第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用
1.已知0＜α＜，0＜β＜，且sin（α－β）＝－，sin β＝，则sin α＝（ ）
A. B. C. D.－
2.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β＝（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或±
3.已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，则 sin 2α＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
4.（2024·泰州月考）已知cos（α＋）－sin α＝，则sin（α＋）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
5.（2024·盐城质检）设α∈（0，），β∈（0，），且tan α＝，则（ ）
A.2α－β＝0 B.2α＋β＝
C.2α＋β＝0 D.2α－β＝
6.（多选）已知cos α＝，cos（α＋β）＝－，且α，β∈（0，），则（ ）
A.cos β＝ B.sin β＝
C.cos（α－β）＝ D.sin（α－β）＝－
7.＝ .
8.已知sin＝－，则cos x＋cos＝ .
9.（2024·南京月考）已知sin α＋cos β＝－，cos α－sin β＝，则sin（α－β）＝ .
10.求证：＝tan（α＋β）.
11.已知0＜α＜，sin＝，则＝（ ）
A. B.
C. D.
12.（多选）（2024·苏州质检）已知在△ABC中，sin A＋cos A＝m，则下列说法中正确的是（ ）
A.m的取值范围是[－，]
B.若0＜m＜1，则△ABC为钝角三角形
C.若m＝，则tan A＝－
D.若m＝1，则△ABC为直角三角形
13.（2024·连云港月考）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝ .
14.若sin（＋α）＝，cos（－β）＝，且0＜α＜＜β＜，求cos（α＋β）的值.
15.已知＜β＜α＜，且 sin 2αsin－cos 2αsin＝，sin 2βcos＋cos 2βsin＝，求sin（2α－2β）的值.
第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用
1.C 由0＜α＜，0＜β＜，得－＜α－β＜，所以cos（α－β）＝＝，cos β＝＝，所以sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β＝－×＋×＝.故选C.
2.A cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
3.A ∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.又∵cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，∴sin（α－β）＝，cos（α＋β）＝－.∴sin 2α＝sin[（α＋β）＋（α－β）]＝sin（α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）＝－.故选A.
4.B ∵cos（α＋）－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴sin（α＋）＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α－cos α＝－，故选B.
5.D ∵＝ sin α·cos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin（α－β）＝cos α＝sin （－α），∵－＜α－β＜，0＜－α＜，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
6.AC 对于A，因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝＝＝.又α，β∈（0，），所以α＋β∈（0，π），所以sin（α＋β）＝＝＝，所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－＋＝，故A正确；对于B，因为β∈（0，），所以sin β＝＝＝，故B错误；对于C，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，故C正确；对于D，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝，故D错误.故选A、C.
7. 解析：原式
＝
＝
＝＝tan 60°＝.
8.－1 解析：因为sin＝－，所以cos x＋cos（x－）＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝sin＝－1.
9.－ 解析：因为sin α＋cos β＝－，cos α－sin β＝，所以（sin α＋cos β）2＝，（cos α－sin β）2＝.所以sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，两式相加可得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋cos2α－2cos αsin β＋sin2β＝，所以2＋2sin αcos β－2cos αsin β＝，即2＋2（sin αcos β－cos αsin β）＝，所以2＋2sin（α－β）＝，解得sin（α－β）＝－.
10.证明：因为左边
＝
＝＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立.
11.C 因为sin＝，所以（cos α－sin α）＝，所以cos α－sin α＝，所以1－2sin αcos α＝，得sin αcos α＝.因为0＜α＜，所以cos α＋sin α＝＝，所以＝＝＝＝.故选C.
12.BCD m＝sin A＋cos A＝sin（A＋）.对于A，因为A为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋∈，所以sin∈（－，1］，则m∈（－1，]，故A不正确；对于B，若0＜m＜1，则0＜sin（A＋）＜1，0＜sin＜.由A可知，＜A＋＜π，所以＜A＜，故A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确；对于C，若m＝，则sin A＋cos A＝①，（sin A＋cos A）2＝，所以2sin Acos A＝－，所以A为钝角，且sin A－cos A＞0，（sin A－cos A）2＝1－2sin Acos A＝，所以sin A－cos A＝②.由①②解得sin A＝，cos A＝－，所以tan A＝＝－，故C正确；对于D，当m＝1时，sin A＋cos A＝1，所以（sin A＋cos A）2＝1＋2sin Acos A＝1，所以sin Acos A＝0.在△ABC中，sin A≠0，所以cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D.
13. 解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2［cos（α＋β）－sin（α＋β）］＝2sin＝2sin＝2sin ＝.
14.解：∵0＜α＜＜β＜，∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin（＋α）＝，cos（－β）＝，∴cos（＋α）＝－，sin（－β）＝－.
∴cos（α＋β）＝sin［＋（α＋β）］＝sin［（＋α）－（－β）］＝sin（＋α）cos（－β）－cos（＋α）·sin（－β）＝×－（－）×（－）＝－.
15.解：由题意，得sin 2αsin－cos 2αsin＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝sin＝，sin 2βcos＋cos 2βsin＝sin＝.
因为＜β＜α＜，
所以＜2β＋＜2α＋＜，
则cos＝－，cos（2β＋）＝－，
所以sin（2α－2β）＝sin［－］＝sincos（2β＋）－cossin（2β＋）＝.
2 / 2第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用
题型一 证明恒等式
【例1】 （链接教科书第60页例4）证明：＝tan（α＋β）.
通性通法
解决有关的证明问题的策略
对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特征（等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向，遵循从繁到简原则，然后利用公式证明.
【跟踪训练】
已知3sin β＝sin（2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α.
题型二 灵活拆角求值
【例2】 （链接教科书第60页例5）求的值.
通性通法
拆角求值问题的思路
（1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公式，而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个角之间是否存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的关系进行拆角来减少角的个数；
（2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知的角简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.
【跟踪训练】
求值：.
题型三 两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用
【例3】 （1）（链接教科书第60页例6）若cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，求tan αtan β的值；
（2）化简：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β].
通性通法
化简三角函数式的方法技巧
（1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基本途径；
（2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函数式的一个切入点.
【跟踪训练】
（2024·苏州月考）已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝ .
1.＝（ ）
A.－1 B.－
C.1 D.
2.（多选）（2024·镇江月考）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，将角α的终边逆时针旋转得到角β，则下列结论中正确的是（ ）
A.tan α＝ B.cos β＝－
C.sin（α－β）＝－1 D.sin＝－
3.已知2sin＝cos α，则tan α＝ .
第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：
＝
＝＝＝tan（α＋β），所以原式得证.
跟踪训练
证明：由已知得3sin[（α＋β）－α]＝sin[（α＋β）＋α]，
即3[sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α]＝sin（α＋β）cos α＋cos（α＋β）sin α，
即2sin（α＋β）cos α＝4cos（α＋β）sin α，
所以tan（α＋β）＝2tan α.
【例2】 解：原式＝
＝
＝
＝＝.
跟踪训练
解：原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
【例3】 解：（1）由已知条件得
所以
所以tan αtan β＝＝（－）÷＝－.
（2）原式＝sin（α＋β）cos α－{sin[（α＋β）＋α]－sin[（α＋β）－α]}
＝sin（α＋β）cos α－·2cos（α＋β）sin α
＝sin（α＋β）cos α－cos（α＋β）sin α
＝sin[（α＋β）－α]
＝sin β.
跟踪训练
－ 解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sin αcos β＋cos αsin β）＝1，∴sin（α＋β）＝－.
随堂检测
1.B 因为2cos 10°＝2sin 80°＝2sin（60°＋20°）＝2（sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°）＝cos 20°＋sin 20°，所以＝＝－.故选B.
2.AC 对于A，由题意，得tan α＝＝，故A正确；对于B，由题意，得β＝α＋，所以cos β＝cos＝－sin α＝－＝，故B错误；对于C，sin β＝sin＝cos α＝－，所以sin（α－β）＝－×－×＝－1，故C正确；对于D，sin＝－×＋×＝，故D错误.故选A、C.
3.＋1 解析：因为2sin＝cos α，所以2sin αcos－2cos αsin＝cos α，整理得sin α＝（＋1）cos α，即tan α＝＋1.
2 / 2(共44张PPT)
第2课时
两角和与差的正、余弦公式的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 证明恒等式
【例1】 （链接教科书第60页例4）证明： ＝
tan（α＋β）.
证明：
＝
＝ ＝ ＝tan（α＋β），所以原式得证.
通性通法
解决有关的证明问题的策略
对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特
征（等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向，
遵循从繁到简原则，然后利用公式证明.
【跟踪训练】
已知3 sin β＝ sin （2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α.
证明：由已知得3 sin [（α＋β）－α]＝ sin [（α＋β）＋α]，
即3[ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α]＝ sin （α＋β）
cos α＋ cos （α＋β） sin α，
即2 sin （α＋β） cos α＝4 cos （α＋β） sin α，
所以tan（α＋β）＝2tan α.
题型二 灵活拆角求值
【例2】 （链接教科书第60页例5）求 的值.
解：原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
通性通法
拆角求值问题的思路
（1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公
式，而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个
角之间是否存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的
关系进行拆角来减少角的个数；
（2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知
的角简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的
正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解.
【跟踪训练】
求值： .
解：原式＝
＝
＝ ＝ sin 30°＝ .
题型三 两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用
【例3】 （1）（链接教科书第60页例6）若 cos （α＋β）＝ ，
cos （α－β）＝－ ，求tan αtan β的值；
解： 由已知条件得
所以
所以tan αtan β＝ ＝（－ ）÷ ＝－ .
（2）化简： sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β].
解： 原式＝ sin （α＋β） cos α－ { sin [（α＋β）＋
α]－ sin [（α＋β）－α]}
＝ sin （α＋β） cos α－ ·2 cos （α＋β） sin α
＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α
＝ sin [（α＋β）－α]
＝ sin β.
通性通法
化简三角函数式的方法技巧
（1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基
本途径；
（2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函
数式的一个切入点.
解析：∵ sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，∴ sin 2α＋ cos 2β
＋2 sin α cos β＝1①， cos 2α＋ sin 2β＋2 cos α sin β＝0②，①②
两式相加可得 sin 2α＋ cos 2α＋ sin 2β＋ cos 2β＋2（ sin α cos β
＋ cos α sin β）＝1，∴ sin （α＋β）＝－ .
－
1. ＝（ ）
A. －1
C. 1
解析： 因为2 cos 10°＝2 sin 80°＝2 sin （60°＋20°）＝2
（ sin 60° cos 20°＋ cos 60° sin 20°）＝ cos 20°＋ sin
20°，所以 ＝ ＝－ .
故选B.
√
2. （多选）（2024·镇江月考）已知角α的顶点与原点O重合，始边
与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P ，将角α的终边
逆时针旋转 得到角β，则下列结论中正确的是（ ）
C. sin （α－β）＝－1
√
√
解析： 对于A，由题意，得tan α＝ ＝ ，故A正确；对于
B，由题意，得β＝α＋ ，所以 cos β＝ cos ＝－ sin α＝
－ ＝ ，故B错误；对于C， sin β＝ sin ＝ cos α＝－
，所以 sin （α－β）＝－ × － × ＝－1，故C正
确；对于D， sin ＝－ × ＋ × ＝ ，故D错误.故选
A、C.
3. 已知2 sin ＝ cos α，则tan α＝ ＋1 .
解析：因为2 sin ＝ cos α，所以2 sin α cos －2 cos α sin
＝ cos α，整理得 sin α＝（ ＋1） cos α，即tan α＝ ＋1.
＋1
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知0＜α＜ ，0＜β＜ ，且 sin （α－β）＝－ ， sin β＝
，则 sin α＝（ ）
√
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解析： 由0＜α＜ ，0＜β＜ ，得－ ＜α－β＜ ，所以
cos （α－β）＝ ＝ ， cos β＝
＝ ，所以 sin α＝ sin [（α－β）＋β]＝ sin （α－β） cos β
＋ cos （α－β） sin β＝－ × ＋ × ＝ .故选C.
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2. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β
＝（ ）
A. 0
解析： cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， cos
（α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式相加可得2
cos α cos β＝0，即 cos α cos β＝0.
√
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3. 已知 ＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－
，则 sin 2α＝（ ）
√
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解析： ∵ ＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，π＜α＋β＜ .
又∵ cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，∴ sin （α－
β）＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin 2α＝ sin [（α＋β）＋
（α－β）]＝ sin （α＋β） cos （α－β）＋ cos （α＋β）
sin （α－β）＝－ .故选A.
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4. （2024·泰州月考）已知 cos （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin （α
＋ ）＝（ ）
解析： ∵ cos （α＋ ）－ sin α＝ ，∴ cos α－ sin α
＝ ，∴ cos α－ sin α＝ ，∴ sin （α＋ ）＝ sin α cos
＋ cos α sin ＝ sin α－ cos α＝－ ，故选B.
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5. （2024·盐城质检）设α∈（0， ），β∈（0， ），且tan α＝
，则（ ）
A. 2α－β＝0
C. 2α＋β＝0
解析： ∵ ＝ sin α· cos β＝ cos α＋ cos α sin
β，∴ sin （α－β）＝ cos α＝ sin （ －α），∵－ ＜α－β
＜ ，0＜ －α＜ ，∴α－β＝ －α，∴2α－β＝ .
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6. （多选）已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈
（0， ），则（ ）
√
√
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解析： 对于A，因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α
＝ ＝ ＝ .又α，β∈（0， ），所以
α＋β∈（0，π），所以 sin （α＋β）＝ ＝
＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos
（α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝－ ＋ ＝ ，故A正
确；
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对于B，因为β∈（0， ），所以 sin β＝ ＝
＝ ，故B错误；对于C， cos （α－β）＝ cos α cos
β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ ，故C正确；对于D， sin
（α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × － × ＝ ，
故D错误.故选A、C.
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7. ＝ .
解析：原式＝
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＝ ＝tan 60°＝ .
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8. 已知 sin ＝－ ，则 cos x＋ cos ＝ .
解析：因为 sin ＝－ ，所以 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos
x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ sin ＝－1.
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解析：因为 sin α＋ cos β＝－ ， cos α－ sin β＝ ，所以（ sin
α＋ cos β）2＝ ，（ cos α－ sin β）2＝ .所以 sin 2α＋2 sin α
cos β＋ cos 2β＝ ， cos 2α－2 cos α sin β＋ sin 2β＝ ，两式
相加可得 sin 2α＋2 sin α cos β＋ cos 2β＋ cos 2α－2 cos α sin
β＋ sin 2β＝ ，所以2＋2 sin α cos β－2 cos α sin β＝ ，即2
＋2（ sin α cos β－ cos α sin β）＝ ，所以2＋2 sin （α－β）
＝ ，解得 sin （α－β）＝－ .
9. （2024·南京月考）已知 sin α＋ cos β＝－ ， cos α－ sin β＝
，则 sin （α－β）＝ － .
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10. 求证： ＝tan（α＋β）.
证明：因为左边＝
＝ ＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立.
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11. 已知0＜α＜ ， sin ＝ ，则 ＝（ ）
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解析： 因为 sin ＝ ，所以 （ cos α－ sin α）＝
，所以 cos α－ sin α＝ ，所以1－2 sin α cos α＝ ，得 sin
α cos α＝ .因为0＜α＜ ，所以 cos α＋ sin α＝
＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ＝
.故选C.
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12. （多选）（2024·苏州质检）已知在△ABC中， sin A＋ cos A＝
m，则下列说法中正确的是（ ）
B. 若0＜m＜1，则△ABC为钝角三角形
D. 若m＝1，则△ABC为直角三角形
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解析： m＝ sin A＋ cos A＝ sin .对于A，因为A
为三角形的内角，所以A∈（0，π），所以A＋ ∈ ，所
以 sin ∈（－ ，1］，则m∈（－1， ]，故A不正
确；对于B，若0＜m＜1，则0＜ sin ＜1，0＜ sin
＜ .由A可知， ＜A＋ ＜π，所以 ＜A＜ ，故A为钝
角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确；
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对于C，若m＝ ，则 sin A＋ cos A＝ ①，（ sin A＋ cos A）2＝ ，
所以2 sin A cos A＝－ ，所以A为钝角，且 sin A－ cos A＞0，（ sin
A－ cos A）2＝1－2 sin A cos A＝ ，所以 sin A－ cos A＝ ②.由①②
解得 sin A＝ ， cos A＝－ ，所以tan A＝ ＝－ ，故C正确；对
于D，当m＝1时， sin A＋ cos A＝1，所以（ sin A＋ cos A）2＝1＋2
sin A cos A＝1，所以 sin A cos A＝0.在△ABC中， sin A≠0，所以 cos
A＝0，A＝90°，即△ABC为直角三角形，故D正确.故选B、C、D.
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13. （2024·连云港月考）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是
α，β，则 cos α cos β－ sin α cos β－ cos α sin β－ sin
α sin β＝ .
解析：由题意知α＋β＝－ ，所以 cos α cos β－ sin α cos
β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ cos （α＋β）－ sin
（α＋β）＝2［ cos （α＋β）－ sin （α＋β）］＝2 sin
＝2 sin ＝2 sin ＝ .
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14. 若 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，且0＜α＜ ＜β＜
，求 cos （α＋β）的值.
解：∵0＜α＜ ＜β＜ ，∴ ＜ ＋α＜π，－ ＜ －β
＜0.
又 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，∴ cos （ ＋
α）＝－ ， sin （ －β）＝－ .
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∴ cos （α＋β）＝ sin ［ ＋（α＋β）］＝ sin ［（ ＋α）
－（ －β）］＝ sin （ ＋α） cos （ －β）－ cos （ ＋
α）· sin （ －β）＝ × －（－ ）×（－ ）＝－ .
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15. 已知 ＜β＜α＜ ，且 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ ， sin
2β cos ＋ cos 2β sin ＝ ，求 sin （2α－2β）的值.
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解：由题意，得 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ sin 2α cos ＋ cos
2α sin ＝ sin ＝ ， sin 2β cos ＋ cos 2β sin ＝ sin
＝ .
因为 ＜β＜α＜ ，
所以 ＜2β＋ ＜2α＋ ＜ ，
则 cos ＝－ ， cos ＝－ ，
所以 sin （2α－2β）＝ sin ［ － ］＝ sin
cos － cos sin （2β＋ ）＝ .
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