10.1.3 两角和与差的正切
1.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2，－3），则tan（α－）＝（ ）
A.－ B.
C.1 D.5
2.若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（ ）
A. B.－
C.1 D.－1
3.（2024·无锡月考）在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则角C＝（ ）
A. B.
C. D.
4.已知tan（α＋β）＝，tan＝，那么tan＝（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）（2024·常州月考）若tan ＝2，tan β＝－，则（ ）
A.tan α＝ B.tan α＝
C.tan（α＋β）＝0 D.tan（α－β）＝
6.（多选）下列式子化简结果为的是（ ）
A.tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B.2（sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°）
C.
D.
7.在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是 三角形.
8.已知tan（α－）＝，tan（β－）＝－，则tan＝ .
9.（2024·徐州月考）已知＝3，tan（α－β）＝2，则tan（β－2α）＝ .
10.已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈.
（1）求tan β的值；
（2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值.
11.（2024·连云港赣榆一中月考）我国古代天文学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤180°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan（α－β）＝，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
12.（多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则下列各式正确的是（ ）
A.A＋B＝2C B.tan（A＋B）＝－
C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A
13.（2024·盐城质检）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝ .
14.在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.
15.是否存在锐角α，β，使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由.（tan＝2－）.
10.1.3 两角和与差的正切
1.D 由题意得，tan α＝＝－，所以tan（α－）＝＝＝5.故选D.
2.A tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝.故选A.
3.A 由已知，得tan A＋tan B＝（tan Atan B－1），即＝－，∴tan（A＋B）＝－，∴tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝，∴C＝.故选A.
4.C 因为α＋＝（α＋β）－，所以tan＝tan＝
＝，故选C.
5.BC tan α＝tan＝＝，故A错误，B正确；tan（α＋β）＝＝＝0，故C正确；tan（α－β）＝＝＝，故D错误.故选B、C.
6.ABC 对于A，利用正切的变形公式可得原式＝，故A正确；对于B，原式＝2（sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°）＝2sin（35°＋25°）＝2sin 60°＝，故B正确；对于C，原式＝＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝，故C正确；对于D，由C知，原式＝＝，故D错误.故选A、B、C.
7.锐角 解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可得A，B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝＜0，故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C为锐角，故△ABC是锐角三角形.
8. 解析：tan＝tan［（α－）＋（β－）］＝＝.
9. 解析：由条件知＝＝3，则tan α＝2.因为tan（α－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝tan[（β－α）－α]＝＝＝.
10.解：（1）因为cos β＝，β∈，
所以sin β＝＝，所以tan β＝＝2.
（2）tan（α＋β）＝＝＝1.
又α∈，β∈，所以α＋β∈，
所以α＋β＝.
11.B 设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距为α，则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是h2，太阳天顶距为β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长”与“表高”相等，则tan β＝1，则＝tan α＝tan[（α－β）＋β]＝＝＝2.故选B.
12.CD ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan（A＋B）＝，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝（1－tan A·tan B）＝，∴tan A·tan B＝ ①，又tan A＋tan B＝ ②，联立①②，解得tan A＝tan B＝，∴A＝B＝30°，cos B＝sin A，故选项C、D正确.故选C、D.
13. 解析：∵tan（α＋β）＝＝＝，tan（α＋β＋γ）＝＝＝1，∵α，β，γ∈，∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝＞0，∴α＋β∈，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝.
14.解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝＝＝，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.
∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
15.解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝，（2）tan·tan β＝2－同时成立.
由（1）得＋β＝，
所以tan（＋β）＝＝.
又tantan β＝2－，
所以tan＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－）x＋2－＝0的两个根，
设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－.
若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
2 / 210.1.3 两角和与差的正切
新课程标准解读 核心素养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正切公式解决有关求值、化简等问题 数学运算
如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.
【问题】 能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知识点 两角和与差的正切公式
1.正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和的正切 公式 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠
两角差的正切 公式 tan（α－β）＝ T（α－β） α，β，α－β≠
提醒 （1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；
（2）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2.正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝；
1＋tan αtan β＝.
【想一想】
你能借助两角和与差的正、余弦公式推导出tan（α＋β）与tan（α－β）吗？
1.下列说法正确的个数为（ ）
①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立；
②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝都成立；
③tan能根据公式tan（α－β）直接展开.
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知tan α＝，则tan＝ .
3.已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan αtan β＝ .
题型一 给角求值
【例1】 （链接教科书第65页练习2题）求下列各式的值：（1）tan；
（2）；
（3）tan＋tan＋tantan.
通性通法
探究公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略
应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用和常用的公式变形.
（1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果式子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan；
（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
【跟踪训练】
计算：（1）；
（2）tan 10°·tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）.
题型二 给值求值（角）
【例2】 （1）（链接教科书第64页例1）若tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan（α＋β）＝（ ）
A.3 B.－3 C.±3 D.－1
（2）已知tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值.
通性通法
1.关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和或差，再根据公式求解.
2.关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
【跟踪训练】
已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角.
求：（1）sin（α－β），tan（α－β）；（2）α＋β.
题型三 两角和与差正切公式的综合应用
【例3】 （1）（链接教科书第66页例4）若A＋B＝，求证：tan Atan B＋tan A＋tan B＝1；
（2）（链接教科书第66页例5）如图，在某开发区内新建两栋高楼AB，CD（AC为水平地面），P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度（测量仪器的高度不计）.
通性通法
证明三角恒等式的常用方法
（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标“奔”去；
（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；
（3）作差法，证明左边－右边＝0.
【跟踪训练】
1.已知tan α＝2，证明：sin2α＋sin αcos α＝－－.
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.
1.tan 255°＝（ ）
A.－2－ B.－2＋
C.2－ D.2＋
2.（多选）若tan β＝，则α＋β的大小可能是（ ）
A.－ B.
C. D.－π
3.（2024·淮安马坝高中期中）若tan（α＋）＝5，则tan α＝ .
4.已知A，B都是锐角，且A＋B≠，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝2.求证：A＋B＝.
10.1.3 两角和与差的正切
【基础知识·重落实】
知识点
1. kπ＋（k∈Z） kπ＋（k∈Z）
想一想
提示：tan（α＋β）＝＝＝＝.
类似地可以推导tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝＝.
自我诊断
1.B ①若α＝，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有当α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α－β）直接展开，所以③错误，故选B.
2.7 解析：∵tan α＝，∴tan＝＝＝7.
3. 解析：∵tan（α＋β）＝，∴4＝，即1－tan αtan β＝，∴tan αtan β＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）tan＝tan（π－）
＝－tan＝－tan（－）
＝－＝－（2－）＝－2.
（2）法一 因为tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋.
所以＝＝－.
法二 ＝＝tan（45°＋75°）＝tan 120°＝－.
（3）tan＋tan＋ tan tan
＝tan＋tantan＝（1－tantan）＋tantan＝.
跟踪训练
解：（1）原式＝＝＝＝－1.
（2）原式＝tan 10°·tan 20°＋[tan （10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
【例2】 （1）B 由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan（α＋β）＝＝＝－3.故选B.
（2）解：∵tan α＝，tan β＝且α，β∈，
∴tan（α＋β）＝＝＝＞0，
∴α＋β∈，2α＋β∈（0，π），
∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝＝＝1，∴2α＋β＝.
跟踪训练
解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.
tan α＝＝－，tan β＝＝－.
（1）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－（－）×＝－.
tan（α－β）＝＝＝－.
（2）法一 cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－×（－）－×＝.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.
法二 tan（α＋β）＝＝＝－1，由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝.
【例3】 解：（1）证明：左边＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan·（1－tan Atan B）＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边.
故当A＋B＝时，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1.
（2）如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β，
则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α.
依题意，得tan α＝＝＝2，
∴tan β＝tan（135°－α）＝＝＝3，
∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75，
即楼CD的高度为75 m.
跟踪训练
1.证明：因为tan α＝2，
所以左边＝＝＝＝.
右边＝－－
＝－－
＝－－tan（＋）
＝－－tan＝，
所以左边＝右边，
所以原等式成立.
2.解：由AB＋BP＝PD，
得a＋BP＝，
解得BP＝a，PC＝a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝＝，tan β＝＝，
∴tan（α＋β）＝＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，
∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18.
随堂检测
1.D tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋.故选D.
2.BD 由题意知tan β＝，所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝＋kπ， k∈Z.当k＝0时，α＋β＝；当k＝－1时，α＋β＝－π.故选B、D.
3. 解析：tan（α＋）＝＝，故＝5，解得tan α＝.
4.证明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B，
又∵A＋B≠，∴1－tan Atan B≠0，
∴＝1，∴tan（A＋B）＝1，
又∵A，B是锐角，∴A＋B＝.
3 / 3(共58张PPT)
10.1.3
两角和与差的正切
新课程标准解读 核心素养
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出
两角和与差的正切公式 逻辑推理
2.能够运用两角和与差的正切公式解决有关求
值、化简等问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，
∠COD＝α－β.
【问题】 能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知识点 两角和与差的正切公式
1. 正切公式
名称 公式 简记符号 条件
两角和 的正切 公式 tan（α＋β）＝ T（α＋β） α，β，α＋β≠
两角差 的正切 公式 tan（α－β）＝ T（α－β） α，β，α－β≠
kπ＋ （k∈Z）
kπ＋ （k∈Z）
提醒 （1）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tan α与
tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；
（2）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2. 正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝ ；
1＋tan αtan β＝ .
【想一想】
你能借助两角和与差的正、余弦公式推导出tan（α＋β）与tan（α
－β）吗？
提示：tan（α＋β）＝ ＝ ＝
＝ .
类似地可以推导tan（α－β），也可用－β代替tan（α＋β）中的
β，tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝ ＝
.
1. 下列说法正确的个数为（ ）
①存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立；
②对任意的α，β∈R，tan（α＋β）＝ 都成立；
③tan 能根据公式tan（α－β）直接展开.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
√
解析： ①若α＝ ，β＝0，则等式成立，所以①正确；②只有
当α，β，α＋β≠ ＋kπ，k∈Z时，公式才成立，所以②错
误；③由于按公式展开后出现tan 无意义，故不能按公式tan（α
－β）直接展开，所以③错误，故选B.
2. 已知tan α＝ ，则tan ＝ .
解析：∵tan α＝ ，∴tan ＝ ＝ ＝7.
3. 已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan αtan β
＝ .
解析：∵tan（α＋β）＝ ，∴4＝ ，即1－tan
αtan β＝ ，∴tan αtan β＝ .
7
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值
【例1】 （链接教科书第65页练习2题）求下列各式的值：
（1）tan ；
解： tan ＝tan（π－ ）
＝－tan ＝－tan（ － ）
＝－ ＝－（2－ ）＝ －2.
解：法一 因为tan 75°＝tan（45°＋30°）＝
＝ ＝2＋ .
所以 ＝ ＝－ .
（2） ；
法二 ＝ ＝tan（45°＋75°）＝tan 120°
＝－ .
解： tan ＋tan ＋ tan tan
＝tan ＋ tan tan
＝ ＋ tan tan ＝ .
（3）tan ＋tan ＋ tan tan .
通性通法
探究公式T（α±β）的逆用及变形应用的解题策略
应用两角和与差的正切公式解题时，要注意公式的逆用和常用的
公式变形.
（1）“1”的代换：在T（α±β）中，如果式子中出现“1”常利用1＝
tan 来代换，以达到化简求值的目的，如 ＝tan ；
＝ tan ；
（2）整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan
αtan β”两个整体，常考虑tan（α±β）的变形公式.
【跟踪训练】
计算：（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝
＝－1.
（2）tan 10°·tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）.
解： 原式＝tan 10°·tan 20°＋ [tan （10°＋
20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan
10°tan 20°＝1.
题型二 给值求值（角）
【例2】 （1）（链接教科书第64页例1）若tan α，tan β是方程x2
－3x＋2＝0的两根，则tan（α＋β）＝（ ）
A. 3 B. －3
C. ±3 D. －1
解析： 由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan
（α＋β）＝ ＝ ＝－3.故选B.
√
解：∵tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ，
∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ＞0，
∴α＋β∈ ，2α＋β∈（0，π），
∴tan（2α＋β）＝tan[（α＋β）＋α]＝
＝ ＝1，∴2α＋β＝ .
（2）已知tan α＝ ，tan β＝ 且α，β∈ ，求2α＋β的值.
通性通法
1. 关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和或差，
再根据公式求解.
2. 关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范
围确定该角的大小.
【跟踪训练】
已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均为钝角.
求：（1） sin （α－β），tan（α－β）；
解：∵α和β均为钝角，∴ cos α＝－ ＝－ ， cos β＝
－ ＝－ .
tan α＝ ＝－ ，tan β＝ ＝－ .
（1） sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－
）－（－ ）× ＝－ .
tan（α－β）＝ ＝ ＝－ .
法二 tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1，由α和
β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ .
解：法一 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ ×
（－ ）－ × ＝ .
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝ .
（2）α＋β.
题型三 两角和与差正切公式的综合应用
【例3】 （1）（链接教科书第66页例4）若A＋B＝ ，求证：tan
Atan B＋tan A＋tan B＝1；
解： 证明：左边＝tan Atan B＋tan（A＋B）（1
－tan Atan B）＝tan Atan B＋tan ·（1－tan Atan B）
＝tan Atan B＋1－tan Atan B＝1＝右边.
故当A＋B＝ 时，tan Atan B＋tan A＋tan B＝1.
（2）（链接教科书第66页例5）如图，在某开发区内新建两栋高楼
AB，CD（AC为水平地面），P是AC的中点，在点P处测得两
楼顶的张角∠BPD＝45°，AB＝AC＝50 m.试求楼CD的高度
（测量仪器的高度不计）.
解： 如图，设∠APB＝α，∠CPD＝β，
则α＋β＋45°＝180°，β＝135°－α.
依题意，得tan α＝ ＝ ＝2，
∴tan β＝tan（135°－α）＝ ＝
＝3，
∴在Rt△DCP中，CD＝PCtan β＝25×3＝75，
即楼CD的高度为75 m.
通性通法
证明三角恒等式的常用方法
（1）从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等.在证明
的过程中，应时刻“盯”住目标，分析其特征，向着目标
“奔”去；
（2）从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；
（3）作差法，证明左边－右边＝0.
【跟踪训练】
1. 已知tan α＝2，证明： sin 2α＋ sin α cos α＝ － － .
证明：因为tan α＝2，
所以左边＝ ＝ ＝ ＝ .
右边＝ － －
＝ － －
＝ － －tan（ ＋ ）
＝ － －tan ＝ ，
所以左边＝右边，
所以原等式成立.
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，
使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值.
解：由AB＋BP＝PD，
得a＋BP＝ ，
解得BP＝ a，PC＝ a，
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝ ＝ ，tan β＝ ＝ ，
∴tan（α＋β）＝ ＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，
∴tan∠APD＝tan[π－（α＋β）]＝－tan（α＋β）＝18.
1. tan 255°＝（ ）
解析： tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°
＋30°）＝ ＝ ＝2＋ .故选D.
√
2. （多选）若tan β＝ ，则α＋β的大小可能是（ ）
解析： 由题意知tan β＝ ，所以tan α＋tan β＝1－tan
αtan β，即tan（α＋β）＝1，故α＋β＝ ＋kπ， k∈Z. 当k＝
0时，α＋β＝ ；当k＝－1时，α＋β＝－ π.故选B、D.
√
√
3. （2024·淮安马坝高中期中）若tan（α＋ ）＝5，则tan α
＝ .
解析：tan（α＋ ）＝ ＝ ，故 ＝5，解得tan
α＝ .
4. 已知A，B都是锐角，且A＋B≠ ，（1＋tan A）·（1＋tan B）＝
2.求证：A＋B＝ .
证明：∵（1＋tan A）（1＋tan B）＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝
2，∴1－tan Atan B＝tan A＋tan B，
又∵A＋B≠ ，∴1－tan Atan B≠0，
∴ ＝1，∴tan（A＋B）＝1，
又∵A，B是锐角，∴A＋B＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负
半轴重合，终边经过点P（2，－3），则tan（α－ ）＝（ ）
C. 1 D. 5
解析： 由题意得，tan α＝ ＝－ ，所以tan（α－ ）＝
＝ ＝5.故选D.
√
2. 若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（ ）
C. 1 D. －1
解析： tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝
＝ .故选A.
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3. （2024·无锡月考）在△ABC中，tan A＋tan B＋ ＝ tan Atan
B，则角C＝（ ）
解析： 由已知，得tan A＋tan B＝ （tan Atan B－1），即
＝－ ，∴tan（A＋B）＝－ ，∴tan C＝tan[π－
（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝ ，∴C＝ .故选A.
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4. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，那么tan ＝
（ ）
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解析： 因为α＋ ＝（α＋β）－ ，所以tan ＝
tan ＝
＝ ，故选C.
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5. （多选）（2024·常州月考）若tan ＝2 ，tan β＝－ ，
则（ ）
C. tan（α＋β）＝0
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解析： tan α＝tan ＝ ＝ ，故A错
误，B正确；tan（α＋β）＝ ＝ ＝0，故C
正确；tan（α－β）＝ ＝ ＝ ，故D错
误.故选B、C.
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6. （多选）下列式子化简结果为 的是（ ）
B. 2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° cos 65°）
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解析： 对于A，利用正切的变形公式可得原式＝ ，故A正
确；对于B，原式＝2（ sin 35° cos 25°＋ cos 35° sin 25°）＝2
sin （35°＋25°）＝2 sin 60°＝ ，故B正确；对于C，原式＝
＝tan（135°－75°）＝tan 60°＝ ，故C正
确；对于D，由C知，原式＝ ＝ ，故D错误.故选A、B、C.
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7. 在△ABC中，若tan Atan B＞1，那么△ABC是 三角形.
解析：由△ABC中，A，B，C为三个内角，若tan A·tan B＞1，可
得A，B都是锐角，故tan A和tan B都是正数，∴tan（A＋B）＝
＜0，故A＋B为钝角.由三角形内角和为180°可得，C
为锐角，故△ABC是锐角三角形.
锐角
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8. 已知tan（α－ ）＝ ，tan（β－ ）＝－ ，则tan ＝ .
解析：tan ＝tan［（α－ ）＋（β－ ）］＝ ＝
.
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9. （2024·徐州月考）已知 ＝3，tan（α－β）＝2，则tan
（β－2α）＝ .
解析：由条件知 ＝ ＝3，则tan α＝2.因为tan（α
－β）＝2，所以tan（β－α）＝－2.故tan（β－2α）＝
tan[（β－α）－α]＝ ＝ ＝ .
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10. 已知tan α＝－ ， cos β＝ ，α∈ ，β∈ .
（1）求tan β的值；
解： 因为 cos β＝ ，β∈ ，
所以 sin β＝ ＝ ，所以tan β＝ ＝2.
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（2）求tan（α＋β）的值，并求出α＋β的值.
解： tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.
又α∈ ，β∈ ，所以α＋β∈ ，
所以α＋β＝ .
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11. （2024·连云港赣榆一中月考）我国古代天文学家僧一行应用“九
服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ
（0°≤θ≤180°）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张
正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳
天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”两次测
量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且tan（α－β）
＝ ，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷
影长”是“表高”的（ ）
A. 1倍 B. 2倍
C. 3倍 D. 4倍
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解析： 设第一次“晷影长”是l1，“表高”是h1，太阳天顶距
为α，则l1＝h1tan α，设第二次“晷影长”是l2，“表高”是
h2，太阳天顶距为β，则l2＝h2tan β，因为第二次的“晷影长”
与“表高”相等，则tan β＝1，则 ＝tan α＝tan[（α－β）＋
β]＝ ＝ ＝2.故选B.
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12. （多选）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝ ，则下列各
式正确的是（ ）
A. A＋B＝2C
C. tan A＝tan B
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解析： ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝
C，∴tan（A＋B）＝ ，故选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝
（1－tan A·tan B）＝ ，∴tan A·tan B＝ ①，又tan A＋tan
B＝ ②，联立①②，解得tan A＝tan B＝ ，∴A＝B＝
30°， cos B＝ sin A，故选项C、D正确.故选C、D.
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13. （2024·盐城质检）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝ ，tan
β＝ ，tan γ＝ ，则α＋β＋γ＝ .
解析：∵tan（α＋β）＝ ＝ ＝ ，tan（α＋β＋
γ）＝ ＝ ＝1，∵α，β，γ∈ ，
∴α＋β∈（0，π），又tan（α＋β）＝ ＞0，∴α＋
β∈ ，∴α＋β＋γ∈（0，π），∴α＋β＋γ＝ .
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14. 在△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝ ，且 tan A＋
tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.
解：tan A＝tan[180°－（B＋C）]＝－tan（B＋C）＝
＝ ＝－ ，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
tan C＝tan[180°－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝ ＝
＝ ，
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.
∴B＝180°－120°－30°＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形.
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15. 是否存在锐角α，β，使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan β
＝2－ 同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，
说明理由.（tan ＝2－ ）.
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解：假设存在锐角α，β使得（1）α＋2β＝ ，（2）tan ·tan
β＝2－ 同时成立.
由（1）得 ＋β＝ ，
所以tan（ ＋β）＝ ＝ .
又tan tan β＝2－ ，
所以tan ＋tan β＝3－ ，
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因此tan ，tan β可以看成方程x2－（3－ ）x＋2－ ＝0的两
个根，
设方程的两根分别为x1，x2，
解得x1＝1，x2＝2－ .
若tan ＝1，则α＝ ，这与α为锐角矛盾，
所以tan ＝2－ ，tan β＝1，
所以α＝ ，β＝ ，
所以满足条件的α，β存在，且α＝ ，β＝ .
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谢 谢 观 看！
