＝ ，α，β均为锐角，
求角β的值.
解：因为α为锐角，则0＜α＜ ，又 cos α＝ ，所以 sin α＝ .
又因为β为锐角，则0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π.
因为 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ，
所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－ cos
（α＋β） sin α＝ × －（－ ）× ＝ .
又因为0＜β＜ ，所以β＝ .
通性通法
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函
数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角的范围是（0，
π）或（π，2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是 或
时，选取求正弦值.
【跟踪训练】
已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，求α－β
的值.
解：因为α，β均为锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，
所以 cos α＝ ， sin β＝ .
所以 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × －
× ＝－ .
又因为α，β均为锐角，所以－ ＜α－β＜ .
故α－β＝－ .
题型四 辅助角公式及应用
【例4】 （链接教科书第58页例3）已知f（x）＝ sin x－ cos x.
（1）将f（x）化成y＝A sin （x＋φ）的形式；
解： f（x）＝ sin x cos － cos x sin ＝ sin （x－ ）.
（2）求f（x）的最小正周期及最大值.
解： 由（1）知T＝ ＝ ＝2π，
当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f
（x）取得最大值1.
【母题探究】
（变条件）若本例条件改为：已知f（x）＝ sin x－ cos x，如何
求解？
解：（1）f（x）＝ （ sin x－ cos x）＝ （ cos sin x－ sin
cos x）＝ sin （x－ ）.
（2）由（1）知T＝ ＝ ＝2π，
当x－ ＝ ＋2kπ（k∈Z），即x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x）
取得最大值 .
通性通法
将a sin x＋b cos x化为A sin （ωx＋φ）的方法技巧
（1）对形如 sin x± cos x， sin x± cos x的三角函数式均可利用特
殊角的关系，运用和、差角的正弦、余弦公式化简为含一个三
角函数式的形式，即y＝A sin （x＋φ）的形式；
（2）对于不能构造含特殊角的三角函数式也可通过辅助角公式进行
化简.
【跟踪训练】
求函数y＝ cos x＋ cos （x＋ ）的最大值.
解：y＝ cos x＋ cos x－ sin x
＝ cos x－ sin x
＝ （ cos x－ sin x）
＝ （ sin cos x－ cos sin x）
＝ sin （ －x）＝－ sin （x－ ），
故当x－ ＝－ ＋2kπ（k∈Z），即x＝－ ＋2kπ（k∈Z）时，函
数y取得最大值 .
1. （2024·徐州月考） sin 7° cos 37°－ sin 83° sin 37°＝（ ）
解析： 原式＝ sin 7° cos 37°－ cos 7° sin 37°＝ sin （7°－
37°）＝ sin （－30°）＝－ .故选B.
√
2. 设α∈ ，若 sin α＝ ，则2 sin （α＋ ）＝ .
解析：∵ sin α＝ ，α∈ ，∴ cos α＝ ，∴原式＝
2 ＝2×（ × ＋ × ）＝ .
3. （2024·常州月考）函数f（x）＝ sin x－ cos （x＋ ）的值域
为 .
解析：f（x）＝ sin x－ cos x＋ sin x＝ · sin x－ cos x＝
（ sin x－ cos x）＝ sin （x－ ），所以f（x）的值域为[－
， ].
[－ ， ]
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 sin ＋ sin ＝（ ）
A. － sin x B. sin x
C. － cos x D. cos x
解析： sin ＋ sin ＝ sin x＋ cos x＋ sin x－
cos x＝ sin x.
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√
2. （2024·南通月考）在△ABC中，已知 sin C＝2 sin （B＋C） cos
B，则△ABC一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
解析： 由 sin C＝2 sin （B＋C） cos B得 sin （A＋B）＝2 sin
A cos B，所以 sin A cos B－ cos A sin B＝0，所以 sin （A－B）＝
0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形.故选B.
√
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3. 已知 cos （α－β）＝ ， sin β＝－ ，且α∈ ，
β∈ ，则 sin α＝（ ）
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解析： ∵α∈ ，β∈ ，∴ cos β＝ ，∴0＜
α－β＜π，∴ sin （α－β）＝ ，∴ sin α＝ sin [（α－β）＋
β]＝ × ＋ × ＝ ＝ .故选A.
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4. 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，则β
＝（ ）
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解析： ∵0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，由 cos α＝ 得
sin α＝ ，由 cos （α－β）＝ 得 sin （α－β）＝ ，∴ sin
β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－β）－ cos α sin
（α－β）＝ × － × ＝ ＝ ，∴β＝ .故选C.
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5. （多选）已知θ是锐角，那么下列各值中， sin θ＋ cos θ不能取
得的值是（ ）
解析： sin θ＋ cos θ＝ （ sin θ＋ cos θ）＝ sin
.∵0＜θ＜ ，∴ ＜θ＋ ＜ ，∴ ＜ sin
≤1，∴1＜ sin ≤ .故选B、C、D.
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6. （多选）下列计算正确的是（ ）
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解析： 对于A， sin 15°－ cos 15°＝ sin 15° cos 60°－
sin 60° cos 15°＝ sin （15°－60°）＝ sin （－45°）＝－ ，
故A错误；对于B， sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin
20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋10°）＝ sin 30°
＝ ，故B正确；对于C， sin － cos ＝2（ sin cos － sin
cos ）＝2 sin ＝2 sin ＝－ ，故C错误；
对于D， sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos
60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，故D正确.故选B、D.
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7. （2024·宿迁如东中学期中） ＝ .
解析： ＝ ＝
＝
＝ .
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8. （2024·泗阳实验高中月考）化简3 sin x－3 cos x＝ 6 sin
.
解析：3 sin x－3 cos x＝6 ·（ sin x－ cos x）＝6 sin
（x－ ）.
6 sin
（x－ ）
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解析：∵ sin α＝－ ，α∈ ，∴ cos α＝－
＝－ ，∵ cos β＝－ ，β∈ ，∴ sin β＝ ，∴ cos
（α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ × －
× ＝ ＋ ＝ ， sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos
α sin β＝ × ＋ × ＝ － ＝ .
9. 已知 sin α＝－ ，α∈ ， cos β＝－ ，β∈ ，
则 cos （α＋β）＝ ， sin （α＋β）＝ .
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10. 化简下列各式：
（1） sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）；
解： sin （α－30°）＋ sin （α＋30°）＝ sin α
cos 30°－ cos α sin 30°＋ sin α cos 30°＋ cos α sin
30°＝2 sin α cos 30°＝ sin α.
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（2） sin ＋2 sin － cos .
解： 法一 原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x cos
－2 cos x sin － cos cos x－ sin sin x＝
sin x＋（ sin －2 sin － cos ）· cos
x＝（ ＋1－ × ） sin x＋［ －2× －
× ］ cos x＝0.
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法二 原式＝ sin ＋ cos ＋2 sin ＝2［ sin
· ＋ cos （x＋ ）· ］＋2 sin ＝2 sin ＋2
sin （x－ ）＝2 sin ＋2 sin （x－ ）＝2 sin ＋2
sin ＝0.
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11. （2024·淮安月考）已知 sin θ＋ sin ＝1，则 sin ＝
（ ）
解析： ∵ sin θ＋ sin ＝ sin θ＋ cos θ＝ sin
＝1，∴ sin ＝ ，故选B.
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12. （多选）已知α，β均为锐角，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A. sin （α＋β）＞ sin α＋ sin β
B. sin （α＋β）＜ sin α＋ sin β
C. cos （α＋β）＞ cos α＋ cos β
D. cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β
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解析： 对于A，当α＝β＝ 时， sin （α＋β）＜ sin α＋
sin β，故A错误；对于B，由于α，β均为锐角，所以 sin α，
cos α， sin β， cos β的范围均为（0，1），所以 sin （α＋
β）＝ sin α cos β＋ sin β cos α＜ sin α＋ sin β，故B正确；
对于C，当α＝β＝ 时， cos （α＋β）＜ cos α＋ cos β，故
C错误；对于D， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＜
cos α cos β＜ cos α＜ cos α＋ cos β，故D正确.故选B、D.
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解析：由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝
－∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin · cos ∠BEC－ cos sin
∠BEC＝ × － × ＝ .
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14. 已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝ .
（1）求 sin β的值；
解： ∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π），
又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，
则 sin α＝ ＝ ，
sin （α＋β）＝ ＝ ，
∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－
cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ .
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（2）求2α＋β的值.
解： cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]＝
cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）＝ × －
× ＝0.
由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ），
∴2α＋β＝ .
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15. （2024·扬州月考）已知函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ .
（1）求函数f（x）的最小正周期；
解： 函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋ ＝
2 ＋ ＝2 sin （2x＋ ）＋ ，
故它的最小正周期为 ＝π.
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（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心.
解： 令2x＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ＋ ，
k∈Z，
故函数f（x）的对称轴为x＝ ＋ ，k∈Z.
令2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为 ，k∈Z.
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谢 谢 观 看！
