一、三角函数式求值
掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化积与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用.
【例1】 （1）＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
（2）已知0＜α＜，0＜β＜，且3sin β＝sin（2α＋β），4tan＝1－tan2，则α＋β＝ .
反思感悟
三角函数式求值的主要类型
（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式；
（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围；
（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
【跟踪训练】
已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜.
（1）求tan 2α的值；
（2）求β的值.
二、三角函数式的化简与证明
掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用，能利用上述公式对三角函数式进行化简或证明.
【例2】 化简：.
反思感悟
三角函数式化简与证明的思路
（1）观察三角函数式的特点，已知和所求中包含什么三角函数式，它们可以怎样联系；
（2）观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来；
（3）观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达到统一.
【跟踪训练】
求证：＝.
三、三角恒等变换的综合应用
1.解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换）的运用，还要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的运用.
2.对于三角恒等变换的实际应用，通常需要建立关于三角函数的数学模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解.
【例3】 已知函数f（x）＝sin＋2cos2x－1.
（1）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合；
（2）若＜α＜且f（α）＝，求cos 2α的值.
反思感悟
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
【跟踪训练】如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最长？
章末复习与总结
【例1】 （1）D （2） 解析：（1）原式＝
＝
＝
＝＝2.
（2）因为3sin β＝sin（2α＋β），即3sin（α＋β－α）＝sin（α＋β＋α），整理得2sin（α＋β）cos α＝4cos（α＋β）sin α.即tan（α＋β）＝2tan α.又4tan＝1－tan2，所以tan α＝＝，tan（α＋β）＝2tan α＝2×＝1.又0＜α＜，0＜β＜，所以α＋β∈，所以α＋β＝.
跟踪训练
解：（1）由cos α＝，0＜α＜得，sin α＝＝＝.
∴tan α＝＝4，∴tan 2α＝＝＝－.
（2）由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又cos（α－β）＝，
∴sin（α－β）＝＝＝.
由β＝α－（α－β），得cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）
＝×＋×＝，∴β＝.
【例2】 解：原式＝
＝
＝＝cos 2x.
跟踪训练
证明：左边＝
＝
＝＝＝
＝＝右边.
所以原等式成立.
【例3】 解：（1）因为f（x）＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，f（x）max＝1.其相应的x的取值集合为xx＝kπ＋，k∈Z.
（2）由题意得f（α）＝sin（2α＋）＝.
由＜α＜，得＜2α＋＜，
所以cos＝－.
因此cos 2α＝cos＝coscos＋sin（2α＋）sin＝×＋×＝.
跟踪训练
解：如图所示，设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R（sin α＋cos α）＋R＝Rsin（α＋）＋R.
∵0＜α＜，
∴＜α＋＜，
∴l的最大值为R＋R＝（＋1）R，
此时，α＋＝，即α＝.
故当α＝时，△OAB的周长最长.
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章末复习与总结
一、三角函数式求值
掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化积
与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用.
【例1】 （1） ＝（ D ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
D
解析： 原式
＝
＝
＝
＝ ＝2.
（2）已知0＜α＜ ，0＜β＜ ，且3 sin β＝ sin （2α＋β），
4tan ＝1－tan2 ，则α＋β＝ .
解析： 因为3 sin β＝ sin （2α＋β），即3 sin （α＋β
－α）＝ sin （α＋β＋α），整理得2 sin （α＋β） cos α＝
4 cos （α＋β） sin α.即tan（α＋β）＝2tan α.又4tan ＝1
－tan2 ，所以tan α＝ ＝ ，tan（α＋β）＝2tan α＝
2× ＝1.又0＜α＜ ，0＜β＜ ，所以α＋β∈ ，所
以α＋β＝ .
反思感悟
三角函数式求值的主要类型
（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的
角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用
诱导公式；
（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些
三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的
角，合理拆、配角，要注意角的范围；
（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的
是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，
必要时还要讨论角的范围.
【跟踪训练】
已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ .
（1）求tan 2α的值；
解： 由 cos α＝ ，0＜α＜ 得， sin α＝ ＝
＝ .
∴tan α＝ ＝4 ，∴tan 2α＝ ＝ ＝－
.
（2）求β的值.
解： 由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又 cos （α－β）＝ ，
∴ sin （α－β）＝ ＝ ＝ .
由β＝α－（α－β），得 cos β＝ cos [α－（α－β）]＝
cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）
＝ × ＋ × ＝ ，∴β＝ .
二、三角函数式的化简与证明
掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用，
能利用上述公式对三角函数式进行化简或证明.
【例2】 化简： .
解：原式＝
＝
＝ ＝ cos 2x.
反思感悟
三角函数式化简与证明的思路
（1）观察三角函数式的特点，已知和所求中包含什么三角函数式，
它们可以怎样联系；
（2）观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来；
（3）观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可以达到统一.
【跟踪训练】
求证： ＝ .
证明：左边＝
＝
＝ ＝ ＝
＝ ＝右边.
所以原等式成立.
三、三角恒等变换的综合应用
1. 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本
的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为
只有一个角为自变量的三角函数.在进行恒等变换时，既要注意三
角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与
积的互化、角的代换）的运用，还要注意一般的数学思想方法（如
换元法等）的运用.
2. 对于三角恒等变换的实际应用，通常需要建立关于三角函数的数学
模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解.
【例3】 已知函数f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1.
（1）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合；
解： 因为f（x）＝ sin ＋2 cos 2x－1＝ sin
2x· cos － cos 2x· sin ＋ cos 2x＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin
，
所以当2x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，即x＝kπ＋ ，k∈Z时，f
（x）max＝1.
其相应的x的取值集合为 x x＝kπ＋ ，k∈Z .
（2）若 ＜α＜ 且f（α）＝ ，求 cos 2α的值.
解： 由题意得f（α）＝ sin ＝ .
由 ＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ ，
所以 cos ＝－ .
因此 cos 2α＝ cos
＝ cos cos ＋ sin sin
＝ × ＋ × ＝ .
反思感悟
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
【跟踪训练】
如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能
使△OAB的周长最长？
解：如图所示，设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝R sin α，OB＝R cos α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α＝R
（ sin α＋ cos α）＋R＝ R sin （α＋ ）＋R.
∵0＜α＜ ，∴ ＜α＋ ＜ ，
∴l的最大值为 R＋R＝（ ＋1）R，
此时，α＋ ＝ ，即α＝ .
故当α＝ 时，△OAB的周长最长.
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