10.3 几个三角恒等式
1.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
2.cos 72°－cos 36°＝（ ）
A.3－2 B.
C.－ D.3＋2
3.化简＝（ ）
A.tan α B.tan 2α
C. D.
4.下列四个关系式中正确的是（ ）
A.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B.cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C.sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D.sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
5.（2024·徐州月考）若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin（x＋y）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
6.（多选）tan 75°＝（ ）
A.2＋ B.
C. D.tan 25°tan 35°tan 85°
7.（2024·无锡月考）已知sin α＝，且α为钝角，则cos＝ .
8.＋＝ .
9.已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤π，则cos θ＝ ，sin＝ .
10.（1）设cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）cos x＝，且y是第四象限角，求tan的值；
（2）已知θ∈，且sin θ＝，求sin，cos，tan的值.
11.（2024·南通月考）已知cos α＝－且α为第三象限角，则＝（ ）
A.－ B.
C.2 D.－2
12.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
13.（2024·镇江月考）函数y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最大值是 .
14.（1）（2024·淮安质检）已知＜α＜3π，试化简：；
（2）已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形.
15.已知函数f（x）＝sincos.
（1）求f（x）的值域；
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点.
10.3 几个三角恒等式
1.D ∵∈，∴sin＝－＝－.故选D.
2.C 原式＝－2sinsin＝－2sin 54°sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝＝－.故选C.
3.B 原式＝＝＝tan 2α.故选B.
4.A A正确，利用和差化积公式得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ；B错误，右边应是2sin 4θsin θ；C错误，右边应是－2cos 4θsin θ；D错误，由sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin（－3θ）＝2sin（θ＋）cos（4θ－）.故选A.
5.A 因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝，因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以2sin（x＋y）·＝，所以sin（x＋y）＝.故选A.
6.ACD tan 75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝2＋，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝，故B错误；tan 75°＝＝＝，故C正确；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）·tan α＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故D正确.故选A、C、D.
7. 解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜＜90°，∴cos α＜0，cos＞0，∴cos α＝－＝－，∴cos＝＝＝.
8. 解析：＋＝＋＝
＝
＝＝
＝2cos 30°＝.
9.－ 解析：∵≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且≤≤.又sin θ＋cos θ＝ ①，∴（sin θ＋cos θ）2＝，∴2sin θcos θ＝－，∴（cos θ－sin θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∴cos θ－sin θ＝－ ②，联立①②，得∴sin＝sin＝＝＝.
10.解：（1）∵cos（x＋y）sin x－sin（x＋y）·cos x＝，∴sin y＝sin[（x＋y）－x]＝sin（x＋y）cos x－cos（x＋y）sin x＝－，
∵y是第四象限角，
∴cos y＝＝＝，
由半角公式得tan＝＝＝－×＝－.
（2）∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－＝－，
又∵∈，
∴sin＝－＝－＝－，cos＝－＝－＝－，
tan＝＝＝2.
11.A ∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，∴tan＝＝＝－3，∴＝＝－.故选A.
12.D ∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又y＝cos x在（0，π）上单调递减，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2sincos＝（－2sin·sin），∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.故选D.
13.1 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°）.∴ymax＝1.
14.解：（1）∵＜α＜3π，∴＜＜，
∴cos α＜0，sin ＜0.
故原式＝＝＝＝－sin .
（2）证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B.
又∵cos A＋cos B＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos ·cos ，
显然cos ≠0，故sin ＝cos ，
两边平方，得sin2 ＝cos2，
即＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，即cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形.
15.解：（1）由积化和差公式可知f（x）＝［sin＋sin（x－－x－）］
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
（2）令f（x）＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝或x＝，∴f（x）的零点为，.
2 / 210.3 几个三角恒等式
新课程标准解读 核心素养
1.了解积化和差公式、和差化积公式及其推导过程 逻辑推理
2.了解半角公式及其推导过程 逻辑推理
3.能运用积化和差公式、和差化积公式及半角公式进行相关计算、化简和证明 数学运算
观察下列学过的两组公式：
（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β， ①
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β； ②
（2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β， ③
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β. ④
尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？
【问题】 （1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β的值？
（2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β的值？
知识点一 积化和差公式、和差化积公式
积化和差
和差化积
【想一想】
1.积化和差公式与和差化积公式之间有什么联系？
2.积化和差公式与和差化积公式在三角恒等变换中有什么作用？
知识点二 半角公式
【想一想】
半角公式中的符号是如何确定的？
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.cos α－cos β＝－2sinsin
B.cos＝
C.tan＝
D.tan＝，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）
2.（2024·南京月考）若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝（ ）
A. B.
C. D.－
3.sincos＝ .
题型一 积化和差公式的应用
【例1】 （链接教科书第76页例1）求下列各式的值：
（1）sin 37.5°cos 7.5°；
（2）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
通性通法
在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin（α＋β）与sin（α－β）的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos（α＋β）与cos（α－β）的和或差.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1）2cos 50°cos 70°－cos 20°；
（2）sin 80°cos 40°－sin 40°；
（3）sin 37.5°sin 22.5°－cos 15°.
题型二 和差化积公式的应用
【例2】 （链接教科书第77页例2）把下列各式化为积的形式：
（1）sin x＋sin 3x；
（2）cos（15°＋α）－cos（15°－α）.
通性通法
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
【跟踪训练】
1.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝（ ）
A. B.
C. D.1
2.计算：＝（ ）
A. B.－
C. D.－
题型三 应用半角公式求值
【例3】 （链接教科书第78页例3）已知sin α＝－，＜α＜2π，求sin，cos，tan的值.
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
提醒 已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，求值时要注意确定其符号.
【跟踪训练】
1.（2024·常州第一中学月考）sin的值是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值.
题型四 三角函数式的化简与证明
【例4】 化简：
（π＜α＜2π）.
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方、和积互化等.
【跟踪训练】
1.化简：（1）cos－tan（1＋cos α）；
（2）.
2.求证：tan－tan＝.
1.利用积化和差公式化简sin αsin＝（ ）
A.－[cos（α＋β）－cos（α－β）]
B.[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
C.[sin（α＋β）－sin（α－β）]
D.[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2.sin 75°－sin 15°＝（ ）
A. B. C. D.－
3.（2024·扬州月考）若cos α＝－，α是第三象限角，则tan＝ .
4.把下列各式化为积的形式：
（1）sin 122°＋sin 36°；
（2）cos 75°－cos 23°.
10.3 几个三角恒等式
【基础知识·重落实】
知识点一
[sin（α＋β）＋sin（α－β）] [sin（α＋β）－sin（α－β）] [cos（α＋β）＋cos（α－β）] －[cos（α＋β）－cos（α－β）] 2sincos 2cossin 2coscos －2sin·sin
想一想
1.提示：在积化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝，则积化和差公式相应变为和差化积公式.
2.提示：和积互化是三角恒等变换中的一种重要的变形手段，是化非特殊角为特殊角的有效方法，也是在三角函数式的化简、求值和证明中，相约或相消的常用方法.
知识点二
1－2sin2α 2cos2α－1 ±
±
±
想一想
提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求的范围，然后根据的范围确定符号；
（2）如果没有给出确定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
自我诊断
1.AD 对于A，cos α－cos β＝－2sin·sin，故A正确；对于B，cos＝±，故B错误；对于C、D，当α≠2kπ＋π时，tan＝＝，故C错误，D正确.故选A、D.
2.A 因为α∈，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ ＝.故选A.
3.＋ 解析：sincos＝sin·cos（π＋）＝sincos＝＝×（1＋）＝＋.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）]
＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝.
（2）原式＝（sin 90°－sin 50°）－（cos 60°－cos 40°）
＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.
跟踪训练
解：（1）原式＝cos（50°＋70°）＋cos（50°－70°）－cos 20°
＝cos 120°＋cos 20°－cos 20°＝cos 120°＝－.
（2）原式＝[sin（80°＋40°）＋sin（80°－40°）]－sin 40°
＝（sin 120°＋sin 40°）－sin 40°＝.
（3）原式＝－[cos（37.5°＋22.5°）－cos（37.5°－22.5°）]－cos 15°
＝－（cos 60°－cos 15°）－cos 15°＝－cos 60°＝－.
【例2】 解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 2x·cos x.
（2）原式＝－2sin·sin
＝－2sin 15°sin α.
跟踪训练
1.C sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80°＝2××sin 80°＋－sin 80°＝.故选C.
2.B 原式＝＝－＝－＝－.故选B.
【例3】 解：∵＜α＜2π，sin α＝－，
∴cos α＝且＜＜π，
∴sin＝ ＝，
cos＝－ ＝－，
tan＝＝－.
跟踪训练
1.B sin＝＝＝＝＝.故选B.
2.解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝＝＝，
cos θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
【例4】 解：原式＝
＝
＝.又∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，∴原式＝＝cos α.
跟踪训练
1.解：（1）原式＝－sin α－·（1＋cos α）＝－2sin α.
（2）原式＝＝＝＝tan 2α.
2.证明：左边＝－
＝
＝
＝
＝＝右边.
所以原等式成立.
随堂检测
1.D sin αsin＝sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）].故选D.
2.B sin 75°－sin 15°＝2cos·sin＝2cos 45°·sin 30°＝.故选B.
3.－3 解析：∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴tan＝＝－3.
4.解：（1）原式＝2sin·cos＝2sin 79°·cos 43°.
（2）原式＝－2sinsin＝－2sin 49°·sin 26°.
4 / 4(共65张PPT)
10.3
几个三角恒等式
新课程标准解读 核心素养
1.了解积化和差公式、和差化积公式及其
推导过程 逻辑推理
2.了解半角公式及其推导过程 逻辑推理
3.能运用积化和差公式、和差化积公式及
半角公式进行相关计算、化简和证明 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下列学过的两组公式：
（1） sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， ①
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β； ②
（2） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β， ③
cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β. ④
尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？
【问题】 （1）如何用 sin （α＋β）， sin （α－β）表示 sin α cos β及 cos α sin β的值？
（2）如何用 cos （α＋β）， cos （α－β）表示 cos α cos β及 sin α sin β的值？
积化和差
知识点一 积化和差公式、和差化积公式
和差化积
【想一想】
1. 积化和差公式与和差化积公式之间有什么联系？
提示：在积化和差公式中，令α＋β＝x，α－β＝y，则α＝
，β＝ ，则积化和差公式相应变为和差化积公式.
2. 积化和差公式与和差化积公式在三角恒等变换中有什么作用？
提示：和积互化是三角恒等变换中的一种重要的变形手段，是化非
特殊角为特殊角的有效方法，也是在三角函数式的化简、求值和证
明中，相约或相消的常用方法.
知识点二 半角公式
0
0
0
0
0
0
0
【想一想】
半角公式中的符号是如何确定的？
提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求 的范围，然后根据 的
范围确定符号；
（2）如果没有给出确定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
√
√
解析： 对于A， cos α－ cos β＝－2 sin · sin ，故A
正确；对于B， cos ＝± ，故B错误；对于C、D，当
α≠2kπ＋π时，tan ＝ ＝ ，故C错误，D正确.故选
A、D.
2. （2024·南京月考）若 cos 2α＝－ ，且α∈ ，则 sin α＝
（ ）
解析： 因为α∈ ，所以 sin α≥0，由半角公式可得 sin
α＝ ＝ .故选A.
√
3. sin cos ＝ ＋ .
解析： sin cos ＝ sin · cos （π＋ ）＝ sin cos
＝ ＝ ×（1＋ ）＝ ＋ .
＋
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 积化和差公式的应用
【例1】 （链接教科书第76页例1）求下列各式的值：
（1） sin 37.5° cos 7.5°；
解： 原式＝ [ sin （37.5°＋7.5°）＋ sin （37.5°－
7.5°）]
＝ （ sin 45°＋ sin 30°）＝ ×（ ＋ ）＝ .
（2） sin 20° cos 70°＋ sin 10° sin 50°.
解： 原式＝ （ sin 90°－ sin 50°）－ （ cos 60°－
cos 40°）
＝ － sin 50°＋ cos 40°＝ － sin 50°＋ sin 50°＝ .
通性通法
在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果
应为 sin （α＋β）与 sin （α－β）的和或差；如果形式为同名函
数积时，化得的结果应为 cos （α＋β）与 cos （α－β）的和或差.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1）2 cos 50° cos 70°－ cos 20°；
解： 原式＝ cos （50°＋70°）＋ cos （50°－70°）－
cos 20°
＝ cos 120°＋ cos 20°－ cos 20°＝ cos 120°＝－ .
（2） sin 80° cos 40°－ sin 40°；
解： 原式＝ [ sin （80°＋40°）＋ sin （80°－40°）]
－ sin 40°
＝ （ sin 120°＋ sin 40°）－ sin 40°＝ .
（3） sin 37.5° sin 22.5°－ cos 15°.
解： 原式＝－ [ cos （37.5°＋22.5°）－ cos （37.5°
－22.5°）]－ cos 15°
＝－ （ cos 60°－ cos 15°）－ cos 15°＝－ cos 60°＝－
.
题型二 和差化积公式的应用
【例2】 （链接教科书第77页例2）把下列各式化为积的形式：
（1） sin x＋ sin 3x；
解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin 2x· cos x.
（2） cos （15°＋α）－ cos （15°－α）.
解： 原式＝－2 sin · sin
＝－2 sin 15° sin α.
通性通法
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函
数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然
后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求
值则尽量求出值来.
【跟踪训练】
1. 求值： sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝（ ）
D. 1
解析： sin 20°＋ sin 40°＋ sin 60°－ sin 80°＝2 sin 30°
cos 10°＋ sin 60°－ sin 80°＝2× × sin 80°＋ － sin 80°＝
.故选C.
√
2. 计算： ＝（ ）
解析： 原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ .
故选B.
√
题型三 应用半角公式求值
【例3】 （链接教科书第78页例3）已知 sin α＝－ ， ＜α＜
2π，求 sin ， cos ，tan 的值.
解：∵ ＜α＜2π， sin α＝－ ，
∴ cos α＝ 且 ＜ ＜π，
∴ sin ＝ ＝ ，
cos ＝－ ＝－ ，
tan ＝ ＝－ .
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两
倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围.
提醒 已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，求值时要
注意确定其符号.
【跟踪训练】
1. （2024·常州第一中学月考） sin 的值是（ ）
解析： sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
故选B.
√
2. 已知 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，求tan 的值.
解：因为 cos 2θ＝－ ， ＜θ＜π，依半角公式得
sin θ＝ ＝ ＝ ，
cos θ＝－ ＝－ ＝－ ，
所以tan ＝ ＝ ＝ .
题型四 三角函数式的化简与证明
【例4】 化简：
（π＜α＜2π）.
解：原式＝
＝
＝ .又∵π＜α＜2π，∴ ＜ ＜π，∴ cos ＜0，∴原式
＝ ＝ cos α.
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过
拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统
一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升
幂、降幂、配方、开方、和积互化等.
【跟踪训练】
1. 化简：（1） cos －tan （1＋ cos α）；
解： 原式＝－ sin α－ ·（1＋ cos α）＝－2
sin α.
（2） .
解： 原式＝ ＝ ＝
＝tan 2α.
2. 求证：tan －tan ＝ .
证明：左边＝ －
＝
＝
＝
＝ ＝右边.
所以原等式成立.
1. 利用积化和差公式化简 sin α sin ＝（ ）
解析： sin α sin ＝ sin α cos β＝ [ sin （α＋β）＋
sin （α－β）].故选D.
√
2. sin 75°－ sin 15°＝（ ）
解析： sin 75°－ sin 15°＝2 cos sin ＝2
cos 45°· sin 30°＝ .故选B.
√
3. （2024·扬州月考）若 cos α＝－ ，α是第三象限角，则tan
＝ .
解析：∵ cos α＝－ ，α是第三象限角，∴ sin α＝－
＝－ ，∴tan ＝ ＝－3.
－3
4. 把下列各式化为积的形式：
（1） sin 122°＋ sin 36°；
解： 原式＝2 sin cos ＝2 sin
79°· cos 43°.
（2） cos 75°－ cos 23°.
解： 原式＝－2 sin sin ＝－2 sin
49°· sin 26°.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1. 设5π＜θ＜6π， cos ＝a，则 sin ＝（ ）
解析： ∵ ∈ ，∴ sin ＝－ ＝－ .故
选D.
√
2. cos 72°－ cos 36°＝（ ）
解析： 原式＝－2 sin sin ＝－2 sin 54° sin
18°＝－2 cos 36° cos 72°＝ ＝－ .
故选C.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 化简 ＝（ ）
A. tan α B. tan 2α
解析： 原式＝ ＝ ＝tan 2α.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 下列四个关系式中正确的是（ ）
A. sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin 4θ cos θ
B. cos 3θ－ cos 5θ＝－2 sin 4θ sin θ
D. sin 5θ＋ cos 3θ＝2 sin 4θ cos θ
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： A正确，利用和差化积公式得 sin 5θ＋ sin 3θ＝2 sin
4θ cos θ；B错误，右边应是2 sin 4θ sin θ；C错误，右边应是－
2 cos 4θ sin θ；D错误，由 sin 5θ与 cos 3θ两式相加不能得出右
边结论，如果从和差化积角度考虑，左边为异名三角函数，要化积
应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即 sin 5θ＋ cos 3θ
＝ sin 5θ＋ sin （ －3θ）＝2 sin （θ＋ ） cos （4θ－ ）.故
选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （2024·徐州月考）若 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ， sin 2x＋ sin 2y
＝ ，则 sin （x＋y）＝（ ）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 因为 cos x cos y＋ sin x sin y＝ ，所以 cos （x－y）＝
，因为 sin 2x＋ sin 2y＝ ，所以2 sin （x＋y） cos （x－y）＝
，所以2 sin （x＋y）· ＝ ，所以 sin （x＋y）＝ .故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）tan 75°＝（ ）
D. tan 25°tan 35°tan 85°
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝
＝2＋ ，故A正确；由正切的半角公式知tan 75°＝
，故B错误；tan 75°＝ ＝ ＝
，故C正确；∵tan（60°－α）tan（60°＋α）tan α
＝tan 3α，令α＝25°，则tan 75°＝tan 25°tan 35°tan 85°，故
D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （2024·无锡月考）已知 sin α＝ ，且α为钝角，则 cos
＝ .
解析：由α是钝角，即90°＜α＜180°，得45°＜ ＜90°，
∴ cos α＜0， cos ＞0，∴ cos α＝－ ＝－ ，∴ cos
＝ ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. ＋ ＝ .
解析： ＋ ＝ ＋ ＝
＝ ＝ ＝ ＝2
cos 30°＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：∵ ≤θ≤π，∴ sin θ≥0， cos θ≤0，且 ≤ ≤ .又 sinθ＋ cos θ＝ ①，∴（ sin θ＋ cos θ）2＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ，∴（ cos θ－ sin θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，∴ cos θ－ sin θ＝－ ②，联立①②，得∴ sin ＝ sin ＝ ＝ ＝ .
9. 已知 sin θ＋ cos θ＝ ，且 ≤θ≤π，则 cos θ＝ － ， sin
＝ .
－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. （1）设 cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝ ，且y是第
四象限角，求tan 的值；
解： ∵ cos （x＋y） sin x－ sin （x＋y） cos x＝
，∴ sin y＝ sin [（x＋y）－x]＝ sin （x＋y） cos x－
cos （x＋y） sin x＝－ ，
∵y是第四象限角，
∴ cos y＝ ＝ ＝ ，
由半角公式得tan ＝ ＝ ＝－ × ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）已知θ∈ ，且 sin θ＝ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解： ∵θ∈ ，且 sin θ＝ ，
∴ cos θ＝－ ＝－ ，又∵ ∈ ，
∴ sin ＝－ ＝－ ＝－ ，
cos ＝－ ＝－ ＝－ ，
tan ＝ ＝ ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （2024·南通月考）已知 cos α＝－ 且α为第三象限角，则
＝（ ）
C. 2 D. －2
解析： ∵ cos α＝－ ，α为第三象限角，∴ sin α＝－ ，
∴tan ＝ ＝ ＝－3，∴ ＝ ＝－ .故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 若 sin α＋ sin β＝ （ cos β－ cos α），且α∈（0，π），
β∈（0，π），则α－β＝（ ）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： ∵α，β∈（0，π），∴ sin α＋ sin β＞0，∴ cos β
－ cos α＞0，∴ cos β＞ cos α，又y＝ cos x在（0，π）上单调
递减，∴β＜α，0＜α－β＜π.由已知可得：2 sin cos
＝ （－2 sin · sin ），∴tan ＝ ，∴ ＝ ，
∴α－β＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2024·镇江月考）函数y＝ sin （x＋10°）＋ cos （x＋40°）
（x∈R）的最大值是 .
解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∴y＝ sin α＋
cos （α＋30°）＝ sin α＋ cos α cos 30°－ sin α sin 30°＝
sin α＋ cos α＝ sin （α＋60°）.∴ymax＝1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解： ∵ ＜α＜3π，∴ ＜ ＜ ，
∴ cos α＜0， sin ＜0.
故原式＝ ＝ ＝ ＝－ sin .
14. （1）（2024·淮安质检）已知 ＜α＜3π，试化简：
；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）已知在△ABC中， cos A＋ cos B＝ sin C，求证：△ABC是
直角三角形.
解： 证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴ sin C＝ sin （A＋B）＝ cos A＋ cos B.
又∵ cos A＋ cos B＝2 cos cos ，
∴2 sin cos ＝2 cos cos ，
显然 cos ≠0，故 sin ＝ cos ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ，
即 ＝ ，
∴ cos （A＋B）＋ cos （A－B）＝0，
∴2 cos A cos B＝0，即 cos A＝0或 cos B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知函数f（x）＝ sin cos .
（1）求f（x）的值域；
解： 由积化和差公式可知f（x）＝
＝
＝ sin － ，
∵ sin ∈[－1，1]，∴f（x）的值域为[－1，0].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若x∈[0，2π]，求f（x）的零点.
解： 令f（x）＝0，∴ sin ＝1，
∴2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z，
∴x＝ ＋kπ，k∈Z，∵x∈[0，2π]，
∴x＝ 或x＝ ，∴f（x）的零点为 ， .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！
